Síntese de Transformadores de Quarto de Onda
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- Cristiana Vidal Pedroso
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1 . Sítese de rasforadores de Quarto de Oda. Itrodução rasforadores de guia de oda são aplaete epregados o projeto de copoetes e oda guiada e são ecotrados e praticaete todas as cadeias alietadoras de ateas e deais estruturas de oda guiada a faixa de icroodas. este apítulo são apresetados os odelos ateáticos clássicos que rege o fucioaeto de trasforadores de quarto de oda geéricos. abé são apresetados as soluções particulares para ipleetação de trasforadores de resposta plaa (Bioial e para ipleetação de trasforadores co aior bada de freqüêcia possível (hebyshev.. rasforadores de ua Seção de Quarto de Oda rasforadores de quarto de oda de bada larga (olli, 955 são utilizados basicaete coo seções iterediárias para prover o casaeto de ipedâcia etre guias de odas que apreseta ipedâcias e/ou estruturas físicas diferetes etre si. O desafio cosiste e se obter o casaeto esperado, a bada de operação desejada, co o trasforador de eor diesão física, o que usualete tabé leva à estrutura de eor custo de ipleetação. O pricípio fudaetal de u trasforador pode ser copreedido através da aálise do casaeto etre ua carga resistiva e ua liha de trasissão de ipedâcia característica (olli, 966. esse caso, ua liha de ipedâcia característica de u quarto de coprieto de oda é iserida etre a carga e a liha, o que leva a ipedâcia efetiva da carga a porta da liha a assuir o valor:
2 9 j j ta βλ 4 ta βλ 4 (. Se é escolhido de fora a que seja igual a, etão, atigido-se o objetivo de se casar a carga a liha, desde que seja respeitada a codição de seu coprieto ser λ/4 (ou λ/ λ/4. Ou seja, se assuiros que θ é o coprieto elétrico do trasforador a freqüêcia f, a ipedâcia de etrada é: i θ β l (. π f (.3 θ l c j j ta ta ( θ ( θ (.4 oseqüeteete, o coeficiete de reflexão é: Γ i i j ta ( θ (.5 Ou seja: Γ secθ (.6 A variação de co a freqüêcia é periódica por causa do coportaeto tabé periódico da ipedâcia e etrada co a freqüêcia, isto é, o casaeto proporcioado pelo trasforador se repete cada vez que seu coprieto elétrico variar de π. esse caso, assuido que o coeficiete de reflexão áxio que se queira tolerar seja, a faixa de freqüêcias de operação do trasforador será aquela e que a variação de θ aida cosiga ater o valor de < ; ou seja:
3 θ cos ( (.7 Para o caso de estruturas ão dispersivas (coo e estruturas coaxiais EM, e difereteete de estruturas e oda guiada E/M, a largura de faixa de u trasforador de ua seção de quarto de oda, calculado para a freqüêcia cetral f, é dada por: f 4 cos (.8 f π ( É iportate reforçar esse poto que este cálculo de largura de faixa pressupõe, alé do já coetado efeito de dispersão de coprieto de oda da estrutura, que as ipedâcias de etrada e saída ão varia, e que as descotiuidades que decorre da ipleetação física desses trasforadores ão apreseta reatâcias parasitas. a realidade, tais pressuposições ipõe forte liite ao eprego desses odelos, o que fez por estiular os estudos que se seguirão os tópicos subseqüetes. De qualquer fora, eso supodo-se codições favoráveis coo estruturas ão dispersivas, pode-se otar que a aplicação de trasforadores de ua seção fica liitada a operação e badas estreitas. Para operação e estruturas de bada larga, ou de valores uito difereciados de ipedâcias de etrada e saída, os trasforadores de últiplas seções de quarto de oda se apreseta coo a solução ais viável..3 Modelo para Pequeas Reflexões Para procederos à sítese dos trasforadores de últiplas seções, se faz ecessário desevolveros algus resultados preliiares, os quais são pertietes ao caso de cobiação de pequeas últiplas reflexões.
4 osiderado o caso abaixo (Figura, de ua ipedâcia ligada a ua ipedâcia através de ua liha de ipedâcia. Figura Descotiuidade geérica. Ode: Γ Γ (.9 Γ Γ Γ 3 Γ (. (. O que represeta que a oda refletida total de aplitude Γ é a soa de todas as odas parciais trasitidas para a esquerda, resultate das últiplas reflexões que ocorre a seqüêcia de descotiuidades que copõe a estrutura. Esta soa é dada por: Γ Γ 4 Γ3e Γ3 Γe... Γ Γ3 e Γ Γ3 e (. Esta série geoétrica resulta e: Se Γ3e Γ Γ Γ Γ e 3 (.3
5 r ( r Γ Γ e 3 : Γ Γ Γ3e (.4 Se Γ e Γ 3 são pequeos, aproxiaos Γ Γ Γ 3 e -. Isto quer dizer que para pequeas reflexões, o coeficiete de reflexão total resultate é igual àquele obtido levado-se e cota soete as reflexões de prieira orde. Esse resultado é que susteta todo o odelo de prieira orde que se desevolveu para trasforadores de quarto de oda e diversas seções..4 Modelo para rasforadores de Quarto de Oda de Múltiplas Seções O coeficiete de reflexão total de u trasforador de quarto de oda devido às odas refletidas de prieira orde é: 4 Γ e e... e (.5 Ode e - itroduz o retardo de fase as diversas odas refletidas a estrutura. o caso de ipleetação de trasforadores siétricos ( ; - ; - ; etc., o coeficiete de reflexão pode ser reescrito coo: j( θ j( θ [ ( e e ( e e...] Γ e (.6 Ode o últio tero é (-/ (e e - para ípar e (/ para par. Das equações ateriores, pode-se afirar que para u trasforador siétrico, o coeficiete de reflexão Γ é dado por ua série de Fourier de coseos: Γ [ cos θ cos( θ... cos( θ...] e (.7
6 3 Ode o últio tero é (-/ cosθ para ípar e (/ para par. Ou seja, a partir de ua escolha adequada do coeficiete de reflexão e do correspodete, ua variedade de características de bada-passate pode ser obtida. Ua vez que a série é ua série de co-seos, a fução deve ser periódica sobre o itervalo π, correspodete à faixa de freqüêcias sobre a qual o coprieto de cada seção do trasforador varia de eio coprieto de oda..4. rasforador Bioial A característica de bada passate ais plaa possível é obtida se Γ e as prieiras (- derivadas e relação à freqüêcia (ou θ se aulare a freqüêcia de casaeto f. Essa característica é obtida se escolheros: ( e Γ A (.8 Para a qual: Γ A cosθ (.9 ( Para θ ou π: Γ A ; etão: A (. Escrevedo a Eq. (.8 a fora de ua expasão bioial, obteos: Γ e j θ (.
7 4 Ode os coeficietes são: ( (...(!! (!! (. Ode: ; ;... etc (.3 Assi sedo, deveos escolher: (.4 Se assuiros que estaos ipleetado u trasforador co pequeas reflexões, etão é pequeo, o que perite ua aproxiação do tipo (para valores.5 < < : l l l (.5 (.6 A característica de bada passate ais plaa possível é apresetada a Figura a seguir. Figura urva típica de para o caso bioial.
8 5 O âgulo θ relativo à codição, ode é o valor áxio desejado para, é dado por: θ cos l E a largura de faixa oralizada é dada por: (.7 ( f f f 4 cos f f π l (.8 Figura 3 - Depedêcia de e fução do úero de seções..4. rasforador hebyshev Ua alterativa à ipleetação de trasforadores co resposta ais plaa possível do tipo Bioial, seria peritir que o coeficiete de reflexão variasse de aeira oscilatória, ao logo de ua bada passate, co o objetivo de otiizá-la para o aior valor possível.
9 6 Esta característica é obtida fazedo-se se coportar de acordo co u poliôio de hebyshev. É possível aular e tatas freqüêcias cotidas a bada passate quatas fore as seções do trasforador. O poliôio de hebyshev de grau, (x, é u poliôio de grau e x. Os quatro prieiros poliôios são: ( x x (.9 ( x x ( ( x 4x 3x ( ( x 8x 8x (.3 ( x x ( x - ( x - - (.33 Os poliôios oscila etre ± para x copreedido o itervalo x ; e aueta de aplitude para fora desse itervalo. Se x é substituído por cos θ, teos: ( θ cos θ cos (.34 Se cosideraros: cos θ cosθ cos cos (.35 cosθ cosθ O argueto será igual à uidade quado θ θ e iferior à esa para θ < θ < π θ, cofiado as flutuações de igual aplitude à bada-passate desejada. Se cosideraros que (cos θ pode ser expadido e ua série de teros e cos θ, cos θ,..., cos θ, segue que : Γ Ae [ cos( θ cos( θ... cos( θ...] ( secθ cosθ e (.36 Ode A é ua costate a ser deteriada. Para θ, teos:
10 7 l Γ l A ( secθ A ( ( secθ l l (.37 oseqüeteete: Γ e ( l ( l ( secθ cosθ ( secθ (.38 a bada passate, o valor áxio de (sec θ cos θ ; assi: ( ( secθ l l (.39 Se a bada passate e θ são especificados, o valor de a bada fica autoaticaete deliitado a partir da Eq.(.39. l ( secθ l (.4 Ou, para cos θ : secθ cos cos l l (.4 Resuido: l Ipedâcia das Seções do rasforador hebyshev (chebyscheff e ( secθ cosθ ( secθ (.4 Ode (x é o Poliôio de hebyshev de orde. l e ( secθ cosθ ( secθ (.43
11 8 f ( fax fi ( f f ax i (.44 Figura 4 Depedêcia de e fução do úero de seções para hebyshev Resultados para trasforadores de até 6 seções (Aliso, 968: Seção ( O (.45 Seções ( ( 4 cos θ (.46 O (.47 O (.48 3 Seções ( 3 ( 8 6cos θ (.49 O (.5 O O (.5 3 (.5
12 9 4 Seções ( 4 4 ( 6 6cos θ cos θ O ( 5 4cos θ (.53 (.54 (.55 O (.56 O 3 4 (.57 (.58 5 Seções ( 5 4 ( 3 4cos θ cos θ ( 6 5cos θ O (.59 (.6 (.6 O (.6 O O ( (.64 (.65 6 Seções ( 6 O 4 6 ( 64 96cos θ 36cos θ cos θ (.66
13 3 3 ( 7 6cos θ ( si θ 9si θ cos θ (.67 (.68 (.69 O (.7 O (.7 3 O (.7 (.73 (.74
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