Lista de Exercícios #4 Assunto: Variáveis Aleatórias Contínuas

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1 . ANPEC 8 - Questão Seja x uma variável aleatória com fução desidade de probabilidade dada por: f(x) = x, para x f(x) =, caso cotrário. Podemos afirmar que: () E[x]=; () A mediaa de x é ; () A variâcia de x é ; 8 (3) A probabilidade de que x se situe etre e 3 é igual a,5; 4 4 (4) A probabilidade de que x seja meor ou igual a, dado que x se situa etre e é igual 3 3 a,5.. ANPEC 8 - Questão Cosidere as seguites iformações. A variável aleatória Y segue uma distribuição Beroulli com parâmetro p=,5. A variável X possui distribuição uiforme o itervalo (, 4). Qual é o valor de E(Y)E(X)Var(X)? 3. ANPEC 8 - Questão 5 Cosidere duas variáveis aleatórias cotíuas X e Y. Sedo f(x,y) a fução desidade de probabilidade cojuta de X e Y, f(x) a fução desidade de probabilidade de X, e f(y) a fução desidade de probabilidade de Y, podemos afirmar: () f(x) = f(x, y)dx () E(X) = x. f(x)dx () f(x)dx = f(x)dx (3) f(x, y) dxdy = f(x, y) dydx

2 (4) f(x) Lista de Exercícios #4 dx = f(x, y)dydx 4. ANPEC 7 - Questão 9 Observe a fução de distribuição acumulada F(x) abaixo e calcule a probabilidade para x e multiplique o resultado por. F(x) = { x se x < x se x 5 + x se 5 x < 5 se x } 5. ANPEC 7 - Questão Supoha que X seja uma variável aleatória distribuída de acordo com a seguite fução desidade de probabilidade: f(x) = ( x) para x f(x) = caso cotrário. Sedo Y = 6X +, obteha a variâcia de Y. 6. ANPEC 6 - Questão 6 Julgue as afirmativas: () De acordo com a defiição de distribuição, a distribuição t é assimétrica; () Seja Z uma variável aleatória com distribuição qui-quadrado com graus de liberdade. Etão, a variável Z tem média igual a e variâcia igual a seus graus de liberdade, ; () Seja Z uma variável aleatória com distribuição qui-quadrado com k graus de liberdade, e seja Z uma variável aleatória com distribuição qui-quadrado com k graus de liberdade. Cosidere também que Z e Z são idepedetes. Etão, podemos dizer que Z+Z tem distribuição qui-quadrado com k + k graus de liberdade; (3) O quadrado de uma variável aleatória com distribuição t de studet com k graus de liberdade possui uma distribuição qui-quadrado com k graus de liberdade;

3 (4) Sejam Y e Y variáveis aleatórias idepedetes, cada uma delas com distribuição ormal padrão com média igual a e variâcia igual a. Etão, podemos dizer que a variável aleatória X= Y+Y tem distribuição ormal com média igual a e variâcia igual. 7. ANPEC 5 - Questão 3 Seja X uma variável aleatória cuja fução desidade de probabilidade é dada por: Podemos afirmar que: f(x) =, em que α x α e α >. α () A probabilidade de que x se situe etre α e α/4 é igual a 3/8; () A mediaa de X é igual a zero; () A probabilidade de que x se situe etre α/ e α/ é igual a 3/4; (3) E[X]=; (4) A variâcia de X é igual a α² ANPEC 4 - Questão 8 Julgue as afirmativas abaixo: Z i () Supoha que, i=,,...,, sejam variáveis aleatórias idepedetes, cada uma delas com distribuição ormal padrão, com média igual a e variâcia igual a. Etão, X Z i i tem distribuição qui-quadrado com graus de liberdade; () Supoha que Z seja uma variável aleatória com distribuição ormal padrão, e que X Z teha uma distribuição qui-quadrado com graus de liberdade. Etão, T tem X distribuição t de studet com graus de liberdade; () Supoha que T seja uma variável aleatória com distribuição t de studet com graus de liberdade. Etão, o quadrado de T tem distribuição F com e graus de liberdade; (3) Supoha que X seja uma variável aleatória com distribuição qui-quadrado com graus de liberdade. Etão, o quadrado de X tem distribuição F com e graus de liberdade; (4) Supoha que W e V sejam variáveis aleatórias que possuem distribuições qui-quadrado idepedetes, com graus de liberdade m e k, respectivamete. Etão, distribuição F com graus de liberdade m e k. W F m tem V k 3

4 9. ANPEC - Questão 6 Julgue as afirmativas: () Supoha que X, X,..., X sejam variáveis aleatórias idepedetes e ideticamete distribuídas com distribuição de Beroulli com parâmetro p. Etão, X = i= X i possui uma distribuição biomial com parâmetros e p. () Supoha que uma variável aleatória X teha uma distribuição t de Studet com graus de liberdade. Etão, Y = X tem uma distribuição F com e graus de liberdade. () Sejam X e X variáveis aleatórias idepedetes com distribuições de qui quadrado com v e v graus de liberdade, respectivamete. Etão, X + X possui uma distribuição de qui quadrado com v + v graus de liberdade. (3) Supoha que X seja uma variável aleatória com distribuição log ormal com parâmetros μ e σ. Etão, Y = log(x) ~ N(μ, σ ). (4)Supoha que X seja uma variável aleatória com distribuição log ormal com parâmetros μ e σ. Etão, a esperaça de X é igual a μ.. ANPEC Questão Supoha que você teha três variáveis X, X e X 3 idepedetes e ideticamete distribuídas, cada uma com distribuição uiforme o itervalo [,]. Calcule E[(X X + X 3 ) ]. Multiplique o resultado por.. ANPEC 9 - Questão 7 Sejam X, X,..., X variáveis aleatórias idepedetes e ormalmete distribuidas com média µ e variâcia. Defia as variáveis aleatórias É correto afirmar que: X Xi e X i i i Z. () Se R=X, quado X>, P(R )= Φ(- µ)/( Φ(- µ)), em que Φ(c) é a fução distribuição de uma variável aleatória Normal Padrão. () Z é uma variável aleatória com distribuição χ com graus de liberdade. () Se W=exp(X), E(W)= µ+ σ /. (3) X é uma variável aleatória ormalmete distribuída com média µ e variâcia. Yi (4) A variável aleatória Wi, em que Yi=(Xi µ) possui distribuição F com e Z graus de liberdade, em que = e =. 4

5 . ANPEC 8 - Questão Julgue as afirmativas: () Se X é uma variável aleatória Gaussiaa com média V(X) X e variâcia E(X), etão Z 4 segue uma distribuição qui-quadrado com 4 graus de liberdade. () Se X segue uma distribuição qui-quadrado com graus de liberdade, etão e. () Uma distribuição uiforme o itervalo [,] tem variâcia igual à 5/3. (3) Sejam X, X,..., X, variáveis aleatórias idepedetes com distribuição ormal com X Z S média e variâcia. Seja, em que X i S X i X, i i etão, Z segue uma distribuição ormal com média e variâcia para qualquer valor de. (4) Sejam X e X duas variáveis aleatórias idepedetes com distribuição qui-quadrado X com e graus de liberdade, respectivamete. Etão, Z segue uma distribuição X F com e graus de liberdade. X e 3. ANPEC 6 - Questão São corretas as afirmativas: () Seja Y uma variável aleatória com distribuição Biomial com parâmetros e p, em que p. Etão, sedo grade e p pequeo, a distribuição de Y aproxima-se de uma Poisso cuja média é p. () Se Y é uma variável aleatória Normal com média e variâcia ; se X segue uma Quiquadrado com r graus de liberdade; e se Y são X idepedetes, etão Z Y segue uma distribuição t com r graus de liberdade. () Sejam X e Y variáveis aleatórias distribuídas segudo uma Normal bivariada. Supoha que E(X) = X, E(Y) = Y, Var(X) X, Var(Y) Y e que a correlação etre X e Y seja XY. Etão, Z = ax + by, em que a e b são costates diferetes de, segue uma distribuição Normal com média ax + by + abxy e variâcia a X + b Y + abxy. (3) Sejam Y e X variáveis aleatórias com distribuições Qui-quadrado com p e q graus de liberdade, respectivamete. Portato, Z Y X segue uma distribuição F com p e q graus de liberdade. p q X r 5

6 (4) Sejam X e Y variáveis aleatórias cojutamete distribuídas segudo uma Normal bivariada. Supoha que E(X)=X, E(Y)=Y, Var(X) X, Var(Y) Y e que a correlação etre X e Y seja XY. Etão, E(Y X) = Y + XY (x X). 4. ANPEC 6 - Questão Julgue as afirmativas: () Se a variável aleatória Y segue uma distribuição Beroulli com parâmetro p, etão E(Y) = p. () Uma soma de variáveis aleatórias Biomiais segue uma distribuição Beroulli. () A distribuição Geométrica é um caso especial da distribuição Biomial. (3) Uma distribuição Logormal é assimétrica à direita. (4) A variâcia de uma distribuição uiforme etre e é igual a,5. 5. ANPEC 6 - Questão 3 Seja X uma variável aleatória cotíua com fução desidade x k se x 3, f X (x) 6 caso cotrário. Calcule Prob( X ). Multiplique o resultado por e descosidere os valores após a vírgula. 6. ANPEC 5 - Questão 3 São corretas as afirmativas: () Se X é uma variável aleatória com distribuição ormal de média e variâcia etão X Z segue uma distribuição com grau de liberdade. () Se X,..., X são variáveis aleatórias ideticamete distribuídas com distribuição Beroulli com parâmetro p, etão Z X i i segue uma distribuição Poisso. () Se X é uma variável aleatória com distribuição t com graus de liberdade, etão Z X segue uma distribuição F com e graus de liberdade. (3) Se X é uma variável aleatória Poisso com média, etão a variâcia de X é. (4) Se a variável X = ly segue uma distribuição ormal, etão Y segue uma distribuição logormal., 6

7 7. ANPEC 4 - Questão 5 Uma variável aleatória cotiua x tem a sua fução desidade de probabilidade dada pelo gráfico: K São corretas as afirmativas: () O valor da costate K ão poderá ser maior do que. () O valor da costate K será igual a (K+)/K. Kx, x () A fução desidade de probabilidade de x será f ( x) K, x K, fora desses itervalos. (3) A fução de distribuição acumulada de x será Kx /, x F ( x) Kx, x K, x K (4) Supodo que K =, a esperaça matemática de x, E(x), será /3. K 8. ANPEC 3 - Questão 3 O custo X de produção de certo bem é uma variável aleatória com fução desidade de probabilidade kx x 4 f ( x) caso cotrário É correto afirmar que: () O valor de k é 63; () O custo médio do produto é aproximadamete,4; () O custo é meor do que com probabilidade /9; (3) A variâcia do custo do produto é aproximadamete 3,4; (4) O custo é maior do que 3 com probabilidade 8/9. 7

8 9. ANPEC - Questão 8 Lista de Exercícios #4 Em relação às distribuições de probabilidade cotíuas: () Se X tem distribuição Normal( ), etão a fução desidade de probabilidade de X, f(x), atige o seu valor máximo quado x = e esse poto f (x). () Se X tem distribuição Uiforme o itervalo [, ], >, etão, tem que ser igual a 4/3 para que P(X > ) = /3. () A distribuição t de Studet assemelha-se à Normal padrão, N(,), mas possui caudas mais pesadas, quado, o tamaho da amostra, é maior do que 3. (3) Se uma variável aleatória cotíua tem fução de distribuição x F( x) e se x, se x etão a fução desidade de probabilidade de X será ( ) x f x e se x x se. (4) A variável aleatória Z tem distribuição Logormal se e somete se exp (Z) tiver distribuição Normal.. ANPEC - Questão 4 Seja X uma variável aleatória, com fução desidade de probabilidade f(x) cotíua, defiida sobre o espaço amostral A, do uiverso U: () Tato A como U devem ser cotíuos. () A probabilidade P(X x ) é dada por f (X)dX. () A probabilidade P(X = x ) é dada por f(x ). (3) A fução cumulativa de probabilidade pode ser discreta. d (4) A fução desidade de probabilidade de X é calculada por f(x) = F(x) dx a fução de distribuição acumulada. x o em que, F(x) é. ANPEC - Questão 4 Seja X uma variável aleatória cotíua, com fução desidade de probabilidade dada por f(x), X 3. Determie o valor da mediaa dessa distribuição. 8

9 . ANPEC - Questão 4 Seja uma fução de desidade de probabilidade: cx para x f ( x) para outros valores de x Calcule a probabilidade de ( x ). Arredode o resultado e multiplique por. 3. ANPEC Questão Podemos afirmar que: () A distribuição qui-quadrado muda de forma de acordo com o tamaho da amostra. Para amostras pequeas, a distribuição se iclia para a direita assimetricamete e tora-se cada vez mais simétrica à medida que o tamaho da amostra cresce. () A distribuição t é sempre simétrica com média zero e à medida que o tamaho da amostra aumeta, a distribuição t aproxima-se da distribuição ormal padrão. () A distribuição F é uma razão etre duas variáveis aleatórias t idepedetes, cada uma delas dividida pelo respectivo úmero de graus de liberdade. (3) A distribuição ormal apreseta dois potos de iflexão a sua fução de desidade de probabilidade f(x) os potos x = µ -. e x = µ +., ode µ é a média e o desvio padrão. (4) Se X é uma variável aleatória uiforme com a seguite fução de desidade de probabilidade etão k = b - a. f (x) k sea x b quaisquer outros valores. 4. ANPEC Questão 5 ( ) Verifique quais das afirmações abaixo são verdadeiras e quais são falsas. Z () A variável aleatória t é defiida como, ode Z tem distribuição ormalpadrão e é uma distribuição qui-quadrado com ( - ) graus de liberdade. () A distribuição t de Studet tem média igual a (-) e variâcia igual a (-)/(-3). () A distribuição de uma razão de duas variáveis aleatórias qui-quadrado idepedetes, divididas cada uma pelo seu respectivo úmero de graus de liberdade, é chamada de distribuição F. (3) A estatística F pode ser utilizada para verificar a igualdade de duas variâcias proveietes de duas populações quaisquer. 9