Intervalo de Confiança para uma Média Populacional

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1 Estatística II Atoio Roque Aula 5 Itervalo de Cofiaça para uma Média Populacioal Um dos objetivos mais importates da estatística é obter iformação sobre a média de uma dada população. A média de uma amostra da população, x, é como se fosse uma estimativa para, a média verdadeira da população. Iformação adicioal é dada pelo desvio padrão da distribuição amostral de x, σ σ x =. O desvio padrão da distribuição de x, x σ, é um tipo de medida da dispersão das médias x de cada amostra de tamaho retirada da população em toro da média verdadeira da população. Usado a estimativa de dada pela média de uma amostra, x, o desvio padrão da distribuição amostral, σ x, e as propriedades da distribuição ormal, um itervalo de valores detro do qual a média pode estar com um certo grau de cofiaça pode ser costruído. Esse itervalo é chamado de itervalo de cofiaça para. O itervalo de cofiaça é costruído de tal maeira que a probabilidade de que esteja detro dele pode ser tão alta quato se queira, ou seja, com 90% de certeza, 95% de certeza, 99% de certeza, 99,9% de certeza etc. O poder do Teorema Cetral do Limite reside o fato de que os valores médios para amostras retiradas de uma população com qualquer distribuição estarão aproximadamete ormalmete distribuídos se o tamaho das amostras for grade. Etão, basta usar a distribuição ormal (veja o Apêdice desta aula) para se calcular as probabilidades ecessárias. 1

2 Estatística II Atoio Roque Aula 5 Na figura acima, temos uma distribuição amostral de médias x para amostras com grade retiradas de uma população cuja média vale (descohecida) e cujo desvio padrão vale σ. A distribuição amostral é ormal com média = x e desvio padrão σ σ x =. Como a distribuição amostral é ormal, sabemos (pelas propriedades da distribuição ormal) que 95% dos valores de x estão detro de um itervalo cetrado a média ido de dizer que: 1, 96 σ até σ σ P 1,96 x + 1,96 = 0, , 96 σ. Isto quer Vamos maipular a expressão detro dos parêteses acima da seguite maeira: 2

3 Estatística II Atoio Roque Aula 5 1) Some a ela: 2) Some x a ela: σ σ P 1,96 x + 1,96 = 0,95 ; 3) Multiplique-a por 1: σ σ P x 1,96 x + 1,96 = 0,95 ; 4) Re-arraje os termos: σ σ P x + 1,96 x 1,96 = 0,95 ; P x σ σ 1,96 x + 1,96 = 0,95. Em outras palavras, isto quer dizer que há 95% de chaces de que o valor médio da população,, esteja detro do itervalo ( x 1,96σ /, x + 1,96σ / ). Este itervalo é chamado de itervalo de cofiaça de 95% para o valor verdadeiro de. 95 IC = x 1,96 σ / ( 95 %) ± Poder-se-ia desejar uma seguraça maior, por exemplo um itervalo de cofiaça de 99%. Das propriedades da distribuição ormal, o itervalo de cofiaça de 99% para o valor verdadeiro de é: 99 IC = x 2,58σ / ( 99 %) ± 3

4 Estatística II Atoio Roque Aula 5 Para ilustrar o que vimos até agora, vamos cosiderar a população de 100 úmeros aleatórios dada abaixo. Eles são úmeros etre 200 e 2000 que podem, por exemplo, represetar os salários de uma população de trabalhadores. 703, , ,16 992, , ,52 202,40 793,10 587,85 851, , ,20 354,30 408,23 829,05 915, ,51 210, , , ,13 814, ,30 666, , , ,15 998,03 795, , ,89 473,28 645, , , ,25 832,67 471, , ,84 325, ,17 466, , , , , ,17 873, , , ,17 790, , ,82 964,98 240, ,60 934,00 218, , ,71 287, ,61 541, , ,35 620,41 240,66 349, , ,14 462,09 600, , , , , , , ,14 349,71 293,44 274, ,43 472,52 425,43 572, , , , ,58 566,75 664, , , ,56 763,73 200, ,37 A média dos 100 valores acima é = 1108,49 e o desvio padrão é σ = 543,35. Vamos selecioar aleatoriamete uma amostra de 30 valores desta população. Por exemplo: 814, , , , , , , ,25 408, , ,75 425,43 354, , , ,84 992, , , , ,82 793,10 763,73 210, , ,62 934,00 473,28 873, ,17 A média dos valores da amostra é x = 1208,23 e o desvio padrão é s = 512,78 (otem que o desvio padrão para a amostra foi calculado usado-se a fórmula do desvio padrão de uma amostra, dividido-se por 1). A partir dos valores calculados para a amostra, podemos estimar um itervalo de cofiaça de 95% para a média da população como: 543,35 543, ,23 1, ,23 + 1,96., o que os dá: 1013, ,66 com 95% de certeza. De fato, o valor verdadeiro da média (1108,49) está detro deste itervalo. 4

5 Estatística II Atoio Roque Aula 5 Na discussão feita até agora, assumiu-se que o tamaho da amostra é grade ( > 30) e que se cohece o desvio padrão σ da população de ode as amostras são retiradas. Na prática, etretato, o valor de σ é, em geral, descohecido. Já o tamaho da amostra pode, às vezes, ão ser maior do que 30 (por motivos de custo ou tempo). A solução mais lógica para o problema de se descohecer σ é usar o valor de s, o desvio padrão calculado para a amostra, como uma estimativa de σ. Como vamos ver, isto pode ser feito o caso em que se pode assumir que a distribuição populacioal é ormal. A Distribuição t de Studet No caso em que a população tem uma distribuição ormal com um desvio padrão σ descohecido e usa-se s como estimativa para ele, a aálise da distribuição amostral é similar à feita ateriormete, mas agora utiliza-se a chamada distribuição t de Studet, ou simplesmete distribuição t, o lugar da distribuição ormal. Isto ocorre porque, além da variação da média, de amostra para amostra, tem-se também agora a variação do desvio padrão s, de amostra para amostra. Deve-se agora levar em cota ão somete a cofiabilidade de x como estimativa de, mas também a cofiabilidade de s como estimativa deσ. Quado o tamaho da amostra aumeta, s passa a ser uma estimativa cada vez mais cofiável de σ. Para grade, s é suficietemete cofiável de modo que a substituição de σ por s é, para todos os fis práticos, válida. Cosiderase que s é suficietemete cofiável como estimativa de σ para a partir de 30. 5

6 Estatística II Atoio Roque Aula 5 Portato, para 30, mesmo que se descoheça σ usa-se s para represetar o desvio padrão da população e trata-se a distribuição amostral de x como uma distribuição ormal, com variável reduzida dada por x z = e itervalo s / de cofiaça de 95% dado por IC = x ± 1,96 s /. Isto é válido mesmo que a população de ode são tiradas as amostras ão obedeça a uma distribuição ormal. Para amostras de tamaho meor que 30, mas retiradas de uma população que teha uma distribuição ormal, deve-se estimar os itervalos de cofiaça usado-se a distribuição t de Studet. No começo do Século XX, W. S. Gosset, que escrevia seus artigos sob o pseudôimo de Studet, estudou a variável x t =, s/ que é a equivalete à variável z da distribuição ormal padrão quado se substitui σ por s. Quado a população de ode se retiram as amostras obedece a uma distribuição ormal, a variável t obedece a uma distribuição que é chamada de distribuição t de Studet. A distribuição t de Studet é uma distribuição teórica de probabilidades e é defiida por uma fução matemática, que ão será idicada aqui, mas que está tabulada a tabela a seguir. A distribuição é simétrica, tem forma de sio, e é similar à curva ormal, porém, mais espalhada e com o pico mais baixo. Desta forma, ela tem um desvio padrão maior que a ormal. 6

7 Estatística II Atoio Roque Aula 5 A distribuição t evolve um fator adicioal, o úmero de graus de liberdade (gl), e há uma curva t diferete para cada úmero de graus de liberdade. Para um gl muito grade (a partir de 29), a distribuição t ão se distigue da ormal. À medida que gl dimiui, etretato, a distribuição t tora-se cada vez mais espalhada em comparação com a ormal. Para uma amostra de tamaho, gl = 1 e a variável reduzida para a distribuição t padrão é x t 1 = s /. O itervalo de cofiaça de 95% para será dado por ode o valor de t 1 0,05 IC = x ± t s 1, 0, 05 é retirado da tabela a seguir (de maeira que há 95% de probabilidade de que esteja detro da área ão pitada o gráfico da tabela). 7

8 Estatística II Atoio Roque Aula 5 Tabela. Distribuição t de Studet A primeira colua idica o úmero de graus de liberdade (gl). Os cabeçalhos das outras coluas dão a probabilidade (p) de que t exceda umericamete o valor da casa (o valor da área pitada). g.l. p 0,50 0,25 0,10 0,05 0,025 0,01 0, , ,4142 6, ,706 25,542 63, ,32 2 0, ,6036 2,9200 4,3027 6,2053 9, , , ,4226 2,3534 3,1825 4,1765 5,8409 7, , ,3444 2,1318 2,7764 3,4954 4,6041 5, , ,3009 2,0150 2,5706 3,1634 4,0321 4, , ,2733 1,9432 2,4469 2,9687 3,7074 4, , ,2543 1,8946 2,3646 2,8412 3,4995 4, , ,2403 1,8595 2,3060 2,7515 3,3554 3, , ,2297 1,8331 2,2622 2,6850 3,2498 3, , ,2213 1,8125 2,2281 2,6338 3,1693 3, , ,2145 1,7959 2,2010 2,5931 3,1058 3, , ,2089 1,7823 2,1788 2,5600 3,0545 3, , ,2041 1,7709 2,1604 2,5326 3,0123 3, , ,2001 1,7613 2,1448 2,5096 2,9768 3, , ,1967 1,7530 2,1315 2,4899 2,9467 3, , ,1937 1,7459 2,1199 2,4729 2,9208 3, , ,1910 1,7396 2,1098 2,4581 2,8982 3, , ,1887 1,7341 2,1009 2,4450 2,8784 3, , ,1866 1,7291 2,0930 2,4334 2,8609 3, , ,1848 1,7247 2,0860 2,4231 2,8453 3, , ,1831 1,7207 2,0796 2,4138 2,8314 3, , ,1816 1,7171 2,0739 2,4055 2,8188 3, , ,1802 1,7139 2,0687 2,3979 2,8073 3, , ,1789 1,7109 2,0639 2,3910 2,7969 3, , ,1777 1,7081 2,0595 2,3846 2,7874 3, , ,1766 1,7056 2,0555 2,3788 2,7787 3, , ,1757 1,7033 2,0518 2,3734 2,7707 3, , ,1748 1,7011 2,0484 2,3685 2,7633 3, , ,1739 1,6991 2,0452 2,3638 2,7564 3, , ,1731 1,6973 2,0423 2,3596 2,7500 3, , ,1673 1,6839 2,0211 2,3289 2,7045 2, , ,1616 1,6707 2,0003 2,2991 2,6603 2, , ,1559 1,6577 1,9799 2,2699 2,6174 2,8599 0, ,1503 1,6449 1,9600 2,2414 2,5758 2,8070 8

9 Estatística II Atoio Roque Aula 5 Resumo: Passos para a Costrução de um Itervalo de Cofiaça para Os passos para a costrução de um itervalo de cofiaça de 95% ou 99% para a média de uma população,, são os seguites: 1. Decidir o ível de cofiaça a ser adotado (95% ou 99%). 2. Determiar x e s (se σ for descohecido) para a amostra e calcular o erro s padrão da média, σ (ou σ / se σ for cohecido). x = 3. Se o tamaho da amostra for maior do que 30 ( > 30), use a fórmula da distribuição ormal (se σ ão for cohecido, use s o lugar): IC = x ± z σ / x ± 1,96σ / = x ± 2,58σ / 0,05 ou 0,01 ( 95% ) ( 99% ) 4. Se o tamaho da amostra for meor do que 30 ( < 30), mas a distribuição populacioal é ormal, use a fórmula da distribuição ormal acima quado σ for cohecido, ou a fórmula da distribuição t de Studet abaixo quado σ for descohecido (com s o lugar de σ): IC = x ± t 1 s / 0, 05 ou 0, Se < 30 e a população ão tiver distribuição ormal, deve-se usar métodos da estatística ão-paramétrica para estimar. 9

10 Estatística II Atoio Roque Aula 5 Exemplo: Medidas do batimeto cardíaco de uma amostra de 10 estudates do sexo masculio idicaram média = 68, 7 x e desvio padrão s =8, 67 batidas por miuto. Queremos estimar um itervalo de 95% de cofiaça para a média populacioal (população de ode se retirou a amostra). Note que o tamaho da amostra é pequeo (10), mas sabe-se que os batimetos cardíacos das pessoas são distribuídos coforme uma distribuição ormal. Não sabemos o desvio padrão σ da população, portato devemos usar a distribuição t: IC 8,67 ( 95% ) = x ± t s / = 68,7 ± = 68,7 ± ( 2,2622)( 2, 74) = 1 t 9 0,05 0,05 = 68,7 ± 6,20 = 62,5 a 74,9 bat / mi. 10 O fluxograma abaixo sitetiza os procedimetos a serem utilizados para se determiar o itervalo de cofiaça para a média populacioal (adaptado de Daiel, W.W., Biostatistics: a foudatio for aalysis i the health scieces, 5th ed., Wiley, New York, 1991). 10

11 Estatística II Atoio Roque Aula 5 Apêdice: Revisão da distribuição ormal A figura abaixo mostra a fórmula e o gráfico da distribuição ormal: O sigificado quatitativo do desvio padrão de uma distribuição ormal pode ser etedido olhado-se para a figura abaixo: As probabilidades de se ecotrar um valor detro de itervalos simétricos cetrados a média e com larguras dadas por algus múltiplos do desvio padrão são idicadas a figura (50%, 68% etc). Essas probabilidades são obtidas calculado-se a área sob a curva gaussiaa etre dois potos dados, por exemplo, para a probabilidade de 50%: + 0, 67 σ 0,5 = p ( x, t ) dx. 0, 67 σ 11