6.1 Estimativa de uma média populacional: grandes amostras. Definição: Um estimador é uma característica amostral (como a média amostral

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1 6 ESTIMAÇÃO 6.1 Estimativa de uma média populacioal: grades amostras Defiição: Um estimador é uma característica amostral (como a média amostral x ) utilizada para obter uma aproximação de um parâmetro populacioal. Uma estimativa é um valor específico, ou um itervalo de valores, usado para aproximar um parâmetro populacioal. Existem dois motivos pelos quais a média amostral é o melhor estimador da média populacioal µ em relação a qualquer outro estimador, como a mediaa ou a moda: 1 Para a maioria das populações, a distribuição das médias amostrais x tede a ser mais cosistete (apresetar meos variação) do que a distribuição de outras estatísticas amostrais. Para qualquer população, a média amostral x é um estimador ão-tedecioso da média populacioal µ, o que sigifica dizer que a distribuição das médias amostrais tedem a ficar em toro do verdadeiro valor da média populacioal µ. Por isso fica determiado a utilização da média amostral como o melhor estimador da média populacioal µ. Como a média amostral x é um valor umérico, é chamado de estimativa potual. Defiição: Uma estimativa potual é um valor (ou poto) úico usado para aproximar um parâmetro populacioal. Agora podemos pesar da seguite maeira: se tivermos um cojuto amostral de dados com 110 elemetos e desse cojuto obtermos a média amostral, provavelmete obteríamos um outro valor para a média amostral se cosiderássemos apeas 10 observações desse mesmo cojuto de dados, porque se baseia em uma amostra bem pequea. Por causa disso os estatísticos desevolveram outro tipo de estimativa que, efetivamete, idica quão boa é uma estimativa potual. Essa estimativa chama-se itervalo de cofiaça ou estimativa itervalar. Defiição: Um itervalo de cofiaça é uma amplitude (ou itervalo) de valores que tem por característica coter o verdadeiro valor da população. 47

2 Porém a amplitude do itervalo de cofiaça está diretamete associado a um grau de cofiaça que mede a certeza desse itervalo coter o verdadeiro parâmetro populacioal. Defiido por α o grau de cofiaça descreve uma probabilidade represetada por uma área. Esta probabilidade é igualmete dividida etre as duas caudas da a distribuição ormal padroizada. α/ α/ Defiição: Grau de cofiaça é a probabilidade 1 α do itervalo de cofiaça coter o verdadeiro valor do parâmetro populacioal. Geralmete são escolhidos α = 0,1, 0,05 e 0,01. Respectivamete teremos grau de cofiaça = 90%, 95% e 99%. De maeira mais formal podemos iterpretar um itervalo de cofiaça da seguite maeira: supodo que fosse escolhido um α = 0,05, seria costruído um itervalo com 95% de cofiaça. Isto quer dizer que se estraíssemos várias amostras suficietemete grades ( > 30) e costruíssemos um itervalo de cofiaça para cada amostra, a logo prazo, 95% desses itervalos coteriam efetivamete a média populacioal µ. Vamos observar que µ é um valor fixo, e ão uma variável aleatória, portato ão podemos dizer que existe uma probabilidade de 95% de chace de µ estar o itervalo, o correto é dizer que o itervalo de cofiaça cotém ou ão cotém µ. Pelo Teorema Cetral do Limite sabemos que as média amostrais x barra tedem a ter distribuição ormal a medida que aumetamos o tamaho da amostra. Como visto a figura aterior, essas médias amostrais possuem uma chace muito pequea de estarem em uma das caudas. Pelo complemeto existe uma probabilidade de 1 α de uma média amostral estar a região iterior. O escore z que separa estas regiões é chamado valor crítico. Defiição: Um valor crítico é o úmero a froteira que separa os valores das estatísticas amostrais prováveis de ocorrerem, dos valores que têm pouca chace de ocorrer. Grau de Cofiaça α Valor crítico z α/ 90% 0,10 1,65 95% 0,05 1,96 48

3 99% 0,01,58 A média amostral é tipicamete diferete da média populacioal µ. Essa difereça pode ser iterpretada como um erro. Vimos que σ é o desvio-padrão das médias amostrais e com isso podemos defiir: Defiição: A margem de erro E é a difereça máxima provável (com probabilidade 1 α) etre a média amostral observada x barra e a verdadeira média populacioal µ, e pode ser obtida através da fórmula: Com base a defiição da margem de erro E, podemos caracterizar o itervalo de cofiaça para a média populacioal µ: Passos a costrução de um itervalo de cofiaça com > 30: 1 Determiar z α/ de acordo com o grau de cofiaça desejado. Calcular a margem de erro E. Se desvio padrão populacioal ão for cohecido, utilizar o desvio padrão amostral s, desde que > Calcular os valores do itervalo. 6. Estimativa de uma média populacioal: pequeas amostras Fatores como custo e tempo geram problemas e impõem limites ao tamaho de amostra, de tal maeira que a distribuição ormal ão pode ser mais utilizada como uma aproximação adequada para a distribuição das médias amostrais. Se tivermos uma amostra pequea ( < 30) e pretedermos costruir um itervalo de cofiaça, mas ão cohecemos o desvio padrão populacioal σ, podemos utilizar a distribuição t de Studet. 49

4 Defiição: Se a distribuição de uma população é essecialmete ormal, etão a distribuição de x µ t = é essecialmete uma distribuição t de Studet para todas as σ amostras de tamaho, e é utilizada para determiar os valres críticos t α/. Para que a distribuição t de Studet possa ser utilizada, a distribuição da população deve ser essecialmete ormal, ter apeas uma moda e ser basicamete simétrica (formato de sio). Se há alguma evidêcia de que a população ão seja ormal, devemos utilizar métodos ão paramétricos. A margem de erro E, com base em uma amostra, é calculada da seguite maeira: ode t α/ tem - 1 graus de liberdade. Defiição: O úmero de graus de liberdade correspode ao úmero de valores que podem variar após terem sido impostas certas restrições a todos os valores. Etão o itervalo de cofiaça é dado por: 6.3 Estimativa de uma proporção populacioal x Seja p a proporção populacioal e p ˆ = a proporção amostral de x sucessos em uma amostra de tamaho. A proporção amostral pˆ é a melhor estimativa potual da proporção populacioal. é: A margem de erro E da estimativa de p é pq ˆ ˆ E = zα / e o itervalo de cofiaça 50

5 Arredodar para 3 algarismos sigificativos (3 casas decimais) os limites do itervalo de cofiaça Determiação do tamaho de amostra Podemos determiar o tamaho de amostra ecessário para ecotrar o valor aproximado de uma proporção populacioal. Partido da expressão da margem de erro E, teremos: Em determiadas situações estudos ateriores poderão forecer um valor para pˆ. Uma saída pra ecotrar proporção pˆ. pˆ seria aalisar uma amostra piloto e ela verificar qual é a A fórmula exige pˆ como estimativa da proporção amostral, mas se ão cohecermos tal estimativa, substituímos pˆ por 0,5 e qˆ por 0,5, obtedo: 6.4 Estimativa de uma variâcia populacioal Em muitas situações reais estamos iteressados em estimar o valor da variâcia ou desvio-padrão populacioais. Primeiramete devemos cosiderar que a população teha distribuição ormal. Para fazer esta verificação acoselha-se aalisar o histograma dos dados, verificado a simetria e a forma de sio. As estimativas realizadas com base em distribuições que ão sejam ormais podem ser egaosas, ou seja, as iferêcias sobre a variâcia populacioal ão são robustas, ao cotrário das iferêcias feitas sobre a média populacioal. 51

6 ( xi x) Como as variâcias amostrais s = 1 i= i tedem a cetrar-se o valor da variâcia populacioal σ, dizemos que s é um estimador ão-tedecioso de σ, e aida, s está mais próximo de σ do que qualquer outra medida de variação. Por isso a variâcia amostral é a melhor estimativa potual da variâcia populacioal σ. Porém precisamos ficar atetos: s ão é a melhor estimativa potual de σ. Etretato, se o tamaho de amostra for grade, podemos utilizar s como uma estimativa razoavelmete boa de σ. Itervalo de cofiaça para a variâcia populacioal: Determiação do tamaho de amostra Utilizar a tabela, de acordo com o ível de cofiaça e o erro desejado. 5