Equações Diferenciais Lineares de Ordem n

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1 PUCRS Faculdade de Matemática Equações Difereciais - Prof. Eliete Equações Difereciais Lieares de Ordem Cosideremos a equação diferecial ordiária liear de ordem escrita a forma 1 d y d y dy L( y( x )) = b ( x ) + b 1( x )... b1( x ) b0 ( x )y g( x ) = (1) 1 Se L ( y( x )) = 0, isto é, se g(x)=0, (1) é dita homogêea. Teorema1(Pricípio da Superposição): Se y1 ( x ) e y( x ) são duas soluções de L ( y( x )) =0, etão, para c 1 e c costates arbitrárias, c1 y1( x ) + c y( x ) também é solução de L ( y( x )) = 0. Teorema: Sejam y1( x ), y( x ), K, y( x ) soluções liearmete idepedetes,o itervalo (a,b), da equação homogêea L ( y( x )) =0 (isso sigifica que, para todo x (a,b), c1 = c = K = c = 0 é a úica solução da equação c1 y1( x ) + c y( x ) + K + c y( x ) = 0 ). Etão, a solução geral de L ( y( x )) = 0 é y( x ) = c1 y1( x ) + c y( x ) + K + c y( x ). Teorema3(Teorema do Wroskiao): Seja{ y1( x ), y( x ), K, y( x )} um cojuto de soluções da equação diferecial liear homogêea de ordem L ( y( x )) = 0. Esse cojuto é liearmete idepedete em (a,b), se e somete se o wroskiao do cojuto é diferete de zero: y1 y K y ' ' ' y1 y K y '' '' '' W( x ) = W ( y ( x ), y ( x ),, y ( x )) y1 y y 1 K = 0. M M M ( 1) ( 1 ) ( 1 ) y1 y K y Teorema4: A solução geral da equação diferecial liear (1), ão-homogêea, L ( y( x )) = g( x ) é y ( x ) = y p + y h ode y h é a solução geral da equação homogêea associada L ( y( x )) = 0, dita solução homogêea ou complemetar e y p uma solução particular de L ( y( x )) = g( x ). Equações Difereciais Lieares Homogêeas de Ordem com Coeficietes Costates Cosideramos a equação diferecial liear homogêea de ordem com coeficietes costates 1 d y d y dy + a... a a y = 0 () Supodo que λx y( x ) = Ke é uma solução de (), como λ e x 0 x, obtemos o poliômio característico:

2 1 3 λ + a 1λ a3λ + aλ + a1λ + a0 = 0. (3) As raízes poliômio característico determiam a solução de (). Cosideramos os casos em que as raízes de (3) são 1. todas reais e distitas, etão a solução geral de () é λ x λ x λ x λ x y( x ) = c e + c e + c3 e K + c e. (4). distitas porém algumas complexas, etão a solução geral de () aida é da forma (4). Os termos com expoeciais complexas podem ser expressos em termos das fuções seo e coseo. As raízes complexas aparecem em pares cojugados. Por exemplo, se λ = a ± bi são raízes de (4), ( a+ bi )x ( a bi )x e e e são duas soluções liearmete idepedetes de (3). Assim, usado as relações de Euler, e bxi = cosbx + i sebx e e bxi = cosbx i sebx e o pricípio da superposição(teorema1), uma solução de (4) é ( a+ bi )x ( a bi )x ax ax d1 e + de = k1e cosbx + ke sebx (5) com k1 = d1 + d e k = i( d1 d ). 3. algumas múltiplas, por exemplo, se λ k é raiz de multiplicidade p de (3), etão a solução geral de (), combiadas da forma usual com as soluções associadas às raízes ão múltiplas, teremos p soluções liearmete idepedetes associadas a λ k dadas por λ x λ x x p 1 x x λ k k, e k λ e, x e, K, x e k. (6) Exercícios: Determiar a solução geral das equações difereciais lieares homogêeas com coeficietes costates 5x 6 x 1) y '' y' 30 y = 0 Resp.: y ( x ) = c1e + ce x x ) y '' y' + y = 0 Resp.: y ( x ) = c1e + c xe x x 3) y '' + y' + 3y = 0 Resp.: y( x ) = c1e cos x + ce se x x x x 4) y ''' y'' y' + y = 0 Resp.: y ( x ) = c1e + ce + c3e x x x 5) y ''' y'' y' + y = 0 Resp.: y( x ) = c1e + c xe + c3e x x x 6) y ''' 3y'' + 3y' y = 0 Resp.: y ( x ) = c1e + c xe + c3x e x 7) y ''' y'' + y' y = 0 Resp.: y( x ) = c1 e + c cos x + c3sex ( 4 ) x x x x 8) y 4 y'' + 16 y' + 3y = 0 Resp.: y( x ) = c1 e + c xe + c3e cos x + c4e sex Resolver o Problema de Valor Iicial: y'' + 9 y = 0 1) Resp.: y(0 ) = 0, y' (0 ) = 1 y ( x ) = 1 se3x 3 ) ( 4 ) y + 5 y''' = 0 y(0 ) = 0, y' (0 ) = 0, y'' (0 ) = 0, y''' (0 ) = 15 Resp.: 5x y( x ) = 1 + 5x 1,5x + e

3 Equações Difereciais Lieares Não-homogêeas de Ordem com Coeficietes Costates - Método dos Coeficietes a Determiar A solução geral da equação diferecial liear (1), ão-homogêea, L ( y( x )) = g( x ) é y ( x ) = y p + y h,ode y h é a solução geral da equação homogêea associada L ( y( x )) = 0, dita solução homogêea ou complemetar e y p uma solução particular de L ( y( x )) = g( x ). O Método dos Coeficietes a Determiar é utilizado para determiar y p, e supõe que y p pode ser expressa como soma dos termos que compõem g(x), a meos de costates multiplicativas. Pode ser aplicado às equações lieares ão-homogêeas com coeficietes costates os casos em g(x) é uma fução poliomial, expoecial, seo e coseo ou somas e produtos fiitos dessas fuções. Veremos algus casos, cosiderado abaixo que a i e b j, 1=0,1,,...,, são costates a determiar. Caso1: Se g( x ) = p( x ), um poliômio de grau, procuramos a solução da forma 1 y p( x ) = a x + a 1x + a x + K + a x + a1x + a0. Caso: Se g( x ) = e p( x ) com α costate cohecida, procuramos 1 y p ( x ) = e ( a x + a 1x + a x + K + a x + a1x + a0 ). Caso3: Se g( x ) = e p( x )seβx ou g( x ) = e p( x )cos βx, procuramos y p ( x ) = e seβx ( a x + K+ a x + a1x + a0 ) + e cos βx ( b x + K + b x + b1x + b0 ) Modificação: Se a meos de costates multiplicativas algum termo de y p procurada é também um termo m de y h, etão a forma de y p procurada esse termo comum deve ser multiplicado por x, ode m é o meor m iteiro positivo tal que o produto de x por y p ão teha ehum termo em comum com y h. Geeralização : Se g ( x ) é a soma de termos acima citados, procuramos y p como soma das correspodetes soluções propostas. Exercícios- Resolver: 1) y'' y' + y = x 1 Resp.: y( x ) c e x c xe x x = x + 5 x x x x ) y '' y' + y = 3e Resp.: y ( x ) = c1e + c xe + 3e x x 3) y '' y' + y = 4 cos x Resp.: y( x ) = c1e + c xe sex x x x 3 x 4) y '' y' + y = 3e Resp.: y ( x ) = c1e + c xe + x e x x x 5) y ' y = e Resp.: y ( x) c e + xe = 1 6) y' y = x xe + 1 Resp.: ( ) x ( 1) x y x = c1e + x e 1 x ) y ' y = sex + cos x Resp.: y( x ) = c1e sex cos x + sex cos x 5 5 3

4 8) Cosiderar um sistema massa-mola-amortecedor descrito pela equação diferecial ordiária de seguda ordem: m y + cy + ky = L si x. Estimar o deslocameto para o tempo x=0.5, para massa m=1, amortecedor c=0.5, rigidez k=, amplitude da força L=0.5, com deslocameto iicial y(0)=1, velocidade iicial y (0) =0. Resp: y(0.5)= ) Cosiderar o problema de deflexão de uma viga de seção trasversal retagular sujeita a uma carga uiforme, tedo seus extremos apoiados de modo a ão sofrer deflexão alguma. Como ão ocorre deflexão as extremidades da viga, o problema de valor de cotoro que rege essa situação física é d w = w(0 ) = S EI w + w( L ) q x( x EI = 0 L ), 0 < x < L Determiar a deflexão de uma viga em x = 30, 60 e 90 pol, dados: Comprimeto L=10 pol; Itesidade de carga uiforme q=100 lb/pé; ( 1 pé = 1 pol ) Módulo de elasticidade E=3.0 x 10 7 lb/pol Esforço as extremidades S=1000 lb Mometo cetral de Iércia I=65 pol 4. Se a lei muicipal requer que máx(w(x))< 1/300. Essa viga está de acordo com o código muicipal? (Ajuda: Utilizar o Maple, coforme exemplificado o exercício 10) Resposta: 0, x 0, x w( x ) = 7704,5375 e ,4648 e 0, x + 0,5x 15650; w(30)=0,0009, w(60)=0,001 e w(90)=0,0009; Como w (60)=0 e w (60)<0, a deflexão máxima é w(60)=0,001 <1/300. Assim, a viga está de acordo com o código muicipal. 4

5 10) Determiar o Potecial eletrostático u(r) etre duas esferas cocêtricas de raio r=1 e raio r=4 a partir do Problema de Valor de Cotoro d u du + = 0 dr r dr. u(1) = 50, u( 4 ) = 100 OBS.: Notar que a equação diferecial liear ão tem coeficietes costates. Apresetamos a solução utilizado o sistema Maple. > edopvc := diff( u(r), r$ ) + (/r) * diff( u(r), r )= 0; > cc:=u(1)=50,u(4)=100; > sol_pvc:=uapply(rhs(dsolve({edopvc,cc},u(r))),r); >plot({sol_pvc(r),350/3},r=0.3..0,thickess=); 5

6 11) Resolver o problema de valor iicial. a) 5 y'' + y' + 10 y = 0 y(0 ) = 0, y' (0 ) = 4 y := t t / ) e( si t (oscilação periódica, com freqüêcia 199 radiaos π por uidade de tempo e período uidades de 199 tempo, com amplitude decrescete com o tempo). b) y'' + 16 y = 0 y(0 ) = 1, y' (0 ) = 0 (y(t)=cos4t, oscilador harmôico, freqüêcia 4 radiaos por uidade de tempo e período π uidades de tempo, amplitude costate) c) y'' + y = set y(0 ) = 0, y' (0 ) = 1 (y(t) =tcost, solução periódica com amplitude crescete) 6

7 0, y'' ( t ) + 1, y' ( t ) + y( t ) = 5 cos 4t 1) O problema de valor iicial y(0 ) = 0,5, y' (0 ) = 0 represeta um sistema vibrate que cosiste em uma massa (0,Kg) atada a uma mola(k= N/m). A massa parte do repouso 0,5m abaixo da posição de equilíbrio. O movimeto é amortecido ( β =1,) e está sob a ação de uma força extera periódica (f(t)=5cos4t). Determiar y(t). Resposta: 86 3 t) 38 3 t) 50 5 y( t ) = e( si( t ) 51 e( cos( t ) si( 4 t ) cos( 4 t ) q'' ( t ) + 9q' ( t ) + 14q = set 13) Determiar a solução do problema de valor iicial, isto é, a carga o q(0 ) = 0, q' (0 ) = 1 capacitor de um circuito em série R_L_C, o qual R=180 ohms, C=1/80 farad, L=0 Hery, voltagem dq aplicada E(t)=10set. Não existe carga iicial o capacitor e a correte iicial i ( t ) = é de 1 Ampère dt quado t= t) 11 t) 9 13 q( t ) = e( 50 e( cos( t ) si( t )

8 PUCRS Faculdade de Matemática Equações Difereciais - Prof. Eliete A equação diferecial liear de seguda ordem com coeficietes costates A y ( t ) + B y ( t ) + C y = f ( t ) modela matematicamete problemas de diversas áreas: física, egeharia, química, biologia,...na tabela a seguir apresetamos algus exemplos. A y ( t ) + B y ( t ) + C y = y(0 ) = y0 y ( 0 ) = y1 A y ( t ) + B y ( t ) + C y = 0 Aλ + B λ + C = 0 f ( t B ± B 4 AC λ 1, = A P = B 4 AC P>0 superamortecido P<0 - subamortecido P=0 criticamete amortecido ) Sistema Mecâico movimeto forçado com amortecimeto (massa fixa uma mola) f(t)=0 e β 0 movimeto livre amortecido f(t)=0 e β = 0 movimeto livre sem amortecimeto f(t)=0 eκ = 0 oscilador harmôico Circuito Elétrico em série L-R-C E(t) =0 - vibrações elétricas livres Torção movimeto de rotação( peso fixo a pota de um cabo elástico) y(t) Deslocameto q(t) - carga o capacitor, θ( t )- movimeto de dq i ( t ) = rotação dt A m - massa L - idutâcia I- mometo de iércia B β - amortecimeto R Resistêcia β -amortecimeto C κ costate elástica 1/C elastâcia=capacitâcia recíproca κ -Costate elástica f(t) f(t) -força extera E(t) voltagem impressa T(t) - torque P = β 4Mκ 4L P = R P = β 4Iκ C