CAPÍTULO 5 - INTRODUÇÃO À INFERÊNCIA ESTATÍSTICA

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1 CAPÍTULO 5 - INTRODUÇÃO À INFERÊNCIA ESTATÍSTICA 5. INTRODUÇÃO É freqüete ecotrarmos problemas estatísticos do seguite tipo : temos um grade úmero de objetos (população) tais que se fossem tomadas as medidas X de todos os objetos teríamos a distribuição exata desta variável. Etretato, de modo geral ocorre que a obteção das observações de todos os elemetos é iviável por algum motivo (custos, tempo, dados iacessíveis, populações ifiitas, etc.) e o estudo é realizado, etão, através de uma amostra retirada da população. Por exemplo, supoha que se queira cohecer a altura média dos estudates de Egeharia do CEFET. Poderíamos obter as medidas das alturas de todos os aluos citados e calcular a sua média exata. Etretato, podemos obter uma estimativa desta média através de uma amostra retirada do cojuto de todos os aluos cosiderados e tirar coclusões a respeito do comportameto da variável altura em toda a população. Este procedimeto de fazer afirmações (geeralizações) sobre características de uma população baseado-se em resultados de uma amostra, é objeto de estudo da INFERÊNCIA ESTATÍSTICA. Esquematicamete temos : População X θ =? Amostra θ Iferêcia Estatística X, X,..., X A Iferêcia Estatística é dividida em duas partes : Estimação e Testes de Hipóteses. Testes de Hipóteses é um processo de aceitar ou rejeitar afirmações feitas sobre características de uma população, equato que Estimação trata de estimar valores para características populacioais. A fim de podermos estudar os procedimetos da Iferêcia Estatística, precisamos cohecer, além dos coceitos de probabilidade e distribuições de probabilidade vistos, algus elemetos básicos dessa teoria, os quais apresetamos a seguir.

2 90 ESTATÍSTICA 5. POPULAÇÃO E AMOSTRA População é o cojuto de idivíduos (ou objetos), tedo pelo meos uma variável comum observável. Amostra é qualquer subcojuto da população. Por exemplo, imagie que um idustrial está iteressado em cohecer a duração de vida de um determiado compoete eletrôico do seu processo produtivo. A população é formada por todos os compoetes deste tipo que teham sido fabricados ou que aida veham a ser fabricados essa idústria. Uma amostra poderia ser formada por 00 destes compoetes escolhidos ao acaso segudo algum plao de retirada da amostra. Se a variável de iteresse este estudo for X = duração de vida dos compoetes, etão a sua caracterização a população poderá ser feita através da distribuição de probabilidade de X. (O modelo expoecial pode ser adequado este caso). 5.3 PESQUISA POR AMOSTRAGEM Uma vez que costatamos a ecessidade de um estudo de iteresse ser feito através de uma amostra, temos algus problemas a resolver. Um deles é defiir claramete os elemetos da população a ser estudada, chamada de população-alvo, e a idicação das características desta população que serão medidas, ou seja, quais as variáveis que serão avaliadas a pesquisa. Outro problema é defiir como a amostra será obtida, qual o seu tamaho e quais os elemetos da população irão compor a amostra. Os problemas de amostragem podem ser mais ou meos complexos, depededo da população e das variáveis do estudo. Etretato, uma preocupação básica em relação a uma amostra é que ela seja represetativa da população-alvo, pois somete assim podemos fazer iferêcias válidas. Para coseguir represetatividade é ecessário que o processo de escolha da amostra seja aleatório. Assim, em Iferêcia Estatística, são utilizadas amostras probabilísticas que são aquelas obtidas quado todos os elemetos da população tem probabilidade cohecida, e diferete de zero, de pertecer à amostra. Os métodos mais comus de extração de amostras probabilísticas são : Amostragem Aleatória Simples, Amostragem por Coglomerado, Amostragem Estratificada e Amostragem Sistemática.

3 ESTATÍSTICA 9 _ 5.4 PARÂMETROS E ESTATÍSTICAS Um parâmetro é uma medida usada para descrever uma característica da população. Por exemplo, se estamos iteressados em estudar a v.a. X = altura dos elemetos de uma população e esta variável tem Distribuição Normal N(µ,σ ), etão a média µ e a variâcia σ são os parâmetros deste modelo. São valores fixos e muitas vezes descohecidos. Uma estatística é uma característica da amostra. Assim, se X, X,..., X é uma amostra aleatória de uma variável X, etão $ θ = f (X, X,..., X ) é uma estatística. População Amostra X Estatística (X, X,..., X ) Parâmetro $ θ θ A otação mais comum para algus parâmetros e estatísticas é : Estatística Parâmetro Média X µ Variâcia s σ N o de Elemetos N Proporção $p p

4 9 ESTATÍSTICA 5.5 DESCRIÇÃO DE UMA AMOSTRA DE MEDIDAS Dados estatísticos (amostras) obtidos de pesquisas, experimetos, ou qualquer série de medidas, são geralmete tão umerosos que se ão forem codesados ou reduzidos de forma adequada, poderão ser iúteis. Portato, existe a ecessidade de se resumir estas medidas estatisticamete para que possam ser utilizadas em aálises posteriores. Veremos, a seguir, algus métodos de descrição de dados amostrais DESCRIÇÃO GRÁFICA DE UMA AMOSTRA DE MEDIDAS Cosidere os dados abaixo como sedo os pesos de coberturas de zico de 80 lâmias de ferro galvaizado de um dado tamaho, tomados de um maual da Sociedade Americaa de Testes de Materiais. Os 80 úmeros podem ser vistos como valores de uma variável aleatória X. Para ivestigar a distribuição de X, uma represetação gráfica simples é dada pelo diagrama de freqüêcia de potos, o qual cada um dos 80 úmeros é idicado por um poto do eixo x correspodete a tal úmero. TABELA : Pesos (em ouces) de coberturas de zico de 80 lâmias de ferro galvaizado.,47,60,58,56,44,6,60,58,39,35,5,38,3,65,53,77,73,6,6,38,55,70,47,53,46,53,60,4,47,44,38,60,45,34,47,37,48,34,58,43,64,5,44,49,64,46,53,56,56,50,63,59,48,54,6,54,50,48,57,4,53,60,55,67,57,34,54,64,47,75,60,57,58,63,47,64,5,44,49,64

5 ESTATÍSTICA 93 _ GRÁFICO : 30 f 0 0,0,30,40,50,60,70,80 Peso da Cobertura ( ouces ) 5.5. DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS É uma tabela que agrupa os dados em um úmero relativamete pequeo de classes ( itervalos ), listado o úmero de observações pertecetes a cada classe. Embora se perca alguma iformação a respeito dos dados, a distribuição é útil a ivestigação das características da variável em estudo. Vamos costruir uma distribuição de freqüêcias para os dados da tabela, seguido uma seqüêcia de procedimetos.. Determiar a amplitude total dos dados, isto é, a difereça etre o maior e o meor dado :,77 -,3 = 0,45. Dividir a amplitude total pelo úmero escolhido de classes ( ou itervalos ) de mesmo tamaho. Geralmete usamos de 0 a 5 classes e um comprimeto coveiete de classes é um úmero simples. Neste exemplo, usaremos 0 classes de comprimeto 0,05. Poderíamos utilizar 0,04, 0,03 ou 0,0, mas evitamos comprimetos tais como 0,033, 0,035, etc. 3. Os itervalos de classes devem ser tais que acomodem todos os dados da amostra, isto é, cada valor da amostra deve pertecer a alguma classe. Uma vez defiidos tais itervalos, cotar o úmero de dados pertecetes a cada itervalo. Aparecerão, etão, as freqüêcias de classe.

6 94 ESTATÍSTICA TABELA : A B C D E F Classes Freqs. Poto Médio Freqs. Relativas Freqs. Acumls. Freqs. Relat. Acumuls.,30 -,35 5,33 0, ,065,35 -,40 5,38 0, ,50,40 -,45 8,43 0, ,50,45 -,50 5,48 0, ,45,50 -,55 3,53 0, ,5750,55 -,60 7,58 0,5 63 0,7875,60 -,65,63 0, ,9375,65 -,70,68 0, ,965,70 -,75,73 0, ,9875,75 -,80,78 0,05 80,0000 Na colua A aparecem os limites de classe : limites iferiores e superiores. Na colua C estão os potos médios de classe, isto é, as médias dos limites de classe. Estes potos estão represetado cada um dos dados pertecetes à classe. Por exemplo, o valor,47, da quarta classe fica aproximado pelo poto médio,48, que o represeta. As freqüêcias relativas de classe, a colua D são as freqüêcias de classe da colua B divididas pela freqüêcia total 80. As freqüêcias acumuladas da colua E são as somas das freqüêcias de classe. As freqüêcias relativas acumuladas da colua F são as somas das freqüêcias relativas da colua D HISTOGRAMA E POLÍGONO DE FREQÜÊNCIAS Algumas propriedades importates das distribuições da freqüêcias, tais como a sua simetria, achatameto, o úmero de modas ( freqüêcias máximas ), etc. podem ser vistas um gráfico. Para represetar graficamete dados agrupados em uma distribuição de freqüêcias, podemos utilizar um histograma, um polígoo de freqüêcias ou um polígoo de freqüêcias acumuladas. Estas freqüêcias podem ser absolutas ou relativas. Os gráficos abaixo se referem à distribuição de freqüêcias dos dados da tabela :

7 ESTATÍSTICA 95 _ GRÁFICO : Freq HISTOGRAMA Pesos GRÁFICO 3 : Freq POLÍGONO DE FREQÜÊNCIAS GRÁFICO 4 : Pesos POLÍGONO DE FREQÜÊNCIAS ACUMULADAS 80 Freq. Acumul Pesos

8 96 ESTATÍSTICA MÉDIA DE UMA AMOSTRA DE MEDIDAS A média é uma medida que posicioa o cetro da distribuição de uma variável X. Quado temos uma amostra aleatória de tamaho, a média é simplesmete a média aritmética dos dados observados. Se X, X,..., X é uma amostra de medidas, a média amostral deotada por X é defiida por : X i i= X = Supoha que se tome a difereça etre X e X, ou seja : X -X, X - X,..., X - X. Se somarmos estas difereças, teremos : ( X - X ) + ( X - X ) ( X - X ) = (X + X X ) - X = 0 Portato, a soma das difereças etre cada medida uma amostra e a média de todas as medidas é igual a zero. Em forma de somatório, temos : ( X -X ) = 0 i= i MEDIANA DE UMA AMOSTRA DE MEDIDAS A mediaa é também uma medida que posicioa o cetro da distribuição de uma variável X. Para uma amostra aleatória de tamaho, a mediaa será defiida como sedo o valor tal que 50 % dos dados estão acima dele e 50 % dos dados estão abaixo dele. Para determiar o valor da mediaa, Me, primeiro ordeamos os dados ( ordem crescete ou decrescete ). Em seguida, se for ímpar, etão a mediaa será o valor cetral. Se for par, a mediaa será a média aritmética dos dois valores cetrais.

9 ESTATÍSTICA 97 _ MODA DE UMA AMOSTRA DE MEDIDAS A moda de uma amostra de tamaho será igual ao valor que apreseta maior freqüêcia. Podemos ter uma amostra com mais de uma moda ou mesmo sem moda. EXEMPLO As medidas da duração de vida ( em horas ) de 5 compoetes eletrôicos tomados aleatoriamete de sua produção são : A média das cico medidas é : X = 4, 36, 57, 43 e Em ordem crescete os dados ficam : Assim, a mediaa é Me = = 43 horas Este cojuto de medidas é amodal, isto é, ão tem moda porque ehum valor ocorre com maior freqüêcia que os demais VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO DE UMA AMOSTRA DE MEDIDAS Cosidere os dois cojutos de medidas A e B abaixo : A : B : Note que ambos os cojutos de medidas tem a mesma média 6. Etretato, existe uma difereça etre eles quato à sua variabilidade ou dispersão que ão pode ser idetificada através da média. VARIÂNCIA : É uma medida de dispersão dos dados de uma amostra defiida por: s = - i= ( X - X ) i

10 98 ESTATÍSTICA DESVIO PADRÃO : É também uma medida de dispersão dos dados de amostra, defiida como sedo a raiz quadrada positiva da variâcia Propriedades da Variâcia Somado-se uma costate qualquer a cada elemeto de um cojuto de medidas, a variâcia ão se altera. Se cada medida de uma amostra for multiplicada por uma costate, a variâcia fica multiplicada por esta costate ao quadrado. EXEMPLO Cosidere as mesmas medidas de duração de vida do exemplo aterior. A variâcia é : s = (4-43) + (36-43) + (57-43) + (43-43) + (38-43) 5- O desvio padrão é : s = ( variâcia ) / = ( 68,5 ) / = 8,8 = 68, AMPLITUDE É a difereça etre o maior e o meor valor uma amostra de medidas COEFICIENTE DE VARIAÇÃO É uma medida de dispersão que expressa o desvio padrão como um percetual da média. V = s X 00 %

11 ESTATÍSTICA 99 _ Como V é uma medida de variação relativa expressa em porcetagem, etão ela pode ser utilizada para comparar a variabilidade de dois ou mais cojutos de medidas mesmo que as observações sejam expressas em diferetes uidades. EXEMPLO Os pesos de 0 caixas de um certo tipo de cereal tem coteúdo médio de 78 g com um desvio padrão de 9,64 g. Se estas caixas são vedidas por um preço médio de,9 u.m. com um desvio padrão de 0,09 u.m., podemos cocluir que os pesos são relativamete mais homogêeos do que os preços? 964, V peso = % = 3,74 % V 0,09 preço = 00 % = 6,98 %,9 Cocluímos, etão, que os pesos são mais homogêeos do que os preços Algumas Observações Sobre a Iterpretação da Média e do Desvio Padrão de uma Amostra A média, que é uma medida de posição cetral, idica o cetro da amostra. Note, por exemplo, o diagrama de potos ( gráfico ) ode aparece a média posicioado o cetro da distribuição dos potos. A variâcia pode ser vista como a média dos desvios que cada medida da amostra tem em relação à média X, elevados ao quadrado. Lembre que os desvios, se somados, se compesam e levam a soma a zero. Assim, elevados ao quadrado, temos uma medida que caracteriza, basicamete, o afastameto dos dados em relação ao cetro da distribuição. Portato, quato maior for a variâcia ( ou o desvio padrão ), maior será a variabilidade ou dispersão dos dados. Uma variâcia pequea idica que os dados da amostra se apresetam de forma cocetrada em toro da média. Amostras de medidas em muitas situações práticas apresetam histogramas com simetria bastate acetuada e em forma de sio. Poderíamos pesar a distribuição Normal como sedo o modelo adequado a estas medidas. Neste caso, vale as seguites afirmações :. Em toro de 68 % das medidas caem o itervalo : (X - s, X + s ).. Em toro de 95 % das medidas caem o itervalo : (X - s, X + s ). 3. Em toro de 99,9 % das medidas caem o itervalo : (X - 3s, X + 3s ). 4. Em toro de 50 % das medidas caem o itervalo : (X - /3s, X + /3s ). Quato maior o tamaho da amostra, mais o histograma se aproxima da distribuição ormal.

12 00 ESTATÍSTICA MÉDIA E VARIÂNCIA DE UMA AMOSTRA DE MEDIDAS APROXIMADAS Supoha que se teha uma amostra de medidas X, X,..., X agrupadas em uma distribuição de freqüêcias com k classes ( itervalos ), potos médios de classes m, m,..., m k e freqüêcias de classes f, f,..., f k. Uma vez que temos f dos X s sedo aproximados por m, f dos X s X i i= aproximados por m,etc., é evidete que a expressão é aproximada por : f j m j. Sedo assim, uma aproximação para X é dada por : i= X = k j= f j m j Para o cálculo da variacia, uma aproximação é dada por : s = - f j (mj X) j= EXEMPLO Cosidere os dados da Tabela.

13 ESTATÍSTICA 0 _ Potos Médios de Classe (m i ) Freqüêcias (f i ) f i. m i f i. m i m,33 5 6,65 8,8445,38 5 6,90 9,50,43 8,44 6,359,48 5,0 3,8560,53 3 9,89 30,437,58 7 6,86 4,4388,63 9,56 3,888,68 3,36 5,6448,73 3,46 5,9858,78,78 3,684 80,0 87,34 X =,0 =, s = 80-87,34 -, 0 80 = 0, DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS Supoha que se teha uma população cohecida represetada pela v.a. X e que θ seja um parâmetro de iteresse esta população. Imagie que se retire todas as amostras possíveis de tamaho desta população, segudo um plao amostral previamete defiido e que, para cada amostra se obteha o valor de uma estatística $θ. Tem-se, assim, um cojuto de todos os possíveis valores de θ $ que depedem do tamaho da amostra, do tamaho da população e do procedimeto da amostragem e que variam de uma amostra para outra. Desta forma, a estatística $θ é uma variável aleatória e tem uma distribuição de probabilidade. Esta distribuição é deomiada DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DE θ. $ Esquematicamete temos :

14 0 ESTATÍSTICA População Amostra $θ X Amostra $θ θ Amostra k θ θ $θ k Em resumo, a distribuição de probabilidade de uma estatística é chamada de distribuição amostral. Por exemplo, a distribuição de probabilidade de X é chamada de distribuição amostral da média, a distribuição de probabilidade de $p é chamada de distribuição amostral da proporção. O desvio padrão de uma distribuição amostral é chamado de erro padrão da estatística. EXEMPLO Supoha que se retire amostras de uma população uiforme discreta cosistido dos valores 0,, e 3. As quatro observações que compõem a população são valores de uma v.a. X que tem distribuição de probabilidade : p(x) = P(X=x) = 4, para x = 0,,, 3. com média : µ = E(X) = x.p(x) = 3 3 x=0 e variacia : σ = V(x) = E[(X- µ ) ] = (x- µ ). p(x) = 5 4 O histograma de probabilidade desta v.a. é dado por : p(x) 3 x=0 /4 0 3 x

15 ESTATÍSTICA 03 _ Supoha agora que se retire todas as possíveis amostras de tamaho =, com reposição, e que para cada amostra se calcule a estatística X. As 6 amostras possíveis e suas respectivas médias são : Amostra X 0,0 0 0, 0,5 0, 0,3,5,0 0,5,,,5,3,0,,5,,3,5 3,0,5 3, 3,,5 3,3 3 À partir daí, vemos que a v.a. X tem a seguite distribuição de probabilidade: x 0 0,5,0,5,0,5 3,0 px ( ) A média desta distribuição é : 4 6 µ = E(X) = x.p(x) = 3 µ = X e a variacia é : σ σ = V(X = (x µ px = 5 ) X 8 = X ). ( )

16 04 ESTATÍSTICA p( x ) 4/6 3/6 /6 / ,5,0,5,0,5 3,0 x Note que o histograma de probabilidade da distribuição amostral de X surege uma curva ormal com uma média e uma variacia apropriadas Distribuição Amostral da Média Se uma amostra aleatória de tamaho é retirada de uma população ifiita com média µ e variacia σ, etão a distribuição amostral de X é aproximadamete Normal com média µ X = µ e variacia σ X = σ /. Assim : Z = X µ σ / tem distribuição Normal com média 0 e variacia. (Este é o chamado Teorema Cetral do Limite) Note que isto é o mesmo que dizer que, para grade, a distribuição de X é : X : N µ, σ. Observe que a distribuição de X está cetrada em µ e que a variacia depede do tamaho da amostra. Quato maior a amostra, mais cocetrada é X em toro de µ. Quato à forma da distribuição, o Teorema afirma que o limite para tededo ao ifiito a distribuição amostral de X tede à distribuição Normal. Essa covergêcia é mais rápida se a distribuição da v.a. X a população já for próxima da Normal. Como regra prática, aceita-se que para amostras com mais de 30 elemetos a aproximação já pode ser cosiderada muito boa. σ = σ x µ = µ x X

17 ESTATÍSTICA 05 _ EXEMPLO (Bussab)

18 06 ESTATÍSTICA EXEMPLO Uma fábrica da material elétrico produz lâmpadas que tem duração de vida com distribuição aproximadamete ormal, com média igual a 800 horas e desvio padrão de 40 horas. Ecotre a probabilidade de que uma amostra aleatória de 6 lâmpadas teha vida média X meor do que 775 horas. Solução : X : duração de vida da lâmpada µ = 800 horas e σ = 40 horas. X tem distribuição ormal com média : µ X = 800 e desvio padrão : σ σ = = 40 = 0. X 6 Z = X µ σ / = = 5, X PX ( < 775) = PZ ( <, 5) = 0, Distribuição Amostral da Proporção Cosidere uma população em que a proporção de elemetos que possuem uma certa característica é p. Seja $p a proporção de elemetos com a referida característica a amostra. População Amostra $p p $p Amostra Amostra k $p k p p

19 ESTATÍSTICA 07 _ Para suficietemete grade, podemos cosiderar que a distribuição amostral de é : $p ode q = - p. Note que, etão : $p : N p, pq z = p $ -p p.q EXEMPLO Uma máquia está em operação sob cotrole quado a proporção de defeitos apresetada é de 0 %. A cada dia uma amostra de 30 peças fabricadas por esta máquia é retirada. Se esta máquia está sob cotrole, qual a probabilidade dessa amostra apresetar proporção de defeitos maior do que 0,8? p $ = N 0, ; 0,.0,9 30 ou seja : p $ : N(0, ; 0,003) Para p $ = 0,8 : $ z = p - p = 0,8-0, =,46 p.q 009,., 30 P(p $ > 0,8) = P(z >,46) = - 0,978 = 0,07 0,0 0,8 p Distribuição Amostral da Difereça de Duas Médias Admita-se que são dadas duas populações e, com médias µ e µ e variacias σ e σ, e que se retire, idepedetemete, amostras de tamaho da população e amostras de tamaho da população. De todas as possíveis amostras retiradas pode-se obter a distribuição amostral da difereça de duas médias X - X. Se e forem suficietemete grades :

20 08 ESTATÍSTICA σ σ X X : N µ - µ, + Z X X ( µ µ ) = σ σ + EXEMPLO As lâmpadas elétricas do fabricate A tem duração média de 400 horas, com um desvio padrão de 00 horas, equato as do fabricate B tem duração média de 00 horas, com um desvio padrão de 00 horas. Se forem esaiadas amostras aleatórias de 5 lâmpadas de cada marca, qual será a probabilidade que as lâmpadas da marca A teham vida média maior do que as da marca B de pelo meos 60 horas? X = duração média da amostra A. X = duração média da amostra B. X σ σ X : N µ - µ, + com : µ - µ = = 00 σ σ = + = X ( σ = 0 X ) Para X X = 60 Z = X X ( µ µ ) = σ 0 σ + = X - X P(a média da amostra da marca A ser maior do que a média da amostra da marca B de pelo meos 60 horas) = P( X > X + 60 ) = P( X - X > 60 ) = P(Z > -) = 0,977.

21 ESTATÍSTICA 09 _ Distribuição Amostral da Difereça da duas Proporções Supoha que se retire amostras de tamaho de uma população cuja proporção de elemetos com uma certa característica seja p e que se retire amostras de tamaho de uma população cuja proporção de elemetos com a referida característica seja p. A distribuição amostral da difereça das duas proporções p$ p$ é dada por : p$ $ p : N p - p, p.q p.q + p$ p$ ( p-p) z = p.q p.q + EXEMPLO A e B jogam uma partida cara e coroa laçado cada um 50 vezes uma moeda. O jogador A vecerá o jogo se coseguir 5 ou mais caras do que o jogador B e, quado isso ão ocorrer, B vecerá. Determiar a probabilidade de gaho do jogador A e do jogador B. $p = proporção de caras obtidas por A. $p = proporção de caras obtidas por B. Admitido-se que as moedas sejam hoestas com probabilidade de cara igual a 0,5, temos : p$ p$ : N p - p, p.q p.q + p - p = 0,5-0,5 = 0 p.q p.q + = 0,5. 0, ,5. 0,5 50 ode : = 0,0 Para p$ p$ = 0, (5 caras em 50 jogadas): p$ p$ ( p- p) 0, 0 z = = = p.q p.q 0, + -0,3-0, -0, 0 0, 0, 0,3 p - p P( A vecer ) = P( $p > $p + 0, ) = P( p$ p$ > 0, ) = P( z > ) = - P( z ) = = - 0,8434 = 0,5866. P ( B vecer ) = - P( A vecer ) = 0,8434.