Módulo 4 Matemática Financeira

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1 Módulo 4 Matemática Fiaceira I Coceitos Iiciais 1 Juros Juro é a remueração ou aluguel por um capital aplicado ou emprestado, o valor é obtido pela difereça etre dois pagametos, um em cada tempo, de modo que se torem equivaletes. 2 Taxa de Juros Ë a uidade de medida dos juros, ou seja, o custo ou remueração percetual paga pelo uso do capital durate um determiado tempo. Exemplo: 12% ao ao, sua represetação poderá ser feito a forma decimal, isto é, 0,12 3 Diagrama de Fluxo de Caixa A represetação gráfica de um cojuto de etradas e saídas moetárias, idetificadas temporalmete, é chamada de Diagrama de Fluxo de Caixa. É essecial o etedimeto de operações de matemática fiaceira, permitido que se visualize o tempo o que ocorre com o capital. Etradas de Caixa (+) tempo Saídas de Caixa ( ) A liha horizotal registra a escala de tempo, ou seja, o horizote fiaceiro da operação. O poto zero idica o istate iicial, e os demais potos represetam os demais períodos de tempo (datas). 4 Regras básicas

2 Nas fórmulas da matemática fiaceira, o prazo da capitalização e a taxa de juros devem estar expressos ecessariamete a mesma uidade de tempo. Os critérios de trasformação do prazo ou da taxa para a mesma uidade de tempo depedem do regime de capitalização defiido para a operação. Para juros simples temos: 24% a. a. = 24/12 = 2% ao mês 24% a. a. = 24/6 = 4% ao bimestre 24% a. a. = 24/4 = 6% ao trimestre 24% a. a. = 24/2 = 2% ao semestre 5 Critérios de Capitalização 5.1 Regime de Capitalização Simples Cosiste a apuração de juros aplicado se a taxa cotratada sempre sobre o mesmo capital iicial. Havedo várias adições cosecutivas de juros ao capital, todas as parcelas de juros geradas têm a mesma dimesão, sigificado isto que as parcelas de juros geradas ateriormete ão se icorporam ao capital como base para a geração de ovos juros. O motate de capital e juros se comporta como uma progressão aritmética. ANO JUROS SIMPLES SALDO DO INICIO DO PERÍODO i = 10% AO PERÍODO JUROS APURADOS A CADA PERÍODO SALDO AO FINAL DO PERÍODO ,00 0,10 x 1.000,00 = 100, , ,00 0,10 x 1.000,00 = 100, , ,00 0,10 x 1.000,00 = 100, , ,00 0,10 x 1.000,00 = 100, ,00 * Crescimeto de 40% em 4 períodos 5.2 Regime de Capitalização Composta Cosiste a apuração periódica de juros com sua imediata icorporação ao capital gerador de ovos juros. Dessa forma, o motate ao fial do período x passa a ser o capital iicial para o período x+1. Os juros aboados em cada período toram se geradores de ovos juros, e o motate de capital e juros se comporta como uma progressão geométrica. JUROS COMPOSTOS i = 10% AO PERÍODO ANO SALDO DO INICIO JUROS APURADOS SALDO AO FINAL

3 DO PERÍODO A CADA PERÍODO DO PERÍODO ,00 0,10 x 1.000,00 = 100, , ,00 0,10 x 1.100,00 = 110, , ,00 0,10 x 1.210,00 = 121, , ,00 0,10 x 1.331,00 = 133, ,00 * Crescimeto de 46,41% em 4 períodos II Juros Simples 1 Itrodução: Os juros simples diate de suas restrições técicas têm aplicações práticas bastate limitadas. São raras as operações fiaceiras e comerciais que formam temporalmete seus motates de juros segudo o regime de capitalização liear. O uso de juros simples restrige se pricipalmete às operações praticadas o âmbito de curto prazo. No etato, as operações que adotam juros simples, além de apresetarem geralmete prazos reduzidos, ão costumam apurar o seu percetual de custo (ou retabilidade) por este regime. Os juros simples são utilizados para o cálculo dos valores moetários da operação, mas ão para apuração do efetivo resultado percetual (taxa itera de retoro). Vale ressaltar, aida, que muitas taxas do sistema fiaceiro estão refereciadas a juros simples, porém a formação dos motates das operações, processa se expoecialmete. Um exemplo disto é a cadereta de poupaça com juros de 6% ao ao, juros mesais de 0,5% ao mês, com capitalizações mesais a juros compostos. 2 Fórmulas de Juros Simples O regime de juros será simples quado o percetual de juros icidir apeas sobre o valor pricipal. Sobre os juros gerados a cada período ão icidirão ovos juros. Valor Pricipal ou simplesmete pricipal é o valor iicial emprestado ou aplicado, ates de somarmos os juros. Trasformado em fórmula temos: J = C i Ode: J = juros C = pricipal (capital) i = taxa de juros = úmero de períodos Ao somarmos os juros ao valor pricipal temos o motate.

4 Motate = Pricipal + Juros Motate = Pricipal + ( Pricipal x Taxa de juros x Número de períodos ) M = C ( 1 + i ) Box: Observe algus exercícios resolvidos! 3 Aplicações 3.1 Um capital de $ ,00 é aplicado à taxa de 2,5% ao mês durate um trimestre. Pede se determiar o valor dos juros acumulados este período. Solução: C = $80.000,00 i = 2,5% a. m. 0,025 a. m. e = 3 meses J = C i J = ,00. 0, J = $ 6.000,00 Box: Nas fórmulas as taxas de juros deve sempre estar expressa a forma decimal! 3.2 Um egociate tomou um empréstimo pagado uma taxa de juros simples de 18% ao trimestre durate ove meses. Ao fial deste período, calculou em $ ,00 o total dos juros icorridos a operação. Determiar o valor do empréstimo. Solução: i = 18% a.t. = 18% a.t. 3 = 6% ao mês 0,06 a..m. = 9 meses e J = $ ,00 C =? J = C i ,00 = C 0, ,00 = C 0,54 C = ,00 O valor do empréstimo é $ ,00 Box: Nos juros simples para a obteção da taxa mesal cohecedo a taxa trimestral, basta dividir a taxa trimestral por três! pois o prazo e a taxa devem estar a mesma uidade de tempo!

5 3.3 Uma pessoa aplicação de $ ,00 à taxa de 1,5% ao mês durate 8 meses. Determiar o valor acumulado ao fial do período. Solução: C = $18.000,00 i = 1,5% a. m. 0,015 a. m. = 8 meses M = C (1 + i ) M = 18000,00 (1 + 0,015. 8) M = 18000,00. 1,12 M = 20160,00 O motate acumulado é de $ 20160, Uma dívida de $ ,00 irá vecer em 4 meses. O credor está oferecedo um descoto de 7% ao mês caso o devedor deseje atecipar o pagameto hoje. Calcular o valor que o devedor pagaria caso atecipasse a liquidação da dívida. Solução: M = $90.000,00 i = 7% a. m. 0,07 a. m. = 4 meses M = C (1 + i ) ,00 = C (1 + 0,07. 4) ,00 = C 1,28 C = 70312,50 O valor que deveria ser pago a atecipação é de $ ,50. III Juros Compostos Box: Os juros compostos são cohecidos, popularmete, como juros sobre juros. 1 Itrodução: Etedemos por juros compostos quado o fial de cada período de capitalização, os redimetos são icorporados ao capital, gerado um ovo capital, sobre o qual serão calculados os redimetos do período seguite. 110,00 121,00 133,10 OPERAÇÃO 1 OPERAÇÃO 2 OPERAÇÃO 3 OPERAÇÃO

6 1 mês 10% a.m. 1 mês 10% a.m. 1 mês 10% a.m. 100,00 110,00 121,00 133,10 2 Fórmulas de Juros Compostos O regime de juros compostos é o mais comum o sistema fiaceiro e portato, o mais útil para cálculos de problemas do dia a dia. Os juros gerados a cada período são icorporados ao pricipal para o cálculo dos juros do período seguite. Chamamos de capitalização o mometo em que os juros são icorporados ao pricipal. Após três meses de capitalização, temos: 1º mês: M =C (1 + i) 2º mês: o pricipal é igual ao motate do mês aterior: M = C (1 + i) (1 + i) 3º mês: o pricipal é igual ao motate do mês aterior: M = C (1 + i) (1 + i) (1 + i) Simplificado, obtemos a fórmula: M = C (1 + i) Importate: a taxa i tem que ser expressa a mesma medida de tempo de, ou seja, taxa de juros ao mês para meses. Para calcularmos apeas os juros basta dimiuir o pricipal do motate ao fial do período: J = M P Box: A seguir são apresetados algus exemplos sobre juros compostos. 3 Aplicações 3.1 Calcule o motate acumulado pela aplicação de um capital de R$ 6.000,00 aplicado a juros compostos, durate 1 ao, à taxa de 3,5% ao mês. Solução: C = R$ 6.000,00 t = 1 ao = 12 meses

7 i = 3,5 % ao mês = 0,035 M =? Substituido os dados, a fórmula M = C (1+i), temos: M = 6000 (1+ 0,035) 12 M = 6000 (1,035) 12 M = ,5111 = 9066,41 Portato, o motate é R$ 9.066,41. Box: A taxa de juros está expressa ao mês e o prazo está ao ao, portato devemos coverter o prazo da operação para a mesma uidade de tempo. 3.2 Determiar o valor atual de um cotrato de R$ ,00 com vecimeto para 4 meses e através de uma taxa de juros de 3% ao mês, capitalizados mesalmete. Solução: M = R$ ,00 t = 4 meses i = 3 % a.m. = 0,03 C =? Substituido os dados, a fórmula M = C (1+i), temos: = C (1+ 0,03) 4 C = ,03 4 C = 26654,82 Portato, o valor atual do cotrato é: R$ , Uma loja fiacia um bem, o valor e R$ 4.200,00, sem etrada, para pagameto em uma úica prestação de R$ 4.866,61 o fial de 5 meses. Qual a taxa mesal cobrada pela loja? C = R$ 4.200,00 M = R$ 4.866,61 t = 5 meses i =? mesal Substituido os dados, a fórmula M = C (1+i), temos: 4866,61 = (1 + i ) , ,00 = (1 + i ) 5 1,1587 = (1 + i) 5

8 5 1, 1587 = 1 + i 1,0299 = 1 + i i = 0,0299 = 2,99 % ao mês A taxa mesal de juros cobrada pela loja é 2,99% Box: Normalmete em fatores ou ídices calculados as fórmulas são colocadas de quatro a seis casas decimais e os demais casos duas casas decimais! 3.4 Determie em que prazo um empréstimo de R$ ,00 pode ser quitado em um úico pagameto de R$ ,62, sabedo que a taxa cotratada é de 2% ao mês. C = R$ ,00 M = R$ ,62 i = 2% ao mês = 0,02 =? Substituido os dados, a fórmula M = C (1+i), temos: 11261,62 = 10000,00. (1 + 0,02) 11261, ,00 = 1,02 1,1262 = 1,02 Aplicado logaritmo de base 10 em ambos os membros e com o uso de uma calculadora cietifica, temos: log (1,1262) = log (1.02) 0,0516 =. log (1,02) 0,0516 =. 0,0086 = 6 meses O prazo cotratado foi de 6 meses. Box: Em algus livros de Matemática Fiaceira são colocadas Tabuas Fiaceiras com valores de expoeciais e logaritmos, apesar de hoje em dia ser muito comum o uso da calculadora HP 12C. 4 Fórmulas a HP 12C Na fórmula M = C (1 + i), o pricipal C é também cohecido como Valor Presete (PV = preset value) e o motate M é também cohecido como Valor Futuro (FV = future value). Etão essa fórmula pode ser escrita como: FV = PV (1 + i)

9 Isolado PV a fórmula temos: PV = FV / (1+i) Com esta mesma fórmula podemos calcular o valor futuro a partir do valor presete. Na seqüêcia mais fórmulas que podemos obter diretamete cada elemeto a partir dos dados iiciais do problema. Box: Na HP 12C, o valor presete é represetado pela tecla PV e o valor futuro é represetado pela tecla FV. Valor Futu ro Valor Pr esete PV = Juros J = PV. ( ( 1 + ) i ( 1 + ) i Taxa i = Taxa Efetiva FV 1 PV Taxa Equivalet e FV = FV l PV Pr azo = l 1 [ 1 + ) i 1 ] Fator de PV para FV ( capitaliza ção ) Fator de FV para PV ( atualizaçã o ) i f i q ( + ) i = 1 + = PV. ( 1 + i) ( 1 i FV + ) i om i 1 5 Juro Exato e Juro Comercial É comum as operações de curto prazo, ode predomiam as aplicações com taxas refereciadas em juros simples, ter se o prazo defiido em úmero de dias. Nestes casos, o úmero de dias pode ser calculado de duas maeiras: a) pelo tempo exato: utilizado se efetivamete o caledário do ao civil (365 dias). O juro apurado desta maeira deomia se juro exato; b) pelo ao comercial: o qual admite o mês com 30 dias e o ao com 360 dias. Tem se, por este critério, a apuração do deomiado juro comercial ou ordiário. Exemplo:

10 12% a.a. equivale, pelos critérios euciados, à taxa diária de: a) Juro Exato: 12/365 = 0,032877% ao dia. b) Juro Comercial: 12/360 = 0,033333% ao dia. IV Taxa Proporcioal e Taxa Equivalete Taxa Proporcioal é aquela ecotrada pela divisão da taxa origial pela quatidade de períodos existetes, iguais ao da taxa desejada, detro do período da taxa origial. Existem 12 meses detro de um ao. Para obtermos a taxa proporcioal mesal, dividimos a taxa aual por 12, liearmete. Taxa Equivalete é aquela que produz o mesmo motate que outra operação, com períodos de capitalização diferete da taxa origial. Box: No regime de juros simples, Taxas Proporcioais e Taxas Equivaletes são cosideradas a mesma coisa, sedo idiferete a classificação de duas taxas de juros como proporcioais ou equivaletes. Este coceito diz mais a respeito ao regime de juros compostos. Vejamos a seguir: PRAZO 1 1 Taxas Auais JUROS SIMPLES i = 25% a.a VALOR INICIAL JUROS VALOR FINAL JUROS COMPOSTOS i = 18,92% a.a VALOR INICIAL JUROS VALOR FINAL ,00 250, , ,00 189, , ,00 250, , ,20 225, , ,00 250, , ,21 267, , ,00 250, , ,79 318, , Taxas Semestrais PRAZO JUROS SIMPLES i = 12,5% a.a VALOR JUROS VALOR FINAL INICIAL JUROS COMPOSTOS i = 9,05% a.a VALOR JUROS VALOR FINAL INICIAL

11 ,00 125, , ,00 90, , ,00 125, , ,51 98, , ,00 125, , ,20 107, , ,00 125, , ,83 117, , ,00 125, , ,21 128, , ,00 125, , ,21 139, , ,00 125, , ,79 152, , ,00 125, , ,00 166, ,00 Duas taxas i 1 e i 2 são equivaletes, se aplicadas ao mesmo Capital C durate o mesmo período de tempo, através de diferetes sistemas de capitalização, produzem o mesmo motate fial. Seja o capital C aplicado por um ao a uma taxa aual i a. O motate M ao fial do período de 1 ao será igual a M = C(1 + i a ) Cosideremos agora, o mesmo capital C aplicado por 12 meses a uma taxa mesal i m. O motate M ao fial do período de 12 meses será igual a M = C(1 + i m ) 12. Pela defiição de taxas equivaletes vista acima, deveremos ter M = M. Portato, C(1 + i a ) = C(1 + i m ) 12 Daí cocluímos que 1 + i a = (1 + i m ) 12 Com esta fórmula podemos calcular a taxa aual equivalete a uma taxa mesal cohecida. 3 Exemplos: 3.1 Qual a taxa aual equivalete a 0,5% ao mês? Em um ao temos 12 meses, etão teremos: 1 + i a = (1 + i m ) i a = (1,005) 12 i a = 0,0617 = 6,17% ao ao Logo, 0,5% ao mês equivale a 6,17% ao ao 3.2 Qual a taxa mesal equivalete a 6% ao trimestre? Em um trimestre temos 3 meses, etão teremos: 1 + i T = (1 + i M ) , 06 = (1 + i M ) 3 1, 06 = (1 + i M ) 3 3 1, 06 = 1 + i M

12 1, 0196 = 1 + i M i = 0,0196 = 1,96% ao mês Logo, 6% ao trimestre equivalem a 1,96% ao mês. V Equivalêcia Fiaceira Box: Quado dois cojutos de capitais são equivaletes, a soma dos valores, a data focal são iguais. Vejamos um problema básico da Matemática Fiaceira: a) Mover fluxos de caixa de um istate para outro sem lhe alterar o valor; ou b) Calcular a equivalêcia fiaceira para determiado istate de um fluxo de caixa situado em outro istate. * Exemplo Prático Freqüete Trazer um fluxo de um istate futuro para o istate presete, e vice versa Eixo Atualização/Descoto dos Fluxos Fluxo Presete Futurização/Capitalização ou Atual Fluxo Futuro Istate Istate Eixo dos Presete Futuro Tempos ou Atual Prazo = Distâcia etre os dois istates Coceitualmete, dois capitais em datas distitas são ditos equivaletes se quado levados para uma data úica, chamada de data focal ou de comparação, produzirem o mesmo valor, usado se uma mesma taxa de juros. Atualização a uma taxa de 10% a.p $100 $150

13 A figura acima mostra dois capitais, $100 o istate 0 e $150 o istate 5, que são equivaletes se utilizarmos a taxa de juros simples de 10% a.p. Do mesmo modo, dois cojutos de capitais, formados por valores em diferetes mometos do tempo, serão ditos equivaletes se trabalhados a uma taxa comum, levado a uma data comum, produzirem o mesmo valor total Data Focal Taxa = 10% a.p. 4.1 Cojuto Cojuto 2 INSTANTE VALOR NO INSTANTE VALOR NA DATA FOCAL VALOR NO INSTANTE VALOR NA DATA FOCAL , , , , TOTAL 148,35 316,37 Nota se que os dois cojutos de capitais ão são equivaletes, por terem apresetado soma dos valores, a data focal, diferetes.