MATEMÁTICA FINANCEIRA E ENGENHARIA ECONÔMICA: a teoria e a prática

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA Roberta Torres MATEMÁTICA FINANCEIRA E ENGENHARIA ECONÔMICA: a teoria e a prática Trabalho de Coclusão de Curso submetido ao Curso de Matemática Habilitação Liceciatura como requisito parcial à obteção do título de Liceciado em Matemática. Orietador: Prof. Roberto Meurer Floriaópolis, juho de 2004

2 Esta Moografia foi julgada e adequada como TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO o Curso de Matemática Habilitação Liceciatura, e aprovada em sua forma fial pela Baca Examiadora desigada pela Portaria 28/SCG/04. Prof.ª Carmem Suzae Comitre Gimeez Professora da disciplia Baca Examiadora: ROBERTO MEURER Orietador FERNANDO GUERRA NEREU ESTANISLAU BURIN

3 TORRES, Roberta. Matemática Fiaceira e Egeharia Ecoômica: a teoria e a prática. Floriaópolis: UFSC, p. (Trabalho de Coclusão de Curso apresetado ao Curso de Matemática Liceciatura da Uiversidade Federal de Sata Cataria). Palavras-Chaves: Matemática Fiaceira, Egeharia Ecoômica.

4 Dedico aos meus pais, Juares e Luci, e ao meu amorado, Rômulo.

5 AGRADECIMENTOS À toda miha família, pelo cariho, apoio e icetivo, em especial aos meus pais, Juares e Luci. Aos meus colegas de turma, pelos bos mometos que passamos jutos. Aos professores que cotribuíram pela miha formação. Ao meu amorado, Rômulo, pelo sigificado que tem a miha vida, pela compahia, ajuda e paciêcia as horas difíceis.

6 SUMÁRIO Dedicatória Agradecimetos Sumário Resumo 1. INTRODUÇÃO 2. INTRODUÇÃO À MATEMÁTICA FINANCEIRA 2.1. Coceitos Fudametais 2.2. Taxa de Juros Juros Atecipados Juros Postecipados Juros Nomiais / Efetivos / Reais Juros Simples Juros Compostos 2.3 Equivalêcia de Taxas 2.4 Aálise de Situações Especiais Primeira Situação Seguda Situação Terceira Situação Quarta Situação Quita Situação Sexta Situação Sétima Situação 3. ENGENHARIA ECONÔMICA 3.1. Coceitos, pricípios e cosiderações 3.2. Métodos Clássicos de Aálise de Ivestimetos Método do Custo Aual Uiforme (CAU) Método do Valor Atual (VA) ou Valor Presete Líquido (VPL) Método da Taxa de Retoro (TIR) Método da Taxa de Retoro Icremetal (TRI) 3.3. O Efeito do Imposto de Reda (IR) Ivestimetos de Substituição Ivestimetos de Expasão Ivestimetos de Moderização 3.4. Leasig 3.5. A Ifluêcia da Iflação CONSIDERAÇÕES FINAIS REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

7 RESUMO Este trabalho procura fazer a pote etre a Matemática Fiaceira e a Egeharia Ecoômica. Para isto, parte dos coceitos básicos da Matemática Fiaceira até os pricipais métodos de aálise de alterativas de ivestimeto. Na primeira parte do trabalho, basicamete sobre Matemática Fiaceira, são abordados coceitos tais como juros, equivalêcia de taxas e aálise de situações especiais. Na seguda parte do trabalho, sobre Egeharia Ecoômica, são apresetados os pricípios, coceitos, métodos clássicos da aálise de ivestimetos (CAU, VA, TIR, TRI), ifluêcia do imposto de reda (IR) e da iflação, além de um tópico sobre leasig.

8 1 1. INTRODUÇÃO Este trabalho busca aliar os coceitos teóricos desevolvidos ao logo do tempo pela Matemática Fiaceira aos aspectos práticos dos ivestimetos produtivos, preocupação primeira o mudo dos egócios, que se covecioou chamar de Egeharia Ecoômica. A Egeharia Ecoômica desevolve seus estudos voltados à área produtiva, preocupado-se, primeiramete, com o ivestimeto de logo prazo, abordado diversos aspectos da seleção e substituição de equipametos, a melhoria de processos, a compra ou costrução de imóveis, a implatação ou substituição de platas idustriais, o laçameto ou substituição de produtos, etc. Pretedo com este trabalho, ão só apresetar as ferrametas básicas para a aálise de ivestimetos por meio dos coceitos da Matemática Fiaceira, mas, também, as diversas formas de utilização destas as empresas ou órgãos goverametais, mediate os deomiados Métodos Clássicos de Aálise de Ivestimetos, que são as técicas de aálise utilizadas por estas istituições. O trabalho é dividido, basicamete, em duas partes: Matemática Fiaceira e Egeharia Ecoômica, respectivamete. A primeira parte trata da abordagem dos coceitos e demostração de fórmulas da Matemática Fiaceira, que mais tarde serão aplicados os problemas de Egeharia Ecoômica, correspodete à seguda parte do trabalho. Primeiramete esses coceitos serão abordados em um ambiete perfeito, ou seja, sem a preseça de aspectos particulares de cada ecoomia, como por exemplo, o Imposto de Reda (IR) e a Iflação, que serão embutidos posteriormete a aálise.

9 2 2. INTRODUÇÃO À MATEMÁTICA FINANCEIRA A Matemática Fiaceira é a pricipal ferrameta da Egeharia Ecoômica. Para comparar as diversas opções de ivestimetos toma-se por base a Matemática Fiaceira, ode os cohecimetos matemáticos ecessários para tato são muito simples. Os cohecimetos básicos são: Progressão Aritmética (PA), Progressão Geométrica (PG) e a combiação de ambas. Além das fórmulas e coceitos matemáticos há outros coceitos subjacetes às fórmulas dos fatores, os quais são tão ou mais importates que estes. Primeiramete, estuda-se estes coceitos para depois se voltar às fórmulas e coceitos matemáticos CONCEITOS FUNDAMENTAIS - Fluxo de Caixa: É a represetação das cotribuições moetárias (etradas e saídas de diheiro) ao logo do tempo. É um coceito imprescidível para a solução dos problemas que serão discutidos ao logo deste trabalho. O fluxo de caixa pode ser represetado de forma algébrica ou gráfica. - Represetação Gráfica do Fluxo de Caixa: é a maeira pela qual se pode expressar, através de gráficos, a etrada e saída de umerário de um ivestimeto, de um projeto, ou até mesmo todo o fluxo fiaceiro. Na represetação gráfica do fluxo de caixa são adotadas as seguites coveções: a) O eixo horizotal represeta o tempo () a partir de um istate cosiderado iicial até um istate cosiderado fial o prazo em questão. Tem sua origem a extremidade esquerda, se projetado para a direita em direção ao futuro. b) Os valores referetes a desembolso, ou saídas de diheiro, são cosiderados algebricamete egativos e represetados por uma seta orietada para

10 3 baixo. As receitas, ou etradas de diheiro são valores cosiderados algebricamete positivos e são represetados por uma seta orietada para cima. c) A taxa de juros a que o fluxo se ecotra submetido e que deverá correspoder preferecialmete ao mesmo período ficará ao lado direito do fluxo, como segue a figura abaixo. Para estudar a represetação algébrica do fluxo de caixa são ecessários algus coceitos que serão vistos a seguir. Simbologia e outros coceitos fudametais Esta simbologia que será vista a seguir ão é a úica existete, mas é a mais uiversalmete aceita, portato ecotrada com maior facilidade em bibliografias do gêero.

11 4 i represetará a taxa de juros por período de capitalização. A represetação de juros pela letra i se deve ao fato de provir da palavra iglesa iterest. Se a taxa de juros i for, por exemplo, 10% a.a. (ao ao), ela é substituída as fórmulas por i = 0,10 (10/100) e ão por i = 10. úmero de períodos de capitalização. Um período represeta qualquer uidade de tempo (dia, mês, bimestre, ao, etc.) e deverá correspoder à periodicidade da taxa de juros. P quatia existete ou equivalete o istate iicial e cohecido por Valor Presete ou Valor Atual. Localizada à esquerda do fluxo de caixa. S represetará a somatória do pricipal mais os juros, ou motate, ou valor futuro, correspodetes a uma importâcia de diheiro capitalizada após períodos de tempo, sujeita à determiada taxa de juros i. Localizada à direita do fluxo de caixa. R represetará uma série de pagametos e/ou recebimetos omialmete iguais, que serão efetivados o fial de cada período, desde o período iicial 1 até o período de ordem. É o que ormalmete é chamado de prestação. Estes cico coceitos (i,, P, S e R) compõem o que se deomia Triâgulo de Equivalêcia.

12 5 Poderá haver situações em que é possível utilizar pelo meos mais um outro coceito, chamado Série em Gradiete de Pagametos e/ou Recebimetos. G represetará uma série em gradiete de pagametos e/ou recebimetos, cujos valores omiais crescem uiformemete ao logo do tempo. Trata-se, portato, de uma P.A. (Progressão Aritmética). Este ovo coceito trasforma o Triâgulo de Equivalêcia em uma Pirâmide de Equivalêcia TAXA DE JUROS Um dos coceitos básicos da Matemática Fiaceira e da Egeharia Ecoômica é: Não se pode comparar, somar ou subtrair diheiros ($) que se ecotrem em datas diferetes (PILÃO, 2003, p. 13). Este coceito dará suporte para o estudo do

13 6 coceito de taxas de juros e de equivalêcia de capitais. A taxa de juros será a pote etre diheiros que se ecotrem em datas diferetes. No mudo dos egócios pode-se afirmar que a taxa de juros é a remueração recebida pelo capital ivestido, ou paga pelo empréstimo cotraído JUROS ANTECIPADOS São aqueles cobrados o iício de cada período JUROS POSTECIPADOS São aqueles cobrados ao fial de cada período JUROS NOMINAIS / EFETIVOS / REAIS Taxa efetiva É aquela em que a uidade de referêcia de seu tempo coicide com a uidade de tempo dos períodos de capitalização. Assim, são taxas efetivas: 3% ao mês, capitalizados mesalmete; 4% ao semestre, capitalizados semestralmete. Taxa omial É aquela em que a uidade de referêcia de seu tempo ão coicide com a uidade de tempo dos períodos de capitalização. A taxa omial é quase sempre forecida em termos auais e os períodos de capitalização podem ser semestrais trimestrais ou mesais. Exemplos de taxas omiais: 12% ao ao, capitalizados mesalmete; 24% ao ao, capitalizados mesalmete. Taxa Real É a taxa efetiva corrigida pela taxa iflacioária do período da operação.

14 JUROS SIMPLES Os juros simples caracterizam-se pela icidêcia de ídices simples sobre o pricipal, assim, os juros de qualquer período são sempre iguais. J1 = J2 = J3 =... = Jk =... = J Pela simbologia utilizada, tem-se: Jk = P i Como em juros simples todas as parcelas são sempre iguais sua somatória o futuro, após períodos, será: Somatória dos juros = P i Agora, queredo-se cohecer para determiada aplicação, sujeita a juros simples, qual o valor o futuro (S), este será obtido através da fórmula: = + S = P + ( i ) S P P i [1 ] JUROS COMPOSTOS Os juros compostos caracterizam-se pela icidêcia de uma taxa de juros simples sobre o pricipal mais juros vecidos, o que fará com que: J1 J2 J3... J e J1 < J2 < J3 <... < Jk <... < J

15 8 Fórmula fudametal para juros compostos A fórmula fudametal para juros compostos poderá ser obtida a partir da somatória das diversas parcelas de juros ao pricipal, portato, é a fórmula que proporcioará o valor futuro ou motate de determiada aplicação ou fiaciameto após períodos de capitalização. Assim, tem-se: VALOR FUTURO = PRINCIPAL + JUROS Pela forma de represetação, utilizada a motagem algébrica do fluxo de caixa, ela será idetificada como ( P S) presete e desejar cohecer seu valor o futuro. A fórmula será: i, e será utilizada quado se tiver um valor o S = P (1 + i) Fator de Valor Atual para Pagameto Úico Agora, cohecedo S, i, e desejado saber qual o valor de P que lhe deu origem basta iverter a fórmula fudametal e multiplicar S por 1 (1 + i) e tem-se o valor correspodete o presete. O fator será ( S P) i. Assim, tem-se: S P = (1 + i) 2.3. EQUIVALÊNCIA DE TAXAS É utilizada em períodos fracioados. Nestes casos, é ecessário ecotrar a taxa equivalete ao período dado.

16 9 Equivalêcia de Juros em Juros Simples Como a taxa é liear ao logo do tempo para obter a taxa equivalete basta dividir ou multiplicar, depededo do caso, o úmero de períodos que um couber detro do outro pela taxa do período cohecido em relação ao desejado. Equivalêcia de Juros em Juros Compostos Deve-se seguir a mesma regra de equivalêcia em juros simples, porém, ão pode ser feita pela simples multiplicação ou divisão de períodos, já que os juros compostos obedecem a uma taxa expoecial. No caso de juros compostos faz-se ecessária a composição das taxas, ode tem-se a fórmula: I = [(1 + i) ] 1 Ode: I = taxa de juros para a uidade de período maior; i = taxa de juros para a uidade de período meor; = úmero de períodos meores ecessários para compor o maior. Tedo-se a taxa para um período maior e desejado ecotrar a taxa para um período meor, basta iverter a operação. Assim tem-se: i= + 1/ [(1 I) ] ANÁLISE DE SITUAÇÕES ESPECIAIS Equivalêcia. O que se fará agora é a iterligação do vértice do Triâgulo de

17 PRIMEIRA SITUAÇÃO Cohecedo R, e i deseja-se cohecer P. A esta situação deomia-se de Fator de Valor Atual para uma Série Uiforme de Pagametos e/ou Recebimetos, ou fator ( R P) i. Para demostrar a fórmula matemática será utilizado o seguite exemplo: Um bem foi adquirido por um preço à vista de $ ,00 que deverão ser pagos em 5 parcelas mesais iguais e cosecutivas, vecedo cada uma o fial de cada mês. Se os pagametos fossem feitos sem juros, ter-se-ia $ ,00 / 5 = $ ,00. Supodo que a taxa de juros seja de 10% ao mês. Etão, passado um mês, os juros a pagar seriam de $10.000,00. O valor das prestações mesais a serem pagas, computado-se juros compostos e postecipados de 10% a.m. e = 5, seria de R = $26.379,75. Se a prestação R é de $26.379,25 $10.000,00 (juros), etão, $16.379,25 servirão para amortizar parte da dívida. Isso fará com que a cada ovo período teha sempre uma dívida diferete, portato, o saldo devedor será sempre meor. No segudo mês, por exemplo, tería-se $ ,00 $16.379,75 = $83.620,25, sobre os quais passariam a icidir os juros, coforme quadro abaixo: Fial do Dívida $ Juros $ Amortização Prestação 1º mês , , , ,75 2º mês , , , ,75 3º mês , , , ,75 4º mês , , , ,75 5º mês , , , ,75 Pode-se afirmar que desejado saber qual o valor o presete que substitui a série uiforme de cico pagametos com valor de $26.379,75 cada um, basta tirar dos valores correspodetes a cada uma das datas os juros eles embutidos, para isso, devese deslocar cada um deles para a data zero. Assim, tem-se: ( i) 1 R 1/ 1+ laçameto da 1ª prestação para a data 0.

18 11 ( i) 2 R 1/ 1+ ( i) 3 R 1/ 1+ ( i) R 1/ 1+ laçameto da 2ª prestação para a data 0. laçameto da 3ª prestação para a data 0. laçameto da eésima prestação para a data 0. 1 Somatória a data 0 = R/1 ( + i) + + R/1 ( + i). Etão, pela simbologia usada e colocado R em evidêcia, tem-se: 1 ( ) ( ) P= R 1/ 1+ i + + 1/ 1+ i (1) Etre colchetes tem-se a somatória dos primeiros termos de uma P.G., com primeiro termo a 1 = 1/(1 + i) e razão q = 1/(1 + i). Pela fórmula da somatória dos termos de uma P.G., tem-se: a = ( q ) 1 1 q 1 Fazedo a substituição, tem-se: ( i) ( ) ( i) ( ) ( ) ( ) 1/ / = = ( 1+ i) 1/ 1+ i i / 1+ i 1+ i ( i) ( i) ( i) ( i) 1/ 1 1 1/ / = = = 1 1+ i i Substituido esse resultado em (1), tem-se:

19 12 ( i) 1 1+ P= R i Assim, ecotra-se a fórmula matemática para o fator ( cohecedo R, e i é ecotrado P. R P) i, ou seja, Exemplo: Seja R = $26.379,75, = 5 e i = 10% a.m., qual seria o valor presete (P) que deu origem à série uiforme? Solução: 1 1 ( 1,10) 5 P= , 75 P= , 00 0, SEGUNDA SITUAÇÃO Cohecedo P, e i deseja-se cohecer R. Esta situação deomia-se Fator de Recuperação de Capital, ou fator ( ). P R A fórmula para esta situação, assim como todas as outras que se relacioam com o R, será obtida cosiderado-se os mesmos pré-requisitos da 1ª situação. Tem-se, pela 1ª situação, que: i 1 1 ( 1+ i) P= R i Logo, precisa-se isolar R para obter-se a fórmula do fator ( P R) i. Assim, tem-se:

20 13 i R= P 1 ( 1+ i) Ou seja, cohecedo-se P, e i ecotrou-se R. Exemplo: Seja P = $ ,00, = 5 e i = 10% ao mês, determiar o valor das prestações (R) suficietes para pagar todos os juros devidos ao logo do tempo e o pricipal. Solução: 0,10 R= , 00 R= $26.379, ( 1,10) TERCEIRA SITUAÇÃO Cohecedo-se R, e i deseja-se cohecer S. Esta situação deomia-se Fator de Valor Futuro para uma Série Uiforme de Pagameto e/ou Recebimeto, ou fator ( R S) i. Para demostrar a fórmula matemática deve-se pegar as prestações de valor R, que iiciam o período de ordem 1 até ordem, e utilizar a fórmula fudametal para juros compostos, ( P S) i somatória dos resultados obtidos. Assim, tem-se:, para laçar cada uma das parcelas para a data e efetuar a ( 1 i) 1 R + laçameto da 1ª parcela para o futuro. ( 1 i) 2 R + laçameto da 2ª parcela para o futuro. ( 1 i) 1 R + laçameto da peúltima parcela para o futuro. ( 1 i) 0 R + laçameto da parcela para o futuro.

21 14 Efetuado-se a somatória, tem-se: 0 1 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) = R + i + R + i + + R + i 1 Colocado R em evidêcia, tem-se: = R + i + + i i 0 1 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 1 Etão, pela simbologia usada, tem-se: 0 1 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 1 S = R + i + + i i (2) Etre colchetes tem-se, ovamete, a somatória dos primeiros termos de uma P.G., com primeiro termo a 1 = 1 e razão q = (1 + i). Pela fórmula da somatória dos primeiros termos de uma P.G., tem-se: ( i) ( i) ( i) = 1 = 1+ 1 i Substituido esse resultado em (2), tem-se: [(1 + i) ] 1 S = R i Assim, foi ecotrada a fórmula matemática para o Fator ( cohecedo-se R,,e i ecotrou-se S. R S) i, ou seja, Exemplo: Seja R = $26.379,75, = 5 meses e i = 10% ao mês, determiar o valor de S caso ão se tivesse pagado ehuma das prestações e precisasse quitá-las a data de vecimeto da eésima prestação. Solução:

22 15 5 [(1,10) ] 1 S = ,75 S = $ ,01 0, QUARTA SITUAÇÃO Cohecedo S, e i deseja-se cohecer R. Esta situação deomia-se Fator de Fudo de Amortização, ou fator ( S R). Tem-se, pela terceira situação, que a fórmula do Fator ( R S) é : i i [(1 + i) ] 1 S = R i Etão, basta isolar R para obter a fórmula do Fator ( S R). Assim, temse: i i R= S [(1 + i) ] 1 Ou seja, cohecedo-se S, e i ecotra-se R. Exemplo: Seja i = 10% ao mês, = 5 meses e S = $ ,01, determiar o valor das prestações para que a dívida seja quitada o 5 mês. Solução: 0,10 R= , 01 R $26.379, 75 5 = [(1,10) ] 1

23 QUINTA SITUAÇÃO Cohecedo G, e i deseja-se cohecer S. Esta situação deomia-se Fator de Valor Futuro para Séries em Gradiete, ou fator ( G S). Para que o Gradiete (G) possa ser utilizado, devem ser satisfeitos três prérequisitos: 1) Data 0 valor ulo ; 2) Data 1 valor ulo ; 3) Gradiete razão, o crescimeto, ou a difereça etre os valores das datas 2 e 1. Esta situação ocorrerá quado for preciso deslocar ao logo do tempo uma série de pagametos e/ou recebimetos que crescem liearmete a partir do segudo até o eésimo período e deseja-se ecotrar o seu valor futuro. Para isso, deve-se raciociar como se esta série fosse decomposta em séries uiformes (R) com períodos que vão de 1 até 0. Portato, deslocado-se todas estas séries uiformes desde 1 até 0 para o futuro por meio do fator ( R S ) i e fazedo-se a somatória dos valores ecotrados a data correspodete ao fial do eésimo período, será possível cohecer S. Assim sedo, substituido-se a fórmula ( R S) o valor de R pelo de G e procededo-se como se em cada uma das séries decompostas o valor da série uiforme fosse o valor de G, com seus respectivos períodos, tem-se: (A) S 2 ( i) G =, ode o S 2 é o motate da data 2 até. i (B) S 3 ( i) G =, ode o S 3 é o motate da data 3 até. i Aalogamete, o motate parcial correspodete ao último período, será:

24 17 (C) S 1 ( i) 1+ 1 = G = 1 i dado por: Portato, somado-se os diversos S ecotrados tem-se o motate, que será S S1 S2 S3 S 1 = + + +, ou 1 ( i) ( i) S = G + + G i i Fazedo-se a somatória e colocado G em evidêcia, tem-se: 1 ( 1+ i) 1 ( 1+ i) S = G + + i i 1 S = G ( 1+ i) + + ( 1+ i) ( 1) i S = G ( 1+ i) + ( 1+ i) + + ( 1+ i) + 1 i i Coforme demostrado a terceira situação especial, a somatória etre os primeiros colchetes correspode ao fator ( R S) i, cuja fórmula é: [(1 + i) ] 1 S = R i Substituido-se R pelo G, coforme explicado, tem-se o fator ( G S) : i ( 1 i) ( 1 i) 1 S G + = S = G 2 i i i i i

25 18 Tem-se, etão: (1 + i) 1 S = G 2 i i Ou seja, cohecedo-se G, e i ecotra-se S. Exemplo: Qual a somatória dos valores a data 12 (31/12/2002) do fluxo de caixa (tabela), cosiderado-se que para tato foram gastos $ ,00 a data zero (01/01/2002) e uma taxa de juros de 5% ao mês. Mês Valores líquidos Mês Valores líquidos Ja/2002 Fev/2002 Mar/2002 Abr/2002 Mai/2002 Ju/ , , , , , ,00 Jul/2002 Ago/2002 Set/2002 Out/2002 Nov/2002 Dez/ , , , , , ,00 Solução: S = Σ em 31/12/2002 = ( P S) ( R S) ( G S) , , , 00 5% 5% 5% ( ) ( ) ( 0,05) 12 1, , S = ,00 ( 1,05) , ,00 2 0,05 0,05 S =+ $14.643, SEXTA SITUAÇÃO Cohecedo-se G, e i deseja-se cohecer P. Esta situação deomia-se fator ( G P) i. Partido dos mesmos pricípios da quita situação, caso deseja-se saber o valor o presete correspodete a uma série em gradiete, deve-se deslocar o valor

26 19 obtido pelo fator ( G S) para a data zero do fluxo. Para isso, basta multiplicar o resultado obtido pelo fator ( G S) pelo fator ( S P) que se ecotra subjacete ao fator ( G S) pelo fator ( P S) resultado o fator ( G P) i. Assim, tem-se:, ou aida, dividir a fórmula para obter como P = G ( G S) ( 1+ i) i Ou seja, cohecedo-se G, e i ecotra-se P. Exemplo: Utilizado a mesma tabela do exemplo da 5 situação, deseja-se saber qual o valor correspodete a tal fluxo a data zero. Solução: P = Σ em 01/01/2002 = ( R P) ( G P) , , , 00 5% 5% ( 1, 05) ( 1, 05) P , , 00 = , ,05 ( 0,05) 0,05 ( 1,05) P =+ $8.152, SÉTIMA SITUAÇÃO ( ) i fator G R. Cohecedo-se G, e i deseja-se cohecer R. Esta situação deomia-se

27 20 Para ecotrar a fórmula matemática do fator deve-se partir da mesma idéia dos fatores para gradiete ateriormete ecotrados. Tem-se que o fator ( G S) i é dado pela fórmula: ( G R) i (1 + i) 1 S = G 2 i i Desdobrado-a, tem-se separadas as fórmulas de ( R S) i e o complemeto referete à Gradiete. Substituido o fator ( R S) i pelo fator ( S R), como segue, é obtido o fator ( G R). Assim sedo: i i [ 1+ i] 1 1 S = G i i i ( R S) ( G R ) i Portato, substituido-se ( R S) por ( S R), tem-se que o fator será: i i 1 i R = G i [(1 + i) ] 1 i Ou seja, cohecedo-se G, e i ecotra-se R. Exemplo: Uma pessoa deveria receber este ao valores que começam a vecer o fial do mês de jaeiro de $5.000,00 por mês, que se estederão crescedo até o fial de dezembro, a partir de fevereiro, à razão de $1.000,00 por mês (gradiete = $1.000,00). Como esta pessoa sabe que seu devedor terá dificuldades para coseguir tais valores, está pesado em propor-lhe o pagameto de parcelas omialmete iguais ao logo dos 12 meses. Se ela cosiderar uma taxa de juros de 6% ao mês, de quato será o valor da prestação que irá receber?

28 21 Solução: 1 0,06 12 R = 1.000, , , 06 + [(1, 06) ] 1 0, 06 R = $9.811, 26

29 22 3. ENGENHARIA ECONÔMICA 3.1. CONCEITOS, PRINCÍPIOS E CONSIDERAÇÕES Até o mometo, por itermédio da Matemática Fiaceira, foi tratado de provideciar as iformações ecessárias acerca da importâcia de se cosiderar o valor do diheiro o tempo. A partir da absorção dos coceitos da Matemática Fiaceira é possível fazer uso da Egeharia Ecoômica. A Egeharia Ecoômica, coforme defiição apresetada por E. L. Grat e W. Ireso, o livro Priciples of Egieerig Ecoomy, compreede os pricípios e técicas ecessárias para se tomar decisões relativas à aquisição e à disposição de bes de capital, a idústria e os órgãos goverametais. Pode-se, de maeira geral, defiir Egeharia Ecoômica como o cojuto de cohecimetos ecessários à tomada de decisão sobre ivestimetos. Aida que os coceitos básicos teham se origiado a idústria, a partir de problemas de atureza técica, os métodos de ivestimetos, que serão apresetados a seguir, são gerais e suas aplicações ão se restrigem apeas ao campo da egeharia. Problemas de fiaciameto, questões de aplicação de capital, etre outros, são igualmete passíveis de aálise pelos métodos da Egeharia Ecoômica. Justifica-se o ome, Egeharia Ecoômica, porque grade parte dos problemas de ivestimeto depedem de iformações e justificativas técicas e porque a maioria das orgaizações tais decisões são tomadas ou por egeheiros, ou por admiistradores agido com base as recomedações dos egeheiros. Em resumo, um estudo de Egeharia Ecoômica evolve: a) Defiição do problema; b) Determiação das alterativas tecicamete viáveis; c) Determiação e avaliação quatitativa das difereças futuras obteção do diagrama de fluxo de caixa de cada alterativa; d) Maipulação dos diagramas e aplicação de critérios de decisão para a obteção da alterativa mais ecoômica a avaliação qualitativa das alterativas, iclusão dos fatores impoderáveis e modificação da decisão aterior se for o caso.

30 23 Efim, tora-se ecessário estabelecer métodos de comparação e critérios de decisão que permitam represetar cada alterativa por um úmero e que idiquem a solução mais ecoômica. Segudo Hummel e Tascher, algus aspectos ão devem ser esquecidos jamais ao se motar um modelo para a tomada de decisão em Egeharia Ecoômica. Esses aspectos são: 1) Não existe decisão a ser tomada, cosiderado-se alterativa úica: para tomar qualquer decisão, devem ser aalisadas todas as alterativas viáveis, ode as alterativas devem ser, o míimo, duas, ao cotrário, a decisão já estará tomada. 2) Só podem ser comparadas alterativas homogêeas: por exemplo, ão será possível a comparação etre a compra de um apartameto em um bairro obre ou a compra de um apartameto em um bairro pobre. Para fazer a comparação dessas alterativas deve-se coseguir a homogeeidade dos dados. 3) Apeas as difereças de alterativas são relevates: se todas as alterativas que estão sedo aalisadas possuírem séries de custos ou receitas iguais, elas ão serão importates para decidir qual das alterativas é melhor, pois suas difereças irão se aular. 4) Os critérios para decisão de alterativa ecoômica devem recohecer o valor do diheiro o tempo: para fazer a comparação etre alterativas de ivestimeto deve-se igualar o tempo de vida ou de utilização das mesmas. 5) Não devem ser esquecidos os problemas relativos ao racioameto de capital: sempre que uma alterativa de ação for proposta, admite-se, a pricípio, que existe capacidade de ivestimeto. 6) Decisões separáveis devem ser tomadas separadamete: todos os problemas e alterativas ecoômicas de ivestimeto devem ser cuidadosamete avaliados para determiar qual o úmero, tipo e seqüêcia das decisões ecessárias. 7) Deve-se sempre atribuir um certo peso para os graus relativos de icerteza associada às previsões efetuadas: isso serve para assegurar que a qualidade da solução seja cohecida e recohecida pelos resposáveis pelo processo de tomada de decisão. 8) As decisões devem levar também em cosideração os evetos qualitativos ão quatificáveis moetariamete: as difereças de alterativas devem

31 24 assumir uma uidade quatificável comum, geralmete uidade moetária, para forecer uma base para a escolha dos ivestimetos. Etretato, os evetos ão quatificáveis devem ser especificados, para que os resposáveis pela tomada de decisão teham todos os dados ecessários para tomar a sua decisão. 9) Realimetação de iformações: por exemplo, precisa-se saber se a taxa de juros esperada para um determiado ivestimeto em 5 aos está sedo atigida. Para isso, deve-se acompahá-la mês a mês, ou ao a ao, para ter certeza de que o ivestimeto atigirá o retoro esperado. 10) Dados ecoômicos / gereciais: o estudo das alterativas de ivestimeto, os valores e os dados que os iteressam devem ser sempre ecoômicos e gereciais. Os dados cotábeis só serão importates a avaliação após o Imposto de Reda. Limitações de Estudo - Impossível traspor para o papel todas as cosiderações e variáveis ecotradas a vida; - Taxas de retoro e taxas de juros, a realidade, ão são as mesmas; - O modelo pressupõe que as taxas de juros ão variam durate a vida; - O modelo pressupõe que o fluxo de caixa real fial é sempre viável, de acordo com as codições ecoômicas e fiaceiras da empresa em pauta; - A complexidade do modelo a ser motado deve ser compatível com a cofiabilidade dos dados assumidos. Mais dois pré-requisitos para a aálise de ivestimetos: Só serão aalisadas alterativas de ação tecicamete viáveis; Só serão aalisadas alterativas de ação para as quais tem-se capacidade fiaceira.

32 MÉTODOS CLÁSSICOS DE ANÁLISE DE INVESTIMENTOS Depois de cosiderar todos esses aspectos, pricípios, pré-requisitos e limitações de estudo para fazer a aálise de um ivestimeto, deve-se, aida, ordear o processo de raciocíio para buscar uma solução lógica para a questão proposta. Isso pode ser feito através dos Métodos Clássicos de Aálise de Ivestimetos. Basicamete, os métodos são três, que se forem aplicados de maeira correta, levarão sempre à mesma alterativa de ação como sedo a melhor, ou seja, eles são equivaletes etre si. Os três métodos são os seguites: - Método do Custo Aual Uiforme CAU; - Método do Valor Atual VA; - Método da Taxa de Retoro TIR. Taxa Míima de Atratividade Os métodos da Egeharia Ecoômica, para avaliar as melhores alterativas de ivestimeto, exigem a adoção de uma taxa de juros básica, que é deomiada Taxa Míima de Atratividade (TMA). Essa taxa represeta a míima retabilidade pretedida em um ivestimeto. A questão de defiir qual taxa deverá ser empregada, pode ser respodida por meio do seguite exemplo: Supõe-se que uma pessoa tem uma oportuidade de fazer um ivestimeto, mas para isso será ecessário tomar o diheiro emprestado de algum baco. É evidete que os juros pagos represetarão um ôus, que deve ser etedido como o custo da utilização deste capital. Portato, a pessoa somete irá fazer o ivestimeto se a expectativa de gahos, já deduzido o valor do ivestimeto, for superior ao custo do capital. Por exemplo, se o motate de juros pagos correspoder a uma taxa de 40% a.a., obrigatoriamete que o custo do capital será expresso por este valor, e o ivestimeto só será iteressate se a taxa de redimetos produzidos for superior a este.

33 26 Tal fato idetifica o custo do capital como sedo a retabilidade míima aceitável para qualquer aplicação, caracterizado, etão, uma base para aceitação ou rejeição de uma proposta de ivestimeto. Esta taxa de juros é a usualmete deomiada TMA MÉTODO DO CUSTO ANUAL UNIFORME CAU Cosiste em distribuir ao logo da vida útil todos os valores existetes o fluxo de caixa, trasformado-os em uma úica série uiforme (R) de pagametos e/ou recebimetos. Para distribuir todos os valores uiformemete ao logo da vida útil, faz-se uso da TMA e como resultado pode-se obter um CAU+ (positivo), um CAU (egativo) ou um CAU ulo. Em termos de escolha etre as alterativas de ação, serão cosideradas iteressates as alterativas cujos CAUs sejam positivos ou ulos, ode o mais iteressate seria o maior CAU positivo, ou seja, as receitas serão suficietes ou mais que suficietes, para cobrir as despesas quado sujeitas àquela taxa de juros, quado estes estão sujeitos àquela TMA. Nos casos em que os ivestimetos se toram obrigatórios, por exemplo, a substituição de um equipameto estarão evolvidos a aálise apeas custos ou despesas, portato, o resultado do CAU a ser obtido será sempre egativo e a escolha deverá recair sobre o CAU mais próximo de zero, ou seja, aquele que possuir o meor custo possível. EXEMPLO 1: Determiada empresa deseja substituir a frota de veículos a serem utilizados para o trabalho de seus vededores. Para essa situação ficou defiido que o veículo mais apropriado seria um carro popular e que para o serviço que se prestaria poderia ser utilizado tato um veículo zero quilômetro como um com até cico aos de vida. Estudos prelimiares determiaram que os custos das mauteções auais, de acordo com o tempo de vida do veículo, a serem realizadas ao logo do ao e alocadas ao seu fial, seriam os expressos o quadro a seguir, bem como a cotação dos veículos, desde que em perfeito estado de coservação. A TMA da empresa é de 10% a.a.

34 27 Fial do Cotação Custo mauteção 0 km $15.000, ao $12.500,00 $2.500,00 / ao 2 aos $10.200,00 $2.800,00 / ao 3 aos $8.500,00 $3.500,00 / ao 4 aos $7.000,00 $3.000,00 / ao 5 aos $6.200,00 $3.700,00 / ao Solução: OPÇÃO A Comprar um carro zero e trocá-lo a cada dois aos. OPÇÃO B Comprar um carro com 1 ao de vida e trocá-lo a cada três aos. Nesse exemplo, o que tora as alterativas de ação heterogêeas é o fato de que com a opção A, os vededores poderão trabalhar com o carro pelo período de dois aos, equato a opção B, poderão trabalhar pelo período de 3 aos. Essa difereça fica solucioada de maeira implícita, pois será ecotrado o custo ecessário para se utilizar as opções A e B por ao e assumir que eles se repetirão de maeira idêtica os aos seguites. Assim, poderão ser comparados. A estrutura dos cálculos para a obteção do CAU ficará da seguite forma:

35 28 CAU = $2.500, 00 $15.000, 00 ( P R) + $9.900, 00 ( S R) 2 2 ( OpçãoA) 10% 10% CAU ( OpçãoA) = $2.500, 00 $8.642,86 + $4.714, 29 CAU ( OpçãoA) = $6.428,57 Na motagem do fluxo algébrico da opção A cosidera-se que -$2.500,00 já se caracterizam como um CAU, pois se repete omialmete desde o período de ordem 1 até o de ordem (data 2). Depois, distribui-se os -$15.000,00 referetes a compra do carro zero a partir da data zero detre os dois períodos da vida útil e, por fim, distribui-se os +$9.900,00 (obtidos pela difereça etre os +$10.200,00, referetes a veda do automóvel com dois aos de uso e os -$300,00 referetes a difereça etre os - $2.800,00 dos custos auais e os -$2.500,00 que foram assumidos que já cofiguram como um CAU). Por aalogia, mostrar-se-á a opção B, assumido que os -$2.800,00 já se cofiguram como um CAU. Assim, tem-se: ( ) = 2.800, , 00 ( ) , 00 ( ) , 00 OpçãoB ( ) CAU S P P R S R ( OpçãoB) 10% 10% 10% [ ] ( ) 3 10% CAU = 2.800,00 578, ,00 P R ,38 CAU ( ) = 2.800, , ,38 OpçãoB CAU ( ) = $6.004, 68 OpçãoB 3 No caso A, os resultados demostram que se tiver o equivalete a ,57 por ao (o sial egativo idetifica um custo), tem-se diheiro suficiete para mater a estrutura de comprar um carro zero, pagar seus custos de mauteção o fial do primeiro ao de uso, pagar seus custos de mauteção o fial do segudo de uso e vedê-lo ao preço de mercado aquela oportuidade, para etão comprar ovamete um carro zero, pagar seus custos de mauteção por dois aos, vedê-lo pelos mesmos valores do fluxo iicial... E assim, sucessivamete, por quato tempo for ecessário. No caso B, com equivalete a -$6.004,68 tem-se diheiro suficiete para mater a estrutura de comprar um carro com um ao de uso, pagar seus custos de mauteção o fial do primeiro, segudo e terceiro ao de uso e vedê-lo ao preço de

36 29 mercado aquela oportuidade, para etão comprar ovamete um carro com 1 ao de uso e pagar seus custos de mauteção o fial do primeiro, segudo e terceiro ao de uso, vedê-lo pelos mesmos valores do fluxo iicial... E assim, sucessivamete, por quato tempo for ecessário. Como em ambas as alterativas existem possibilidade de ateder as ecessidades de trasporte do corpo de vedas e se, com a opção A, tem-se um custo de -$6.428,57 por ao, cotra um custo de -$6.004,68 por ao com a opção B, é evidete que a solução deverá recair sobre a opção B. EXEMPLO 2: Uma empresa de trasformação mieral tem efretado sérios problemas de produtividade e estudos desevolvidos pelos egeheiros da empresa evideciaram duas alterativas tecicamete viáveis para solucioar o problema. Discrimiação Opção A Opção B Ivestimeto Necessário Custo Operacioal Aual Custo Aual Mauteção Valor Residual do Projeto Vida Estimada $50.000,00 $13.000,00 $2.000,00 $25.000,00 10 aos $30.000,00 $18.800,00 $1.200,00 $15.000,00 10 aos Sedo a TMA para a empresa igual a 20% ao ao, deseja-se saber qual a alterativa mais coveiete. Solução: O diagrama de fluxo de caixa para a alterativa A e seu respectivo CAU são:

37 30 ( ) ( ) CAU = , , 00 P R , 00 S R OpçãoA 20% 20% CAU = , , 00 ( 0, 2385) , 00 ( 0, 0385) OpçãoA CAU = , 00 OpçãoA Para a alterativa B, tem-se: ( ) ( ) CAU = , , 00 P R , 00 S R OpçãoB 20% 20% CAU = , , 00 ( 0, 2385) , 00 ( 0, 0385) OpçãoB CAU = , 00 OpçãoB A alterativa A represeta meor CAU, portato, resulta a opção mais coveiete para a empresa. Se o processo de decisão existissem receitas icluídas as opções a serem estudadas, deve-se optar por aquela que levasse ao maior CAU positivo(se houvesse), caso cotrário, se todas as alterativas levassem a CAUs egativos, deve-se descartá-las e sair em busca de outras alterativas.

38 MÉTODO DO VALOR ATUAL (VA) OU VALOR PRESENTE LÍQUIDO (VPL) O método do VA, ou método do VPL, caracteriza-se, essecialmete, pela trasferêcia de todas as variações de caixa esperadas para o istate presete, descotadas à TMA, isto é, seria o trasporte para a data zero de um diagrama de fluxo de caixa de todos os recebimetos e desembolsos esperados, descotados à taxa de juros cosiderada. Assim, como já foi demostrado o método CAU, também pelo método do VA, pode-se obter como resultado da somatória desses fluxos um VA+ (positivo), um VA- (egativo) ou um VA ulo, evidetemete que, desde que se têm evolvidas o egócio receitas e despesas, etradas e saídas de caixa. Em termos de aálise, serão cosideradas iteressates as alterativas de ação cujos VAs sejam positivos ou ulos, sedo mais iteressates os de maior VA+. Isso porque esse valor positivo represetará a quatidade de diheiro que foi gaho, em diheiro de hoje, além da expectativa. Um VA- para um fluxo de caixa que teha receitas e despesas evolvidas, sigificará que aquele egócio possui uma remueração aquém da expectativa, ou aida, que aquele egócio paga aquela quatidade de diheiro, em diheiro de hoje, a meos do que se gostaria. Um VA ulo demostrará que aquele ivestimeto paga exatamete a TMA, portato, também poderá ser cosiderado iteressate. Se utilizarmos esse método para aalisar projetos que evolvam apeas custos, as alterativas de ação que os iteressarão serão aquelas que os levarão mais próximo de um custo zero. EXEMPLO 3: Uma empresa está pesado em abrir uma loja para veda direta de seus produtos aos cosumidores, e para esse fim existem duas oportuidades: abrir uma loja a rua ou uma loja o shoppig. Para isso, levatou as variáveis evolvidas com cada uma das opções que podem ser expressas coforme o quadro abaixo. Sedo a TMA da empresa de 5% ao mês qual a melhor alterativa.

39 32 Discrimiação Loja de Rua Loja de Shoppig Ivestimetos iiciais Tempo de utilização Valor residual e de mercado Receitas mesais Custos mesais $ ,000 5 aos $50.000,00 $35.000,00 $24.000,00 $ ,00 5 aos $ ,00 $50.000,00 $36.000,00 Solução: Os diagramas de fluxo de caixa para as duas alterativas são: Opção A Abrir Loja de Rua Opção B Abrir Loja de Shoppig

40 33 Agora serão deslocados todos os valores evolvidos o fluxo de caixa para a data zero, fazedo uso da TMA, isso sigifica, a prática, extrair dos valores que ão se ecotram a data zero os juros eles embutidos. Assim sedo, o VA das duas opções será: A = , ,00 ( ) ,00 ( ) VA R P S P 5% 5% VA = , , , 78 A VA = $19.101, 04 A B = , , 00 ( ) , 00 ( ) VA R P S P 5% 5% VA = , , , 61 B VA = + $1.969, 67 B Os resultados dos VAs obtidos de -$19.101,04 para a Loja de Rua e +$1.969,67 para a Loja de Shoppig represetam, a prática, que, embora se teha lucro com a loja de Rua, ela ão oferece aos ivestidores a remueração míima aceitável. Ela oferece um gaho de (-)$19.101,04 em diheiro de hoje, aquém da expectativa (o sial egativo sigifica que os custos suplataram as receitas em $19.101,04), ão sedo um ivestimeto iteressate. Já a loja de Shoppig, oferece uma remueração em diheiro de hoje, de (+)$1.969,67 além da expectativa (o sial positivo sigifica que as receitas suplataram os custos em $1.969,67), sedo um ivestimeto iteressate. Para o método do VA, a questão da homogeeidade das vidas úteis das diversas alterativas de ação deve ser tratada ates de iiciar a aálise, ou seja, deve-se fazer presete de maeira explícita. Para isso, será utilizada a Técica do MMC (Míimo Múltiplo Comum) e da Capitalização Ifiita.

41 34 A Técica do Míimo Múltiplo Comum (MMC) Para executar essa técica, deve-se ecotrar o MMC etre os tempos de vida das alterativas em questão e cosiderar a repetição do ivestimeto de maeira idêtica. EXEMPLO 4: Observado a situação do Exemplo 1 do Método CAU. Se fosse utilizado o método do VA, qual seria a melhor opção detre as duas alterativas? Solução: Uma das opções era a de se trabalhar com um carro por dois aos, equato a outra era a de comprar um carro com um ao de vida e trabalhar com ele por mais três aos ates de vedê-lo. Isso tora ambas as alterativas heterogêeas e, portato, ão comparáveis. A maeira de resolver o problema é através da técica do MMC. Portato, as opções deverão cobrir um tempo de vida comum de seis (06) aos (MMC de 2 e 3, ou seja, a opção A deverá se repetir de maeira idêtica por três vezes cosecutivas, equato a opção B deverá se repetir de maeira idêtica por duas vezes cosecutivas. Assim, tem-se: 1 2 ( ) ( ) ( ) ( S P) ( S P) ( S P) VA = , ,00 S P 7.600,00 S P 2.500,00 S P + A 10% 10% 10% 7.600, , ,00 10% 10% 10% VA = , , , , , , ,10 A VA = $27.998, 09 A 3

42 ( ) ( ) ( ) ( S P) ( S P) ( S P) VA = , , 00 S P , 00 S P 8.500, 00 S P + B 10% 10% 10% 2.800, , , 00 10% 10% 10% VA = $26.151,95 B 3 custo. Assim, deve-se optar pela alterativa B que proporcioa um meor VA de A Técica da Capitalização Ifiita A técica da Capitalização Ifiita parte dos mesmos pricípios da técica do MMC. Porém, em vez de limitar o tempo de repetição das vidas úteis ao MMC, admite-se que ela se repetirá ifiitas vezes. Para sua execução, deve-se: - Ecotrar o CAU de cada alterativa ao logo da vida útil; - Cosiderar que o CAU ecotrado será um R que se repetirá ifiitamete de maeira idêtica; - Trazer o R ecotrado para o presete a partir do fator ( R ) i. P

43 36 Quado o fator ( P R) i. Portato, quado o fator ( R P) tede ao ifiito, tede a ser igual a própria taxa tede ao ifiito, tede a ser igual a 1 sobre a taxa i, ou seja, 1/i. 1 = = i i i ( P R) i ( R P) EXEMPLO 5: Será utilizado o EXEMPLO 1, para resolver através da técica da Capitalização Ifiita. Determiada empresa deseja substituir a frota de veículos a serem utilizados para o trabalho de seus vededores. Para essa situação ficou defiido que o veículo mais apropriado seria um carro popular e que para o serviço que se prestaria poderia ser utilizado tato um veículo zero quilômetro como um com até cico aos de vida. Estudos prelimiares determiaram que os custos das mauteções auais, de acordo com o tempo de vida do veículo, a serem realizadas ao logo do ao e alocadas ao seu fial, seriam os expressos o quadro a seguir, bem como a cotação dos veículos, desde que em perfeito estado de coservação. A TMA da empresa é de 10% a.a. Fial do Cotação Custo mauteção 0 km $15.000, ao $12.500,00 $2.500,00 / ao 2 aos $10.200,00 $2.800,00 / ao 3 aos $8.500,00 $3.500,00 / ao 4 aos $7.000,00 $3.000,00 / ao 5 aos $6.200,00 $3.700,00 / ao Solução: Opção A Comprar um carro zero e trocá-lo a cada 2 aos

44 VAA = , 00 ( P R) 2.500, , 00 ( S R) ( R P) CAU 10% 10% 10% 1 VA A = ( 8.642, , , 29) 0,10 VA A = 6.428,57 0,10 VA = $64.285, 70 A Opção B Comprar um carro com 1 ao e trocá-lo a cada 3 aos ( ) ( ) 1 2 VA = {[ , ,00 S P 3.500,00 S P + B 10% 10% 3 3 ( ) ( ) ( ) 4.000,00 S P ] P R } R P 10% 10% 10% ( ) 3 1 VAB = {[ , , , , 26] P R } 10% 0,1 ( ) 3 1 VAB = [ , 76 P R ] 10% 0,1 VA B = 6.004, 68 0,1 VA = $60.046,80 B Foi ecotrado um VA de -$64.285,70 para a opção A, cotra um VA de - $60.046,80 para a opção B. Cosiderado-se que resultados egativos para o método do

45 38 VA idetificam os custos associados a cada alterativa, deve-se escolher a opção B, que proporcioa um meor VA MÉTODO DA TAXA DE RETORNO (TIR) O método da Taxa Itera de Retoro (TIR) é aquele que os permite ecotrar a remueração do ivestimeto em termos percetuais. Ecotrar a TIR de um ivestimeto é o mesmo que ecotrar o percetual exato de remueração que o ivestimeto oferece. Em termos práticos, é ecotrar a taxa de juros que permite igualar receitas e despesas a data zero, trasformado o valor atual do ivestimeto em zero. Portato, quado for calculada a TIR de determiado ivestimeto e/ou fiaciameto, está sedo extraído dele o percetual gaho que ele oferece ao ivestidor. Para efeito de aálise, deve-se comparar a TIR ecotrada com a TMA. Se a TIR for maior ou igual a TMA, o ivestimeto deve ser aceito, se for meor, deve ser recusado. No método TIR trata-se, implicitamete, da questão da homogeeidade das alterativas, o que diz respeito às suas vidas úteis, visto que a TIR ecotrada o 1 período de vida será sempre a mesma para os demais. EXEMPLO 6: Uma empresa está estudado a possibilidade de substituir parte de seu processo produtivo atual por um mais modero, que permitirá sua operação por um úico empregado, proporcioado uma ecoomia aual de mão-de-obra da ordem de $15.000,00. Para colocar o ovo processo em fucioameto deverá ser feita a aquisição de uma ova máquia o valor de $60.000,00, bem como de equipametos complemetares o valor de $25.000,00. Ambos os desembolsos serão feitos à vista, a data 0. Sedo a TMA da empresa de 15% ao ao, cosiderado-se que o processo poderá operar por 15 aos e que após esse período a máquia poderá ser vedida por $25.000,00, o ivestimeto deverá ser feito? Decidir pelo método da TIR. Solução:

46 39 = , ,00 ( ) ,00 ( ) VA R P S P i% i% Se submeter o fluxo a TMA pretedida pela empresa, de 15%, já será cohecido que o ivestimeto vale a pea, pois o VA obtido será positivo, ou seja: ( ) ( ) VA = , ,00 R P ,00 S P 15% 15% Para i = 15% VA = , , ,36 VA =+ $5.782,91 Para saber a TIR, deve-se ecotrar uma taxa de juros que, deslocado os valores do fluxo para a data 0, resulte em um VA = 0. Por exemplo, sabe-se que o ivestimeto paga mais de 15% ao ao será que sua remueração é maior que 20%? Para cofirmar, deve-se deslocar os valores para essa taxa: ( ) ( ) VA = , ,00 R P ,00 S P 20% 20% Para i = 20% VA = , , ,63 VA = $13.245,28

47 40 Assim, sabe-se que o ivestimeto paga mais de 15% ao ao e meos de 20% ao ao, portato, paga uma taxa etre 15% a 20% ao ao. Para ecotrar a TIR deve-se cotiuar testado taxas até ecotrar uma que iguale as receitas e despesas, ou utilizar a técica de iterpolação liear para ecotrar uma taxa de juros aproximada. O processo de iterpolação liear ada mais é que uma regra de três composta, ode: ( 0,15 0,20) 5.782,91 ( ,28) ( 0,15 TIR) 5.782,91 ( 0) 289, ,23 ( 0,05) ( 5.782,91) = ( 0,15 TIR) ( ,19) TIR = ,19 TIR = 0,1652 TIR = 16,52% Como a TIR TMA o ivestimeto deve ser aceito MÉTODO DA TAXA DE RETORNO INCREMENTAL (TRI) O método da Taxa de Retoro Icremetal (TRI) é uma variate da TIR e deve ser usado sempre que forem comparadas alterativas de ação que possuam ivestimetos iiciais diferetes, ode estas alterativas serão cosideradas heterogêeas. A TRI é a TIR referete ao acréscimo da receita de um ivestimeto em relação ao outro, cosiderado-se para isso o ivestimeto icremetal para obtê-la. Para trabalhar com a TRI deve-se: 1 ) Ordear de maeira crescete, em fução dos ivestimetos iiciais, todas as alterativas de ação existetes; 2 ) Se a TIR ecotrada for maior ou igual a TMA, aceitar o ivestimeto e aalisar a possibilidade de se fazer a mudaça desse ivestimeto para o seguite a ordem crescete, aalisado-se a mudaça em fução do icremeto de ivestimeto ecessário à sua implatação e do icremeto de receita que possibilitará a mudaça, ou seja, calcular a TRI. 3 ) Calcular a TRI e comparar com a TMA. Se a TRI < TMA, rejeitar a mudaça e aalisar a possibilidade da mudaça desta opção para a alterativa seguite.

48 41 Se a TRI TMA, aceitar a mudaça e aalisar a possibilidade de ação seguite. E assim sucessivamete, até que se esgotem as alterativas de ação. EXEMPLO 7: Certa empresa está estudado a possibilidade de adquirir um detre os três processos a seguir, que lhe foram oferecidos. Por meio do Método da Taxa de Retoro, cosiderado-se: uma TMA de 6% ao ao e um horizote de tempo para aálise perpétuo ecotre a melhor alterativa. Ites Processo A Processo B Processo C Ivestimeto iicial $ ,00 $ ,00 $ ,00 Receitas líquidas $13.800,00 $18.000,00 $11.200,00 Vida útil Ifiita Ifiita Ifiita Solução: Como os ivestimetos iiciais são diferetes, para compará-los deve-se, obrigatoriamete, utilizar a TRI. Por ordem crescete de ivestimeto iicial: C, A e B, tem-se: Processo C ( ) VA = , ,00 R P TIR TIR TIR C C C ,00 = ,00 = 0,112 = 11,2% i

49 42 Cosiderado-se que foi defiida pela empresa uma TMA de 6% ao ao e que o ivestimeto C paga 11,2% ao ao, o ivestimeto deve ser aceito, passado-se a aalisar as demais alterativas pela TRI. Assim, tem-se: C A A mudaça do ivestimeto C para o ivestimeto A pressupõe que se deve ivestir um icremeto de $30.000,00 ($ ,00 $ ,00) para que seja possível receber $2.600,00 a mais por ao durate ifiitos períodos. Portato, a TRI de C A será a TIR dos icremetos: C A

50 43 ( ) VA = , , 00 R P TIR C A = 2.600, , 00 i TRI TRI C A C A = 0, = 8, 667% Como foi obtido uma TRI de C A de 8,667% a.a., cotra uma TMA de 6% a.a., o ivestimeto iteressa. Agora, a aálise da possibilidade de mudaça de A B. A mudaça de ivestimeto de A B pressupõe que deve-se ivestir um icremeto de $70.000,00 ($ ,00 - $ ,00) para que se possa receber a mais $4.200,00 por ao durate ifiitos períodos. Portato, a TRI de A B será a TIR dos icremetos: A B A B A B A B ( ) VA = , , 00 R P TIR TRI TRI = = 4.200, ,00 0,06 = 6% i

51 44 Como a TRI ecotrada é de 6% a.a., exatamete igual a TMA, a mudaça deve ser feita, pois, pelos cálculos, ficou demostrada que a melhor alterativa é a B. Depois de apresetados os coceitos teóricos, de acordo com o ambiete perfeito que foi proposto, será trabalhado, agora, em um ambiete de aálise mais elaborado e mais codizete com o ceário admiistrativo ecotrado as empresas. Será iiciado com a ifluêcia do Imposto de Reda (IR) a aálise de ivestimetos e logo adiate estudar o efeito da iflação O EFEITO DO IMPOSTO DE RENDA (IR) Se uma empresa estiver sujeita a determiada alíquota de IR, será admitido que os impostos devidos ao Estado deverão estar icluídos o próprio egócio aalisado, ou seja, seria como se fosse assumido que a TMA se refere a uma expectativa de gaho míimo após o IR, já que foi defiida que uma TMA devem estar todas as pequeas difereças que cercam um determiado ceário admiistrativo que deu origem a ela. É importate ressaltar que se a aálise ivestimetos ão for levado em cosideração o efeito do IR, é possível que ocorra a aprovação de ivestimetos ruis, ou até, rejeição dos que seriam bos. Para a aálise de ivestimetos que sofram a ifluêcia do IR será utilizada uma metodologia. Ela cosiste a motagem de um fluxo de caixa, separado do origial, e que será idetificada como fluxo cotábil. Nesse fluxo será registrada a ifluêcia do IR sobre o ivestimeto aalisado. Na metodologia que será utilizada ao fluxo cotábil, que estarão registrados os ecaixes (etradas) e desecaixes (saídas) de impostos, será adicioado o fluxo origial, que será deomiado de fluxo ecoômico. Este fluxo apreseta os valores de etrada e saídas de caixa proveietes do projeto a ser aalisado. A soma de ambos os fluxos irá gerar um ovo fluxo que será deomiado de fluxo completo. Neste fluxo é que será feita a aálise. Assim, para fazer-se a aálise após o IR, deve-se: 1) Motar o fluxo ecoômico; 2) Motar o fluxo cotábil;

52 45 3) Motar o fluxo completo. Será utilizado o EXEMPLO 6, para demostrar a ifluêcia do IR a aálise de ivestimetos. EXEMPLO 8: Uma empresa está estudado a possibilidade de substituir parte de seu processo produtivo atual por um mais modero, que permitirá sua operação por um úico empregado, proporcioado uma ecoomia aual de mão-de-obra da ordem de $15.000,00. Pra colocar o ovo processo em fucioameto deverá ser feita a aquisição de uma ova máquia o valor de $60.000,00, bem como de equipametos complemetares o valor de $25.000,00. Ambos os desembolsos serão feitos à vista, a data 0. Sedo a TMA da empresa de 15% ao ao, cosiderado-se que o processo poderá operar por 15 aos e que após esse período a máquia poderá ser vedida por $25.000,00, o ivestimeto deverá ser feito? Decidir pelo método da TIR. Solução: Iicialmete, motar-se-á o fluxo ecoômico, que será exatamete o mesmo motado para a solução de exemplo 6. Assim, tem-se: FLUXO ECONÔMICO

53 46 FLUXO CONTÁBIL O processo para obter o fluxo cotábil foi o seguite: 1) Pagameto de IR proveiete da ecoomia de mão-de-obra: se assumir que o ovo processo irá gerar ecoomia de mão-de-obra e cosiderar-se que as receitas ão irão se alterar em fução do ovo processo, a difereça etre os custos ateriores e os ovos custos reduzidos em $15.000,00 gerará um aumeto o lucro a mesma proporção, portato, deve-se recolher o IR correspodete ao ovo lucro, ou seja, $15.000,00 x (0,35) = $5.250,00/ao. 2) Ecoomia de IR proveiete da depreciação do ovo processo: se assumir que o ovo processo é formado por equipametos que motam a $85.000,00 e serão depreciados ao logo da vida útil de 15 aos, e cosiderado-se que após esse prazo eles poderão ser vedidos por $25.000,00, poder-se-ia assumir pelo meos duas opções: - 1ª Opção: a que se utilizou a motagem do exemplo, cosiderou que se resguardaria uma parte da depreciação do bem ($25.000,00) a título de valor residual para o mometo da veda e, coseqüetemete, se depreciaria a difereça etre o valor do bem e o valor residual ao logo da vida útil gerado, o caso, uma depreciação de $4.000,00 por ao, ou seja, $85.000,00 - $25.000,00 = $60.000,00/15 = $4.000,00 por ao. - 2ª Opção: em vez de optar-se por depreciar apeas o valor de $60.000,00, coforme feito a 1ª opção, ter-se depreciado itegralmete o valor do bem o total de $85.000,00. Isso proporcioaria uma depreciação liear de $5.666,67 por ao ($85.000,00/15) e um ecaixe de IR de $5.666,67 x (0,35) = $1.983,33 para um valor

54 47 residual ulo. Neste caso, ao veder-se o equipameto por $25.000,00 e assumir-se um valor residual ulo, ter-se-ia um desecaixe de IR referete ao lucro a veda de ativo, calculado em fução da alíquota a que a empresa estiver sujeita, ou seja: (Valor Residual = 0) (Valor de Mercado de $25.000,00) = $25.000,00 de lucro a Veda de Ativo Desecaixe de IR = $25.000,00 x (035) = $8.750,00. Portado, o fluxo cotábil tem-se aualmete em ecaixe de IR de $5.666,67, referete à depreciação, e um desecaixe de IR de $8.750,00 ao fial da vida útil. Somado-se os dois fluxos tem-se o fluxo completo: FLUXO ECONÔMICO FLUXO CONTÁBIL

55 48 FLUXO COMPLETO Cálculo dos $11.150,00 = ,00 (fluxo ecoômico) ,00 (fluxo cotábil) 5.250,00 (fluxo cotábil). Calculado-se a TIR para a 1ª opção, tem-se: ( ) ( VA = , , 00 R P , 00 S P TIR = 11, 0789% i ) i Portato, para a 1ª opção, a TIR é de 11,0789% a.a. Para a aálise da 2ª opção o que modificará é o relacioameto da empresa com o Fisco, gerado com isso diferetes ecaixes e desecaixes de IR e, coseqüetemete, uma ova expectativa de gaho, uma ova TIR para o projeto. Ou seja: FLUXO ECONÔMICO

56 49 FLUXO CONTÁBIL FLUXO COMPLETO Calculado-se a TIR para a 2ª opção, tem-se: ( ) ( VA = , ,33 R P , 00 S P TIR = 11,5553% i ) i A TIR do ivestimeto passou de 11,0789% a.a. (TIR da 1ª opção) para 11,5553% a.a. (TIR da 2ª opção). Assumido-se uma ou outra posição, o que se deve fazer para aceitar ou ão o ivestimeto é comparar a TIR com a TMA da empresa. Pode-se cocluir que, como a TIR é meor que a TMA, o ivestimeto proposto ão

57 50 atige o gaho míimo ecessário, portato, ão iteressa para a empresa e deverá ser descartado. Existem várias situações específicas em que deve ser utilizada a aálise após o IR. As mais comus são classificadas como decisões de: - Ivestimetos de substituição; - Ivestimetos de expasão; - Ivestimetos de moderização ou iovação; INVESTIMENTOS DE SUBSTITUIÇÃO Os ivestimetos de substituição são os mais freqüetes, levam em cosideração a substituição de um equipameto ovo por um evelhecido. Um caso típico de substituição foi o aalisado o Exemplo 8, em que foi proposta a substituição do equipameto atual em busca de um ovo que trouxesse uma dimiuição dos custos de mão-de-obra. EXEMPLO 9: Uma empresa adquiriu dois aos atrás um equipameto por $ ,00. O objetivo era utilizá-lo por um período de 10 aos. Mas o resultado ão estava sedo o esperado. Sedo assim, deverá ser feita a substituição desse por um mais modero que poderá se adaptar melhor ao processo ou mater o equipameto atual em uso, apesar de ão estar sedo alcaçado o resultado esperado. A TMA da empresa é de 10% a.a. e está sujeita à uma alíquota de 35% do IR sobre o lucro. Para mater o equipameto atual deverá ser feita uma revisão geral o seu 5 ao de vida. Isso acarretará, além dos custos auais ormais do processo, um custo extra de $60.000,00. Esta prevista uma depreciação liear em 10 aos com valor residual 0. A empresa poderá, ao fial desse período, obter o mercado um valor de reveda de $ ,00 para a máquia atual. O custo de peças trocadas o equipameto é de $30.000,00 por ao, além dos custos operacioais e de mauteção (cerca de $2.500,00 por mês). Outros custos perfazem hoje cerca de $2.500,00 mesais.

58 51 Se a empresa adquirir o ovo equipameto, o total de $ ,00, poderá colocar o egócio o equipameto atual como parte do pagameto, recebedo por ele, a troca, $ ,00, permaecedo como saldo uma difereça a ser paga o ato. Este ovo processo também deverá ser depreciado liearmete ao logo de 10 aos, possuido um valor residual e de mercado ao fial da vida útil de $ ,00. Os custos auais de mauteção e operação deverão cair com a ova máquia para $2.000,00 por mês. Quato aos outros custos idiretos, também terão uma redução de $500,00 mesais, perfazedo um total de $2.000,00 por mês. Para o ovo equipameto, poderá ser feito um seguro de garatia itegral estedida que custará $20.000,00 por ao. Etretato, se ao logo dos 10 aos for ecessária qualquer revisão geral, esta correrá por cota do forecedor. Depois da aálise dos dados a empresa deverá cotiuar com a permaêcia do equipameto atual, comprado há dois aos por $ ,00 e em fucioameto, ou ele deve ser substituído pelo ovo equipameto proposto? Solução: Deve-se solucioar primeiro a questão da periodicidade: Taxa aual de 10% i ( ) 1 12 mesal = 1,10 1 i = 0, 7974% ao mês. mesal Equipameto Atual Custos Mesais = $5.000,00 Auais = ( R S) ,00 = $62.702,63 0,7974 Observações: para efeito de IR, tem-se: $5.000,00 x (12) = $60.000,00/ao. Equipameto Novo Custos Mesais = $4.000,00 Auais = ( R S) ,00 = $50.162,11 0,7974 Observações: para efeito de IR, tem-se: $4.000,00 x (12) = $48.000,00/ao. Tem-se: - os demais custos são auais;

59 52 - o horizote de plaejameto a ser cosiderado será de 10 aos; - a primeira opção a ser aalisada será mater o equipameto atual; - a seguda opção será substituir o equipameto atual por um ovo. Mater o equipameto atual Fluxo Ecoômico Fluxo Cotábil (1) Ecoomia de IR proveiete da depreciação do equipameto pelos próximos oito aos: ,00/10 = ,00/ao x (0,35) = $35.000,00. (2) Ecoomia de IR proveiete de custos diversos: ,00 x (0,35) = $31.000,00.

60 53 (3) Ecoomia de IR proveiete da revisão geral do processo o 5 ao de vida. O processo atual está com dois aos de uso ,00 x (0,35) = $21.000,00. (4) Pagameto de IR proveiete da veda de ativo com lucro, visto que o 10 ao de uso ele já estará totalmete depreciado, portato, ao fial do 10 ao, a partir de hoje, já estará com 12 aos de uso, logo, com Valor Residual = 0. Valor de mercado: ,00 Lucro = ,00 x (0,35) = $52.500,00. Fluxo Completo ( S P) 8 3 ( ) ( ) ( ) VA = ,63 R P ,00 S P ,63 S P + Usado ,37 VA VA Usado Usado 10 10% 10% 10% 10% = 139,789, , , ,21 = $ ,06 9 Substituir o equipameto atual pelo ovo Fluxo Ecoômico

61 54 Fluxo Cotábil (1) Ecoomia de IR proveiete da Veda de Ativo com prejuízo, visto que hoje, em seu 2 ao de uso, o equipameto atual foi depreciado e $ ,00/ao, possuido um Valor Residual de , ,00 = $ ,00 e um Valor de mercado de $ ,00 Prejuízo = ,00 x (0,35) = $ ,00. (2) Ecoomia de IR proveiete da depreciação do equipameto ao logo da vida útil para um valor residual de $ ,00 ao fial da vida útil, ode: ( , ,00) / 10 = ,00/ao x (0,35) = $35.000,00. (3) Ecoomia de IR proveiete de custos diversos, ode ,00 x (0,35) = $21.000,00. Fluxo Completo

62 55 ( ) ( ) VA = , ,11 R P ,00 S P VA VA Novo Novo Novo = , , ,33 = $ ,71 10% 10% Cosiderado-se os cálculos acima, com um VA Usado de -$ ,06 cotra um VA Novo de -$ ,71, pode-se cocluir que mater o equipameto atual em uso é para a empresa, este mometo, mais vatajoso e deve ser a alterativa escolhida INVESTIMENTOS DE EXPANSÃO Aqui estarão os ivestimetos que permitirão aos admiistradores fazer frete ao desevolvimeto do segmeto de mercado em que atuam, seja em fução de um cosumo crescete de seus produtos, seja em fução da ecessidade da adição de ovos produtos ou serviços já existetes. Nestes casos, é a atividade em si que está em discussão. Trata-se de saber se é retável desevolvê-la ou ão. Estarão presetes situações associadas com a expasão das istalações atuais, a criação de ovas istalações, a terceirização de atividades, a criação de ovos turos de trabalho, ou até mesmo, a decisão etre mater ou tirar um determiado produto ou serviço de liha. Os problemas em que ão ocorrerá substituição de equipametos são exemplos típicos associados a ivestimetos de expasão. O que está em discussão é saber quado é mais ecoômico tirar um produto ou serviço de liha. EXEMPLO 10: Certa empresa possui um produto já tradicioal o mercado com 16 aos de vida e, para sua elaboração, adquiriu há 6 aos um ovo equipameto por $ ,00 que tem dado o retoro esperado em termos de desempeho técico. Etretato, a empresa percebeu que os últimos aos o mercado ão tem respodido como atigamete em termos de demada pelo produto. A empresa deve decidir se

63 56 matém ou ão o produto o mercado e até quado. Para dar embasameto à decisão, foi feito um levatameto dos dados históricos, chegado-se a uma estimativa de retoro, custos operacioais e valor de mercado para o equipameto em atividade que possui 6 aos de uso e cuja vida restate prevista é de mais 4 aos. Sedo a TMA da empresa de 10% ao ao, a alíquota do IR de 35% e a depreciação liear para 10 aos com valor residual 0 ao fial do período, deve-se mater a liha em fucioameto até o fial da vida útil? Ou, aida, até quado se deve matê-la? Ao Retoro esperado Custos operacioais esperados Valor de mercado do equipameto o fim do ao , , , , , , , , , , , , ,00 Solução: Será usado o método do VA para verificar qual das alterativas é a melhor, sedo que, pode-se utilizar qualquer dos métodos clássicos que sempre coduzirão à mesma opção ecoomicamete mais iteressate. A) Veder agora (com 6 aos de uso): Valor de mercado = ,00 Valor residual = ,00 ( , ,00) Prejuízo a veda de ativo = ,00 Ecaixe de IR = ,00 x (0,35) = ,00 VA A A = , , 00 VA =+ $ , 00

64 57 B) Veder com 7 aos de uso: Fluxo Ecoômico Fluxo Cotábil Os valores obtidos o fluxo cotábil refletem os ecaixes e desecaixes proveietes desta ova decisão: ,00 x (0,35) = , ,00 x (0,35) = ,00 Valor Residual ,00 Valor de mercado ,00 = Prejuízo a veda de ativo ,00 x (0,35) = ,00.

65 58 Fluxo Completo ( ) 1 10% VA = , 00 S P VA B B =+ $ , 70 C) Veder com 8 aos de uso: Fluxo Ecoômico Fluxo Cotábil

66 59 Fluxo Completo ( ) ( ) 1 2 VA = , 00 S P , 00 S P VA C C =+ $ ,14 10% 10% D) Veder com 9 aos de uso: Fluxo Ecoômico Fluxo Cotábil

67 60 Fluxo Completo 1 2 ( ) ( ) ( ) 3 10% 10% 10% VA = , 00 S P , 00 S P , 00 S P VA D D =+ $ , 76 E) Veder com 10 aos de uso: Fluxo Ecoômico Fluxo Cotábil Fluxo Completo

68 VA = , 00 ( S P) , 00 ( S P) , 00 ( S P) 3 + E ( S P) , 00 VA E =+ $ , % 10% 10% 10% Cosiderado-se os cálculos acima, tem-se que a melhor alterativa é a C, veder com 8 aos de uso, pois possui o maior VA, VA C = + $ , INVESTIMENTOS DE MODERNIZAÇÃO Esses ivestimetos assemelham-se muito aos ivestimetos de substituição, porque equato os de substituição se preocupam com a troca de um equipameto velho por um ovo, os de moderização ou iovação estão associados a tetativas de baixar custos, de melhorar o desempeho dos produtos existetes os seus mais diversos aspectos, ou de ivestimetos associados a elaboração e laçameto de ovos produtos. EXEMPLO 11: Um equipameto adquirido há sete aos tem o seguite histórico de custos: Ao Operação Perdas devidas a iterrupções 1 $20.000,00 $3.000,00 2 $20.000,00 $3.000,00 3 $20.000,00 $3.000,00 4 $30.000,00 $5.000,00 5 $40.000,00 $7.000,00 6 $50.000,00 $9.000,00 7 $60.000,00 $11.000,00 Se o equipameto cotiuar em fucioameto, estima-se, que durate o seu 8 ao de uso os custos operacioais serão de $70.000,00 e as perdas por iterrupções o processo atigirão $13.000,00. As estimativas apotam que para o 9 ao de atividade podem-se esperar custos operacioais de $80.000,00 cotra perdas de $15.000,00 e, permaecedo o equipameto em uso por mais 3 aos, os custos atigirão $90.000,00 e $17.000,00, respectivamete, para operações e perdas.

69 62 O valor de mercado atual do equipameto é de $ ,00 que se reduzirá para $70.000,00 detro de 1 ao, para $20.000,00 em 2 aos e deverá ser sucateado ao fial do 10 ao, pagado-se $2.000,00 para sua remoção. Existe a possibilidade de substituir essa máquia por uma ova, automática e com cotroles eletrôicos, cujo custo é de $ ,00. A ova máquia deverá elimiar completamete as iterrupções e seus respectivos custos e, aida, reduzirá os custos de operações pra $40.000,00 por ao, ão devedo alterar-se os próximos 5 aos, que será seu tempo de vida útil. Nesse período, ela será depreciada liearmete para um valor residual de $ ,00 quado etão, poderá ser vedida a esse preço. Supodo que o ovo equipameto (opção B) será reovado idefiidamete com o mesmo fluxo de caixa ao fial de cada ciclo de vida útil (capitalização ifiita) e que equipameto atual (opção A), adquirido por $ ,00, tem como expectativa a depreciação liear em 10 aos sem valor residual, qual a melhor alterativa: trocar o equipameto atual já, ou matê-lo em uso por um, dois ou três aos? A TMA da empresa é de 15% ao ao e está sujeita à uma alíquota de IR de 30%. Solução: Como o fluxo de caixa da opção B se repetirá de maeira idêtica ifiitas vezes, basta calcular o seu CAU ao logo da primeira vida útil (5 aos). CAU Opção B Fluxo Ecoômico

70 63 Fluxo Cotábil Fluxo Completo ( ) ( ) 5 5 CAU = , 00 P R , , 00 S R CAU = $ , 77 15% 15% Agora, será aalisada a substituição de equipameto atual. O problema será resolvido cosiderado apeas o que ocorre o período de 3 aos (3 aos de vida restates do equipameto velho). Será utilizado o valor do CAU da opção B para equiparar as vidas úteis. Trocar o atual pelo ovo já:

71 64 (1) Valor residual ou cotábil $ ,00 / 10 = $20.000,00 de depreciação por ao restam ser depreciados 4 aos (7 ao 10 ), portato: , ,00 x (4) = ,00 de lucro a veda de ativo, com IR a pagar de ,00 x (0,30) = $6.000,00. ( ) 3 15% VA = , , 77 R P VA = $ , 69 Trocar o atual detro de 1 ao pelo ovo: (2) Valor residual ou cotábil ,00 / 10 = ,00 de depreciação por ao restam ser depreciados 3 aos (8 ao 10 ), portato: , ,00 x (3) = $10.000,00 de lucro a veda de ativo, com IR a pagar de ,00 x (0,30) = $3.000,00. (3) ,00 (custos) ,00 (iterrupções) = ,00 x (0,70) = $58.100,00. ( ) ( ) 1 2 VA = 8.900, 00 S P , 77 R P VA = $ , 45 15% 15% Trocar o atual detro de 2 aos pelo ovo:

72 65 (4) Valor residual ou cotábil ,00 x (2) = $40.000,00 - $20.000,00 (Valor de Mercado) = $20.000,00 de prejuízo a veda de ativo, com ecoomia de IR de ,00 x (0,30) = 6.000,00 (ecoomia de IR) ,00 (Valor veda) = $26.000,00. (5) ,00 (custos) ,00 (iterrupções) = ,00 x (0,70) = $66.500, ( ) ( ) ( ) VA= , 00 S P , 00 S P , 77 S P VA = $ ,92 15% 15% 15% 2 Trocar o atual detro de 3 aos pelo ovo: (6) Valor residual ou cotábil ,00 (depreciação do 10 ao) 0,00 (valor de mercado) = $20.000,00 de prejuízo a veda de ativo, com ecoomia de IR de ,00 x (0,30) = $6.000,00. Portato: ,00 (custos operacioais) ,00 (iterrupções) ,00 (remoção) = ,00 x (0,70) = , ,00 (ecoomia de IR por prejuízo a veda de ativo) = $70.300, ( ) ( ) ( ) VA= , 00 S P , 00 S P , 77 S P VA = $147, 028, 68 15% 15% 15% 2 Dos cálculos acima, tem-se: - CAU do equipameto ovo = -$ ,77; - trocar o atual pelo ovo já = -$ ,69; - trocar o atual detro de 1 ao = -$ ,45;

73 66 - trocar o atual detro de 2 aos = -$ ,92; - trocar o atual detro de 3 aos = -$ ,68. Assim sedo, a melhor opção é a de trocar o equipameto atual detro de 3 aos, pois possui o meor VA egativo LEASING A prática do leasig, como é cohecida os dias de hoje, teve sua origem a atiguidade. Segudo Motta e Calôba (2002, pg 224), leasig é uma operação realizada mediate cotrato, a qual o doo do bem (arredador) cocede a outro (arredatário) sua utilização por prazo determiado. No leasig o arredador etrega o bem ao arredatário e passa a receber uma série de pagametos periódicos, coforme estipulado o cotrato de leasig. Ao térmio do cotrato, o arredatário poderá exercer uma opção de compra, adquirido o bem por um valor residual fixado em cotrato ou devolvê-lo ao arredador. Existem hoje o mercado dois tipos pricipais de cotrato de leasig: - Leasig operacioal; - Leasig fiaceiro. Tato a operação de leasig operacioal quato a de leasig fiaceiro são regulametadas pelo Baco Cetral do Brasil. Leasig operacioal É a operação realizada diretamete etre o fabricate de um bem e seus usuários (arredatários). O leasig operacioal, a maioria das situações, é feito para arredar equipametos de alta tecologia. Os cotratos são de dois a cico aos, podedo ser rescidíveis a qualquer mometo, tedo o arredatário a opção de compra ao fial do cotrato.

74 67 arredatário. A resposabilidade pela mauteção do equipameto ou bem é do Leasig fiaceiro Três elemetos compõem uma operação de leasig fiaceiro: - Forecedor: que tem como objetivo veder seu produto; - Arredador: que lucra com taxas de juros das parcelas; - Arredatário: que evita desembolsar grades quatias para comprar o bem. Fiaceiramete, essa operação aproxima-se de um empréstimo que possui como garatia o ativo cotratado, o qual é amortizado por meio de parcelas ao logo de um período que correspode a vida útil do ativo. Durate o cotrato, o bem pertece ao fiaciador ou ao arredador e ão ao arredatário. Como o leasig operacioal, as despesas ficam por cota do arredatário, porém ão é possível rescidir o cotrato. Ao térmio do cotrato, o arredatário pode comprar o bem pelo valor residual previamete cotratado, reovar o cotrato ou devolver o bem ao arredador. Vatages e desvatages do leasig Vatages do leasig: 1) Para o arredador (a): - seguraça: o caso de iadimplêcia do arredatário, o arredador pode recuperar o bem legalmete com muito mais facilidade; - até o fim do prazo cotratual, o arredatário fica cotratualmete obrigado a cotiuar pagado pelos bes arredados, mesmo que ão ecessite mais deles. 2) Beefícios fiscais para o arredatário (a):

75 68 - total dedutibilidade fiscal das cotraprestações: podem ser deduzidas do valor tributável. Essa vatagem só ocorre se as empresas forem lucrativas; em caso de prejuízo, ão há IR, e assim, ão se obtém vatagem alguma; - depreciação acelerada: mediate cotrato, o beeficio relativo a depreciação do bem pode ser trasferido ao arredatário, que lhe cofere vatages fiscais; - ídices de edividameto/liquidez: ão são afetados pelo leasig, em caso de este ão ser icluído o balaço patrimoial. 3) beefícios operacioais para o arredatário: - iclusão de despesas o cotrato de leasig, tais como istalações, impostos, custos com fretes, etc; - há a possibilidade de que, o decorrer do cotrato, os equipametos sejam substituídos por outros mais moderos; - o leasig é mais trasparete que o aluguel; - a ausêcia de mobilização: as despesas de admiistração do bem como ativo imobilizado ão existem. 4) vatages de ordem fiaceira/ecoômica para o arredatário: - fiaciameto total do bem; - liberação do capital de giro: o arredatário geralmete executa pagametos mesais, ocorredo desembolsos correspodetes a apeas uma fração do preço do equipameto, o que é iteressate para mater o ível do caixa da empresa, ou seja, há maior capital de giro; - prazos mais logos; - taxa juros mais atraetes. Desvatages do leasig: Em algus casos, o leasig ão alcaça os objetivos da empresa arredatária. Por exemplo: - perda de garatias: o bem ão pode ser utilizado pelo arredatário como garatia de obteção de outros empréstimos ou fiaciametos, pois o bem ão o pertece;

76 69 - impossibilidade de melhorias: a empresa arredatária fica impedida de realizar melhorias o bem sem ter a aprovação do arredador; - dedutibilidade fiscal das cotraprestações; - risco de ociosidade: mesmo que haja ociosidade do equipameto arredado e o arredatário ão possua mais iteresse ele, o bem ão poderá ser devolvido ao arredador. EXEMPLO 12: Determiada empresa está estudado as alterativas etre a compra e o leasig de uma frota de 10 carros. O valor de cada carro é de $20.000,00 à vista, um total de $ ,00. O baco se propõe a fazer um leasig desse equipameto em 36 meses, com valor residual simbólico, a um coeficiete de 4,35. O valor de mercado para veda desse tipo de carro após 36 meses será de $5.000,00 cada um, perfazedo $50.000,00. Sedo a TMA da empresa de 10% ao ao e que esta está sujeita a uma alíquota de IR de 35%, qual será a melhor alterativa: a compra ou e leasig dos automóveis? Solução: Para a solução será usado um horizote de 3 aos (36 meses) e as despesas operacioais serão idêticas em ambas as alterativas, portato, ão serão relevates. Alterativa de Compra Fluxo Ecoômico

77 70 Fluxo Cotábil (a) Ecoomia de IR por depreciação em 5 aos: ( ,00 / 5) x (0,35) = $14.000,00. (b) Ecoomia de IR por veda de ativo com prejuízo: Valor residual = ,00; Valor de Mercado = , ,00 x (0,35) = $10.500,00. Fluxo Completo Será utilizado o cálculo do CAU mesal para se comparar com a parcela de leasig. Para isso, a taxa de juros mesal será:( 1,10) = 0, 7974%. ( S R) 36 0,7974% ( ) ( ) CAU = ,00 P R ,00 S R Compra ,00 CAU CAU Compra Compra = 6.413, , ,52 = $3.839,13 0,7974% 0,7974% +

78 71 Alterativa de leasig Fluxo Ecoômico Fluxo Cotábil (a) Ecoomia de IR por pagameto de parcelas de leasig: 8.700,00 x (12) x (0,35) = $36.540,00. (b) Pagameto de IR por veda de ativo com lucro: Valor residual simbólico Valor de Mercado (50.000,00) = ,00 x (0,35) = $17.500,00. Fluxo Completo

79 72 ( ) ( ) CAU = 8.700, , 00 S R , 00 S R CAU CAU Leasi g 0,7974% 0,7974% Leasi g Leasi g = 8.700, , ,96 = $4.999, 29 Portato, pelos cálculos acima, a melhor alterativa é comprar à vista, pois possui o meor CAU egativo (-$3.839,13). 3.5 A INFLUÊNCIA DA INFLAÇÃO Existem ecoomias, como a do Brasil, em que o efeito da iflação pode descaracterizar totalmete a aálise de ivestimetos. Algus coceitos importates - Iflação: ocorre quado se observa um aumeto cotíuo dos preços; - Deflação: ocorre se costata uma queda cotíua dos preços; - Desiflação: ocorre quado se observa que os preços estão subido, mas um ritmo cada vez mais leto; Uma empresa diate da iflação pode ter, pelo meos, três situações de comportameto: - a empresa cosegue acompahar, com o aumeto dos preços de veda, a desvalorização do diheiro; - a empresa ão cosegue aumetar seus preços a mesma proporção em que são aumetados seus custos; - a empresa cosegue aumetar seus preços mais que proporcioalmete à iflação de seus custos. É importate que se coheça a iflação itera da empresa, o que se pode ser feito mediate a mesuração de sua cesta de isumos, de um período em relação ao período aterior, utilizado-se da seguite fórmula:

80 73 período 1; d = ( I I ) 2 1 I 1 Ode: d = ídice de iflação itera da empresa do período 2 em relação ao I 2 = ídice de preços da empresa o mometo 2; I 1 = ídice de preços da empresa o mometo 1. Para se ecotrar o ídice de desvalorização do poder aquisitivo da empresa utiliza-se seguite cálculo: D = ( I I ) 2 1 I 2 período 1; Ode: D = ídice de desvalorização itera da empresa do período 2 em relação ao I 2 = ídice de preços da empresa o mometo 2; I 1 = ídice de preços da empresa o mometo 1. EXEMPLO 13: Sedo d o ídice de iflação do período, deseja-se saber qual a medida da iflação itera e da desvalorização itera de uma cesta de isumos que custava $1.500,00 o período 2, cotra $1.100,00 o período 1? Solução: ( 1.500, , 00) d = 1.100, 00 d = 0,36 d = 36%

81 74 ( 1.500, , 00) D = 1.500, 00 D = 0, 26 D = 26% Portato, a iflação itera da empresa (d) o período foi de 36% equato o ídice de desvalorização do poder aquisitivo da empresa foi de 26%. Uma das tarefas fudametais para se comparar ivestimetos em ambietes iflacioários é a defiição de modelos de iflação coeretes com as ecessidades daquela situação específica. Para isto, basta que: - idetifique-se ou crie-se um ídice de iflação codizete com as ecessidades da empresa aalisada; - faça-se a devida limpeza do efeito da iflação sobre o fluxo a ser aalisado pelo ídice criado o item acima, trasformado os valores ali expressos em moeda correte de uma úica base moetária. - uma vez que o fluxo se ecotre livre do efeito da iflação, procede-se à aálise ormalmete, por meio de qualquer um dos métodos clássicos vistos até aqui. Quado se afirma que, para um ídice de iflação média de 10% ao ao, precisa-se de pouco mais de sete aos para que 100% do capital iicialmete ivestido fosse cosumido pela iflação, utiliza-se para demostrar o seguite cálculo: Iflação de 7 aos =( 1,10) 1 = 0, ,87%. 7 Para esse cálculo, foi utilizada, essecialmete, a fórmula fudametal para trasformação da taxa de juros compostos, ou seja: I ( i) = 1+ 1 Ode: i = taxa de juros do período meor; I = taxa de juros do período maior; = úmero de vezes que o período meor cabe detro do período maior.

82 75 iflação acumulada: Assim, substituido-se a taxa de juros pela taxa de iflação, obtém-se a dacumulada ( d) = 1+ 1 Leva-se a cocluir, etão, que a taxa de iflação média se comporta essecialmete como a fórmula de juros compostos. EXEMPLO 14: Se um produto custar hoje $150,00 e se a empresa que o comercializa estiver sujeita a uma taxa de iflação de 20% ao ao, por quato tempo ele deverá ser vedido, após 1 ao, para que a empresa acompahe a perda total pela iflação? E após 2 aos? E após 3 aos? Solução: Cosiderado-se C como sedo o valor de P corrigido moetariamete, tem-se que: C = P (1+ d), logo: ( ) 1 - após 1 ao o preço equivalerá a = 150,00 1, 2 = 180,00 ; ( ) 2 - após 2 aos o preço equivalerá a = 150,00 1, 2 = 216,00 ; ( ) 3 - após 3 aos o preço equivalerá a = 150,00 1, 2 = 259, 20. Ao se itroduzir o coceito de iflação a aálise de ivestimetos, é fudametal que se saiba respoder a duas pergutas básicas: 1) Em que mometo cada etrada ou saída de diheiro foi efetivada? 2) Qual é o ídice moetário que essa etrada/saída de diheiro tem como referêcia? Como a taxa de iflação acumulada pode ser calculada através dos mesmos coceitos de juros compostos, por uma questão didática, deomia-se M o motate iflacioado (que correspodia a S), de C o pricipal (que correspodia a P) e de d a taxa de iflação (que correspodia a i). Assim sedo, partido da fórmula dos juros compostos, tem-se:

83 76 ( 1 ) M = C + d EXEMPLO 15: Um veículo zero quilômetro foi adquirido, em diheiro de hoje, por $20.000,00 e depois foi utilizado por 5 aos e vedido por $50.000,00 em diheiro da época. Admitido-se uma taxa de juros Solução: O fluxo ecoômico origial é: Como os dois valores existetes o fluxo se referem a bases moetárias diferetes, para se resolver o problema, deve-se mudar ambos os valores para uma mesma base moetária. Como se procura saber o valor atual, o valor da data 0 do fluxo, será utilizada esta base moetária, assim, tem-se: Mudaça da base moetária para a base 0 M , 00 M = C 1+ d C = , 00( I ) = I 1+ ( 1,5) $50.000, 00 $6.584,36 ( ) ( d ) ( I ) = ( I ) 5 0 ( ) 5 5 0

84 77 O ovo fluxo será: Os valores ão foram deslocados o tempo, o que houve foi apeas uma mudaça da base moetária. O deslocameto do diheiro o tempo dar-se-á pela TMA de 15% e o resultado será um valor atual dos custos, livre de iflação: ( ) 5 15% VA = , ,36 S P VA = $16.726, 41 Se tiver que se elaborar cálculos em que os valores etrem e saiam dos fluxos de caixa as mesmas datas de suas bases moetárias, pode-se cocomitatemete deslocar o diheiro o tempo e limpar o fluxo de efeito iflacioário, bastado para isso, utilizar a fórmula fudametal de juros compostos a taxa de juros aparete e, que correspode a taxa que o seso comum deomia, as ecoomias iflacioárias, de taxa de juros omiais. Essa taxa aparete é uma composição etre a taxa de juros e a taxa de iflação e pode ser obtida através da fórmula: e= i+ d + ( i d) Ode: e = taxa de juros aparete; i = taxa de juros; d = taxa de iflação.

85 78 EXEMPLO 16: Determiado equipameto foi adquirido por $ ,00 em diheiro de hoje, podedo ser vedido detro de 10 aos por $ ,00 em diheiro da época. Os custos de mauteção aual são de $20.000,00 em diheiro de hoje. Cosideradose uma taxa de iflação de 30% ao ao e uma taxa de juros de 10% ao ao, qual o VA do fluxo? Solução: O fluxo origial é: Mudaça da base moetária para a base 0: , , 00 ( I0) = 10 ( I0) ( 1, 3) ( I ) = ( I ) $ , 00 $39.895, O ovo fluxo será:

86 79 ( ) ( ) VA = , , 00 R P ,98 S P VA = $ , 71 10% 10% Etretato, se os ,00 dos seus custos de mauteção estivessem as mesmas datas em que se ecotram, as datas de 1 a 10, e se as bases moetárias de cada um deles fossem respectivamete iguais às de suas saídas de caixa, poderia-se fazer tato a limpeza de fluxo e depois deslocar o diheiro o tempo, quato fazer a limpeza de fluxo e deslocar o diheiro de uma só vez, bastado para isso, utilizar-se da taxa de juros aparete. Assim, ter-se-ia: Efetuado a mudaça de base e depois deslocado o diheiro o tempo: , , 00( I ) = I , 00 I = ,98 ( 1, 3) ( ) ( ) ( I ) ( S P) ,98 = $15.381, 63 10% Efetuado a mudaça de base e deslocado o diheiro de uma só vez: ( ) ( ) e= i+ d + i d e= 0,10 + 0,30 + 0,10 0,30 e= 0, 43 e= 43% ( S P) , 00 = $15.381, 63 43% EXEMPLO 17: Determiada empresa comprou, em 1992, um equipameto por $ ,00 (em moeda atual). O equipameto deveria durar 20 aos e sofrer uma reforma de $ ,00 (em moeda de hoje) a cada cico aos. A empresa vai pagar hoje, 10 aos depois da compra do equipameto, $ ,00 para reformá-lo e previu gastar $ ,49 daqui a cico aos (moeda da época). Se a empresa preferir substituir o equipameto hoje, seu valor de mercado será de $ ,00 e sua depreciação foi feita em liearmete em 10 aos com valor residual zero. O preço de aquisição do equipameto em 1992 foi de $13.873,20. As despesas auais de

87 80 mauteção do equipameto são de $20.000,00 por ao (em moeda de hoje) e, se a empresa mativer o equipameto usado em atividade, ele possuirá um valor de mercado daqui a 10 aos de $ ,63 (em moeda da época). Existe a possibilidade de substituir o equipameto atual por um equipameto ovo cujo ivestimeto iicial é $ ,00 (em moeda atual) e para um valor residual e de mercado esperado para daqui a 10 aos de $ ,95 (em moeda da época). O custo de mauteção esperado para o ovo equipameto será de $15.000,00 por ao (em moeda de hoje). O ovo equipameto também será depreciado em 10 aos e uma cláusula cotratual garate que por uma taxa aual o valor de $10.000,00 (em moeda de hoje), toda e qualquer revisão que o ovo equipameto ecessitar durate esse período correrá por cota do fabricate. O IR é de 35%. Cosiderado-se uma TMA de 15% ao ao, pelo método do VA, qual a melhor alterativa: mater o equipameto usado fucioado ou substituí-laopor um equipameto ovo? Solução: Mater o equipameto usado em fucioameto: O fluxo ecoômico origial é: O primeiro passo é determiar a taxa de iflação do problema. Isso pode ser determiado por meio de dois preços de um mesmo produto ou mesmo serviços que seja, omialmete diferetes quado em bases moetárias diferetes. Será utilizado o valor do equipameto comparado-o em diheiro de hoje e em diheiro da data de sua aquisição efetiva:

88 81 d , ,20 = d = 63, , d ( 1 63,8733) 10 ataul = + 1 datual = 51,778% aa.. Mudaça da base moetária para a base 0: , , 63( I ) = I , 63 I = , 00 ( 1,51778) ( ) ( ) ( I ) , , 45( I5) = 5 I , 45 I5 = , 00 ( ) ( ) ( ) ( I ) Os demais valores já se ecotram esta mesma base moetária. 0 O ovo fluxo será: Fluxo ecoômico

89 82 Fluxo cotábil Fluxo completo ( S P) 10 15% ( ) ( ) 10 5 VA = , ,00 R P ,00 S P ,00 15% 15% VA = , , , ,01 VA = $ ,36

90 83 Substituir o equipameto usado pelo ovo O fluxo ecoômico origial é: Como já foi determiada a taxa de iflação itera da empresa do problema de 51,778% ao ao, o próximo passo é fazer a mudaça da base moetária. Mudaça da base moetária para a base 0: , ,95 ( I ) = I ,95 I = , 00 ( 1,51778) ( ) ( ) ( I ) Os demais valores já se ecotram esta mesma base moetária, com exceção da depreciação que se refere à base I. A depreciação, por força da lei, ão pode ser mais corrigida moetariamete, assim sedo, cada um dos valores de depreciação liear de $85.000,00 ( ,00 / 10) auais terá como base o período, ou seja, correspoderá omialmete à época de seu laçameto cotábil. Em termos de decisão gerecial, que I é o caso do problema, faz-se ecessário trasformar esse valor de base I 0. Para isso, deve-se: I para a base

91 84 1) Cálculo da taxa de juros aparete: ( ) ( ) e= i+ d + i d e= 0,15 + 0, ,15 0,5178 e= 74,55% 2) Com a taxa de juros aparete deve-se achar o valor presete desiflacioado da depreciação de ,00 / 10 = $85.000,00 por ao: ( ) 10 VA = ,00 R P VA = $ ,16 74,55% 3) Deve-se agora achar o CAU em 10 pagametos referetes ao valor presete da depreciação e que será equivalete ao ídice moetário zero - I 0 : ( ) 10 CAU = ,16 P R CAU = $22.631,68 Depreciação 15% Depreciação A difereça do valor etre os (85.000,00) iiciais e os (22.631,68) I aqui I 0 obtidos foi corroída pela iflação ão corrigida, produzido, dessa forma, um lucro iflacioário ão dedutível do IR. O ovo fluxo, livre do efeito iflacioário, com base moetária o tempo 0 - I 0, será: Fluxo ecoômico Fluxo Cotábil

92 85 (a) Pagameto de IR por veda de ativo com lucro (equipameto velho = ,00 x (0,35) = ,00); (b) Ecoomia de IR por custos diversos (25.000,00 x (0,35) = 8.750,00); (c) Ecoomia de IR por depreciação (equipameto ovo a base 0 = ,68 x (0,35) = 7.921,09); (d) Pagameto de IR por veda de ativo com lucro (equipameto ovo = ,00 x (0,35) = ,00). Fluxo completo ( ) ( ) VA = , ,91 R P ,00 S P VA = , , ,51 VA = $ ,36 15% 15% Pelos cálculos acima, mater o equipameto usado em atividade por mais 10 aos represeta um custo atual de VA = -$ ,36 cotra um custo atual de VA = -$ ,36 para substituir o equipameto atual por um ovo. Portato, em fução dos VAs ecotrados, mater o equipameto usado em fucioameto é mais iteressate para a empresa.

93 86 CONSIDERAÇÕES FINAIS Diate do exposto, coclui-se que a Matemática Fiaceira é uma grade aliada da Egeharia Ecoômica, pois sem ela ão seria possível a resolução de problemas de aálise de ivestimetos. A avaliação quatitativa das vatages e desvatages de cada alterativa de ivestimeto deve ser feita miuciosamete. Não há dúvidas de que para se comparar o valor das alterativas, deve-se adotar uma uidade de medida comum. No caso da Egeharia Ecoômica, o diheiro. Somete o cohecimeto de fórmulas e equações ão resolvem o problema. Ter cohecimeto técico do processo em questão é, também, fudametal, além da capacidade de aalisar corretamete os dados coletados. Com base a Matemática Fiaceira puderam-se comparar diversas opções de ivestimetos, avaliar cada alterativa e escolher a melhor detre elas. Trabalhar esse assuto foi-me de grade valia, pois pude aplicar meus cohecimetos teóricos sobre Matemática Fiaceira aos aspectos práticos da Egeharia Ecoômica. Adquiri um bom cohecimeto sobre esse assuto e pretedo cotiuar a trabalhar essa área.

94 87 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS DE FARO, Clóvis. Matemática Fiaceira. São Paulo, Atlas, HESS, Geraldo et alli. Egeharia Ecoômica. Rio de Jaeiro, Bertrad Brasil, HIRSCHFELD, Herique. Egeharia Ecoômica e Aálise de Custos. São Paulo, Atlas, HUMMEL, P. R. V., PILÃO, N. E. Matemática Fiaceira e Egeharia Ecoômica. São Paulo, Thomso, MANNARINO, Remo. Itrodução à Egeharia Ecoômica. Rio de Jaeiro, Campus, MONTELLA, Maura. Decifrado o Ecoomês. Rio de Jaeiro, Qualitymark, MOTTA, R. da R., CALÔBA, G. M. Aálise de Ivestimetos: tomada de decisão em projetos idustriais. São Paulo, Atlas, OLIVEIRA, J.A. Nascimeto. Egeharia Ecoômica: Uma Abordagem às Decisões de Ivestimetos. São Paulo, McGraw-Hill, PAMPLONA, E. O., CAVALCANTI FILHO, A. Egeharia Ecoômica I. Apostila, 1987.