MAE Noções de Estatística Grupo A - 1 o semestre de 2014 Lista de exercício 8 - Aula 8 - Estimação para p - CASA

Transcrição

1 MAE Noções de Estatística Grupo A - 1 o semestre de 2014 Lista de exercício 8 - Aula 8 - Estimação para p - CASA 1. (2,5) Um provedor de acesso à iteret está moitorado a duração do tempo das coexões de seus clietes, com o objetivo de dimesioar seus equipametos. Mais especicamete, deseja estimar a proporção p de usuários que demoram 60 miutos ou mais para realizarem suas operações. Uma amostra aleatória de clietes que utilizam esse provedor será coletada, e o tempo de utilização de cada um será registrado. (a) (0,8) Qual deve ser o tamaho da amostra, para que o erro de sua estimativa seja o máximo 0,05, com um ível de coaça de 0,95? Seja X: o o de usuários que demoram 60 miutos ou mais para realizarem suas operações. Temos que, ɛ =, γ = 0, 95. Se γ = 0, 95 z = 1, 96, como ão temos iformação a respeito de p, tomemos p(1 p) = 0, 25, logo: ( z ) ( ) 2 2 1, 96 p(1 p) = 0, 25 = 1536, 64 0, 25 = 384, 16 ɛ = 384 clietes (b) (0,8) A direção da empresa sabe que essa proporção p ão ultrapassa 25%. Com essa iformação seria possível cosiderar em (a) uma amostra de tamaho meor? Se sim, de quato? Se ão, por quê? Sabe-se que p < 0, 25, etão o valor máximo de p(1 p) será 0, 25 0, 75=0,1875, logo por a) temos que ( ) 2 1, 96 0, 1875 = 288, 12 = 288 clietes Note que, ateriormete tihamos p(1 p) = 0, 25 e agora temos p(1 p) = 0, 1875, logo espera-se uma redução em, ou seja, esta redução é de = 96 clietes. (c) (0,9) Uma amostra de 49 clietes foreceu as seguites medidas desse tempo (em miutos): Dê uma estimativa potual para p e, com base ela, costrua um itervalo de 95% de coaça para p. Qual é o erro amostral de sua estimativa? 1

2 Como deido X ateriormete, queremos p tal que p = X/. Além disso, dada a amostra ( 49), observa-se X = 10, logo uma estimativa potual para p é dada por p = 10/49 = 0, 2041 ou 20, 41%. Ou seja, cerca de 20, 41% dos clietes demoram 60 miutos ou mais para realizarem suas operações. O itervalo de coaça para p é dado por: ] ˆp(1 ˆp) ˆp(1 ˆp) IC(p; 95%) = ˆp z ; ˆp + z ] 0, 2041 (1 0, 2041) = 0, 2041 ± 1, = 0, , 96 76; 0, , 96 76] = 0, 0912; 0, 3170], com um erro amostral de ɛ = 1, = 0, (2,5) A diretoria de uma escola de 2 o grau quer estimar a proporção p de estudates que coseguiram eteder de forma satisfatória as mesages trasmitidas uma exposição de arte. Essa proporção deverá ser estimada com um erro de 5% para um coeciete de coaça de 90%. (a) (0,8) Qual é o tamaho de amostra ecessário para ateder às exigêcias da diretoria? Temos que ɛ =, γ = 0, 90 z = 1, 64. Como ão temos iformação a respeito de p, etão tome p(1 p) = 0, 25, logo: ( z ) ( 2 1, 64 p(1 p) = ɛ ) 2 0, 25 = 1075, 84 0, 25 = 268, 96 = 269 estudates. (b) (0,8) Que tamaho deverá ter a amostra sabedo que p está etre 0,20 e 0,60? E sabedo que p < 0,20? Note que, se 0, 20 p 0, 60 o máximo valor de p(1 p) é 0, 5 0, 5 = 0, 25 e este caso ão há redução ou alteração o tamaho de. Logo o tamaho da amostra cotiua 269 estudates. Sedo p < 0, 20, etão p(1 p) = 0, 20 0, 80 = 0, 16, logo: ( ) 2 1, 64 0, 16 = 1075, 84 0, 16 = 172, 13 = 172 estudates, ou seja, uma redução de = 97 estudates. 2

3 (c) (0,9) Numa amostra de 150 estudates, 60 apresetaram desempeho satisfatório um teste aplicado a saída da exposição. Qual seria a estimativa itervalar de p esse caso, para γ = 0,95? Seja X: o o de estudates que apresetaram desempeho satisfatório o teste aplicado a saída da exposição de arte, etão temos que ˆp = X/ 60/150 = 0, 4 ou 40%, se γ = 0, 95 z = 1, 96, logo: ] ˆp(1 ˆp) ˆp(1 ˆp) IC(p; 95%) = ˆp z ; ˆp + z ] 0, 4 (1 0, 4) = 0, 4 ± 1, = 0, 4 1, 96 0, 04; 0, 4 + 1, 96 0, 04] = 0, 3216; 0, 4784]. 3. (2,5) Numa pesquisa de mercado deseja-se estimar a proporção de pessoas que compram o detergete Limpa-Bem. (a) (1,0) Se desejássemos ter um itervalo de coaça com comprimeto igual a 0,08, com coeciete de coaça de 0,94, qual deveria ser o tamaho da amostra? Seja X: o o de pessoas que compram o detergete Limpa-Bem. Temos que o comprimeto do IC é tal que L s L i = ˆp + ɛ (ˆp ɛ) = ˆp + ɛ ˆp + ɛ = 2ɛ, ou seja, o comprimeto do itervalo é o dobro da margem de erro (erro amostral), ode L s : limite superior do itervalo e L i : limite iferior do itervalo. Etão, se o comprimeto do itervalo é igual a 0, 08 2ɛ = 0, 08 ɛ = 0, 04. Se γ = 0, 94 z = 1, 88. Como ão temos iformação sobre p, seja p(1 p) = 0, 25, logo: ( ) 2 1, 88 0, 25 = , 25 = 552, 25 0, 04 = 552 pessoas. Em um grupo de 400 pessoas cosultadas, vericou-se que 78 delas compraram o detergete. (b) (0,6) Calcule a estimativa potual da proporção de pessoas que compram o detergete. Seja agora X = 78 e 400, etão ˆp = 78/400 = 0,

4 (c) (0,9) Costrua um itervalo de coaça para essa proporção com coeciete de coaça igual a 0,94. Qual é o comprimeto do itervalo? Seja γ = 0, 94 z = 1, 88, etão: ] 0, 195 0, 805 0, 195 0, 805 IC(p; 94%) = 0, 195 1, 88 ; 0, , = 0, 195 0, 0372; 0, , 0372] = 0, 1578; 0, 2322]. Com itervalo de comprimeto igual a 0, , 1578 = 0, 0744 = 2 0, 0372 = 2ɛ. 4. (2,5) Um admiistrador de empresas está iteressado em estimar a proporção p de fucioários de uma grade idústria que são favoráveis à ova política de participação dos fucioários os lucros da empresa. (a) (0,8) Determie o tamaho da amostra ecessário para que o erro cometido a estimação seja de o máximo 0,05, com probabilidade de 0,85. Seja X: o o de fucioários que são favoráveis à ova política de participação os lucros da empresa. Temos que, ɛ =, γ = 0, 85 z = 1, 44 e p(1 p) = 0, 25, logo: ( ) 2 1, 44 0, 25 = 829, 44 0, 25 = 207, 36 = 207 fucioários. (b) (0,8) Supoha que ele acredite que essa proporção esteja etre 70% e 80%. iformação qual deve ser o tamaho da amostra? Com essa Dado 0, 7 p 0, 8, temos que p(1 p) = 0, 7 0, 3 = 0, 21, e γ = 0, 85 z = 1, 44, logo: ( ) 2 1, 44 0, 21 = 829, 44 0, 21 = 174, 18 = 174 fucioários. (c) (0,9) Em uma pesquisa realizada com 180 fucioários sorteados desta idústria, 130 foram favoráveis à ova política proposta. Qual é uma estimativa para a proporção de fucioários que são favoráveis à ova política de participação dos fucioários os lucros da empresa. Costrua um itervalo de 90% de coaça para p. 4

5 Temos que ˆp = X/ 130/180 = 0, 722 ou 72, 22%. Dado γ = 0, 90 z = 1, 64, logo: ] 0, , , , 2778 IC(p; 90%) = 0, , 64 ; 0, , = 0, , 64 0, 0334; 0, , 64 0, 0334] = 0, 6674; 0, 7770]. Ou seja, de cada 100 amostras de tamaho 180, espera-se que cerca de 90% delas teha um IC que coteha o verdadeiro valor da proporção populacioal. 5