ESTATÍSTICA- II DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA. 1- CONCEITO É a série estatística que tem o tempo, o espaço e a espécie como variáveis dependentes.

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1 ESTATÍSTICA- II DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA 1- CONCEITO É a série estatística que tem o tempo, o espaço e a espécie como variáveis depedetes. - DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA a) Dados Brutos É um cojuto resultate de um trabalho estatístico cujos elemetos se ecotram desordeados , , ,5, ,5,5 7,5 5 5, ,5 1,5 4 7 b) Rol é um cojuto oriudo dos dados brutos, porém com seus elemetos colocados em ordem crescete. 1 1,5, , ,5 5,5,5,5, , , c) Distribuição de reqüêcia com dados ão-agrupados d) Distribuição de reqüêcia com dados agrupados (ou com itervalos de classe) 3- PRINCIPAIS ELEMENTOS a) Número de elemetos do rol = = 40 b) Limites do rol Limite ierior = 1 Limite superior = 10 c) Amplitude Total da distribuição(do rol) Ar = limite superior limite ierior Ar = 10 1

2 Ar = 9 d) Classe de reqüêcia (x) São itervalos de variação da variável. 4 (3ª classe) e) Limites de classe São os extremos de cada classe. l 3 = 4 e L 3 = ) Amplitude de um itervalo de classe É a medida do itervalo que deie a classe. h i = L i l i h i = 8 = g) Amplitude amostral (AA) É a diereça etre o valor máximo e o valor míimo da amostra. AA = 10 0 = 10 h) Itervalo de classe = h É dado através de uma órmula empírica, isto é, extraído da tetativa experimetal. h = h = Ar 1 3,33 x log 9 = 1 3,33x1,0 9 = 1,4 = 1,3 i) Poto médio = x o É o poto que divide o itervalo de classe em duas partes iguais. X o = (L i + l i ) / j) Freqüêcia simples ou absoluta = i É o úmero de observações correspodetes a essa classe ou a esse valor. 1 = ; = 4; 5 = 14 l) Freqüêcia total = Ft É a soma de todas as reqüêcias. F t = F t = F t = 40 m) Freqüêcia relativa ou percetual r = Ft São os valores das razões etre as reqüêcias simples e a reqüêcia total. 4 r = = 0,1 40 ) Frequêcia relativa acumulada = Fra É o total das reqüêcias de todos os valores ieriores ao limite superior do itervalo de uma dada classe. F k = 1 + = + k 4- Represetação gráica de uma distribuição Uma distribuição de reqüêcia pode ser represetada graicamete pelo histograma, pelo polígoo de reqüêcia e pelo polígoo de reqüêcia acumulada Histograma 0 histograma é ormado por retâgulos justapostos, sedo o úmero de retâgulos igual ao úmero de itervalos de classe. A largura de cada retâgulo é igual à amplitude do itervalo de classe, equato sua altura represeta à requêcia do itervalo de classe. A área do histograma é proporcioal à soma das reqüêcias

3 4.- Poligoo de requêcias Trata-se de um gráico de liha ode cada poto é obtido cosiderado-se coro valor de x o poto médio do itervalo de classe e coro valor de y a respectiva requêcia do itervalo. Cosideramos também uma classe aterior à primeira e outra posterior à última. Ligado todos os potos temos o polígoo de requêcias. Acrescetamos os valores 35 e 95 para as classes aterior à primeira e posterior à última, com requêcia ula. Da mesma orma que o histograma, o polígoo de requêcias também apreseta área proporcioal à soma das requêcias. 0 polígoo de requêcia também pode ser obtido através dos potos médios das bases superiores dos retâgu1os do histograma, uidos aos potos aterior à primeira classe e posterior à última: 4.3- Polígoo de reqüêcia acumulada(ogiva) Trata-se de um gráico de liha, da mesma orma que o polígoo de requêcias, ode são cosideradas as requêcias acumuladas. Nas ogivas, por idicarem a requêcia acumulada, é aotada a requêcia ula para o limite ierior da primeira classe e aotamos os limites superiores de todas as classes, em ordem crescete, da primeira à última. MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 1- Média aritmética (M a ) É o quociete da divisão da soma dos valores pelo úmero de elemetos. x x 1 x... x A média aritmética para dados ão agrupados é a média aritmética simples dos elemetos. Participado da primeira elimiatória uma competição de atação, há um grupo de criaças com idades represetadas pelos seguites valores:, 10, 7, 9, 8, 7, 9,, 10.

4 x Média aritmética para uma distribuição de reqüêcia. a) Sem itervalo de classe i.xi X i1 i Trata-se da média aritmética poderada. 175 X 5,4 31 b) Com itervalo de classe i.xo X i1 i i1 i.xi X i1 i = 9 5, Mediaa(M d ) - Retomado o exemplo aterior, vamos colocar as idades represetadas pelos seguites valores em ordem: Observe que o úmero 8 ocupa a posição cetral etre os valores obtidos, sedo chamado de mediaa (Md). Caso o úmero de dados seja par, a mediaa desses valores será a média aritmética dos dois valores cetrais M d 7 8 7,5.1- Mediaa para uma distribuição de requêcia a) Sem itervalos de classe Basta cosiderar a reqüêcia acumulada e localizar o elemeto itermediário. 51 etão: 51 5, 5 Assim, a mediaa é um valor etre o 5º e o º elemetos. Estes valores ocorreram com o salário 10. Portato: M d = 10.

5 b) Com itervalos de classe Devemos iicialmete localizar a classe. mediaa, ou seja, a que cotém o elemeto usado a órmula: Em seguida, calculamos seu valor F at M d l d. hd d Ode: l d = limite ierior da classe mediaa F at = Soma das reqüêcias das classes ateriores à classe mediaa. h d = amplitude da classe mediaa d = reqüêcia da classe mediaa , etão a classe mediaa é a seguda. M d M d F at l d. hd d ,8 134, Moda(M o ) A moda é um valor que se apreseta com maior reqüêcia, ou seja, que se repete o maior úmero de vezes M o = 7 Um cojuto de elemetos pode ter uma moda, mais de uma ou ão ter moda Moda para uma distribuição de requêcias A classe modal é a classe que apreseta maior reqüêcia. Cosideramos como moda de uma distribuição de reqüêcias o valor compreedido etre os limites da classe modal. tal valor, pelo processo de Czuber, é dado por: Mo lo Ode:.h l o = limite ierior da classe modal h o = amplitude da classe modal 1 = reqüêcia da classe modal meos reqüêcia da classe aterior à modal = reqüêcia da classe modal meos reqüêcia da classe posterior à modal.h l o = 1 Mo l 1 0 o 1 1 = 1 7 = 5 5. Mo 1 5 = 1 = Mo 1 0, 91 h o = 18 1 = M o = 1,91

6 MEDIDAS DE DISPERSÃO 1- Desvio(d i ) É a diereça etre cada elemeto x i e a média x. Ele é dado por: d i = x i - x jogos gols x = 4 Jogos Desvios 5 4 = = = = = = 0 - Desvio Médio(D m ) O desvio médio é calculado pela média aritmética dos valores absolutos dos desvios: D m =, 3- Variâcia(V ar ) É a média aritmética dos quadrados dos desvios. V ar = (1) ( 4 ) (7 ) ( 1) (0 ) ( 3 ) 7 V ar =, 3.1- Variâcia populacioal A variâcia de uma população {x 1,...,x N } de N elemetos é a medida de dispersão deiida como a média do quadrado dos desvios dos elemetos em relação à média populacioal μ. Ou seja, a variâcia populacioal é dada por: Variâcia amostral A variâcia de uma amostra {x 1,...,x } de elemetos é deiida como a soma ao quadrado dos desvios dos elemetos em relação à sua média dividido por (-1). Ou seja, a variâcia amostral é dada por: Ao utilizarmos a média amostral como estimador de m para calcularmos a variâcia amostral, perdemos 1 grau de liberdade em relação à variâcia populacioal. Variâcia: Dado um cojuto de dados, a variâcia é uma medida de dispersão que mostra o quão distate cada valor desse cojuto está do valor cetral (médio). Quato meor é a variâcia, mais próximos os valores estão da média; mas quato maior ela é, mais os valores estão distates da média. Cosidere que x1, x,, x são os elemetos de uma amostra e que x é a média aritmética desses elemetos. O cálculo da variâcia amostral é dado por: Var. amostral = (x1 x)² + (x x)² + (x3 x)² (x x)² 1 Se, em cotrapartida, quisermos calcular a variâcia populacioal, cosideraremos todos os elemetos da população, e ão apeas de uma amostra. Nesse caso, o cálculo possui uma pequea diereça. Observe: Var. populacioal = (x1 x)² + (x x)² + (x3 x)² (x x)² 4- Desvio Padrão (S) É a raiz quadrada da variâcia.

7 S = V ar S = 1, 3, Desvio padrão populacioal O desvio padrão populacioal de um cojuto de dados é igual à raiz quadrada da variâcia populacioal. Desta orma, o desvio padrão populacioal é dado por: 4.- Desvio padrão amostral O desvio padrão amostral de um cojuto de dados é igual à raiz quadrada da variâcia amostral. Desta orma, o desvio padrão amostral é dado por: Desvio Padrão: O desvio padrão é capaz de idetiicar o erro em um cojuto de dados, caso quiséssemos substituir um dos valores coletados pela média aritmética. O desvio padrão aparece juto à média aritmética, iormado o quão coiável é esse valor. Ele é apresetado da seguite orma: média aritmética (x) ± desvio padrão (dp) O cálculo do desvio padrão é eito a partir da raiz quadrada positiva da variâcia. Portato: dp = var