Solução de Equações Diferenciais Ordinárias Usando Métodos Numéricos

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1 DELC - Departameto de Eletrôica e Computação ELC 0 Estudo de Casos em Egeharia Elétrica Solução de Equações Difereciais Ordiárias Usado Métodos Numéricos Versão 0. Giovai Baratto Fevereiro de 007

2 Ídice Método de Euler.... Derivação da Fórmula de Euler.... Eemplo Usado o Método de Euler... Método de Ruge-Kutta Eemplo Usado o Método de Ruge-Kutta Equações Ordiárias de Ordem de ª Ordem Solução Usado o Método de Euler Solução Usado o Método de Ruge-Kutta...

3 Neste teto será apresetado o método de Euler e o método de Ruge-Kutta para a solução de equações difereciais ordiárias. Método de Euler O método de Euler, também cohecido como método da reta secate, é um dos métodos mais atigos que se cohece para a solução de equações difereciais ordiárias. Problemas práticos ão devem ser resolvidos com o método de Euler. Eistem outros métodos que proporcioam resultados com uma melhor precisão e estabilidade se comparados ao método de Euler para o mesmo passo.. Derivação da Fórmula de Euler = com a codição de cotoro = quado =. Da Figura, observa-se que o valor de +, em = +, é dado por: Seja uma fução f (, ) = +Δ (.) + Do cálculo, pode-se escrever que: = (.) Da equação (.), ecotra-se uma aproimação para Das equações (.) e (.3), ecotra-se: Δ : Δ Δ (.3) ( ) ( ) + = + + f, (.4) Na Figura, observa-se que quato meor o valor da difereça etre + e (desprezado os erros causados pela represetação fiita dos úmeros pelos computadores), meor o erro da estimativa para +. Todavia, o úmero de computações para um itervalo aumeta à medida que a difereça etre + e reduzida. Defie-se o passo h como sedo igual a: h= (.5) Usado a equação (.5) as equações (.5) e (.4), tem-se: + e h = + (.6) +

4 ( ) = + h + f, (.7) A equação (.7) é cohecida como fórmula de Euler. A solução de uma equação diferecial pelo método de Euler é realizada pelo uso recursivo das equações (.6) e (.7), usado as codições de cotoro 0 e 0. O erro o método de Euler é da ordem de O( h ). + Erro Estimativa f() Δ α Valores iiciais Δ = h Figura Ilustração do método de Euler. +. Eemplo Usado o Método de Euler As seguir será apresetado o método de Euler a solução de uma equação diferecial ordiária de ª ordem. A equação escolhida será (Boce, W. E.; DiPrima, R. C. Equações Difereciais Elemetares e Problemas de Valor de Cotoro. ed. 7, pp. 40): 4 = + (.8) Esta equação será resolvida de = 0 s a = s, com a seguite codição de cotoro: (0) = (.9)

5 A solução da equação diferecial (.8) com a codição de cotoro (.9) é cohecida: 3 9 e = + (.0) ( ) A solução umérica é ecotrada com a avaliação das equações (.6) e (.7): e h = + (.) + ( ) ( 4 ) h f = + +, = + h + (.) Com a codição de cotoro da equação (.9), temos que 0 = 0 e 0 =. Os próimos valores são calculados com o uso recursivo das equações (.) e (.). O valor do passo é escolhido cosiderado-se o erro desejado. Neste eemplo, escolhemos h = 0,00. A seguir é apresetada uma tabela com algus valores calculados de pelo método de Euler e usado a solução algébrica. Tabela Resultado da solução umérica da equação (.8) usado o método de Euler. 0 0,000,000000, , , , , , , , , ,

6 Numérica Aalítica (t) (t) ,90,9,94,96,98,00 t ,0 0,5,0,5,0 t Figura Gráfico apresetado a solução umérica (método de Euler) e aalítica da equação (.8). O método pode ser aplicado com o uso de lápis, papel e calculadora. No etato, este processo é fastidioso pelo úmero de iterações. A programação em computador é simples. A programação segue os seguites passos: 0: Etre com a fução f (, ). 0: Etre com os valores iiciais 0 e 0. 03: Etre com o passo h. 04: Equato < fial eecute: Escreva,, Avalie = + + h Avalie = + h + f (, ) Faça = + e = + 06: Fim. Um programa escrito em C é apresetado a seguir. Este programa foi escrito para ser didático, podedo ser melhorado. 4

7 #iclude <stdio.h> #iclude <stdlib.h> #iclude <math.h> double (double ) /* a solução (t) da equação */ retur (.0/4.0)*-(3.0/6.0)+(9.0/6.0)*ep(4.0*); double f(double, double ) /* a fução f(,)*/ retur -+4*; it mai(it arc, char* argv[]) double,, ma; /* variáveis t e t+ */ double, ; /* variáveis e + */ double 0, 0; /* valores iiciais de e t */ double h; /* passo */ it ; 0 = 0.0; /* valor icial para t */ 0 =.0; /* valor iicial para */ ma =.0; /* valor máimo para t */ h = 0.00; /* o valor do passo */ = t0; = 0; = 0; /* umero de iterações */ while( < ma) pritf("%i %f %f %f\",,,,()); /*escreva os valores das variáveis*/ = + h*f(,); /* estime + pelo método de Euler */ = + h; = +; /* Atribua os valores para a próima iteração */ = ; = ; /* while */ retur 0; /* termia a computação */ /* mai */ Ilustração Eemplo de um programa em C para a solução da equação (.8) pelo método de Euler. Método de Ruge-Kutta O método de Ruge-Kutta pode ser etedido como um aperfeiçoameto do método de Euler, com uma melhor estimativa da derivada da fução. No método de Euler a estimativa do valor de + é realizado com o valor de e com a derivada o poto. No método de Ruge-Kutta, busca-se uma melhor estimativa da derivada com a avaliação da fução em mais potos o itervalo [, + ]. Um método de Ruge-Kutta de ordem possui um erro da ordem de O( h + ). O método de Ruge-Kutta de 4ª ordem é o mais usado a solução umérica de problemas com equações difereciais ordiárias. A seguir será discutido o método de Ruge-Kutta de ª ordem, ilustrado pela Figura 3. No método de Euler de passo h, a estimativa de + é realizada com os valores de e da derivada de. No método de Ruge-Kutta de ª ordem, o valor da estimativa de + é ecotrado com o valor de e com h uma estimativa da derivada em um poto mais próimo de +, em + : 5

8 = + h f + h, + + (.3) Na equação (.3), é o valor de em + + de é ecotrado com o auílio do método de Euler: + + h. Uma estimativa do valor h = + f (, ) (.4) Deomiado: (. ) k = h f k = h f + h, + k (.5) Escreve-se a equação (.3) como: = + + k (.6) No método de Ruge-Kutta de ª ordem, avaliam-se as equações (.5) e (.6). + Erro Ruge Kutta φ + Erro Euler + h h h + + Figura 3 Ilustração do método de Ruge-Kutta de ª ordem. 6

9 O método de Ruge-Kutta de 4ª ordem tem as seguites equações: (, ) k = h f h k = h f +, + k h k3 = h f +, + k k = h f + h + k (, ) 4 3 = + k + k + k + k 6 ( ) (.7) e h = + (.8) +. Eemplo Usado o Método de Ruge-Kutta A seguir será apresetado um eemplo usado o método de Ruge-Kutta a solução de uma equação diferecial. Será usada a equação diferecial (.8) com as codições iiciais dada por (.9), a mesma equação que foi usada o Eemplo usado o método de Euler. O passo este eemplo será reduzido para 0,0 s. A solução da equação diferecial é ecotrada pelo uso iterativo das equações (.7) e (.8). A seguir é apresetada uma tabela com os valores calculados e com o valor aalítico da solução. Tabela Resultado da solução umérica da equação (.8) usado o método de Ruge-Kutta. 0 0,000,000000, , , , , , , , , , Comparado-se os resultados da solução umérica usado o método de Euler (Tabela ) com os resultados da solução usado o método de Ruge- 7

10 Kutta (Tabela ), observa-se que este segudo método a precisão é maior, mesmo com o uso de um passo 0 vezes maior. A seguir é apresetado um programa escrito em C, para a solução umérica da equação (.8). #iclude <stdlib.h> #iclude <stdio.h> #iclude <math.h> double (double ) /* a solução () da equação */ retur (.0/4.0)*-(3.0/6.0)+(9.0/6.0)*ep(4.0*); double f(double, double ) retur -+4*; /* a fução f(,)*/ it mai(it argc, char* argv[]) double,, ma; /* variáveis t e t+ */ double, ; /* variáveis e + */ double 0, t0; /* valores iiciais de e t */ double h; /* passo */ double k, k, k3, k4; /* variáveis auiliares */ it ; /* úmero de iterações */ 0 = 0.0; /* valor icial para t */ 0 =.0; /* valor iicial para */ ma =.0; /* valor máimo para t */ h = 0.0; /* o valor do passo */ = t0; = 0; = 0; /* umero de iterações */ while( < ma) pritf("%i %f %f %f\",,t,,(t)); /*escreva os valores das variáveis*/ k = h*f(,); /* aplica o método de Ruge-Kutta */ k = h*f(+h/, +k/.0); k3 = h*f(+h/, +k/.0); k4 = h*f(+h, +k3); = + h; = + (k+*k+*k3+k4)/6.0; = +; /* atribua os valores para a próima iteração */ = ; = ; /* laço while */ retur 0; /* termia a computação */ /* fução mai */ Ilustração Eemplo de um programa em C para a solução da equação (.8) pelo método de Ruge-Kutta. 3 Equações Ordiárias de Ordem de ª Ordem Equações difereciais de ª ordem, ou de ordem superior, podem ser reduzidas a um cojuto de equações difereciais de ª ordem. Este cojuto de equações de ª ordem pode ser resolvido pelo método de Ruge-Kutta ou outro método umérico. Seja uma equação diferecial de ª ordem: 8

11 d q, Defii-se uma variável auiliar z : ( ) r( ) + = (.9) (, ) z = (.0) A equação (.9) é escrita como um cojuto de duas equações difereciais z,, defiida a equação (.0). de ª ordem, com o auílio da variável ( ) = z(, ) dz = r q z (, ) ( ) ( ) (.) O cojuto de equações em (.) pode ser escrito como: = f ( z,, ) (.) dz = g(,, z) Para a solução da equação diferecial ordiária de ª ordem (.9), é ecessário que as equações difereciais ordiárias de primeira ordem, apresetadas em (.) seja resolvidas. A seguir, apreseta-se a solução destas equações, usado o método de Euler e o método de Ruge-Kutta. 3. Solução Usado o Método de Euler As equações em (.) são resolvidas pelo método de Euler, usado iterativamete as equações apresetadas a seguir: (,, ) (,, ) = + h f z + z = z + h g z + (.3) Eemplo: Resolva a seguite equação diferecial de ª ordem, usado o método de Euler. d = 000 (.4) Resolva a equação (.4) com variado de 0 a. Cosidere as seguites codições de cotoro: 9

12 ( ) 0 = 0 t = 0 = 0 (.5) O primeiro passo é reduzir esta equação diferecial de ª ordem para um cojuto de equações difereciais ordiárias de ª ordem: = z dz = z 00 (.6) O cojuto de equações em (.6) é resolvido usado as epressões em (.3). De acordo com as codições iiciais em (.5), tem-se 0 = 0 e 0 = 0. O passo usado este eemplo será h = 0,0s. A seguir é apresetada uma tabela com os valores calculados umericamete e obtidos da solução aalítica, que para este eemplo é igual a: 0 0 () 5 0 e 5 e t = + (.7) Tabela 3 Resultado da solução umérica da equação (.4), usado o método de Euler. 0 0, , , , , , , , , , A seguir é apresetado um programa em C que implemeta esta solução. #iclude <stdlib.h> /* biblioteca de fuções */ #iclude <stdio.h> #iclude <math.h> double (double ) /* A solução aalítica de ()*/ retur *ep(-0.0*)+5.0*ep(-0.0*); 0

13 double f(double, double, double z) /* a fução f(,,z)=/ */ retur z; double g(double, double, double z) /* a fução g(,,z)=dz/ */ retur *z-00.0*; it mai(it arc, char* argv[]) double,, ma; /* declaração de, + e máimo valor de a simulação */ double, ; /* declaração de e + */ double z, z; /* declaração de z e z+ */ double h; /* passo */ double 0,0,z0; /* valores iiciais de, e z */ it ; /* úmero de iterações */ 0 = 0.0; /* atribuição dos valores de cotoro */ 0 = 0.0; z0 = 0.0; h = 0.0; ma =.0; = 0; /* iicializa as variáveis com os valores iiciais*/ = 0; = 0; z = z0; while(<ma) pritf("%i %f %f %f\",,,,()); /* escreve os valores das variáveis */ = + h; /* realiza uma iteração do método de Ruge-Kutta */ = + h * f(,,z); z = z + h * g(,,z); = + ; /* atualiza as variáveis para a próima iteração */ = ; = ; z = z; /* while */ retur 0; /* termia a eecução do programa */ /* mai */ Ilustração 3 Programa em C usado o método de Euler para a solução da equação (.4), uma equação diferecial ordiária de ª ordem. 3. Solução Usado o Método de Ruge-Kutta As equações em (.) são resolvidas pelo método de Ruge-Kutta, usado iterativamete as equações apresetadas a seguir: ode = + k + k + k + k 6 z+ = z + ( l+ l + l3+ l4) 6 ( ) (.8)

14 (,, ) (,, ) k = h f z l = h g z k = h f + h, + k, z + l l = h g + h, + k, z + l k3 = h f + h, + k, z + l l3 = h g + h, +, z + l k = h f + h + k z + l (,, ) (, z + l ) = + + 3, l h g h k 3 (.9) Eemplo: Resolva a seguite equação diferecial de ª ordem, usado o método de Ruge-Kutta. d = 000 (.30) Resolva a equação (.4), para etre 0 a. Cosidere as seguites codições de cotoro: ( ) 0 = 0 t = 0 = 0 (.3) O primeiro passo é reduzir esta equação diferecial de ª ordem para um cojuto de equações difereciais ordiárias de ª ordem: = z dz = z 00 (.3) O cojuto de equações em (.3) é resolvido usado as epressões em(.9). De acordo com as codições iiciais em (.3), tem-se 0 = 0 e 0 = 0. O passo usado este eemplo será h = 0,0. A seguir é apresetada uma tabela com os valores calculados umericamete e obtidos da solução aalítica, que para este eemplo é igual a: 0 0 () 5 0 e 5 e t = + (.33)

15 Tabela 4 Resultado da solução umérica da equação(.30), usado o método de Ruge-Kutta. 0 0, , , , , , , , , , A seguir é apresetado um programa em C que implemeta esta solução. #iclude <stdlib.h> /* biblioteca de fuções */ #iclude <stdio.h> #iclude <math.h> double (double ) /* A solução aalítica de ()*/ retur *ep(-0.0*)+5.0*ep(-0.0*); double f(double, double, double z) /* a fução f(,,z)=/ */ retur z; double g(double, double, double z) /* a fução g(,,z)=dz/ */ retur *z-00.0*; it mai(it arc, char* argv[]) double,, ma; /* declaração de, + e val máimo de a simulação */ double, ; /* declaração de e + */ double z, z; /* declaração de z e z+ */ double h; /* passo */ double 0,0,z0; /* valores iiciais de, e z */ double k, k, k3, k4; /* variáveis auiliares do método de Ruge-Kutta */ double l, l, l3, l4; /* variáveis auiliares do método de Ruge-Kutta */ it ; /* úmero de iterações */ 0 = 0.0; /* atribuição dos valores de cotoro */ 0 = 0.0; z0 = 0.0; h = 0.0; ma =.0; = 0; /* iicializa as variáveis com os valores iiciais*/ = 0; = 0; z = z0; while(<ma) pritf("%i %f %f %f\",,,,()); variáveis */ /* escreve os valores das k = h*f(,, z); /* realiza uma iteração do método Ruge-Kutta */ 3

16 l = h*g(,, z); k = h*f(+(/)*h, +(/)*k, z+(/)*l); l = h*g(+(/)*h, +(/)*k, z+(/)*l); k3 = h*f(+(/)*h, +(/)*k, z+(/)*l); l3 = h*g(+(/)*h, +(/)*k, z+(/)*l); k4 = h*f(+h, +k3, z+l3); l4 = h*g(+h, +k3, z+l3); = + h; = + (/6.0)*(k + *k + *k3 + k4); z = z + (/6.0)*(l + *l + *l3 + l4); = + ; /* atualiza as variáveis para a próima iteração */ = ; = ; z = z; /* while */ retur 0; /* termia a eecução do programa */ /* mai */ Ilustração 4 Programa em C usado o método de Euler para a solução da equação (.30), uma equação diferecial ordiária de ª ordem. 4