1. Dados: Deve compreender-se a natureza dos dados que formam a base dos procedimentos

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1 9. Testes de Hipóteses 9.. Itrodução Uma hipótese pode defiir-se simplesmete como uma afirmação acerca de uma mais populações. Em geral, a hipótese se refere aos parâmetros da população sobre os quais há a afirmação. Um admiistrador de um hospital pode estabelecer a hipótese de que a duração média de iterameto dos pacietes admitidos em seu hospital é de cico dias; uma efermeira de saúde pública pode emitir a hipótese de que um programa educacioal particular fará que melhore a comuicação etre efermeira e paciete; um médico pode estabelecer a hipótese de que certo medicameto será eficaz em 90% dos casos em que se use. Por meio de hipóteses se determia se tais proporções são compatíveis ão com os dados de que se dispõem. Por coveiêcia, o teste de hipótese será apresetado como um procedimeto de ove passos. Nada há de mágico com este formato particular, a ão ser pelo fato de decompor o processo em uma seqüêcia lógica de ações e decisões.. Dados: Deve compreeder-se a atureza dos dados que formam a base dos procedimetos de teste, já que está determia o teste que se deve empregar. Deve determiar-se, por exemplo, se os dados cosistem de medidas atributos.. Suposições: Um procedimeto geral se modifica depededo das suposições. Suposições acerca da ormalidade da distribuição da população, igualdade das variâcias e idepedêcia das amostras, são as mais importates. 3. Hipóteses: Em testes de hipótese se trabalha com duas hipóteses que devem euciar-se explicitamete. A primeira hipótese que deve provar-se é cohecida como hipótese ula da existêcia, a qual é desigada pelo símbolo H 0. As vezes dá-se o ome de hipótese de ão difereça a hipótese ula, já que é uma proposição de coformidade com codições verdadeiras da população de iteresse. Em geral, a hipótese ula é estabelecida com o propósito expresso de ser desacreditada. Como coseqüêcia, o oposto a coclusão que o ivestigador deseja alcaçar, se coverte a hipótese ula. No processo de teste, se rejeita ão a hipótese ula. Se a hipótese ula ão é rejeitada, dizemos que os dados sobre os quais se baseia o teste ão proporcioam evidêcia suficiete que provoque a rejeição. Se o procedimeto de teste coduz a rejeição, dizemos que os dados dispoíveis ão são compatíveis com a hipótese ula, mas são apoio de alguma tra hipótese. Esta tra hipótese é deomiada de hipótese alterativa, e pode ser deotada por H Á H. Devemos assialar que, em geral, em o teste de hipótese, em a iferêcia estatística, coduz a demostração de uma hipótese, e sim, simplesmete idica se a hipótese

2 é apoiada ão pelos dados de que se dispõem. Por tro lado, quado ão é possível rejeitar uma hipótese, ão se diz que ela é verdadeira, mas que ela pode ser verdadeira. Quado se fala em aceitar uma hipóteses ula, se tem presete esta limitação e ão se deseja comuicar a idéia de que a aceitação implica em demostração. 4. Estatística de Teste: A estatística de teste é uma estatística que pode ser calculada a partir dos dados da amostra. Como regra, existem muitos valores possíveis que pode ter a estatística de teste, depededo o valor particular observado em uma amostra particular extraída. Como se verá, a estatística de teste serve como um produtor de decisões, já que a decisão de rejeitar ão a hipótese ula depede da magitude da estatística de teste. Um exemplo de estatística de teste é a quatidade X µ σ, com a qual já estamos familiarizados. Os valores da estatística de teste são potos sobre uma reta que serve como eixo horizotal para a distribuição da estatística. 5. Distribuição da Estatística de Teste: Já foi dito que a clave para a iferêcia estatística é a distribuição amostral. Recordamos isso quado é ecessário especificar a distribuição de probabilidade da estatística de teste. Por exemplo, a distribuição da estatística de teste X µ σ, segue uma distribuição ormal uitária se a hipótese ula é verdadeira e se satisfazem as suposições. 6. Regra de Decisão: Todos os valores possíveis que a estatística de teste pode ter são potos sobre o eixo horizotal do gráfico da distribuição de tal estatística e se dividem em dois grupos, um dos grupos costitui o que chamamos de região de rejeição ( região crítica) e o tro grupo forma a região de aceitação. Os valores da estatística de teste que compreedem a região de rejeição são aqueles que têm a meor probabilidade de ocorrer se a hipótese ula é verdadeira. Os valores que formam a região de aceitação são os que têm maior probabilidade de ocorrer se a hipótese ula é verdadeira. A Regra de Decisão os diz para rejeitar a hipótese ula se o valor da estatística de teste que calculado a partir da amostra pertecem a região de rejeição, e para ão rejeitar ( aceitar ) a hipótese ula se o valor calculado da estatística de teste ão pertecem a região de rejeição (pertecer a região de aceitação). A decisão com respeito a quais valores vão pertecer a região de rejeição e quais a região de aceitação, é tomada com base o ível de sigificâcia ( ) desejado. Isto reflete o fato de que, as vezes, os testes de hipóteses recebem o ome de testes de sigificâcia e um valor calculado da estatística de teste que cai a região de rejeição é dito sigificativo. O ível

3 de sigificâcia,, especifica a área sob a curva da distribuição da estatística de teste que está por cima dos valores sobre o eixo horizotal que costituem a região de rejeição. Etão, vê-se que é uma probabilidade e, de fato, é a probabilidade de rejeitar uma hipótese ula verdadeira. Como rejeitar uma hipótese ula verdadeira costituirá um erro, parece razoável que deve haver uma pequea probabilidade de rejeitar uma hipótese ula verdadeira. Os valores de que se ecotram com maior freqüêcia são 0,0, 0,05 e 0,0. O erro que se comete quado se rejeita uma hipótese ula verdadeira é chamado de Erro Tipo I. O Erro Tipo II se comete quado se aceita uma hipótese ula falsa. A probabilidade se cometer um Erro Tipo II é chamada de. Sempre que se rejeita uma hipótese ula tem-se o risco cocomitate de cometer um Erro Tipo I, rejeitar uma hipótese ula verdadeira. Sempre que se aceita uma hipótese ula, existe o risco de aceitar uma hipótese ula falsa. Se temos pequeo, em geral ão se tem cotrole sobre, apeas sabemos que, como regra, é maior que. Nuca se sabe se foi cometido ão um desses erros quado se rejeita se deixa de rejeitar uma hipótese ula, já que se descohece o euciado verdadeiro dos assutos. Se o procedimeto de testes de hipóteses coduz a rejeição da hipótese ula verdadeira, pode ser um cosolo o fato de que seja uma valor bastate pequeo, e portato, pequea a probabilidade de cometer um Erro Tipo I. Se aceita-se a hipótese ula, ão se cohece o risco de cometer um Erro Tipo II, já que comumete se descohece, mas, como foi dito, sabe-se que, em geral, é maior que. 7. Estatística de Teste Calculada: A partir dos dados cotidos a amostra, calcula-se um valor para a estatística de teste e compara-se com as regiões de rejeição e de aceitação já especificadas. 8. Decisão Estatística: A decisão estatística cosiste em rejeitar ão rejeitar a hipótese ula. Rejeita-se se o valor calculado da estatística de teste pertece a região de rejeição, e ão se rejeita se o valor calculado da estatística de teste pertecer a região de aceitação. 9. Decisão Admiistrativa Clíica: A decisão admiistrativa clíica geralmete depede da decisão estatística. Se rejeita-se a hipótese ula, é comum a decisão admiistrativa clíica ser também de rejeição, o setido de que a decisão é compatível com a hipótese alterativa. No geral, se cumpre o iverso, se ão se rejeita a hipótese ula. A decisão admiistrativa clíica pode ter tras formas, tal como uma decisão de reuir mais dados. Não obstate, este poto deve-se ressaltar que o resultado do teste estatístico só é uma parte da evidêcia que iflui a decisão admiistrativa clíica. A decisão estatística ão deve iterpretar-se como defiitiva, mas sim que deve cosiderar-se juto com todas as demais iformações pertietes de que dispoha o experimetador.

4 Com estes cometários gerais como base, a cotiuação se discutirão testes de hipóteses específicos. 9.. Testes de duas amostras de dados uméricos 9... Amostras Idepedetes: Os testes serão baseados a difereça etre as duas médias das amostras. Outra maeira de represetar essas hipóteses = vs H : vs H : vs H : =0 vs H : 0 0 vs H : 0 0 vs H : Teste Z: Se as amostras de tamahos e forem extraidas de populações ormais idepedetes com médias e desvios padrão cohecidos ( ), etão a estatística de teste, supodo H 0 verdadeira, é dada por: ( X X ) ( µ µ ) σ σ ~ N(0; ) 9... Teste Z: Se as amostras de tamahos e, tal que e 30, forem extraidas de populações ão ormais idepedetes com médias e desvios padrão cohecidos ( ), etão a estatística de teste, supodo H 0 verdadeira, é dada por: ( µ µ ) ( X X ) σ σ ~ N(0; ) Teste Z: Se as amostras de tamahos e, tal que e 30, forem extraidas de populações ão ormais idepedetes com médias e desvios padrão descohecidos ( ), etão a estatística de teste, supodo H 0 verdadeira, é dada por: X X S S ~ N(0; )

5 Teste t: Se as amostras de tamahos e, tal que e 30, forem extraidas de populações ormais idepedetes com médias e desvios padrão descohecidos ( ), etão a estatística de teste, supodo H 0 verdadeira, é dada por: T = X X S pod ~t(gl); = com S S S pod gl. Se os desvios padão populacioais são descohecidos e supostamete iguais, etão o grau de liberdade é dado por: gl =. Se os desvios padão populacioais são descohecidos e supostamete diferetes, etão o grau de liberdade é dado por: gl = S S gl= [ S ] S 9... Amostras depedetes (pareadas): Os testes são baseados em duas observações do mesmo idivíduo em mometos diferetes. São baseados a difereça etre as médias de ANTES e DEPOIS da amostra. H 0 : a = d vs H : a d H 0 : a vs H : a H 0 : a vs H : a 9... Teste t: Se a amostra de tamaho for extraida de população ormal, etão a estatística de teste, supodo H 0 verdadeira, é dada por: T = X D S D ~t( - ); ode D é a difereça etre o ates e o depois.

6 9.3. Testes de duas amostras de dados categóricos Amostras idepedetes. Os testes serão baseados a difereça etre as duas proporções das amostras, para testar difereças etre amostras popuacioais. H 0 : p = p vs H : p p H 0 : p p vs H : p p H 0 : p p vs H : p p Teste Z: A distribuição amostral de p - p é aproximadamete ormal, de acordo com o Teorema Cetral do Limite, com média p - p e desvio padrão p ( p ) p ( p ) σ p p =, etão a estatística de teste, supodo H 0 verdadeira, é Z = (p p ) ( p p ) p ( p ) p ( p ) ~ N(0; ).