Lista de Exercícios #5 Assunto: Variáveis Aleatórias Multidimensionais Contínuas

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1 1. ANPEC 018 Questão 9 Uma pessoa investe R$ ,00 (I) em duas aplicações cujas taxas de retorno são variáveis aleatórias independentes, R 1 e R, com médias 5% e 14% e desvios-padrão 1% e 8%, respectivamente. O retorno esperado é dado por R t = αir 1 + (1 α)ir e o seu desvio-padrão dado por σ(r t ). (0) Para minimizar o risco, o percentual investido na aplicação 1, α, deve ser superior a 0,98. (1) Adotando a estratégia de minimizar o risco, o desvio-padrão do retorno total σ(r t ) é aproximadamente R$ 99,3. () Para um retorno total de R$ 770, o valor investido na aplicação 1 deveria ser de R$ e na aplicação deveria ser de R$ 3000,00. (3) Para um retorno esperado total de R$ 770, o menor risco, medido pelo desvio-padrão, seria de R$ 50. (4) Seja R t com média R$ 770 e desvio-padrão R$ 50, então a menor probabilidade do retorno total estar entre R$ 10,98 e R$ 1.39,0 é de 80%.. ANPEC Questão 13 Uma lanchonete resolveu apostar no serviço de drive-thru, além do atendimento convencional. Em um dia, X é a proporção de tempo em que o drive-thru está em uso e Y é a proporção de tempo em que o caixa convencional está em uso. Assim (X, Y) {(x, y) 0 x 1 e 0 y 1}. O gerente, que começou a estudar estatística este ano, acredita que a função de densidade conjunta seja dada por: 6(x + y ) f(x, y) = {, 5 se 0 x 1 e 0 y 1 0, caso contrário. Calcule a probabilidade de nenhuma das alternativas de atendimento estar ocupada em mais de um quarto do tempo. Multiplique o resultado por 180 e marque a parte inteira. 1

2 3. ANPEC Questão 5 Sejam X e Y variáveis aleatórias, com a seguinte função densidade de probabilidade conjunta: f(x, y) = (x + y), para 0 x 1, 0 y 1, com f(x, y) = 0, caso contrário. Julgue as afirmativas abaixo: (0) Sendo f(x) a distribuição marginal de X, podemos dizer que f(x) = x + (1/) para 0 x 1; (1) P(0 X 0,5) = 1/; () P(0,5 X 1) = 5/8; (3) f(y X = 0,5) = y; (4) P(0 Y 0,5 X = 0,5) = 1/. 4. ANPEC Questão 7 Sejam X 1 e X variáveis aleatórias independentes, cujas distribuições são representadas por X 1 ~N(μ 1, σ 1 ) e X ~N(μ, σ ). Considere a seguinte combinação linear: Y = ax 1 + bx, em que a e b são constantes. É correto afirmar que: (0) Y tem distribuição normal; (1) Y tem média igual a (aμ 1 + bμ ); () Y tem variância igual a (σ 1 + σ ); (3) A distribuição de X 1 é simétrica em torno de zero; (4) Se b = 0, Y tem variância igual a σ ANPEC Questão 15 Julgue as afirmativas abaixo: (0) Suponha que X seja uma variável aleatória distribuída de acordo com a função densidade: f(x)=(1/)x, em que 0 x. A probabilidade de que x se situe entre 0 e 1 é igual a 0,5; (1) Se X é uma variável aleatória distribuída de acordo com a função densidade f(x)=(1/)x, em que 0 x, então Var(X)=/9; () Suponha que Y seja uma variável aleatória distribuída de acordo com a função densidade: f(y)=y -3, em que y 1. Então E(Y)=3; (3) Suponha que Y seja uma variável aleatória distribuída de acordo com a função densidade: f(y)=y -3, em que y 1. Então a mediana de Y é ; (4) Considere a seguinte função densidade de probabilidade conjunta para as variáveis Z e W: f(z,w)=-z-w, 0 z 1, 0 w 1. Podemos dizer que as variáveis Z e W são independentes.

3 6. ANPEC 01 - Questão 14 Seja (X,Y) um vetor de variáveis aleatórias com distribuição normal bivariada, tal que E[X] = E[Y] = 0 e Var[X] = Var[Y] = 1 e o coeficiente de correlação entre X e Y (ρ) é igual a 0,8. Podemos afirmar que: (0) A distribuição marginal de X é uma distribuição normal com média 0 e variância 1. (1) Se Z = X + Y, Z é uma variável aleatória que possui distribuição normal com média 0 e variância. () As variáveis aleatórias X e Y são independentes. (3) Seja W = -X, podemos afirmar que W tem a mesma função de densidade de X. (4) A variável aleatória Y tem uma distribuição chi-quadrada com 1 grau de liberdade. 7. ANPEC 011 Questão 7 Considere a seguinte função de densidade conjunta de duas variáveis aleatórias contínuas X e Y dada por kx y, 0 x 1, 0 y 1 f XY x, y 0 caso contrário (0) Para que x y (1) A densidade marginal de Y é dada por f XY, satisfaça as propriedades de uma função de densidade conjunta, k=6. f Y y 3y. y X. f Y X () A densidade de Y, condicional em X=, é igual a y (3) X e Y são variáveis aleatórias não correlacionadas. (4) A variância de Y, condicional em X=, é igual a 1/9. 8. ANPEC 010 Questão 7 Denote X e Y variáveis aleatórias, cuja função densidade conjunta avaliada em (x,y) é f(x,y)=c 0<x<1 e 0<y<1, onde c é uma constante. A função de distribuição acumulada de X avaliada em x é F(x). (0) A variável aleatória Z=F(X) segue uma distribuição uniforme ; (1) A constante c= ; () X e Y são independentes ; (3) E(X Y=y) não depende de y ; (4) A densidade condicional f(y x)=cy -1. 3

4 9. ANPEC Questão 3 Considere duas variáveis aleatórias X e Y. Suponha que X seja distribuída de acordo com a seguinte função de densidade: 1 se 0 x 1 f X x 0 caso contrário Suponha ainda que 1 se 0 y x fy X y x x 0 caso contrário Calcule E(Y). Multiplique o resultado por ANPEC Questão 5 Sobre variáveis aleatórias indique se as afirmativas são corretas ou falsas: (0) Se X é uma variável aleatória continua com fdp dada por f(x) = x/1 se 1<x<5 e f(x)=0 para outros valores, então a densidade de Y=X 3 é g(y)=(y+3)/4 se 1<x<7 e g(y)=0 para outros valores. (1) Se X e Y tiverem um coeficiente de correlação igual a ρ(x,y) e definindo Z = ax+b e W = cy + d, então ρ(x,y)= ρ(z,w) somente se a>0 e c> 0. () Se X possui distribuição Normal com média µ e variância σ, então Z = ax + b possui distribuição Normal com média a µ e variância (a) σ. (3) Se a função distribuição de probabilidade conjunta para duas variáveis aleatórias X e Y é definida como f(x,y)=0,01; 0 x,y 10 e f(x,y)=0 para qualquer outro valor, então X e Y são variáveis aleatórias independentes. (4) Se duas variáveis aleatórias X e Y tem covariância nula, então elas são independentes. 11. ANPEC Questão 8 Sejam X, Y, Z variáveis aleatórias não negativas. Julgue as afirmativas: (0) Se X > Y, então, E(X Z) > E(Y Z). (1) (cov(x,y)) var(x)var(y). () Se Z = X + Y, então, corr(z,x) = corr(y,x). (3) Se W1 e W são variáveis aleatórias Bernoulli, independentes, com P(W1) = P(W) = p, Z é uma variável aleatória com distribuição Binomial em que Z = W1 + W. (4) Se F(Y) = 1- e -y, y 0, P(Y > 3 Y > 1) = P(Y > ). 4

5 1. ANPEC Questão 1 Duas variáveis aleatórias X e Y são conjuntamente distribuídas de acordo com a função de densidade: (x,y) f XY 4xy, 0, se0 x 1 e 0 y 1- x caso contrário Calcule P(0 < Y < ¼ X = 1/). Multiplique o resultado por 100 e despreze as decimais. 1. ANPEC Questão 14 No começo do dia uma máquina de refrigerantes armazena um montante aleatório Y de líquido (medido em galões). No decorrer do mesmo dia, um montante aleatório X é descartado pela máquina. Como a máquina não é carregada, X Y. A distribuição conjunta de X e Y é: f ( x, y ) 1 /, se 0 x y; 0, caso contrário 0 y Calcule a probabilidade de que menos de meio galão seja descarregado no decorrer de um dia, dado que a máquina contém um galão no começo do mesmo dia. Multiplique a sua resposta por ANPEC Questão 3 Julgue as afirmativas. Em uma função densidade de probabilidade conjunta f(x,y), para as variáveis aleatórias contínuas X e Y: f ( x, y) (0) A função densidade de probabilidade marginal de X é: f ( x). y (1) Se F(y) é a função distribuição de probabilidade marginal de Y, então f(y) = df(y)/dy, para F(y) derivável em todo o y. () X e Y serão independentes se f(x) = f(x y). (3) EX[E(Y x ) ] = E[Y] (4) Se X e Y são independentes, VY[E(X y ) ] = V[X]. 5

6 14. ANPEC Questão 15 Suponha que a função de densidade de probabilidade conjunta da variável aleatória bidimensional (X,Y) seja dada por: x f ( x, y) xy x 1e 0 y caso contrário Calcule a P(Y<X). Multiplique o resultado por 48 e transcreva este produto para a folha de resposta. 15. ANPEC Questão 9 Sendo Y e X duas variáveis aleatórias, é correto afirmar que: (0) Var(Y + X) = Var(Y) + Var(X) - Cov(Y, X); (1) Var(Y - X) = Var(Y) - Var(X) - Cov(Y,X); () Var (Y + X) = Var(Y) + Var(X), se Y e X forem independentes; (3) se Cov(Y, X) = 0, então Y e X são independentes; (4) se Cov(Y, X) = 0 e se Y e X têm distribuição conjunta normal, então Y e X são independentes. 16. ANPEC Questão 14 Considere o vetor aleatório X = (X1, X, X3) com distribuição de probabilidade f X 6x1x x3 0 x1 1, 0 x 1, 0 x3 ( x1, x, x3) 0 caso contrário Encontre a probabilidade de 0 x 0, 1 5. (Multiple o resultado por 100). 6

7 17. ANPEC 00 - Questão 13 Suponha que a função densidade de probabilidade conjunta da variável aleatória bidimensional (X,Y) seja uniformemente distribuída na região de domínio, f ( x, y) kx( x y) 0 x, 0 y Encontre E(X). Multiplique a resposta por 10 e transcreva somente a parte inteira do número encontrado. 18. ANPEC Questão 14 Com relação às definições de Coeficiente de Correlação e de Esperança Matemática, pode-se afirmar que : (0) Se X e Y são duas variáveis aleatórias de forma que Y=aX+b, onde a e b são constantes, então o coeficiente de correlação entre X e Y é igual a 1 se a < 0 e igual a -1 se a > 0. (1) Se XY é o coeficiente de correlação entre as variáveis X e Y onde W=aX+b e Z=cY+d com a,b,c e d constantes, então ac WZ XY onde a e c são diferentes de zero. ac () Se o coeficiente de correlação entre as variáveis X e Y é igual a zero, então E(XY)=E(X)E(Y). Assim, pode-se concluir que X e Y são variáveis aleatórias independentes. (3) Se a função densidade de probabilidade de uma variável aleatória X é simétrica em relação a um ponto X = a, então E(X) = a. (4) Dados os seguintes eventos : X=1 se o evento A ocorre, e 0 em caso contrário. Y=1 se o evento B ocorre, e 0 em caso contrário. Se as probabilidades dos eventos A e B são, respectivamente, maiores do que zero, então o coeficiente de correlação entre X e Y igual a zero implica em que X e Y são independentes. 7

8 19. ANPEC Questão 4 Com relação às distribuições de probabilidade conjunta e marginais, pode-se afirmar que: (0) Se a função densidade conjunta de (X,Y), f(x,y), pode ser fatorada na forma f(x,y) = f(x).g(y), onde f(x) e g(y) são,respectivamente, as funções densidade de X e Y, então as variáveis aleatórias X e Y são independentes. (1) Se a variável aleatória bidimensional (X,Y) é uniformemente distribuída, de acordo com a função densidade conjunta f ( x, y), para 0 x y 1 e, 0 fora deste intervalo, então E(X)=1/. () Se as variáveis aleatórias X e Y são independentes, então E(X Y) = E(X) e E(Y X) = E(Y). (3) Seja f(x) a função de densidade de probabilidade da variável aleatória contínua X, então P( X ) f ( x) dx 1. (4) Seja f(x) a função de densidade de probabilidade da variável aleatória contínua X, então podemos definir o valor esperado de X como E( X) x. f ( x). dx. 0. ANPEC Questão 7 A função de densidade de probabilidade conjunta das variáveis aleatórias X e Y é dada por: Pode-se afirmar que: 6x y, se 0 < x 1, 0 < y 1 fxy( x, y) 0, em caso contrario. (0) a função densidade de probabilidade marginal de X é f X(x) = 3x. (1) a função densidade de probabilidade marginal de Y é f Y (y) = y. () a função densidade de probabilidade condicional de X dado Y é f (x, y) = 3x X Y (3) a função densidade de probabilidade condicional de Y dado X é f (x, y) = y Y X. (4) X e Y são independentes.. 8