Estimação de Parâmetros. 1. Introdução

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1 Estimação de Parâmetros. Itrodução O objetivo da Estatística é a realização de iferêcia acerca de uma população, baseadas as iformações amostrais. Como as populações são caracterizados por medidas uméricas descritivas, deomiadas parâmetros, a iferêcia estatística diz respeito à realização de iferêcia sobre esses parâmetros populacioais. Os métodos utilizados para realização de iferêcias a respeito dos parâmetros pertecem a duas categorias. Pode-se estimar ou prever o valor do parâmetro ou pode-se tomar decisões relativas ao mesmo, através de um teste de hipótese. A estimação é o processo que cosiste em utilizar dados amostrais para estimar os valores de parâmetros populacioais descohecidos. Qualquer característica de uma população pode ser estimada a partir de uma amostra aleatória. Etre as mais comus, estão a média, variâcia e proporção populacioal.. Estimativas potuais e itervalares As estatísticas amostrais são utilizadas como estimadores de parâmetros populacioais. Assim uma média amostral é usada como estimativa de uma média populacioal. Tias estimativas chamam-se estimativas potuais, porque origiam úica estimativa do parâmetro. A amostragem aleatória apreseta tedêcia a gerar amostras em que as médias amostrais ão são iguais à média da população, embora os valores, em geral, sejam próximos. Em virtude desta variabilidade amostral, é usual icluir uma estimativa itervalares, com um certo ível de cofiaça -) ou de sigificâcia, para acompahar a estimativa potual. Essa ova estimativa proporcioa um itervalo, de possíveis valores do parâmetro, deomiado itervalo de cofiaça. 3. Tipos de itervalo de cofiaça Itervalo de cofiaça para a média populacioal ) Pequeas amostras ou descohecida Cosidera-se uma amostra pequea quado 3 Studet Ode -. Neste caso utilizasse a tabela da distribuição t - S S P x t. x t. Exemplo: Ex: Para estimar o tempo médio de atedimeto em um restaurate do tipo fast-food, um pesquisador aotou o tempo gasto por 3 garçoetes uma amostra aleatória) para completar um pedido padrão cosistido de dois hamburgers, dois pacotes de fritas e duas bebidas). As garçoetes levaram, em média, 78,4 segudos, com desvio padrão de 3, segudos, para completar os pedidos. Costrua um itervalo de 95% de cofiaça para o verdadeiro tempo médio para completar um pedido padrão. 3 t, 4 x 78,4 3,

2 3, 3, P78,4,45 78,4,45 95% 3 3 3, 3, P78,4,45 78,4,45 95% 5,477 5,477 P78,4,45,4 78,4,45,4 95% P78,4 4,98 78,4 4,98 95% P 73,47 83,38 95 % Iterpretação: Com 95% de cofiaça podemos afirmar que o verdadeiro tempo médio que as garçoetes levam para completar um pedido ecotra-se etre 73,479 e 83,3 segudos. Ex: Para avaliar o peso médio de uma ova safra de limões, o admiistrador da fazeda obteve os pesos de 5 limões ovos presumivelmete de uma amostra aleatória) ecotrado uma média de 5, gramas, com desvio padrão de,4 gramas. Costrua um itervalo de cofiaça de 98%, para o verdadeiro peso médio dos limões. Ex3: Em um estudo de liberdade codicioal com trabalho para presos codeados por crimes ão violetos, costatou-se que 9 deles, puderam mater os empregos gahado uma média de R$ 5, por mês com um desvio padrão de R$ 55,. Costrua um itervalo de 99% de cofiaça para o gaho mesal real dos presidiários. Grades amostras. Cosidera-se uma amostra grade quado >3 Neste caso utilizasse a tabela Z - Distribuição Normal P x Z. x Z. Exemplo: Ex: Uma amostra aleatória de 4 tambores de um produto químico, utilizado a produção de adubos, tem peso médio de 5 kg e desvio padrão de 5,5 kg. Costrua um itervalo de cofiaça de 95 % para o peso dos tambores. 4 Z, 96 x 5 5,5 5,5 5,5 P 5,96 5,96 95% 4 4 5,5 5,5 P 5,96 5,96 95% 6,34 6,34 P5,96,869 5,96,869 95% P5,73 5, 73 95% P 3,97 6,73 95 % Iterpretação:

3 3 Com 95% de cofiaça podemos afirmar que o verdadeiro peso dos tambores de produtos químicos ecotra-se etre 3,97 kg e 6,73 kg. Ex: Uma pesquisa amostral feita em uma zoa rural em 994 mostrou que 5 famílias gastaram, em média, R$35, por semaa com alimetação, com desvio padrão de R$,5. Como há iteresse em especificar, detro de um itervalo de cofiaça bastate estreito, a despesa semaal real com alimetação familiar aquela área, costrua um itervalo de 9% de cofiaça. Ex3: O proprietário de uma rede de postos de serviço para camihões matém extesos registros de suas várias trasações com seus clietes. Se uma amostra aleatória de 8 desses registros acusa uma veda média de 58, galões de óleo diesel, com desvio padrão de 4,8 galões. a) Costrua um itervalo de cofiaça de 98% para a média da população que gerou esta amostra b) Costrua um itervalo de cofiaça de 95% para a média da população que gerou esta amostra Itervalo de cofiaça para a proporção populacioal p ) P pˆ Z pˆ p pˆ Z pˆ ode: x pˆ ; pˆ qˆ pˆ e qˆ pˆ Exemplo: Ex: Examiadas 5 peças de uma grade produção ecotrou-se 6 defeituosas. Com um grau de cofiaça de 9% costruir um itervalo de cofiaça para verdadeira proporção de peças defeituosas. P pˆ Z pˆ p pˆ Z pˆ 5 Z, 64 x 6 x 6 pˆ,5 pˆ qˆ 5 pˆ qˆ pˆ,5,48 P,5,64,3 p,5,64,3 P,5,365 p,5,365 9% P,4835 p,5565 9% P 48,35% p 55,65% 9 9% %,5,48 5,3 Iterpretação: O itervalo de 48,35% a 55,65% cotem a verdadeira percetagem de peças defeituosas.

4 4 Ex: Para estimar a porcetagem de aluos de um curso favoráveis á modificação do currículo escolar, tomou-se uma amostra de aluos, dos quais 8 foram favoráveis. Costruir um itervalo de cofiaça para a,proporção de todos os aluos favoráveis à modificação, use um = 4% Ex3: Em uma liha de produção de certa peça mecâica, colheu-se uma amostra de ites, costatado-se que 4 peças eram defeituosas. Costruir um itervalo de cofiaça para proporção de peças defeituosas ao ível de % de cofiaça. Itervalo de cofiaça para variâcia ) Sabe-se que o estimador ão-tedecioso de S ) é S e que E S ) = V No etato, para se costruir um itervalo de cofiaça para, equato é ecessário, aida cohecer qual é o comportameto de S, isto é, qual é o modelo teórico probabilístico) seguido pelo estimador. Assim ates de se costruir um itervalo de cofiaça para a variâcia populacioal é ecessário se cohecer um ovo modelo probabilístico deomiado de quiquadrado e represetado por c grego). Propriedade da distribuição qui-quadrado A distribuição qui-quadrado ão é simétrica, ao cotrário das distribuições ormal e t de Studet. A distribuição é assimétrica positiva possuí uma cauda à direita) e depede do úmero de graus de liberdade. A figura mostra algus exemplos de modelos qui-quadrado. Figura- Algumas distribuições de qui-quadrado. A medida que úmero de gruas de liberdade aumeta distribuição de qui-quadrado tede a uma distribuição ormal, isto pode ser verificado a figura. Os valores de qui-quadrado podem ser zero ou positivos; uca podem ser egativos Tabelas A distribuição está tabelada em fução do grau de liberdade liha da tabela) e área à sua direita, isto é, P c), com o valor do parâmetro graus de liberdade) e uma determiada probabilidade área), a tabela forece um valor da variável abscissa) tal que a probabilidade à direita área) deste valor seja igual a área especificada. O itervalo O comportameto da distribuição de probabilidade, apresetado pela variâcia amostral S está relacioado com a distribuição modelo) através do seguite resultado: ) S, isto é, a variâcia segue uma distribuição meos de uma costate. Neste caso. com - graus de liberdade a

5 5 Supoha que seja fixado um ível de cofiaça de - e que valores da distribuição tais que P ; ; ) e sejam dois P ) e itroduzido a expressão aterior da variável, temse: ; ; - ) S P = - ; ; P ; > - ) S > ; = - - ) S - ) S = - ; P assim o itervalo de cofiaça probabilidade) ; de - para variâcia da população é dado por: - S - S ; -;α ;-α Ex: Uma amostra de oze elemetos extraída de uma população com distribuição ormal, foreceu uma variâcia de S 7, 8. Costruir um itervalo de 9% de cofiaça para variâcia desta população. Solução: Neste caso é ecessário iicialmete determiar os valores da distribuição, de modo, que teha uma área probabilidade) a direita igual a 5% e ; -α probabilidade) a esquerda igual a 95%. Estes valores são: ) ) ; =3,94 e ; teha uma área ; =8,37. Desta forma, o itervalo para variâcia será: - 7,8-7,8 ; = [3,86; 7,96] ou seja pode-se 8,37 3,94 afirmar com uma certeza de 9% de que este itervalo coterá a variâcia populacioal. ) Exercícios. Um estudo feito por uma compahia aérea mostrou que uma amostra aleatória de de seus passageiros que desembarcaram o aeroporto Keedy, em vôos proveietes da Europa, gastam em média 4,5 miutos, com S = 3,9 mi, para retirar sua bagagem e passar pela alfâdega. Costruir um itervalo de cofiaça para o tempo que os passageiros gastam para retirar suas bagages e passar pela alfâdega use um = %. Em uma pesquisa de opiião, etre 6 pessoas pesquisadas, 4 respoderam sim a determiada perguta. Estimar a percetagem de pessoas com essa mesma opiião a população, dado um itervalo de 95% de cofiabilidade. 3. A experiêcia com trabalhadores de uma idústria idica que o tempo ecessário para que um trabalhador, aleatoriamete selecioado, realize uma tarefa é distribuído ormalmete com variâcia )

6 6 de 44 miutos.uma amostra de 5 trabalhadores foreceu média de 4 mi. Determiar os limites de cofiaça de 9% para média da população de todos os trabalhadores que fazem aquele determiado serviço. 4. Uma votação realizada etre 4 eleitores, escolhidos ao acaso, detre todos os eleitores de um determiado distrito, idicou que 55% deles são a favor do cadidato A Determiar os limites de cofiaça de 99% para a proporção de todos os eleitores do distrito favoráveis ao cadidato A. 5. Uma amostra aleatória de 8 otas de matemática de uma população de 5 otas apreseta média de 5,5 e desvio padrão de,5. Quais os limites de cofiaça de 98% para a média das 5 otas. 6. Colhida uma amostra de peças, foreceu os seguites pesos g) Por meio da costrução de um itervalo de cofiaça de 98%, respoder se esta amostra satisfaz a especificação pela qual o peso médio deve ser de g. 7. Uma amostra de 3 habitates de uma cidade mostrou que 8 desejavam a água fluorada. Ecotrar os limites de cofiaça de 9% para a proporção da população favorável a fluoração. 8. Supoha que as alturas dos aluos de ossa Faculdade teha uma variâcia de cm. Foi retirada uma amostra aleatória de aluos obtedo-se média de.65 cm. Costruir ao ível de sigificâcia de 95% o itervalo para a verdadeira altura média dos aluos. 9. Para 6, 6, 7, 8, 9, 9, 9,,,, calcular o I.C. para, ao ível de 9%.. De uma população ormal foi retirada uma amostra de 5 elemetos e calculou-se: x i = 8,7 e x i = 7,3. Determiar um I.C. de 8% para a variâcia dessa população.. Calcular um I.C. de 96% para a variâcia da distribuição mostrada a seguir suposta como ormal): Classe, 6, 6,,, 4, 4, 8,3 Freqüêcia