APONTAMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA

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1 UNIVERSIDADE DO ALGARVE ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA APONTAMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA (III ) ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL

2 Ídice Itrodução Aplicação do cálculo matricial aos sistemas de equações lieares 6 Método de Gauss8 Método da matriz iversa0 Regra de Cramer0 4 Método dos determiates 7 5 Sistemas homogéeos0

3 Itrodução Os sistemas de equações lieares e suas soluções costituem um dos maiores tópicos em álgebra liear Vamos itroduzir alguma termiologia básica e discutir métodos para classificar e resolver sistemas de equações lieares de úmeros reais e ver como a álgebra matricial pode simplificar o seu estudo Comecemos por relembrar o coceito de equação liear Como é sabido, qualquer recta o plao oy pode ser represetada aaliticamete por uma equação da forma a + a y b, ode a, a e b e a, a são ão simultaeamete ulos Uma equação esta forma é chamada uma equação liear as variáveis e y Mais geericamete, pode defiir-se uma equação liear com variáveis Defiição (Equação liear): Uma equação liear (ou do primeiro grau) as variáveis,,, (as icógitas) é uma equação que pode ser escrita a forma a + a + + a b, ode os coeficietes a, a,, a e o termo idepedete b são úmeros reais, e a, a,, a ão todos simultaeamete ulos Repare-se que uma equação liear ão evolve, por eemplo, produtos ou raízes de variáveis Todas as variáveis aparecerem elevadas a, e ão aparecem com argumetos para fuções trigoométricas, logarítmicas ou epoeciais Resolver a equação liear é ecotrar uma sequêcia de úmeros s, s,, s de maeira a que a equação é satisfeita quado se substitui s,,, s s A essa sequêcia dá-se o ome de solução da equação liear O cojuto de todas as soluções é chamado o cojuto solução ou a solução geral da equação Equações dizem-se equivaletes quado tema mesma solução Obs: É vulgar represetar, uma solução da equação liear por ( s, s,, s ) ou [ s s s ] T cujos elemetos satisfazem a equação quado se substitui s,,, s s Eercício: Ecotre as soluções das equações a) 4 y e b) / 6

4 Defiição (Sistema de equações lieares): Um cojuto fiito de equações lieares as variáveis,,, é chamado um sistema de equações lieares (sistema liear) e pode ser represetado por a + a + + a b a + a + + a b, am + am + + am bm em que a ij (ão todos ulos) e b k são costates reais, para, i, k,, m e j,, Obs: Repare-se que o sistema tem m equações e variáveis E que, as m equações lieares do sistema evolvem, cada uma, as mesmas variáveis Os ídices as costates a s são utilizados para idicar a localização do coeficiete o sistema O primeiro úmero do ídice do coeficiete a ij idica qual a equação ode o coeficiete ocorre, o segudo úmero idica qual a icógita que multiplica Assim, a pertece à primeira equação e multiplica a icógita Uma sequêcia de úmeros s, s,, s é chamada a solução do sistema se s,,, s s é uma solução de cada uma das equações do sistema (verificam todas as equações simultaeamete) O cojuto solução de um sistema de equações lieares é o cojuto de todas as soluções do sistema Vamos referir o processo de ecotrar o cojuto solução de um sistema de equações lieares como resolver o sistema Obs: Uma solução de um sistema de equações lieares, ( s, s,, s ) ou [ s s s ] T, é simultaeamete solução de cada uma das equações do sistema Assim como o caso das equações, os sistemas lieares são chamados equivaletes quado têm o mesmo cojuto solução Recordamos as possibilidades que ocorrem quado se resolve um sistema de equações lieares, o que pode ser iterpretado como classificar o sistema Cosideremos, para isso, o seguite sistema liear com duas equações e duas icógitas e y, a + b y c ( a, b ão simultaeamete ulos) a + b y c ( a, b ão simultaeamete ulos) / 6

5 Como sabemos, os gráficos destas duas equações são rectas (porquê?), por eemplo, r e r Uma vez que o poto (, y ) pertece a uma recta se os úmeros e y satisfazem a equação da recta, a solução do sistema de equações correspode a potos de itersecção etre r e r Um sistema de equações lieares pode ser classificado da seguite maeira: As rectas r e r podem ser paralelas, e, ão havedo itersecção etre elas, o sistema ão tem solução (é impossível); As rectas r e r podem ter um úico poto de itersecção, o sistema tem uma solução (é possível e determiado); As rectas r e r podem coicidir, têm ifiitos potos de itersecção, o sistema tem ifiitas soluções (é possível e idetermiado) A solução do sistema é obtida através de métodos de resolução, a sua classificação tem a ver com o facto dessa solução eistir ou ão Portato, ao resolvermos um sistema estamos a classificá-lo, cotudo, podemos classificá-lo sem o resolver Vamos ilustrar o que aqui foi dito com um eemplo que visa, pricipalmete, recordar o processo de resolução/classificação de sistemas de equações lieares com duas variáveis e duas equações Eemplo: Resolva e classifique os seguites sistemas de equações lieares a) + y 4 b) + y + y 4 c) + y 8 + y 4 + y 6 Resolução: Resolver um sistema sigifica ecotrar os úmeros que satisfazem simultaeamete as suas equações Uma estratégia de resolução é, utilizado operações as equações, trasformar o sistema de equações lieares dado um sistema equivalete de tratameto mais fácil a) Multiplicado a ª equação por ( ) e somado à ª, resulta + y 4 + y 4 y y + y + 0 y A solução do sistema é o poto (vector) (,), quado à classificação, uma vez que o sistema tem uma úica solução, diz-se possível e determiado / 6

6 b) Repare-se que a ª equação deste sistema é o dobro da primeira, por isso, dividido-a por, o sistema fica reduzido à equação, y 4 Assim, as soluções do sistema são as soluções desta equação, ou seja, os potos da recta y 4, tedo ifiitas soluções, o sistema é possível e idetermiado Aaliticamete podemos fazer + y 4 y 4 y 4 y 4, + y 8 + (4 ) (PV) cocluido-se que, a resolução deste sistema de duas equações, reduz-se à resolução de uma equação com duas icógitas, y 4, ou seja, tem ifiitas soluções y 4 Obs4: y {(,5),(0,4},(,)} {(,5),(0,4},(,)}, 0 0 (PV) as soluções da equação y 4 (represetáveis a forma paramétrica por ( t, 4 t), odet é o parâmetro) A cojução de codições correspode à itersecção dos seus cojutos solução + y 4 c) Dividido por a ª equação do sistema, resulta, e, uma vez que a soma de dois + y úmeros e y ão pode ser, simultaeamete, 4 e, o sistema ão tem solução, diz-se impossível Aaliticamete a resolução pode ser + y 4 y 4 y 4 + y 6 + (4 ) Proposição Falsa (PF) Como chegámos à absurda coclusão que 8 6, coclui-se que o sistema ão tem solução Obs5: y 4 y {(,5),(0,4},(,)} (o cojuto vazio) 8 6 (PF) Até aqui resolvemos e, cosequetemete, classificámos o sistema através de métodos aalíticos Vamos agora utilizar o método gráfico Como sabemos, cada uma das duas equações dos sistemas represetam uma recta, por isso, a solução de cada sistema está relacioada com o posicioameto o plao dessas duas rectas (a solução do sistema é dada pela itersecção das duas rectas) 4/ 6

7 A represetação gráfica das equações dos diferetes sistemas do eemplo é ilustrada a seguir a) rectas cocorretes b) rectas coicidetes c) rectas paralelas Como se pode verificar, os ceários resultates da represetação gráfica, das rectas evolvidas em cada sistema, estão de acordo com a resolução aalítica desses sistemas: As rectas do sistema a) tem um úico poto de itersecção As rectas são cocorretes e o sistema é possível e determiado (tem uma úica solução); As rectas do sistema b) tem ifiitos potos em comum As rectas são coicidetes e o sistema diz-se possível e determiado (tem ifiitas soluções); As rectas do sistema c) ão tem potos de itersecção As rectas são paralelas e o sistema é impossível (ão tem solução) Apesar de se ter apeas cosiderado sistemas com duas equações e duas icógitas, os três sistemas do eemplo ilustram as úicas três possibilidades que se verificam a classificação de qualquer sistema de equações lieares com coeficietes reais Geeralizado: Um sistema de m equações lieares com coeficietes reais pode ser: Possível e determiado (tem uma úica solução), SPD; Possível e idetermiado (tem ifiitas soluções), SPI; Impossível (ão tem solução), SI Obs6: Nos sistemas possíveis as m equações são compatíveis, estes sistemas dizem-se compatíveis ou cosistetes Se p < m das equações do sistema têm uma solução comum, etão qualquer das outras equações que seja satisfeita por essa mesma solução diz-se compatível com as p equações Nos sistemas impossíveis as equações são icompatíveis, por isso, os sistemas dizem-se icompatíveis ou icosistetes 5/ 6

8 Aplicação do cálculo matricial aos sistemas de equações lieares Cosidere-se o seguite sistema de equações lieares com m equações e icógitas, a + a + + a b a + a + + a b am + am + + am bm Como sabemos, um método básico de resolução de sistemas de equações lieares é por elimiação sistemática das suas icógitas, ou seja, trasforma-se o sistema origial um sistema equivalete de mais fácil resolução Para isso são utilizadas, por eemplo, as seguites operações: Multiplicação de uma equação por uma costate diferetes de zero; Troca de duas equações; Adicioar duas equações Pretedemos aplicar o cálculo matricial ao estudo (classificação e resolução) de sistemas de equações lieares O sistema apresetado em cima, pode ser represetado a forma matricial AX B, ode a a a a a a A a a a m m m ( m ), X ( ) e b b B b m ( m ) A ( m ) é a matriz dos coeficietes do sistema, ode m é o º de lihas/equações e, é o º de coluas/variáveis (repare-se que, a colua j correspode à variável j ); X ( ) é matriz colua das icógitas (a calcular); B ( m ) é a matriz colua dos termos idepedetes (valores cohecidos), Para efectuar o estudo do sistema de equações lieares, podemos represetar o sistema liear pela a matriz ampliada [ A B ] (matriz completa do sistema) associada que se obtém acrescetado a colua dos termos idepedetes B à matriz do sistema A, ou seja, [ A B] a a a b a a a b a a a b + m m m m ( m ( )) 6/ 6

9 A ideia é operar a matriz ampliada [ A B ] por forma a obter uma matriz que esteja associada a um sistema liear equivalete ao origial, ou seja, obter uma matriz [ C D ] equivalete a [ A B ] Como as lihas de [ A B ] correspodem às equações do sistema, as três operações utilizadas para a resolução de sistemas, correspodem às operações elemetares por lihas das matrizes Assim, para se obter um sistema equivalete ao origial, utilizam-se as operações elemetares das matrizes, aplicadas às lihas, para codesar [ A B ], visado, o fial da codesação, obter uma matriz equivalete [ C D ], em que C é a codesada da matriz A, da forma, [ C D] c c c d 0 c c d 0 0 c d m m ( m ( + )) Obs7: Esta codesação pode ser efectuada por coluas, ão esquecedo que as coluas represetam as icógitas, e que ão se pode trocar a colua associada à matriz B Neste termos, o sistema associado à ova matriz [ C D ] é equivalete ao sistema iicial, portato, estudar o sistema associado a [ A B ] é o mesmo que estudar o sistema associado a [ C D ] Comecemos por classificar o sistema tedo por base a matriz [ C D ] Para isso, calculam-se a característica da matriz do sistema, A, idicada pela matriz C, e a característica da matriz ampliada [ A B ], idicada por [ C D ] (uma vez que estas matrizes são equivaletes) Desigado por: r a característica da matriz A, r r( A) ; r a característica da matriz [ A B ], r r( A B) ; m o úmero de equações, que correspode ao úmero de lihas em A; o úmero de icógitas, que correspode ao úmero de coluas em A Tedo em cota os valores de r, r, m e de podemos ter vários tipos de sistemas: ) r m Como m a matriz A e, cosequetemete, a matriz C são quadradas, e, como r( A) (eiste A ), a matriz pode ser trasformada uma matriz triagular Assim, a matriz [ C D ], obtida por codesação de [ A B ], é do tipo [ C D] c c c d 0 c c d 0 0 c d ( ( + )), uma vez que r ( det( C) 0 e c 0, i,, ) ii 7/ 6

10 Obs8: A matriz obtida por codesação ão é úica, cotudo, r( C D) r( A B) r( A) r( C) O sistema associado à matriz [ C D ] é c + c + + c d 0 + c + + c d c d com todos os cii 0 Ou seja, estas codições temos um sistema possível e determiado (reparese que a última equação do sistema é possível e determiada) Apresetam-se de seguida algus métodos de resolução de sistemas de equações lieares possíveis e determiados Método de elimiação de Gauss ou de substituição regressiva Quado se codesa a matriz ampliada do sistema de equações lieares, criamos um sistema equivalete que pode ser resolvido por substituição regressiva Da última liha sai, d, c substituido este valor a peúltima liha obtém-se O processo cotiua sucessivamete até à primeira liha, da qual sai, uma vez que essa altura já são cohecidos os valores de,,, O processo iteiro é cohecido como método de elimiação de Gauss Método de elimiação de Gauss-Jorda Uma modificação do método de Gauss simplifica bastate a fase de substituição regressiva, e é particularmete útil quado os cálculos estão a ser feito à mão Essa variate, cohecida como o método de elimiação de Gauss-Jorda, baseia-se em reduzir aida mais a matriz ampliada Partido da matriz codesada [ C D ], podemos cotiuar a operar esta matriz e trasformá-la em 0 0 l 0 0 l [ I L] 0 0 l Para tal, basta dividir cada liha de matriz [ C D ] por c ii e codesar a matriz para cima da diagoal pricipal Assim, os valores da matriz L coicidem com os valores das icógitas X, ou seja: l, l,, l Obs9: Obviamete o processo pode começar com a matriz [ A B ] 8/ 6

11 Resumido, estes dois métodos cosistem os seguites passos: (a) Escrever a matriz ampliada do sistema; (b) Através das operações elemetares, codesar a matriz ampliada; (c) Resolver o sistema equivalete que correspode à matriz codesada; ou, em alterativa, (d) Através das operações elemetares, trasformar A uma matriz idetidade Obs0: Estes dois métodos vem o seguimeto da codesação de [ A B ] + 6 Eemplo: Classifique e resolva o sistema Resolução: Comecemos pela classificação, a matriz dos coeficietes é 0 A 4 6, como a matriz A é quadrada ( ) e det( A ) 44 0, podemos trasformá-la uma matriz triagular, e assim, o sistema associado é possível e determiado O que pode ser cofirmado através da codesação por lihas da matriz ampliada [ A B] [ C D] repare-se r r( A) r( A B) m Destas matrizes equivaletes, resultam os seguites sistemas equivaletes, cuja solução é obtida pelo método de Gauss, Ou, como alterativa, podemos utilizar o método de Gauss-Jorda, [ C D] [ I L] dode,, e é a solução do sistema Repare-se que, à classificação do sistema pelo processo de codesação da matriz ampliada, está automaticamete associado o método de resolução de Gauss-Jorda 9/ 6

12 Método da matriz iversa ou método de eplicitação Tedo por base o facto do sistema ser possível e determiado, pois só assim a matriz dos coeficietes admite iversa, resolver a equação matricial AX A, uma vez que, r( A) det( A) 0 B em ordem à matriz X, Este método cosiste em AX B A AX A B IX A B X A B Não é ecessário codesar a matriz, se assim fosse poderia utilizar-se o método de Gauss Eemplo: Resolva os seguites sistemas: a) + y b) y + y c) y + y 4 y 5 Resolução: Neste eemplo, propomo-os resolver três sistemas com matriz dos coeficietes igual Vamos usar o método da matriz iversa, para isso, covém verificar se a sua aplicação é possível A matriz dos coeficietes é A, uma matriz quadrada de ordem, ode det( A) r( A), portato, A admite iversa e o sistema é possível e determiado Temos que resolver a equação X A B, sedo A vem a) X 5 9, b) X 4 e c) 4 X 5 4 Regra de Cramer A regra de Cramer, dá uma fórmula que descreve a solução de sistemas de equações lieares com variáveis possíveis e determiados, iteiramete em termos de determiates Teorema (Regra de Cramer): Se AX que A 0, etão o sistema tem solução úica Essa solução é B é um sistema de equações lieares a icógitas tal Ai i, i,,, ode A i é a A matriz que se obtém de A, substituido a colua i pela colua dos termos idepedetes B Obs: Um sistema de equações lieares diz-se de Cramer se, e só se: i) O úmero de equações é igual ao úmero de icógitas ( m ) ; ii) A matriz dos coeficietes tem determiate A 0 0/ 6

13 Como se pode verificar, para um úmero qualquer de equações, a regra de Cramer evolve o cálculo de + determiates de ordem, o que para > 4 pode ser tedioso para ser feito à mão Mesmo tedo, este resultado, pouco valor prático para além de sistemas com duas equações e duas variáveis, tem uma grade importâcia teórica Esta regra é útil para se estudar propriedades matemáticas da solução sem ser ecessário resolver o sistema É uma alterativa à codesação da matriz [ A B ] para se classificar sistemas Com base o valor do determiate de A ( ), vamos clarificar o processo de classificação de sistemas, com equações e icógitas, através da regra de Cramer: Caso A 0, do teorema aterior resulta imediatamete que, podemos sempre ecotrar uma solução que é úica, o sistema é possível e determiado + 6 Eemplo4: Resolva o sistema Resolução: A matriz dos coeficietes é A 4 6 e a dos termos idepedetes B 0 8 Como a matriz A é quadrada ( ) e A 44 0, o sistema diz-se de Cramer, logo, é possível e determiado Sedo 6 0 A A 40 A A 7 8, 0 6 A 4 0 A 5, 8 e vem A 40 0 A 44, A 7 8 A 44 e A 5 8 A 44 Ou, pelo que foi dito, o sistema AX B, com A ( ), tem solução úica sse A 0, sedo esta solução dada por AX B X A B (verifique!) Caso A 0, como o determiate da matriz dos coeficietes aparece o deomiador, a divisão por zero ão é possível No etato, temos que cosiderar dois casos: i) Se tivermos 0 i, i,, (todos os umeradores iguais a zero), ou seja, uma 0 idetermiação para todas as icógitas, o sistema é possível e idetermiado ou impossível (ver teorema de Rouché) ii) Se pelo meos um dos umeradores for diferete de zero, o sistema é impossível / 6

14 y + z Eemplo5: Classifique o sistema + 6y 9z + 4y 6z Resolução: Para classificar o sistema, vamos utilizar a regra de Cramer Comecemos por ver que, A 0, ou seja, o sistema ão pode ser possível e determiado Por outro lado, como, A A A 0, temos 0 i, i,,, uma idetermiação para todas as variáveis Como 0 a última equação é combiação liear das outras duas, o sistema é possível e idetermiado Repare que r( A) r( A B) (verifique!) Por outro lado, trocado a última equação por + y z + 0, também A A A 0 e A 0 Cotudo, o sistema é impossível basta ateder às duas últimas equações (porquê?) Repare que r( A) < r( A B) (verifique!) No que se segue, dá-se uma sugestão de orietação a utilização de métodos de resolução de sistemas de equações lieares com variáveis, possíveis e determiados: a) É coveiete usar o método de Gauss para resolver sistemas de equações lieares com variáveis os seguites casos: Quado se tem para resolver um úico sistema; Quado se quer resolver um cojuto de sistemas estas codições, tais que as matrizes dos coeficietes das variáveis de cada sistema sejam diferetes umas das outras; Este método é idicado quado o úmero de equações for relativamete grade b) É coveiete usar o método da matriz iversa o caso em que se tem para resolver cojutos de sistemas de equações lieares e variáveis, tais que as matrizes dos coeficietes das variáveis de cada sistema sejam todas iguais, variado somete a matriz dos termos idepedetes c) A regra de Cramer, de uso restrito como já foi referido, é utilizada, em geral, apeas para resolver sistemas de equações lieares e duas variáveis ou, mesmo, de equações e variáveis Para sistemas com mais de equações lieares a regra é praticamete iaplicável em virtude do elevado úmero de determiates a calcular Por eemplo, para resolver sistemas de equações a icógitas pela regra de Cramer, é preciso avaliar + determiates de matrizes ( ) Equato pelo método de Gauss basta codesar uma matriz ( ( + ) ) Cotudo, a regra de Cramer dá uma fórmula para a solução deste, desde que o determiate da matriz do sistema seja diferete de zero E, idepedetemete de termos de calcular + determiates, é uma alterativa para a classificação de sistemas / 6

15 ) r m < Como m <, o úmero de equações é meor que o úmero de icógitas, ou seja, a matriz A ( m ) tem mais coluas do que lihas (a matriz ão é quadrada, ão é possível trasformar A em triagular) Como as lihas de A são liearmete idepedetes (porquê?) e r( A) codesação da matriz ampliada do sistema, [ A B ], obtemos uma matriz [ C D ] do tipo <, após c c c m c d 0 c cm c d [ C D] 0 0 cmm cm dm Observa-se que, r( A) r( A B) m (úmero de coluas liearmete idepedetes), e que a última liha da matriz C tem mais do que um elemeto diferete de zero (para um úico elemeto estas codições o sistema seria possível e determiado) A matriz [ C D ] correspode ao sistema c + c + + c m m + + c d 0 + c + + cm m + + c d, cmm m + + c dm como se pode verificar, a última equação é idetermiada pois cotém m r icógitas Ou seja, eistem r icógitas em ecesso (arbitrárias), obtedo-se as restates como combiação liear destas, logo o sistema é possível e idetermiado O grau de idetermiação (º de icógitas que ecedem o º de equações idepedetes) do sistema é d r m Relativamete à resolução deste tipo de sistemas: ) O método de Gauss simplifica bastate a fase de substituição regressiva, e é particularmete útil quado os cálculos estão a ser feito à mão um sistema com ifiitas soluções; ) O método de Gauss-Jorda, este caso, ão pode ser usado porque ão se pode calcular I; ) O método da matriz iversa ão pode ser aplicado uma vez que ão eiste A, r( A) < ; 4) A regra de Cramer pode ser utilizada, porém sedo o sistema possível e idetermiado, m <, é ecessário acrescetar aos termos idepedetes mais d m variáveis Qualquer que seja o método utilizado, as primeiras m icógitas;,, m (as pricipais, que correspodem ao úmero de coluas liearmete idepedetes escolhidas), vêm em fução das últimas r icógitas (arbitrárias/livres) Todas as equações são pricipais (porquê?) / 6

16 Eemplo6: Classifique e resolva o sistema 4y + z + y z Resolução: Como m < (eistem mais variáveis do que icógitas) e r( A) r( A B) (verifique!) o sistema é possível idetermiado, com grau de idetermiação d r (sigifica que eiste uma variável livre) Codesado a matriz ampliada do sistema obtemos O sistema origial é equivalete a 4 0 [ A B] [ C D] 0 (y ) 4y + z z + z y (variável livre) + y z y z z ( + y) z ( y + ) Neste caso, ão podemos classificar o sistema pela regra de Cramer, pois ão eiste A (porquê?) Para a sua resolução usado esta regra, como sabemos que SPI, com grau de idetermiação, cosiderarmos (por eemplo) y como variável livre, dode as variáveis e z são as variáveis pricipais Assim, temos que cosiderar a matriz do sistema com sedo A A Nestes termos, a matriz dos termos idepedetes é + 4 y A A y (y ) y A Portato, S {( (y ), y, ( y + )), y } é a solução do sistema + 4y B, y Obtemos y + 4 y A A y z ( y + ) y A e r < m Neste caso, a característica da matriz A é meor do que o úmero de equações, portato, após codesação da matriz ampliada [ A B ] obtém-se uma matriz [ C D ] do tipo c c c c 0 c c c [ C D] 0 0 crr cr r r d d d r dr+ m r d m equações A classificação do sistema depede dos valores dos últimos termos idepedetes dr +, dr+,, dm 4/ 6

17 Podemos cosiderar duas situações: a) r r, ou seja, as características da matriz A e da matriz [ A B ] coicidem Para que tal acoteça, é ecessário que todos os últimos m r termos idepedetes, correspodetes às últimas m r equações, sejam ulos, ou seja, que d d d 0 r+ r + m Assim sedo, para a resolução do sistema, podemos desprezar as últimas m r equações (redudates), uma vez que, são todas do tipo 0 0 (codições uiversais) Elimiado estas equações, porque ão são depedetes das restates, o sistema a forma matricial, após codesação será da forma c c c r c d 0 c cr c d [ C D], 0 0 crr cr dr portato, o sistema correspodete passa a ter variáveis e r equações (as pricipais) Após ova codesação o sistema poderá ser aalisado pelos casos ), se r ou ), se > r b) r < r, este caso a característica da matriz A é meor que a característica da matriz ampliada [ A B ] Para que tal acoteça, pelo meos um dos últimos termos idepedetes; d,, r + dm tem que ser diferete de zero, resultado uma equação do tipo: 0 k (com k 0 ), pelo que o sistema é impossível (o sistema tem mais termos idepedetes do que variáveis) Resumo: Tedo em cota os valores de m,, r r( A) e r r( A B) podemos ter: ) m r SPD r m ) m r < SPI ) r SPD a) r r ) r SPI r m < < b) r < r SI 5/ 6

18 Eemplo7: Classifique e resolva o sistema + z t y + t 0 + y z + t y z t y 4z + t 8 Resolução: Como o sistema tem 4 icógitas e m 5 equações, a matriz do sistema 0 0 A, 4 4 tem o máimo característica r( A ) 4 (valor iferior ao úmero de equações, r( A) < m ) Assim, o sistema tem as três possibilidades de classificação (justifique!) Prova-se que a característica da matriz ampliada é igual à característica de A, r( A) r( A B) 4, ou seja, o sistema é possível, como a característica de A é igual ao úmero de variáveis, r( A) Codesado, por lihas, a matriz ampliada, vem, o sistema é determiado [ A B] [ C D], (o que acotece se trocarmos a ordem das lihas da matriz [ A B ], e das coluas?) Dode a solução do sistema é + z t + z t y t 0 y + 4z + 4t 4 + y y z + t z + t, z y z t t t 4 y 4z t portato, o sistema é possível e determiado com solução S {(, 0,, )} A última equação do sistema, que correspode à liha de zeros de [ C D ] é redudate (porquê?) pode ser elimiada para a resolução do sistema (verifique!) O sistema tem r( A ) 4 equações pricipais, as ecessárias para a sua resolução A equação redudate é compatível com o sistema que evolve as outras 4 equações (verifique!) 6/ 6

19 O processo de classificação de sistemas de equações lieares pode ser baseado o cálculo de determiate Este é chamado método dos determiates Defiição: Dado um sistema de m equações e icógitas, ao maior determiate em ordem diferete de zero que se pode etrair da matriz do sistema, dá-se o ome de determiate (meor) pricipal do sistema, e represeta-se por, p,, Relativamete ao determiate pricipal podemos dizer que: p As equações cujos coeficietes estão represetados o determiate pricipal (que correspodem às p lihas de houver) são equações ão pricipais; p ), chamam-se equações pricipais As restates equações (se As icógitas cujos coeficietes estão represetados o determiate pricipal (que correspodem às i coluas de (se houver) são icógitas ão pricipais (ou livres) p ), chamam-se icógitas pricipais As restates icógitas Eemplo8: Calcule o determiate pricipal do sistema do eemplo7 Resolução: A matriz dos coeficietes é A (5 4), o maior determiate que se pode etrair é de 4ª ordem O determiate que evolve as quatro primeiras equações é (verifique!), ou seja, o determiate pricipal é de ordem 4 Assim, as quatro equações do sistema são as pricipais e última é ão pricipal Todas as icógitas são pricipais (porquê?) Como vimos, o sistema pode ser resolvido com as 4 primeiras equações, a última equação é redudate Prova-se que apeas o determiate 4 que ão evolve a º equação é igual zero (verifique!) Eercício: Resolva os sistemas resultates do sistema do eemplo7 depois de elimiar uma equação Compare os resultados com o respectivo determiate pricipal, que coclusão pode tirar? + y + z + t 4 y z + t Eemplo9: Calcule o determiate pricipal do sistema + t 5 4 y z + t Resolução: Como A (4 4), o maior determiate que se pode etrair é de 4ª ordem, 4 A Provase que 4 0 (porquê?), e que os determiate de ª ordem, são todos ulos, 0 Relativamete aos determiates de ª ordem, eiste, por eemplo, um 0, logo o determiate pricipal é de ª ordem 7/ 6

20 Nestes termos, cosideram-se a ª e ª equações e as icógitas e como pricipais e as restates como ão pricipais (porquê?) Repare-se que há outros determiates de ª ordem diferetes de zero, e cosequetemete, outras equações e icógitas pricipais Teorema: Uma matriz tem característica igual a r se, e só se, cotém pelo meos um determiate pricipal de ordem r Eemplo0: A matriz A do eemplo7 tem r( A ) 4 (porquê?), equato, para o eemplo9 r( A ), porque 4 0, 0 e 0 Defiição4: Chama-se determiate característico, e represeta-se por c, ao determiate que se obtém do determiate pricipal acrescetado-lhe uma liha (costituída pelos coeficietes correspodetes de uma equação ão pricipal) e uma colua (costituída pelos termos idepedetes correspodetes) Obs: Há tatos determiates característicos quatas as equações ão pricipais Eercício: Calcule os determiates característicos do sistema do eemplo7 Eemplo: Determie os determiates característicos do sistema do eemplo9 Resolução: Como vimos, o determiate pricipal é de ª ordem, uma vez que, por eemplo, 0 Nestes termos, cosideramos a º e º equações como pricipais e as restates duas como ão pricipais, logo eistem dois determiates característicos, 4 4 c e c Eistido outros determiates pricipais de ª ordem, eistem outros determiates característicos (quais?) Qual a característica da matriz ampliada do sistema? Teorema (teorema de Rouché): Um sistema de equações lieares é possível se e só se ão houver determiates característicos ou todos se aularem Nestas codições o sistema é: Possível e determiado se todas as icógitas são pricipais, r( A) r( A B) ; Possível e idetermiado se há icógitas ão pricipais, r( A) r( A B) < ; Impossível se algum dos determiates característicos é diferete de zero, r( A) r( A B) 8/ 6

21 Este euciado equivale ao seguite: É codição ecessária e suficiete para que um sistema de equações lieares seja possível que a matriz A dos coeficietes do sistema e a matriz ampliada [ A B ] teham a mesma característica Eercício4: Faça um estudo comparativo etre a regra de Cramer e o teorema de Rouché Eercício5: Classifique o sistema do eemplo7, utilizado o teorema de Rouché Eemplo: Classifique o sistema do eemplo9, utilizado o teorema de Rouché Resolução: Como c c 0 o sistema é possível, sedo 0 e A (4 4) eistem icógitas ão pricipais, logo o sistema é idetermiado Verifique que r( A) r( A B) Eemplo: Sem resolver o sistema, verifique, usado o teorema de Rouché, que a equação 4 + y 4z + t 8 é compatível com o sistema + z t y + t 0 + y z + t + y z t Resolução: Uma equação é compatível com um sistema se verifica a solução do sistema Como o sistema é possível (porquê?), pelo teorema de Rouché, ou ão eistem determiates característicos ou, se eistem, são ulos O determiate pricipal do sistema é de ordem 4 (porquê?), com a equação dada formamos um determiate característico c de ordem 5 Como 0 (verifique!) a equação é compatível com o sistema (o que sigifica?) De facto, a solução c do sistema é S {(, 0,, )}, que satisfaz a equação dada (verifique!) Verifique se + z t é compatível com o sistema que evolve as outras equações e 4 + y 4z + t 8 Eercício6: Resolva os sistemas dos eemplos 9 e Eemplo4: Classifique o sistema, em fução do parâmetro k, k Resolução: Pelo teorema de Rouché, a codição ecessária e suficiete para que um sistema de equações lieares seja possível é que todos os determiates característicos, se eistirem, sejam ulos Uma vez que, a matriz do sistema é de ordem ( 4 ), ou seja, eistem icógitas e 4 equações, o determiate pricipal o máimo tem ordem (porquê?) Por eemplo, 9/ 6

22 0, dode cosideramos as três primeiras equações como pricipais (todas as icógitas são pricipais, porquê?) Como apeas a 4ª equação é ão pricipal, eiste um úico determiate característico 0 c4 ( k ), verifique para que valores de k, r( A) r( A B) k Tedo em cota o valor de k a classificação do sistema é: c4 k 0, o sistema é impossível, o determiate característico é diferete de zero; c4 k 0, o sistema é possível e determiado (porquê?) Apesar dos sistemas de equações lieares vistos até aqui serem sempre, possíveis ou impossíveis, eiste um tipo de sistemas lieares que uca é impossível Defiição5: Um sistema de equações lieares diz-se homogéeo se o seu termo idepedete em cada equação é igual a zero Matricialmete é represetado por AX O Por outras palavras, um sistema homogéeo tem uma matriz ampliada da forma [ A 0] Pelo teorema de Rouché, podemos cocluir que, este sistema admite sempre a solução trivial (porquê?), isto é, 0 (se eistirem outras soluções chamam-se ão triviais) Uma vez que os sistemas lieares homogéeos têm sempre a solução trivial, há apeas duas possibilidades para as suas soluções: O sistema tem apeas a solução trivial (ula), sistema possível e determiado; O sistema tem ifiitas soluções a jutar à solução trivial, sistema possível e idetermiado Eemplo5: Resolva o sistema homogéeo Resolução: O sistema tem 4 equações e 5 variáveis ( m < ) Tratado-se de um sistema homogéeo, tem sempre solução (classifique o sistema utilizado o teorema de Rouché!) Após codesação, a matriz ampliada do sistema é equivalete a 0/ 6

23 [ A O] [ C O] Dode, r( A) < m <, a última equação é redudate (pode ser elimiada) e o sistema origial equivale a um sistema com equações (pricipais) e 5 variáveis, portato, possível e idetermiado de grau (eistem ifiitas soluções a jutar à trivial) O sistema associado a [ C O ] é , as variáveis e são uma combiação liear das variáveis e 5 (as variáveis livres) Cosiderado s e 5 t, a solução geral é s t, s, t, 4 0 e 5 Note-se que a solução trivial é obtida quado s t 0 Determie uma solução particular t Este eemplo ilustra dois potos importates a resolução de sistema de equações lieares homogéeos: ) As operações elemetares sobre as lihas da matriz ampliada [ A O ] de um sistema homogéeo, ão alteram a matriz dos termos idepedetes O, ou seja, depois da codesação a matriz equivalete resultate é do tipo[ C O ], e, assim, o sistema associado cotiua a ser homogéeo; ) Depededo do facto da matriz codesada ter alguma liha de zeros ou ão, o úmero de equações o sistema resultate terá o mesmo ou um meor úmero de equações relativamete ao sistema origial Nestes termos, se o sistema homogéeo origial tem m equações e variáveis com m <, e se eistirem r lihas ão ulas a matriz codesada, etão r( A) r < (porquê?) Teorema4: Seja AX 0 um sistema homogéeo com m equações e variáveis, ode m <, etão o sistema tem ifiitas soluções Teorema5: O sistema homogéeo AX 0 tem soluções ão ulas se e só se r( A) r < (isto é, se a característica da matriz do sistema for iferior ao úmero de icógitas) Obs: Caso r( A) r <, uma vez que o sistema AX 0 é possível, eistem m r equações redudates e r icógitas livres / 6

24 Obs4: Do teorema5 coclui-se que, o sistema homogéeo AX 0, com equações e icógitas, tem soluções ão ulas se e só se A 0, ou seja, se A for uma matriz sigular Eemplo6: Cosidere a matriz satisfazem a equação AX λ X A Determie os valores λ tais que X O que Resolução: Sedo A ( ), como a matriz idetidade I é o elemeto eutro do produto, temos AX λ X AX λi X AX λi X λi X λi X ( A λi ) X 0, um sistema homogéeo ( A ( ) ), que tem solução ão trivial ( X O ) se, e só se, A λi 0 Dode 0 0 λ λ A λi λ λ 0 0 ( λ ) ( λ ) 0 ou seja, apeas para os valores λ λ eiste X 0 y 0 z 0 tal que AX λ X Eemplo7 Resolva o sistema homogéeo Resolução: Sistema com m equações e icógitas, codesado a matriz do sistema A 0, vem O sistema é possível e determiado, apeas admite a solução trivial Repare-se que matriz do sistema tem r( A) m p, ou seja, A 0 (a matriz A é regular) Eistido AX O X O, a úica solução do sistema homogéeo A, tem-se Defiição6: Um cojuto { S, S,, S } de soluções liearmete idepedetes do sistema k AX 0 é um cojuto fudametal de soluções se qualquer solução do sistema é uma combiação liear das soluções S, S,, S k / 6

25 Teorema6: Seja AX 0, se r( A) r < o sistema possui cojutos fudametais de soluções Obs5: Para obter um cojuto fudametal de soluções podem atribuir-se quaisquer valores às icógitas livres, desde que o determiate da matriz quadrada de ordem d, cujas coluas são formadas pelos valores atribuídos em cada solução às icógitas livres, seja diferete de zero Coclui-se que, o úmero de soluções em qualquer cojuto fudametal é igual ao grau de idetermiação do sistema homogéeo Eemplo8 Resolva o sistema homogéeo Resolução: Um sistema de equações homogéeo com mais icógitas, 4, do que equações, m, é idetermiado Como referido (ode?), para a resolução do sistema, ão é ecessário usar a matriz ampliada, basta codesar por lihas a matriz do sistema [ A B] Coclui-se que r( A) < m < 4, o sistema é possível e idetermiado de grau (porquê?) Da maeira como a matriz foi codesada, a terceira equação é redudate e as duas primeiras são pricipais Por outro lado, o maior determiate diferete de zero (determiate pricipal) que se pode etrair de A é de ordem (porquê?), por eemplo, 0, e assim, cosidera-se as icógitas e como pricipais, e e 4 como livres (a solução do sistema as variáveis e vêm em fução de e 4 ) Obs6: Como r( A) < m < eistem determiates característicos, estes são ulos (porquê?) Assim, ( 4 ) ( + 4 ) A solução geral do sistema toma a forma / 6

26 ( 4 ) 4 ( + 4 ) 4 X Fazedo, 4 0 e 0, 4 obtém-se um cojuto fudametal com soluções (porquê?),,,, 0 e,, 0,, e qualquer solução do 4 4 sistema proposto é combiação liear destas duas soluções, ou seja, X + λ λ (correspode à epressão geral das soluções do sistema) Se fizermos, 4 e, 4 obtém-se outro cojuto fudametal de soluções, 0,,, 4 e,,, 4, e qualquer solução do sistema proposto é também combiação liear destas duas soluções X 0 + µ µ 4 Se fizermos 4 e 4 cotiuamos a obter duas soluções do sistema AX 0 (verifique!), cotudo, ão costituem um cojuto fudametal de soluções pois 0 Pelo que foi referido, todo o sistema de equações lieares AX B com B 0, tem um sistema homogéeo associado No que se segue, estabelecemos algumas relações etre as soluções de um sistema e as soluções do sistema homogéeo associado Defiição7: Chama-se úcleo, N( A ), de um sistema AX homogéeo associado a esse sistema B ao cojuto solução do sistema 4/ 6

27 Eemplo9 Calcule o úcleo do sistema + y + z + y + z 6y 4z Resolução: Pretede-se calcular a solução do sistema homogéeo associado a AX Codesado a matriz associada ao sistema, AX 0, obtemos A B O sistema homogéeo é equivalete a + y + z 0 + y + z 0 + y + z 0 y + z 0 y 6y 4z 0 z z Dode, a solução geral do sistema AX 0, isto é, o úcleo de AX B é { [ ] } T N( A) z, z z z Relação: Cosidere-se um sistema de equações AX S são soluções de AX B, etão AS B e AS B e o sistema associado AX 0 Se S e B, dode, AS AS A( S S ) 0 A difereça de duas soluções do sistema ão homogéeo é uma solução do sistema homogéeo Eemplo0 Resolva o sistema + y + z + y + z 6y 4z Resolução: O sistema é possível e idetermiado (porquê?), { y +, y, z y } é a sua solução Duas soluções particulares deste sistema são, para S, dode S S [ ] y 0, [ 0 ] T AX 0 (verifique!) S 4 4 T e, para y, [ ] T é uma solução particular do sistema Relação: Cosidere-se um sistema de equações AX solução de AX 0 e S uma solução particular de AX soluções do sistema AX B e o sistema associado AX 0 Seja S a B, etão A( S + S ) 0 + B B As B (se eistirem) podem ser obtidas somado uma solução particular deste sistema com cada solução do sistema homogéeo associado 5/ 6

28 Eemplo: Sabedo que [ 4 4] T verifica o sistema do eemplo aterior, ache a epressão geral das suas soluções Resolução: Vamos resolver o sistema AX T { } solução [ ] B utilizado o sistema homogéeo AX 0, que tem N( A) z, z (porquê?) Cosiderado a solução particular S [ 4 4] T de AX B e somado-a com algumas soluções de AX 0, por eemplo, T T T [ ],[ 4 ],[ 6] e [ ] T, obtemos a epressão geral das soluções de AX B, ou seja, { y +, y, z y } (verifique!) y Eemplo Cosidere o sistema de equações lieares 5 + t + z y + t + z 0 a) Sejam S [ 7 0] T e [ ] destas uma solução do sistema homogéeo associado b) Calcule a solução geral do sistema Resolução: S 8 T soluções do sistema Determie através a) Coforme a relação, a difereça de duas soluções do sistema ão homogéeo é uma solução do sistema homogéeo Logo, S S [ ] 0 0 T é uma solução do sistema homogéeo b) Coforme a relação, todas as soluções do sistema AX B podem ser obtidas somado uma solução particular deste sistema com cada solução do sistema homogéeo associado Comecemos por resolver o sistema homogéeo associado utilizado o processo de codesação às lihas da matriz do sistema A Como r( A ), o sistema é idetermiado com grau de idetermiação d r Um cojuto fudametal de soluções é portato costituído por uma solução idepedete, por eemplo, [ 0 0 ] T A solução geral do sistema homogéeo é portato [ ] X λ 0 0 T, λ e a solução do sistema AX B é, cosequetemete, [ 7 0] T λ [ 0 0 ] X +, λ T 6/ 6