Definição 1.1: Uma equação diferencial ordinária é uma. y ) = 0, envolvendo uma função incógnita y = y( x) e algumas das suas derivadas em ordem a x.
|
|
- Arthur Conceição Gama
- 8 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 4. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 4.: Defiição e coceitos básicos Defiição.: Uma equação diferecial ordiária é uma dy d y equação da forma f,,,, y = 0 ou d d ( ) f (, y, y,, y ) = 0, evolvedo uma fução icógita y = y( ) e algumas das suas derivadas em ordem a. Eemplos.: dy ) + y = 0; ) y + y = d ; 3) ( y ) d ( + y ) dy = 0. Defiição.3: Chama-se ordem da equação diferecial à maior das ordes das derivadas que ela aparecem. Por eemplo, - a equação diferecial y + = e é de primeira ordem; - a equação diferecial ( 9) y y = é de oa ordem; - a equação diferecial d dt s ds 3 + s = t é de seguda ordem. dt "Resolver" a equação diferecial cosiste em ecotrar fuções ( ) y = y que a satisfaçam.
2 Defiição.4: Chama-se solução de uma equação diferecial de ordem o itervalo I a uma fução g( ) y = defiida esse itervalo, jutamete com as suas derivadas, até à ordem, que satisfaz a equação diferecial, ou seja, f ( (, g( ), g ( ),, g ) ( ) ) = 0, I. Eemplo.5: Mostre que y = Ce é uma solução da equação y y = 0. Resolução: De y = Ce resulta que y = Ce. Substituido a equação dada as epressões de y e y, obtém-se Ce Ce = 0, pelo que a fução y = Ce satisfaz a equação diferecial dada, qualquer que seja o valor da costate arbitrária C. Eemplo.6: Mostre que a fução solução da equação y + y =. y 0 t = e e dt + C e é Resolução: De y 0 t = e e dt + C e resulta que y = e t ( ) e dt + e e + Ce, isto é, 0 y 0 t = e e dt + C e. Substituido as epressões y e y o º membro da equação diferecial, obteremos.
3 Defiição.7: Chama-se solução geral ou itegral geral de uma equação diferecial ordiária a toda a solução que evolva uma ou mais costates arbitrárias. Defiição.8: Chama-se solução particular ou itegral particular de uma equação diferecial ordiária a toda a solução obtida atribuido valores às costates arbitrárias da solução geral. Eemplo.9: A taa de desitegração (perda de massa) de uma substâcia radioactiva é proporcioal à massa que fica. Isto é, se d () t represeta a massa eistete um istate t, tem-se = k, dt sedo k uma costate positiva, característica da substâcia. Determie a massa eistete um istate t. Resolução: Vamos resolver a equação diferecial = k. Sedo > 0, vem d dt = k, isto é = k dt = kdt kt C kt l = kt + C = e e = e C. Esta solução () t, vem afectada duma costate arbitrária C, represetado assim uma família de fuções (soluções), ou kt seja, () t = e C é a solução geral da equação diferecial. 3
4 0k 0 Se ( 0 ) = tem-se: ( ) = e C C =. kt Logo, () t = e é uma solução particular, pois já ão evolve ehuma costate arbitrária. Defiição.0: Chamam-se codições iiciais as codições relativas à fução icógita e suas derivadas dadas para o mesmo valor da variável idepedete. Defiição.: Chamam-se codições de froteira as codições relativas à fução icógita e suas derivadas dadas para valores distitos da variável idepedete. Nota: A costate C deve-se à primitivação que foi ecessário fazer. É evidete que se a equação evolvesse derivadas até uma certa ordem, seria ecessário primitivar vezes, logo a solução geral evolveria costates arbitrárias. Neste caso, para obter uma solução particular seria ecessário cohecer codições. Eemplo.: Resolva a equação diferecial: y = 0 e idique a solução da equação que satisfaz as codições y () = 0 e ( 0) = y. Resolução: y = 0 y = y = + C y = + C + C. 4
5 y, vem afectada de duas costates arbitrárias represetado por isso uma família de fuções (soluções). Diz-se, por isso que ( ) + C C y = + é a solução geral da equação diferecial. y() = C 0 ( 0) = = y desejada., C. Como y ( ) = + C C. Logo ( ) = + 3 = y é a solução particular 4.: Equações difereciais de variáveis separadas e separáveis Defiição.: Uma equação diferecial de variáveis separadas é uma equação do tipo g ( y) dy = f ( ) d. MÉTODO DE RESOLUÇÃO A solução geral da equação diferecial de variáveis separadas obtém-se por primitivação de ambos os membros da equação, ou seja, ( y) dy f ( ) d C g = +. Defiição.: Chama-se equação de variáveis separáveis a uma equação do tipo ( ) h ( y) d f ( ) h ( y)dy f = a qual o coeficiete associado a cada diferecial se pode factorizar em fuções, depedetes só de ou só de y. 5
6 MÉTODO DE RESOLUÇÃO Dividido ambos os membros pelo produto ( ) h ( y) fica com as variáveis separadas ( ) ( ) f a equação ( y) ( y) dy f h d =. f h O itegral geral desta equação tem a forma f f ( ) ( ) h d = h ( y) ( y) dy + C Eercícios.3: Determie a solução geral das equações: dy. d (i) ( y ) y = ; (ii) ( + ) y = 0 Eercício.4: Calcule a solução particular da equação ( + e ) yy = e que satisfaz a codição iicial y ( 0 ) =. 4.3: Equações difereciais totais eactas: factor itegrate Defiição 3.: A equação diferecial M (, y) d + N(, y) dy = 0 diz-se total eacta se eistir uma fução g com derivadas parciais de ª ordem cotíuas tal que g (, y) = M (, y) g y e (, y) = N(, y). 6
7 Teorema 3.: Se M e N são fuções cotíuas com derivadas parciais cotíuas uma bola aberta do plao Oy etão a equação diferecial (, y) d + N(, y) dy = 0 M é total eacta se e só se y M, ( y ) ( y)= N,. Nota: O teorema aterior permite cocluir que, se M N, (, y ), etão a equação M (, y) d + N(, y) dy = 0 y ( y) ão é total eacta. MÉTODO DE RESOLUÇÃO Para resolver a equação diferecial total eacta (, y) d + N(, y) dy = 0 M devemos determiar a fução g que g satisfaça as equações (, y) = M (, y) g y e (, y) = N(, y) solução da equação diferecial é dada por g ( y) = C,.. A Nota: Em geral a equação diferecial M (, y) d + N(, y) dy = 0 ão é total eacta. Mas, por vezes, é possível trasformá-la uma equação diferecial total eacta mediate a multiplicação por um factor adequado. Defiição 3.3: Uma fução ( y) I, é um factor itegrate da equação diferecial (, y) d + N(, y) dy = 0 M se a equação diferecial (, y) ( M (, y) d + N(, y) dy) = 0 I for total eacta. 7
8 4.4: Equações difereciais lieares de ª ordem Defiição 4.: Chama-se equação diferecial liear de ª ordem a uma equação da forma y + P( ) y = Q( ) fuções cotíuas de um certo domíio ode P e Q são D IR. É usual desigar por equação completa aquela em que Q ( ) 0 equato que a equação se chama homogéea, se Q ( ) = 0 A resolução destas equações pode equadrar-se em casos já estudados. Se Q ( ) = 0 Se ( ) 0, a equação é de variáveis separáveis. Q a equação admite um factor itegrate fução só P( ) d I, = e. de, ( y) MÉTODO DE RESOLUÇÃO º - Determiar o factor itegrate ( y) P( ) d I, = e ; º - Multiplicar a equação diferecial por este factor itegrate, isto é e P ( ) d P( ) ( y + P( ) y) = e d Q( ) ; () 3º - Notar que o º membro da equação () é igual a d d P( ) d ye ; 4º - Itegrar ambos os membros em ordem a, ou seja, ( ) P( ) d = e d. P d ye Q( ) 8
9 Eercício 4.: Determie a solução geral das equações: () dy d 3 y = ; () ( + ) dy + ( y + + ) d = : Trasformadas de Laplace. Defiição e propriedades. Defiição 5.: Seja f uma fução real de variável real tal que + f () t = 0 se t < 0. Se eistir o itegral impróprio e st f ()dt t, ode s é um úmero real, a este itegral chamamos trasformada de Laplace de f e represeta-se por L { f () t. Eemplo 5.: Use a defiição para calcule { Nota: () A trasformada de Laplace { f ( t) 0 L e { e t L. L de f é uma fução + de s, ou seja, L { f () t = e st f ()dt t 0 ( s) = F. () A trasformada de Laplace { f ( t) L eiste se o itegral impróprio + e st 0 f ()dt t for covergete. 9
10 Defiição 5.3: Uma fução f, real de variável real, diz-se seccioalmete cotíua o itervalo [ a, b], se for defiida em [ a, b] ecepto possivelmete um úmero fiito de potos i, i =,, com a < < <... < < < b, f é cotíua em cada sub-itervalo da forma ] a [, ], [,, ], b[, fiitos os limites laterais em cada poto i,, e se são i =,,. Defiição 5.4: Uma fução f, real de variável real, diz-se seccioalmete cotíua em [ 0,+ [, se for seccioalmete cotíua em [ 0,b], para todo b > 0. O teorema seguite estabelece codições suficietes para a eistêcia da trasformada de Laplace. Teorema 5.5: Seja f uma fução real seccioalmete cotíua em [ 0,+ [. Se eistirem úmeros reais c, M e 0 ct t tais que f () t Me para t > t 0, etão L { f () t eiste, para s > c. Daqui para a frete, cosideraremos sempre fuções que verificam as codições do teorema aterior. Teorema 5.6: Propriedade de liearidade. Sejam a, b IR. Se L { f () t e L { g( t) eistirem etão { af ( t) bg( t) e tem-se L { af ( t) bg( t) = al{ f ( t) + bl{ g( t) +. L + também eiste 0
11 Eemplo 5.7: Calcule { e t + 5 L. Defiição 5.8: Seja a IR. Chama-se fução de Heaviside ou 0 se fução degrau uitário a fução U a () t = se t < a t a. Teorema 5.9: Sejam g t a, b IR. Se f () t = g t g3 ( ) () () t se t < a se a t < b se t b 0 etão f () t = g ( t) [ U ( t) ] + g ( t) [ U ( t) U ( t) ] g () t U () t + a a b 3 b., Eemplo 5.0: Calcule, usado a tabela à seguir, as seguites trasformadas de Laplace: () L ; () { t 3 (3) { se( t) L ; (4) L ; (5) L{ e t t ; (6) { t e t ( 4t) cos L + ; L. t se 0 t < Eemplo 5.: Cosidere a fução f () t = t. e se t Calcule L { f () t.
12 TABELA DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE f () t L { f ( t), s>0 s t, =,,3 se ( kt)! +, s>0 s k, s>0 s + k cos ( kt) s s + k, s>0 f e at f () t F( s a) ( t a) U a ( t), a>0 e as F( s) () t t f, =,,3 ( ) () t f, =,,3 d ( ) F() s ds s F s s f 0 ( ) ( ( ) f ) ( 0) TRANSFORMADA DE LAPLACE INVERSA Dada uma fução f de domíio + IR, a sua trasformada de Laplace é, como vimos, uma fução F de variável s. Pode agora colocar-se o problema iverso. Dada F ( s), eistirá uma fução f () t tal que F ( s) = { f () t L?
13 A fução f, se eistir é chamada trasformada de Laplace iversa de F e escreve-se f ( t) L { F( s) =. Nota: () A trasformada de Laplace iversa em sempre eiste, e caso eista, ela pode ão ser úica. L () Do teorema 5.6 decorre, de imediato, que { af() s bg() s = al { F( s) + bl { G( s) +, com a, b IR. (3) A tabela de trasformadas de Laplace, também pode servir para calcular L { F( s). Eemplo 5.: () L = ; s () L L = t = ; s s (3) L e s ( s ) = tu () t. A trasformada de Laplace é muito útil a resolução de equações difereciais lieares sujeitas a codições iiciais. 3
14 4.6: Resolução de equações difereciais lieares de ordem usado trasformadas de Laplace Sejam a 0, a,,a parâmetros reais. Cosideremos a seguite equação diferecial liear de ordem, com coeficietes costates ( ) ( ) + a y + + a y + a y g( t) a y 0 =, t I IR () sujeita às codições iiciais, em t = 0 I, y ( 0) = y0, y ( 0) = y,, ( ) ( 0) = y y. O osso objectivo é obter a solução y ( t) da equação diferecial. MÉTODO DE RESOLUÇÃO Aplicado a trasformada de Laplace em ambos os membros de (), e usado a propriedade de liearidade obtemos ( ) ( ) { y + a L y { + + a L{ y + a L{ y L g( t) { a L 0 = () Pelo formulário, () equivale a ( a () Y s s y() 0 y ) ( 0) ( s ) + ( Y s s y 0 y 0 ) + ( a s () () ) ( ) + + a Y ( s) = G( s) sedo Y () s = L{ y() t e () s L{ g( t) G =. 0 (3) Mas (3) pode escrever-se a forma ( as + a s + + a0 ) Y ( s) = a ( y + y ) a ( y + y ) = s que é uma equação algébrica em Y ( s). s + + G () s, (4) 0 + 4
15 A trasformada de Laplace iverse aplicada à solução Y () s da equação (4), dá-os a solução y( t) L { Y ( s) diferecial () sujeita às codições iiciais dadas. = da equação Eemplo 6.: Recorredo ao método da trasformada de Laplace, determie a solução da seguite equação diferecial sujeitas às codições iiciais dadas: y = ( t ) e t, y ( 0 ) = e ( ) y + y 0 =. 5
Equações Diferenciais (ED) Resumo
Equações Difereciais (ED) Resumo Equações Difereciais é uma equação que evolve derivadas(diferecial) Por eemplo: dy ) 5 ( y: variável depedete, : variável idepedete) d y dy ) 3 0 y ( y: variável depedete,
Leia maisFACULDADE DE ADMINISTRAÇÃO E NEGÓCIOS DE SERGIPE
FACULDADE DE ADMINISTRAÇÃO E NEGÓCIOS DE SERGIPE CURSO: ENGENHARIA DE PRODUÇÃO ASSUNTO: INTRODUÇÃO ÀS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS, EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM SEPARÁVEIS, HOMOGÊNEAS, EXATAS, FATORES
Leia maisCAP. I ERROS EM CÁLCULO NUMÉRICO
CAP I ERROS EM CÁLCULO NUMÉRICO 0 Itrodução Por método umérico etede-se um método para calcular a solução de um problema realizado apeas uma sequêcia fiita de operações aritméticas A obteção de uma solução
Leia maisVII Equações Diferenciais Ordinárias de Primeira Ordem
VII Equações Difereciais Ordiárias de Primeira Ordem Itrodução As equações difereciais ordiárias são istrumetos esseciais para a modelação de muitos feómeos proveietes de várias áreas como a física, química,
Leia maisEQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE ORDEM N
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE ORDEM N Estudaremos este capítulo as equações diereciais lieares de ordem, que são de suma importâcia como suporte matemático para vários ramos da egeharia e das ciêcias.
Leia maisEquações Diferenciais Ordinárias
Equações Diferenciais Ordinárias Uma equação diferencial é uma equação que relaciona uma ou mais funções (desconhecidas com uma ou mais das suas derivadas. Eemplos: ( t dt ( t, u t d u ( cos( ( t d u +
Leia maisEquação Diferencial. Uma equação diferencial é uma expressão que relaciona uma função desconhecida (incógnita) y com suas derivadas.
Equação Difereial Uma equação difereial é uma epressão que relaioa uma fução desoheida (iógita) om suas derivadas É útil lassifiar os diferetes tipos de equações para um desevolvimeto sistemátio da Teoria
Leia maisEquações Diferenciais Lineares de Ordem n
PUCRS Faculdade de Matemática Equações Difereciais - Prof. Eliete Equações Difereciais Lieares de Ordem Cosideremos a equação diferecial ordiária liear de ordem escrita a forma 1 d y d y dy L( y( x ))
Leia maisAPONTAMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA
UNIVERSIDADE DO ALGARVE ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA APONTAMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA (III ) ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL Ídice Itrodução Aplicação do cálculo matricial aos
Leia maisEquação diferencial é uma equação que apresenta derivadas ou diferenciais de uma função desconhecida.
. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS.. Coceito e Classificação Equação iferecial é uma equação que apreseta erivaas ou ifereciais e uma fução escohecia. Seja uma fução e e um iteiro positivo, etão uma relação e igualae
Leia maisIntrodução ao Estudo de Sistemas Lineares
Itrodução ao Estudo de Sistemas Lieares 1. efiições. 1.1 Equação liear é toda seteça aberta, as icógitas x 1, x 2, x 3,..., x, do tipo a1 x1 a2 x2 a3 x3... a x b, em que a 1, a 2, a 3,..., a são os coeficietes
Leia maisIntrodução ao estudo de equações diferenciais
Matemática (AP) - 2008/09 - Introdução ao estudo de equações diferenciais 77 Introdução ao estudo de equações diferenciais Introdução e de nição de equação diferencial Existe uma grande variedade de situações
Leia maisSolução de Equações Diferenciais Ordinárias Usando Métodos Numéricos
DELC - Departameto de Eletrôica e Computação ELC 0 Estudo de Casos em Egeharia Elétrica Solução de Equações Difereciais Ordiárias Usado Métodos Numéricos Versão 0. Giovai Baratto Fevereiro de 007 Ídice
Leia maisSéries de Potências AULA LIVRO
LIVRO Séries de Potêcias META Apresetar os coceitos e as pricipais propriedades de Séries de Potêcias. Além disso, itroduziremos as primeiras maeiras de escrever uma fução dada como uma série de potêcias.
Leia maisonde d, u, v são inteiros não nulos, com u v, mdc(u, v) = 1 e u e v de paridades distintas.
!"$# &%$" ')( * +-,$. /-0 3$4 5 6$7 8:9)$;$< =8:< > Deomiaremos equação diofatia (em homeagem ao matemático grego Diofato de Aleadria) uma equação em úmeros iteiros. Nosso objetivo será estudar dois tipos
Leia maisO oscilador harmônico
O oscilador harmôico A U L A 5 Meta da aula Aplicar o formalismo quâtico ao caso de um potecial de um oscilador harmôico simples, V( x) kx. objetivos obter a solução da equação de Schrödiger para um oscilador
Leia maisA TORRE DE HANÓI Carlos Yuzo Shine - Colégio Etapa
A TORRE DE HANÓI Carlos Yuzo Shie - Colégio Etapa Artigo baseado em aula miistrada a IV Semaa Olímpica, Salvador - BA Nível Iiciate. A Torre de Haói é um dos quebra-cabeças matemáticos mais populares.
Leia maisExercícios de Cálculo III - CM043
Eercícios de Cálculo III - CM43 Prof. José Carlos Corrêa Eidam DMAT/UFPR Dispoível o sítio people.ufpr.br/ eidam/ide.htm o. semestre de 22 Lista Sequêcias e séries de úmeros reais. Decida se cada uma das
Leia maisINTERPOLAÇÃO. Interpolação
INTERPOLAÇÃO Profa. Luciaa Motera motera@facom.ufms.br Faculdade de Computação Facom/UFMS Métodos Numéricos Iterpolação Defiição Aplicações Iterpolação Liear Equação da reta Estudo do erro Iterpolação
Leia maisSecção 9. Equações de derivadas parciais
Secção 9 Equações de derivadas parciais (Farlow: Sec 9 a 96) Equação de Derivadas Parciais Eis chegado o mometo de abordar as equações difereciais que evolvem mais do que uma variável idepedete e, cosequetemete,
Leia maisCAPÍTULO 5 CIRCUITOS SEQUENCIAIS III: CONTADORES SÍNCRONOS
60 Sumário CAPÍTULO 5 CIRCUITOS SEQUENCIAIS III: CONTADORES SÍNCRONOS 5.1. Itrodução... 62 5.2. Tabelas de trasição dos flip-flops... 63 5.2.1. Tabela de trasição do flip-flop JK... 63 5.2.2. Tabela de
Leia maisTópicos de Mecânica Quântica I. Equações de Newton e de Hamilton versus Equações de Schrödinger
Tópicos de Mecâica Quâtica I Equações de Newto e de Hamilto versus Equações de Schrödiger Ferado Ferades Cetro de Ciêcias Moleculares e Materiais, DQBFCUL Notas para as aulas de Química-Física II, 010/11
Leia maisTestes de Hipóteses para a Diferença Entre Duas Médias Populacionais
Estatística II Atoio Roque Aula Testes de Hipóteses para a Difereça Etre Duas Médias Populacioais Vamos cosiderar o seguite problema: Um pesquisador está estudado o efeito da deficiêcia de vitamia E sobre
Leia maissomente um valor da variável y para cada valor de variável x.
Notas de Aula: Revisão de fuções e geometria aalítica REVISÃO DE FUNÇÕES Fução como regra ou correspodêcia Defiição : Uma fução f é uma regra ou uma correspodêcia que faz associar um e somete um valor
Leia maisINTRODUÇÃO A TEORIA DE CONJUNTOS
INTRODUÇÃO TEORI DE CONJUNTOS Professora Laura guiar Cojuto dmitiremos que um cojuto seja uma coleção de ojetos chamados elemetos e que cada elemeto é um dos compoetes do cojuto. Geralmete, para dar ome
Leia maisAPLICAÇÃO DO MÉTODO DE INTEGRAÇÃO TRAPEZOIDAL EM SISTEMAS ELÉTRICOS
AT49-07 - CD 6-07 - PÁG.: APLICAÇÃO DO MÉTODO DE INTEGAÇÃO TAPEZOIDAL EM SISTEMAS ELÉTICOS J.. Cogo A.. C. de Oliveira IEE - EFEI Uiv. Taubaté Artigo apresetado o Semiário de Pesquisa EFEI 983 ESUMO Este
Leia maisDepartamento de Matemática - Universidade de Coimbra. Mestrado Integrado em Engenharia Civil. Capítulo 1: Sucessões e séries
Departameto de Matemática - Uiversidade de Coimbra Mestrado Itegrado em Egeharia Civil Exercícios Teórico-Práticos 200/20 Capítulo : Sucessões e séries. Liste os primeiros cico termos de cada uma das sucessões
Leia maisFaculdade de Engenharia Investigação Operacional. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu
Programação Diâmica Aula 3: Programação Diâmica Programação Diâmica Determiística; e Programação Diâmica Probabilística. Programação Diâmica O que é a Programação Diâmica? A Programação Diâmica é uma técica
Leia maisExercício 1. Quantos bytes (8 bits) existem de modo que ele contenha exatamente quatro 1 s? Exercício 2. Verifique que
LISTA INCRÍVEL DE MATEMÁTICA DISCRETA II DANIEL SMANIA 1 Amostras, seleções, permutações e combiações Exercício 1 Quatos bytes (8 bits) existem de modo que ele coteha exatamete quatro 1 s? Exercício 2
Leia maisCAPÍTULO 5 - INTRODUÇÃO À INFERÊNCIA ESTATÍSTICA
CAPÍTULO 5 - INTRODUÇÃO À INFERÊNCIA ESTATÍSTICA 5. INTRODUÇÃO É freqüete ecotrarmos problemas estatísticos do seguite tipo : temos um grade úmero de objetos (população) tais que se fossem tomadas as medidas
Leia maisResolução dos Exercícios sobre Derivadas
Resolução dos Eercícios sobre Derivadas Eercício Utilizando a idéia do eemplo anterior, encontre a reta tangente à curva nos pontos onde e Vamos determinar a reta tangente à curva nos pontos de abscissas
Leia maisNotas sobre a Fórmula de Taylor e o estudo de extremos
Notas sobre a Fórmula de Taylor e o estudo de etremos O Teorema de Taylor estabelece que sob certas condições) uma função pode ser aproimada na proimidade de algum ponto dado) por um polinómio, de modo
Leia maisPotenciação no Conjunto dos Números Inteiros - Z
Rua Oto de Alencar nº 5-9, Maracanã/RJ - tel. 04-98/4-98 Potenciação no Conjunto dos Números Inteiros - Z Podemos epressar o produto de quatro fatores iguais a.... por meio de uma potência de base e epoente
Leia maisActivALEA. ative e atualize a sua literacia
ActivALEA ative e atualize a sua literacia N.º 29 O QUE É UMA SONDAGEM? COMO É TRANSMIITIIDO O RESULTADO DE UMA SONDAGEM? O QUE É UM IINTERVALO DE CONFIIANÇA? Por: Maria Eugéia Graça Martis Departameto
Leia maisConstrução dos números racionais, Números fracionários e operações com frações
Construção dos números racionais, Números fracionários e operações com frações O número racional pode ser definido a partir da aritmética fechamento da operação de divisão entre inteiros ou partir da geometria
Leia maisComputação Científica - Departamento de Informática Folha Prática 1
1. Costrua os algoritmos para resolver os problemas que se seguem e determie as respetivas ordes de complexidade. a) Elaborar um algoritmo para determiar o maior elemeto em cada liha de uma matriz A de
Leia maisFaculdade Campo Limpo Paulista Mestrado em Ciência da Computação Complexidade de Algoritmos Avaliação 2
Faculdade Campo Limpo Paulista Mestrado em Ciêcia da Computação Complexidade de Algoritmos Avaliação 2. (2,0): Resolva a seguite relação de recorrêcia. T() = T( ) + 3 T() = 3 Pelo método iterativo progressivo.
Leia maisMOMENTOS DE INÉRCIA. Física Aplicada à Engenharia Civil II
Física Aplicada à Egeharia Civil MOMENTOS DE NÉRCA Neste capítulo pretede-se itroduzir o coceito de mometo de iércia, em especial quado aplicado para o caso de superfícies plaas. Este documeto, costitui
Leia maisA seguir, uma demonstração do livro. Para adquirir a versão completa em papel, acesse: www.pagina10.com.br
A seguir, uma demostração do livro. Para adquirir a versão completa em papel, acesse: www.pagia10.com.br Matemática comercial & fiaceira - 2 4 Juros Compostos Iiciamos o capítulo discorredo sobre como
Leia maisNuma turma de 26 alunos, o número de raparigas excede em 4 o número de rapazes. Quantos rapazes há nesta turma?
GUIÃO REVISÕES Equações e Inequações Equações Numa turma de 6 alunos, o número de raparigas ecede em 4 o número de rapazes. Quantos rapazes há nesta turma? O objectivo do problema é determinar o número
Leia mais5- CÁLCULO APROXIMADO DE INTEGRAIS 5.1- INTEGRAÇÃO NUMÉRICA
5- CÁLCULO APROXIMADO DE INTEGRAIS 5.- INTEGRAÇÃO NUMÉRICA Itegrar umericamete uma fução y f() um dado itervalo [a, b] é itegrar um poliômio P () que aproime f() o dado itervalo. Em particular, se y f()
Leia maisCÁLCULO DIFERENCIAL. Conceito de derivada. Interpretação geométrica
CÁLCULO DIFERENCIAL Coceito de derivada Iterpretação geométrica A oção fudametal do Cálculo Diferecial a derivada parece ter sido pela primeira vez explicitada o século XVII, pelo matemático fracês Pierre
Leia maisINSTITUTO TECNOLÓGICO
PAC - PROGRAMA DE APRIMORAMENTO DE CONTEÚDOS. ATIVIDADES DE NIVELAMENTO BÁSICO. DISCIPLINAS: MATEMÁTICA & ESTATÍSTICA. PROFº.: PROF. DR. AUSTER RUZANTE 1ª SEMANA DE ATIVIDADES DOS CURSOS DE TECNOLOGIA
Leia maisCapítulo 5 Cálculo Diferencial em IR n 5.1 Definição de função de várias variáveis: campos vetoriais e campos escalares.
5. Defiição de fução de várias variáveis: campos vetoriais e. Uma fução f : D f IR IR m é uma fução de variáveis reais. Se m = f é desigada campo escalar, ode f(,, ) IR. Temos assim f : D f IR IR (,, )
Leia maisPropriedades das Funções Deriváveis. Prof. Doherty Andrade
Propriedades das Funções Deriváveis Prof Doerty Andrade 2005 Sumário Funções Deriváveis 2 Introdução 2 2 Propriedades 3 3 Teste da derivada segunda para máimos e mínimos 7 2 Formas indeterminadas 8 2 Introdução
Leia maisCurso MIX. Matemática Financeira. Juros compostos com testes resolvidos. 1.1 Conceito. 1.2 Período de Capitalização
Curso MI Matemática Fiaceira Professor: Pacífico Referêcia: 07//00 Juros compostos com testes resolvidos. Coceito Como vimos, o regime de capitalização composta o juro de cada período é calculado tomado
Leia maisSecção 1. Introdução às equações diferenciais
Secção. Itrodução às equações difereciais (Farlow: Sec..,.) Cosideremos um exemplo simples de um feómeo que pode ser descrito por uma equação diferecial. A velocidade de um corpo é defiida como o espaço
Leia mais[ \ x Recordemos o caso mais simples de um VLVWHPD de duas HTXDo}HVOLQHDUHV nas duas LQFyJQLWDV [ e \.
&DStWXOR±6LVWHPDVGH(TXDo}HV/LQHDUHV1 &DStWXOR±6LVWHPDVGH(TXDo}HV/LQHDUHV Å 1Ro}HV *HUDLV Recordemos o caso mais simples de um VLVWHPD de duas HTXDo}HVOLQHDUHV nas duas LQFyJQLWDV [ e \. [\ [\ É fácil verificar
Leia maisCapitulo 6 Resolução de Exercícios
FORMULÁRIO Cojutos Equivaletes o Regime de Juros Simples./Vecimeto Comum. Descoto Racioal ou Por Detro C1 C2 Cm C1 C2 C...... 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 2 m 1 2 m C Ck 1 i 1 i k1 Descoto Por Fora ou Comercial
Leia mais24/Abril/2013 Aula 19. Equação de Schrödinger. Aplicações: 1º partícula numa caixa de potencial. 22/Abr/2013 Aula 18
/Abr/013 Aula 18 Princípio de Incerteza de Heisenberg. Probabilidade de encontrar uma partícula numa certa região. Posição média de uma partícula. Partícula numa caixa de potencial: funções de onda e níveis
Leia maisCOMPOSIÇÕES DE FUNÇÕES GERATRIZES E A FÓRMULA EXPONENCIAL
COMPOSIÇÕES DE FUNÇÕES GERATRIZES E A FÓRMULA EXPONENCIAL Grade parte do poder de fuções geratrizes vêm de composição delas! Observação. Sejam F (x) = 0 G(x) = 0 f x g x duas séries formais. A composição
Leia maisConceito 31/10/2015. Módulo VI Séries ou Fluxos de Caixas Uniformes. SÉRIES OU FLUXOS DE CAIXAS UNIFORMES Fluxo de Caixa
Módulo VI Séries ou Fluxos de Caixas Uiformes Daillo Touriho S. da Silva, M.Sc. SÉRIES OU FLUXOS DE CAIXAS UNIFORMES Fluxo de Caixa Coceito A resolução de problemas de matemática fiaceira tora-se muito
Leia maisLISTA BÁSICA MATEMÁTICA
LISTA BÁSICA Professor: ARGENTINO FÉRIAS: O ANO DATA: 0 / 06 / 0 MATEMÁTICA 6 0 6 +, + 4 é:. O valor de ( ) ( ) ( ) a) b) c) 7 d) 9 e). Considere a epressão numérica a) 9 b) 0 c) 8,00 d) 69 e) 9,00000
Leia maisEQUAÇÕES DIFERENCIAIS
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS rof Me Arto Barboi SUMÁRIO INTRODUÇÃO EQUAÇÃO DIFERENCIAL ORDINÁRIA (EDO) Ordem de uma Equação Diferecial Ordiária Grau de uma Equação Diferecial Ordiária Solução geral e particular
Leia maisCapítulo 3 - Sistemas de Equações Lineares
Capítulo 3 - Sistemas de Equações Lineares Carlos Balsa balsa@ipb.pt Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia e Gestão de Bragança Matemática I - 1 o Semestre 2011/2012 Matemática I 1/
Leia maisSíntese de Transformadores de Quarto de Onda
. Sítese de rasforadores de Quarto de Oda. Itrodução rasforadores de guia de oda são aplaete epregados o projeto de copoetes e oda guiada e são ecotrados e praticaete todas as cadeias alietadoras de ateas
Leia maisAplicações lineares. Capítulo Seja T: a) Quais dos seguintes vectores estão em Im( T )? 1 i) 4. 3 iii) ii)
Capítulo Aplicações lieares Seja T: R R a multiplicação por 8 a) Quais dos seguites vectores estão em Im( T )? i) ii) 5 iii) b) Quais dos seguites vectores estão em Ker( T)? i) ii) iii) c) Qual a dimesão
Leia maisMatemática Financeira I 3º semestre 2013 Professor Dorival Bonora Júnior Lista de teoria e exercícios
www/campossalles.br Cursos de: dmiistração, Ciêcias Cotábeis, Ecoomia, Comércio Exterior, e Sistemas de Iformação - telefoe (11) 3649-70-00 Matemática Fiaceira I 3º semestre 013 Professor Dorival Boora
Leia maisCapítulo 3 - Sistemas de Equações Lineares
Capítulo 3 - Sistemas de Equações Lineares Carlos Balsa balsa@ipb.pt Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia e Gestão de Bragança Matemática I - 1 o Semestre 2011/2012 Matemática I 1/
Leia mais==Enunciado== 2. (a) Mostre que se h(t) é uma função seccionalmente contínua e periódica, de período T, que admite transformada de Laplace, então
Departameto de Matemática - Escola Superior de ecologia - Istituto Politécico de Viseu Complemetos de Aálise Matemática Egeharia de Sistemas e Iformática Euciado e Resolução da a. Frequêcia de 5/6 Duração:
Leia maisESTIMATIVA DA EMISSIVIDADE ATMOSFÉRICA E DO BALANÇO DE ONDAS LONGAS EM PIRACICABA, SP
ESTIMATIVA DA EMISSIVIDADE ATMOSFÉRICA E DO BALAÇO DE ODAS LOGAS EM PIRACICABA, SP Kare Maria da Costa MATTOS (1) ; Marcius Gracco Marcoi GOÇALVES (1) e Valter BARBIERI () (1) Aluos de Pós-graduação em
Leia maisINSTITUTO POLITÉCNICO DE VISEU ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE VISEU DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
INSTITUTO POLITÉCNICO DE VISEU ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE VISEU DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Apontamentos: Curso de Conhecimentos Básicos de Matemática Cursos do Departamento de Gestão Maria Cristina
Leia maisUFRGS 2007 - MATEMÁTICA
- MATEMÁTICA 01) Em 2006, segudo otícias veiculadas a impresa, a dívida itera brasileira superou um trilhão de reais. Em otas de R$ 50, um trilhão de reais tem massa de 20.000 toeladas. Com base essas
Leia maisAula 07 Análise no domínio do tempo Parte II Sistemas de 2ª ordem
Aula 07 Aálise o domíio do tempo Parte II Sistemas de ª ordem Aálise o domíio do tempo - Sistemas de ª ordem iput S output Sistema de seguda ordem do tipo α G(s) as + bs + c Aálise o domíio do tempo -
Leia maisCAPÍTULO 6 TRANSFORMAÇÃO LINEAR
INODUÇÃO AO ESUDO DA ÁLGEBA LINEA CAPÍULO 6 ANSFOMAÇÃO LINEA Introdução Muitos problemas de Matemática Aplicada envolvem o estudo de transformações, ou seja, a maneira como certos dados de entrada são
Leia maisMatemática Ficha de Trabalho
Matemática Ficha de Trabalho Probabilidades 12º ao FT4 Arrajos completos (arrajos com repetição) Na liguagem dos computadores usa-se o código biário que é caracterizado pela utilização de apeas dois algarismos,
Leia mais1. Definição e conceitos básicos de equações diferenciais
Capítulo 7: Soluções Numéricas de Equações Difereciais Ordiárias. Itrodução Muitos feómeos as áreas das ciêcias, egearias, ecoomia, etc., são modelados por equações difereciais. Supoa-se que se quer determiar
Leia maisOs juros compostos são conhecidos, popularmente, como juros sobre juros.
Módulo 4 JUROS COMPOSTOS Os juros compostos são cohecidos, popularmete, como juros sobre juros. 1. Itrodução Etedemos por juros compostos quado o fial de cada período de capitalização, os redimetos são
Leia mais1 Resoluções dos exercícios de SÉRIES propostos nocaderno1
Resoluções dos exercícios de SÉRIES propostos ocadero. Dadoque = /,asérieumérica =+ + + + + = 5 / éumasériededirichletcomα=/,logoédivergete.. A série umérica = + 4 + 8 + 6 + + 04 + é uma série geométrica
Leia maisJUROS COMPOSTOS. Questão 01 A aplicação de R$ 5.000, 00 à taxa de juros compostos de 20% a.m irá gerar após 4 meses, um montante de: letra b
JUROS COMPOSTOS Chamamos de regime de juros compostos àquele ode os juros de cada período são calculados sobre o motate do período aterior, ou seja, os juros produzidos ao fim de cada período passam a
Leia maisProcessamento Digital de Sinais
Processameto Digital de Siais Prof. Luciao Leoel Medes S. Mitra, Digital Sigal Processig A computer-based approach, 2 d editio. Capítulo Siais e Processameto de Siais Sial é uma fução de uma variável idepedete,
Leia maisA otimização é o processo de
A otimização é o processo de encontrar a melhor solução (ou solução ótima) para um problema. Eiste um conjunto particular de problemas nos quais é decisivo a aplicação de um procedimento de otimização.
Leia maisNIVELAMENTO 2007/1 MATEMÁTICA BÁSICA. Núcleo Básico da Primeira Fase
NIVELAMENTO 00/ MATEMÁTICA BÁSICA Núcleo Básico da Primeira Fase Instituto Superior Tupy Nivelamento de Matemática Básica ÍNDICE. Regras dos Sinais.... Operações com frações.... Adição e Subtração....
Leia maisMATEMÁTICA FINANCEIRA UNIDADE IX DESCONTOS
UNIDADE IX DESCONTOS Itrodução: Em cotabilidade, chama-se descoto a operação bacária de etrega do valor de um título ao seu detetor, ates do prazo do vecimeto, e mediate o pagameto de determiada quatia
Leia maisGuia de aulas: Equações diferenciais. Prof. Carlos Vidigal Profª. Érika Vidigal
Guia de aulas: Equações diferenciais Prof. Carlos Vidigal Profª. Érika Vidigal 1º Semestre de 013 Índice 1.Introdução... 3. Equações Diferenciais de 1ª Ordem... 7.1. Equações Diferenciais Separáveis...
Leia maisCAPÍTULO IV DESENVOLVIMENTOS EM SÉRIE
CAPÍTUO IV DESENVOVIMENTOS EM SÉRIE Série de Taylor e de Mac-auri Seja f ) uma fução real de variável real com domíio A e seja a um poto iterior desse domíio Supoha-se que a fução admite derivadas fiitas
Leia maisCIRCUITOS ELÉTRICOS RESOLUÇÃO DE CIRCUITOS TRANSITÓRIOS NO DOMÍNIO DA FREQÜÊNCIA
1 CIRCUITOS ELÉTRICOS RESOLUÇÃO DE CIRCUITOS TRANSITÓRIOS NO DOMÍNIO DA FREQÜÊNCIA Simulação de chaves utilizando a função degrau a) Fonte de tensão que entra em operação em t = 0 Substituindo a chave
Leia maisCapítulo I Séries Numéricas
Capítulo I Séries Numéricas Capitulo I Séries. SÉRIES NÚMERICAS DEFINIÇÃO Sedo u, u,..., u,... uma sucessão umérica, chama-se série umérica de termo geral u à epressão que habitualmete se escreve u u...
Leia maisCircuitos de 2 ª ordem: RLC. Parte 1
Circuitos de 2 ª ordem: RLC Parte 1 Resposta natural de um circuito RLC paralelo Veja circuito RLC paralelo abaixo: A tensão é a mesma e aplicando a soma de correntes que saem do nó superior temos: v R
Leia maisMódulo 4 Matemática Financeira
Módulo 4 Matemática Fiaceira I Coceitos Iiciais 1 Juros Juro é a remueração ou aluguel por um capital aplicado ou emprestado, o valor é obtido pela difereça etre dois pagametos, um em cada tempo, de modo
Leia maisExercícios de Matemática Polinômios
Exercícios de Matemática Poliômios ) (ITA-977) Se P(x) é um poliômio do 5º grau que satisfaz as codições = P() = P() = P(3) = P(4) = P(5) e P(6) = 0, etão temos: a) P(0) = 4 b) P(0) = 3 c) P(0) = 9 d)
Leia maisProblema de Fluxo de Custo Mínimo
Problema de Fluo de Custo Míimo The Miimum Cost Flow Problem Ferado Nogueira Fluo de Custo Míimo O Problema de Fluo de Custo Míimo (The Miimum Cost Flow Problem) Este problema possui papel pricipal etre
Leia maisUniversidade Presbiteriana Mackenzie. Processamento Digital de Sinais
Uiversidade Presbiteriaa Mackezie Curso de Egeharia Elétrica Processameto Digital de Siais Notas de Aula Prof. Marcio Eisecraft Segudo semestre de 7 Uiversidade Presbiteriaa Mackezie Curso de Egeharia
Leia maisAnálise de Projectos ESAPL / IPVC. Critérios de Valorização e Selecção de Investimentos. Métodos Estáticos
Aálise de Projectos ESAPL / IPVC Critérios de Valorização e Selecção de Ivestimetos. Métodos Estáticos Como escolher ivestimetos? Desde sempre que o homem teve ecessidade de ecotrar métodos racioais para
Leia maisTEMA 2 FUNÇÕES FICHAS DE TRABALHO 12.º ANO COMPILAÇÃO TEMA 2 FUNÇÕES. Jorge Penalva José Carlos Pereira Vítor Pereira MathSuccess
Jorge Pealva José Carlos Pereira Vítor Pereira MathSuccess FICHAS DE TRABALHO 1.º ANO COMPILAÇÃO TEMA FUNÇÕES Site: http://www.mathsuccess.pt Facebook: https://www.facebook.com/mathsuccess TEMA FUNÇÕES
Leia mais2.2. Séries de potências
Capítulo 2 Séries de Potêcias 2.. Itrodução Série de potêcias é uma série ifiita de termos variáveis. Assim, a teoria desevolvida para séries ifiitas de termos costates pode ser estedida para a aálise
Leia maisa taxa de juros i está expressa na forma unitária; o período de tempo n e a taxa de juros i devem estar na mesma unidade de tempo.
UFSC CFM DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MTM 5151 MATEMÁTICA FINACEIRA I PROF. FERNANDO GUERRA. UNIDADE 3 JUROS COMPOSTOS Capitalização composta. É aquela em que a taxa de juros icide sempre sobre o capital
Leia maisDerivadas Cálculo Diferencial e Integral I
Uidade G Derivadas Cálculo Diferecial e Itegral I Tecologia em Costrução de Edifícios IFRS CAMPUS RIO GRANDE PROFª DÉBORA BASTOS 4. Taa de variação Muitos coceitos e feômeos físicos, ecoômicos, biológicos,
Leia maisCapítulo 5: Aplicações da Derivada
Instituto de Ciências Exatas - Departamento de Matemática Cálculo I Profª Maria Julieta Ventura Carvalho de Araujo Capítulo 5: Aplicações da Derivada 5- Acréscimos e Diferenciais - Acréscimos Seja y f
Leia mais9. Derivadas de ordem superior
9. Derivadas de ordem superior Se uma função f for derivável, então f é chamada a derivada primeira de f (ou de ordem 1). Se a derivada de f eistir, então ela será chamada derivada segunda de f (ou de
Leia maisPRESTAÇÃO = JUROS + AMORTIZAÇÃO
AMORTIZAÇÃO Amortizar sigifica pagar em parcelas. Como o pagameto do saldo devedor pricipal é feito de forma parcelada durate um prazo estabelecido, cada parcela, chamada PRESTAÇÃO, será formada por duas
Leia maisUniversidade Federal do Rio Grande do Norte. Centro De Ciências Exatas e da Terra. Departamento de Física Teórica e Experimental
Universidade Federal do Rio Grande do Norte Centro De Ciências Exatas e da Terra Departamento de Física Teórica e Experimental Programa de Educação Tutorial Curso de Nivelamento: Pré-Cálculo PET DE FÍSICA:
Leia maisFigura 2.1: Carro-mola
Capítulo 2 EDO de Segunda Ordem com Coeficientes Constantes 2.1 Introdução - O Problema Carro-Mola Considere um carro de massa m preso a uma parede por uma mola e imerso em um fluido. Colocase o carro
Leia maisANDRÉ REIS MATEMÁTICA. 1ª Edição NOV 2013
ANDRÉ REIS MATEMÁTICA TEORIA 6 QUESTÕES DE PROVAS DE CONCURSOS GABARITADAS EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Teoria e Seleção das Questões: Prof. Adré Reis Orgaização e Diagramação: Mariae dos Reis ª Edição NOV 0
Leia maisINSTRUMENTAÇÃO E CONTROLE DE PROCESSOS TRANSFORMADAS DE LAPLACE
INSTRUMENTAÇÃO E CONTROLE DE PROCESSOS TRANSFORMADAS DE LAPLACE Preliminares No estudo de sistemas de controle, e comum usar-se diagramas de blocos, como o da figura 1. Diagramas de blocos podem ser utilizados
Leia mais3. Seja C o conjunto dos números complexos. Defina a soma em C por
Eercícios Espaços vetoriais. Cosidere os vetores = (8 ) e = ( -) em. (a) Ecotre o comprimeto de cada vetor. (b) Seja = +. Determie o comprimeto de. Qual a relação etre seu comprimeto e a soma dos comprimetos
Leia maisMAT Cálculo Diferencial e Integral para Engenharia IV 2o. Semestre de a. Lista de exercícios: Séries de Potências e Séries de Fourier
MAT456 - Cálculo Diferecial e Itegral para Egeharia IV o Semestre de - a Lista de eercícios: Séries de Potêcias e Séries de Fourier Usado derivação e itegração termo a termo, calcular as somas das séries
Leia maisINSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTÃO
INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTÃO CURSO DE MATEMÁTICA APLICADA À ECONOMIA E GESTÃO ANÁLISE MATEMÁTICA I ELEMENTOS DE ANÁLISE REAL Volume Por : Gregório Luís I PREFÁCIO O presete teto destia-se a
Leia mais28 de agosto de 2015. MAT140 - Cálculo I - Derivação Impĺıcita e Derivadas de Ordem Superior
MAT140 - Cálculo I - Derivação Impĺıcita e Derivadas de Ordem Superior 28 de agosto de 2015 Derivação Impĺıcita Considere o seguinte conjunto R = {(x, y); y = 2x + 1} O conjunto R representa a reta definida
Leia maisFELIPE ANDRADE VELOZO REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE SISTEMAS DA MECÂNICA QUÂNTICA
FELIPE ANDRADE VELOZO REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE SISTEMAS DA MECÂNICA QUÂNTICA Moografia de graduação apresetada ao Departameto de Ciêcia da Computação da Uiversidade Federal de Lavras como parte das exigêcias
Leia mais