Hipótese Estatística. Tipos de Hipóteses

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1 Hipótese Estatística Hipótese, em estatística, é uma suposição formulada a respeito dos parâmetros de uma distribuição de probabilidade de uma ou mais populações. Podemos formular a hipótese que a produtividade é diferete de, peças/hora. Formalmete isso é escrito como: H : =,peçashora H1 :,peças/hora H o é chamada de hipótese ula e H 1 de hipótese alterativa. Nesse caso, a alterativa formulada é bilateral, mas também podem ser estabelecidas alterativas uilaterais, tais como: H : H1 : =, peças / hora <,peças/hora Os testes de hipótese são uma das aplicações da estatística mais usadas. Via de regra, a hipótese ula é feita com base o comportameto passado do produto/processo/serviços, equato a alterativa é formulada em fução de alterações / iovações recetes. No ambiete atual de melhoria cotíua, é fácil eteder a importâcia dos testes de hipótese: eles permitem cofirmar a eficácia das medidas de melhoria adotadas. Ao testar a hipótese, toma-se uma amostra aleatória do sistema em estudo e se calcula o parâmetro desejado. Coforme o valor do parâmetro, a hipótese ula será aceita ou rejeitada, a partir de procedimetos estatísticos. A partir de amostras faremos suposições sobre os parâmetros de uma população. Essas hipóteses podem ser ou ão verdadeiras. São exemplos de hipóteses estatísticas: 1. a média populacioal da altura dos brasileiros é 1,6, isto é, = 1,6;. a proporção de brasileiros com a doeça X é %, ou seja, p =,; Uma hipótese estatística pode ser verdadeira ou ão. Na situação tomada como exemplo o iício destas otas de aulas, poderiam ser formuladas duas hipóteses: A primeira poderia ser expressa como: A substituição do equipameto ão acarretará ehum gaho de produtividade. A seguda hipótese poderia ser: A substituição do equipameto acarretará um gaho expressivo de produtividade. Tipos de Hipótese ula (H) é a hipótese a ser testada. Hipótese alterativa (H1) é qualquer hipótese diferete da hipótese ula. A hipótese ula afirma que ão há difereça etre o parâmetro e o estimador. A hipótese alterativa deve sempre cotradizer a hipótese ula. Ambas dizem respeito, essecialmete, a um parâmetro (valor populacioal) e ao seu respectivo estimador (valor amostral).

2 Teste de Hipótese Supodo que a média de uma população seja o parâmetro a ser testado, as hipóteses ula e alterativa geralmete são euciadas assim: Tipos de Erros Em um teste de hipótese podem ocorrer dois tipos de erros. Um erro de decisão é cometido quado se aceita como verdadeira uma hipótese comprovadamete falsa, ou aida quado se aceita como falsa uma hipótese verdadeira. Erro do Tipo 1. É o erro que se comete ao rejeitar a hipótese H quado ela é verdadeira. O ível de sigificâcia do teste é desigado por que é a probabilidade de se cometer o erro do tipo 1. Erro do Tipo. É o erro que se comete ao aceitar a hipótese H quado ela é falsa. Rejeitar H implica a de H 1 e vice-versa. A probabilidade de cometer um erro do tipo é dada por 1 - Regiões de Aceitação e Rejeição Região de Aceitação (R. A.). É a região a qual se aceita a hipótese ula (H ). Para grades amostras (> 3) pode-se utilizar o desvio padrão da amostra (s). Região de Rejeição (R.R.). É a região de da hipótese ula (H ), sedo complemetar à região de. É também chamada de Região Crítica (R.C.). Quado a amostra for pequea ( < 3) devemos utilizar a distribuição de Studet.

3 Uma amostra de valores foi selecioada, chegado a uma média amostral X igual a 11,3. Poderia esta média amostral ter sido obtida de uma população com média = 1 e variâcia = 16? N (,1) H 1 : 1 (hipótese ula) (hipótese alterativa) X z = ~ N(,1) Se H é verdadeira, etão X 1 z = ~ N (,1) aceito H se z < z < z P( z < z < z ) = 1 - rejeito H caso cotrário P( z > z ) = Coclusão (sempre associada a um ível de sigificâcia) -z 1 z z <<< z = z >>> Se H falsa Se H verdadeira Se H falsa Uma amostra de valores foi selecioada, chegado a uma média amostral X igual a 11,3. Poderia esta média amostral ter sido obtida de uma população com média = 1 e variâcia = 16? Adotado-se % de sigificâcia... N (,1) H 1 : 1 (hipótese ula) (hipótese alterativa) X z = ~ N(,1) Se H é verdadeira, etão X 1 11,3 1 z = ~ N (,1) z = = 1,6,% 19%,% -z z -1,96 1,96 aceito H se 1,96 z < z z < z 1,96 P( z < z < z ) = 1 - rejeito H caso cotrário P( z > z ) = Coclusão: (sempre ão há razões associada para a duvidar um ível que de a sigificâcia) média seja de fato 1, adotado-se % de sigificâcia 1,6 H 1 : > 1 (teste uilateral) N (,1) H 1 : > 1 (teste uilateral) N (,1) X z = ~ N (,1) 1 X z = ~ N (,1) 19% % Se H é verdadeira, etão X 1 z = ~ N (,1) aceito H se z < z P(z < z ) = 1 - rejeito H caso cotrário P(z > z ) = z Coclusão (sempre associada a um ível de sigificâcia) Se H é verdadeira, etão X 1 z = ~ N (,1) 11,3 1 z = = 1,6 aceito H se z < z1,6 P(z < z ) = 1 - rejeito H caso cotrário P(z > z ) = 1,6 z Coclusão: (sempre ão há razões associada para a duvidar um ível que de a sigificâcia) média seja de fato 1, adotado-se % de sigificâcia (teste uilateral) 1,6

4 Teste de Hipótese Erros I e II Teste de Hipótese Erros I e II H : = H 1 : > Existe a possibilidade de se selecioar uma amostra de uma população com média e obter X alto de forma que leve a coclusão errada de que H é falsa? X X z = = 1 N (,1) H : = H 1 : > Existe a possibilidade de se selecioar uma amostra de uma população com média e obter X alto de forma que leve a coclusão errada de que H é falsa? Sim. Este erro é chamado de erro do tipo I e equivale ao ível de sigificâcia. z X = X = + z 1 N(, ) z X P(rejeitar H / H é verdadeira) = P(aceitar H / H é verdadeira) = 1 - Teste de Hipótese Erros I e II Teste de Hipótese Erros I e II H : = H 1 : > H : = H 1 : > Existe a possibilidade de se selecioar uma amostra de uma população com média 1 (> ) e obter X de forma que leve a coclusão errada de que H é verdadeira?, ) 1, ) H é verd. H é falso Aceita H 1 - β Rejeita H 1 - β, ) 1, ) Sim. Este erro é chamado de erro do tipo II ou erro β. 1 1 P(aceitar H / H 1 é verdadeira) = β P(rejeitar H / H 1 é verdadeira) = 1 - β (poder do teste) β X 1 Alterativas para dimiuir β: distaciar 1 de aumetar aumetar β X 1

5 No exemplo aterior, uma amostra de valores foi selecioada, chegado-se a uma média amostral X igual a 11,3. Através de um teste z uilateral, chegou-se a coclusão que a verdadeira média poderia ser igual a 1, adotado-se o ível de sigificâcia de % (cosiderado = 16). Mas qual a probabilidade de chegarmos a esta mesma coclusão, sedo a verdadeira média igual a 1, ou seja, qual o valor de β? N(,1) 11,3 1 H 1 : > 1 z = = 1,6 X z = ~ N (,1) aceito H se z < 1,6 rejeito H 9% se z > 1,6 Se H é verdadeira, etão % X 1 z = ~ N (,1) z =?1,6 Coclusão: Aceito H, ou seja, a média é igual a 1 cosiderado % de sigificâcia Agora, cosiderado a igual a 1 H 1 : = 1 β = P(aceitar H / H 1 é verdadeiro) β = P( Z < 1,6 / = 1) N(,1) H verdadeiro 9% % z =?1,6 Teste de Hipótese para p Agora, cosiderado a igual a 1 H 1 : = 1 β = P(aceitar H / H 1 é verdadeiro) β = P( Z < 1,6 / = 1) X 1 β = P( < 1,6 / = 1) β = P( X < 11,316 / = 1) X 1 11,316 1 β = P( < ) β = P( Z <,8) = P( Z >,8) =,1963 H H 1 9% β % ,316 H : p = p N (,1) H 1 : p p pˆ p ~ N(,1) pq Se H é verdadeira, etão z = pˆ p p q ~ N(,1) aceito H se z < z < z P( z < z < z ) = 1 - rejeito H caso cotrário P( z > z ) = Coclusão (sempre associada a um ível de sigificâcia) 1 -z z

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