Capítulo 5 - Distribuições conjuntas de probabilidade e complementos 3

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1 Capítulo 5 - Distribuições conjuntas de probabilidade e complementos Conceição Amado e Ana M. Pires Departamento de Matemática Instituto Superior Técnico Capítulo 5 - Distribuições conjuntas de probabilidade e complementos Duas v.a. discretas ou contínuas Distribuições marginais Função distribuição Valores esperados Função Probabilidade condicionada Valores esperados condicionados Independência entre variáveis aleatórias Covariância e correlação. Propriedades Combinações lineares de variáveis aleatórias Desigualdade de Chebychev Teorema do Limite Central. Aplicações às distribuições binomial e de Poisson

2 Sumário Capítulo 5 - Distribuições conjuntas de probabilidade e complementos 2 / 59 Capítulo 5 - Distribuições conjuntas de probabilidade e complementos 3 / Duas v.a. discretas ou contínuas. Em muitas situações, está-se interessado em estudar simultâneamente mais de uma característica numa eperiência aleatória. Suponha-se que a eperiência é seleccionar aleatoriamente alunos de um certo curso, e o interesse é estudar o perfil biológico desses alunos. Pode-se, então considerar que o perfil é composto de: peso altura pressão arterial frequência cardíaca capacidade respiratória Ou seja, está-se interessado em cinco variáveis aleatórias que devem ser estudadas simultaneamente. Isto motiva a seguinte definição de um vector aleatório. 4 / 59 2

3 Duas v.a. discretas ou contínuas. Definição: Considere-se uma eperiência aleatória e o seu espaço de resultados Ω. Diz-se que (X, Y) é um vector aleatório, par aleatório ou variável aleatória bidimensional se X e Y forem variáveis aleatórias. (X,Y) é um vector aleatório: discreto se X e Y forem variáveis aleatórias discretas; contínuo se X e Y forem variáveis aleatórias contínuas. 5 / 59 Função de (massa de) probabilidade conjunta Dadas duas ou mais v.a. o seu comportamento simultâneo é estudado usando as chamadas distribuições conjuntas. Definição: Dadas duas variáveis aleatórias discretas, X e Y, chama-se função de (massa de) probabilidade conjunta à função que verifica i) f X,Y (,y) 0, (,y) R 2 f X,Y (,y) = P(X =,Y = y), (,y) R 2, ii) f X,Y (,y) = 1 y 6 / 59 3

4 Função de (massa de) probabilidade conjunta Esta função, é em geral, apresentada numa tabela de dupla entrada: X\Y y 1 y 2 y s 1 p 11 p 12 p 1s 2 p 21 p 22 p 2s... r p r1 p r2 p rs... onde p ij = P(X = i,y = y j ) p ij 0 i j p ij = 1 7 / Eemplo: Função de (massa de) probabilidade conjunta Eemplo 5.1: Considere o lançamento de dois dados perfeitos. Seja X - v.a. que indica o n. o de vezes que saiu a face 5 Y - v.a. que indica o n. o de vezes que saiu a face 6 Valores possíveis: = 0,1,2 e y = 0,1,2 Mas X Bin(2,1/6) e que Y Bin(2,1/6). Nota: Isto quer dizer que X e Y têm o mesmo comportamento em termos de valores possíveis e respectivas probabilidades. Não quer dizer X = Y! O que se pode dizer é X e Y são identicamente distribuídas A questão é saber qual é o comportamento conjunto das duas variáveis, em termos de probabilidades de ocorrência dos pares de valores (,y), com = 0,1,2 e y = 0,1,2 8 / 59 4

5 5.1 (cont.) P(X = 0,Y = 0) = P(X = 0,Y = 1) = P(X = 0,Y = 2) = Verificar que 2 2 P(X =,Y = y) = 1 =0 y=0 P(X = 1,Y = 0) = P(X = 1,Y = 1) = P(X = 1,Y = 2) = P(X = 2,Y = 0) = P(X = 2,Y = 1) = P(X = 2,Y = 2) = 9 / (cont.) X\Y f X,Y (, y) 4/ y y 2 1 (1/) (2/9) (1/18) 0 (4/9) (2/9) (1/) / 59 5

6 5.2 -Função de densidade probabilidade conjunta Definição: Seja (X,Y) um v.a. contínuo. Se eistir uma função f X,Y (,y) tal que: F (X,Y ) (,y) = y f (X,Y) (u,v)dvdu, (,y) R 2 então ela diz-se a função de densidade de probabilidade conjunta do v.a. contínuo (X,Y) e satisfaz: 1) f X,Y (,y) 0, (,y) R 2 2) + + f X,Y (,y)ddy = 1 11 / (cont.) Nota: Qualquer que seja a região R R 2 P((X,Y) R) = f X,Y (,y)ddy. R Eemplo 5.2: Seja a f.d.p conjunta do par aleatório (X,Y), { 1 f (X,Y) (,y) = 2, 0 < < 1,0 < y < 2 0, c.c. É fácil de verificar que é, de facto, uma f.d.p, pois: (i) f (X,Y) (,y) 0, (,y) R 2; + + (ii) f (X,Y)(,y)dyd = 1 o dyd = 1[ 1 o 2 y] 2 d = 1 0 o 1d =[]1 0 = 1 12 / 59 6

7 Distribuições marginais Definição: Dado o par (X,Y) discreto (contínuo), com função de probabilidade conjunta f X,Y (,y), as funções de probabilidade marginais de X são: f X () = P(X = ) = y P(X =,Y = y) = y f X,Y (,y), R (discreto) f X () = + f (X,Y) (,y)dy =, R e de Y são: f Y (y) = P(Y = y) = P(X =,Y = y) = f X,Y (,y), y R (contínuo) (discreto) f Y (y) = + f (X,Y) (,y)d =, y R (contínuo) 13 / (cont.) Eemplo 5.1 (cont.) - Funções de probabilidade marginais: por eemplo X\Y P(X = ) P(Y = y) P(X = 0) = P(X = 0,Y = 0)+P(X = 0,Y = 1)+P(X = 0,Y = 2) = = 2 y=0p(x = 0,Y = y) (verificar que X e Y Bin(2,1/6)) 1 14 / 59 7

8 Função distribuição F (X,Y) (,y) = P(X,Y y) = f X,Y ( i,y j ), (,y) R 2 (discreto) i y j y F (X,Y) (,y) = P(X,Y y) = y f X,Y (u,v)dvdu, (,y) R 2 (contínuo) Nota: As propriedades da função de distribuição são análogas às dadas no caso univariado. Eemplo 5.1 (cont.) O valor da função distribuição no ponto (0,1): F (X,Y) (0,1) = P(X 0,Y 1) = P(X = 0,Y = 0)+P(X = 0,Y = 1) = 24 Eemplo 5.2 (cont.) Cálculo da seguinte probabilidade: P(X 1 3,Y 1) = F (X,Y)( 1 3,1) = dyd = / Valores esperados E[h(X,Y)] = h(,y)f X,Y (,y) (discreto) y + + E[h(X,Y)] = h(,y)f X,Y (,y)dyd (contínuo) Casos particulares: E(XY) = yf X,Y (,y) (discreto) y E(XY) = E(X) = E[X] = + + yf X,Y (,y)dyd (contínuo) f X,Y (,y) = ( ) f X,Y (,y) = y y + + f X,Y (,y)dyd = + f X ()d (contínuo) f X () (discreto) 16 / 59 8

9 (cont.) Casos particulares (cont.): E(Y) = E[Y] = yf X,Y (,y) = y y + + yf X,Y (,y)dyd = ( ) y f X,Y (,y) = y + yf Y (y)dy (contínuo) yf Y (y) (discreto) As quatro últimas epressões mostram que E(X) e E(Y) (ou de outras quaisquer funções que dependam apenas de uma das variáveis) tanto podem ser calculados usando: a f.p. conjunta ou as f.p. marginais. Tem-se ainda que E(X +Y) = E(X)+E(Y) 17 / (cont.) Eemplo (cont.): X\Y P(X = ) 0 16/ 8/ 1/ 25/ 1 8/ 2/ 0 10/ 2 1/ 0 0 1/ P(Y = y) 25/ 10/ 1/ 1 E(XY) = y yf X,Y(,y) = = = 1 18 E(X) = y f X,Y(,y) = ou ou ainda = = 1 3 E(X) = f X() = = 1 3 E(X) = = 1 3, dado que X Bin(2, 1 6 ) 18 / 59 9

10 Função Probabilidade condicionada Definição: Dadoopar(X,Y) discreto(contínuo), comfunçãodeprobabilidadeconjuntaf X,Y (,y), chamase função de probabilidade condicionada de Y dado (tal que f X () > 0) à função: Caso discreto: que verifica 1) f Y (y) 0, y e 2) y Caso contínuo: f Y (y) = P(Y = y X = ) = f X,Y(,y) f X () f Y (y) = 1 que verifica 1) f Y (y) 0, y e 2) f Y (y)dy = 1 y f Y (y) = f X,Y(,y) f X () = P(X =,Y = y) P(X = ) 19 / Função Probabilidade condicionada Para cada fio, f Y (y), tem as propriedades de uma função de probabilidade (é a f.p. da v.a. Y X = ) Analogamente define-se f X y () = P(X = Y = y). E as funções de distribuições condicionadas de Y X = e X Y = y definem-se como usualmente. 20 / 59 10

11 Valores esperados condicionados Definição: O valor e esperado condicionado e a variância condicionada de Y dado (tal que f X () > 0) são respectivamente: Caso discreto: E(Y X = ) = yf Y (y) = yp(y = y X = ) y y V(Y X = ) = y [y E(Y X = )] 2 f Y (y) = E(Y 2 X = ) E 2 (Y X = ) Caso contínuo: E(Y X = ) = V(Y X = ) = + + yf Y (y)dy [y E(Y X = )] 2 f Y (y)dy = E(Y 2 X = ) E 2 (Y X = ) 21 / (cont.) Eemplo 5.1 (cont.): X\Y P(X = ) 0 16/ 8/ 1/ 25/ 1 8/ 2/ 0 10/ 2 1/ 0 0 1/ P(Y = y) 25/ 10/ 1/ 1 Y X = 0 Y X = 1 P(Y = 0 X = 0) = 16/ 8/ 25/ = 16/25 P(Y = 0 X = 1) = 10/ = 8/10 P(Y = 1 X = 0) = 8/ 2/ 25/ = 8/25 P(Y = 1 X = 1) = 10/ = 2/10 P(Y = 2 X = 0) = 1/ 0 25/ = 1/25 P(Y = 2 X = 1) = 10/ = 0 E(Y X = 0) = = 10/25 E(Y X = 1) = 1 10 = 2/10 O que acontece com Y X = 2? 22 / 59 11

12 5.1 (cont.) Representação gráfica de valores esperados condicionados: y E(X Y = y) 2+ E(Y X = ) Observações: Os E(X Y) e E(Y X) são v.a.(s) que tomam diferentes valores consoantes os valores fios para X e Y respectivamente. Propriedade destas v.a.(s) : E(E(X Y)) = E(X) se E(X) eistir e f Y (y) > 0. E(E(Y X)) = E(Y) se E(Y) eistir e f X () > / Independência entre variáveis aleatórias Definição: Seja(X, Y) um vector aleatório. As variáveis aleatórias X e Y (contínuas ou discretas), dizem-se independentes, simbolicamente X Y, sse: F X,Y (,y) = F X ()F Y (y), (,y) R 2 (1) A equação (1) é equivalente a: P(X =,Y = y) = P(X = )P(Y = y), (,y) R 2, se (X,Y) for um vector aleatório discreto; f X,Y (,y) = f X ()f Y (y), (,y) R 2, se (X,Y) for um vector aleatório contínuo. 24 / 59 12

13 Independência entre variáveis aleatórias Observação: Podemos dizer, em geral, que as variáveis aleatórias são independentes sse: P(X A,Y B) = P(X A)P(Y B) para quaisquer acontecimentos A e B definidos no eio dos e no eio dos yy, respectivamente. Se X Y então: f Y (y) = f Y (y), (,y), com fx ()>0 f X y () = f X (), (,y), com fy (y)>0 E(XY) = E(X)E(Y ). No Eemplo 5.1 X e Y serão independentes? E no Eemplo 5.2? 25 / Covariância e correlação. Propriedades Objectivo: medir de alguma forma a variação conjunta de duas variáveis aleatórias. Esta medida pode ser feita em termos: absolutos (covariância); relativos (correlação). Definição: A covariância de duas variáveis aleatórias X e Y, com valores esperados E(X) e E(Y), respectivamente, representa-se por cov(x,y) ou σ XY, é definida por e calcula-se por se X e Y forem discretas, ou por se X e Y forem contínuas. cov(x,y) = E[(X E(X))(Y E(Y))] ( E(X))(y E(Y))f X,Y (,y) y + + ( E(X))(y E(Y))f X,Y (,y)ddy 26 / 59 13

14 O sinal da covariância ( µ X ) < 0 (y µ Y ) > 0 y ( µ X ) > 0 (y µ Y ) > 0 (µ X, µ Y ) ( µ X ) < 0 (y µ Y ) < 0 ( µ X ) > 0 (y µ Y ) < 0 27 / 59 Interpretação do valor e sinal covariância Mede a variação conjunta de duas variáveis, podendo ser interpretada do modo seguinte: se for positiva, as duas variáveis variam em média no mesmo sentido; se for negativa, as duas variáveis variam em média em sentidos contrários; se for nula, não se verifica nenhuma das tendências anteriores. 28 / 59 14

15 Propriedades da covariância 1. cov(x,y) = E(XY) E(X)E(Y) 2. cov(x,y) = cov(y,x) 3. cov(x,x) = var(x) 4. cov(ax +b,cy +d) = a ccov(x,y) Eercício: Demonstrar 5. cov(x +Z,Y) = cov(x,y)+cov(z,y) 6. Se X Y então cov(x,y) = 0... Muito importante: a proposição inversa não é verdadeira, i.e. cov(x,y) = 0 / X e Y são independentes estas propriedades (notar que E(X +Y) = E(X)+E(Y) X,Y ) 29 / (cont.) Eemplo 5.1 (cont.): X\Y P(X = ) 0 16/ 8/ 1/ 25/ 1 8/ 2/ 0 10/ 2 1/ 0 0 1/ P(Y = y) 25/ 10/ 1/ 1 E(XY) = 1 18 E(X) = E(Y) = 1 3 (já calculados) cov(x,y) = = 1 18 Significa que há uma tendência para Y decrescer quando X cresce e vice-versa. Podemos saber se essa tendência é forte ou fraca? 30 / 59 15

16 A covariância é uma medida que não permite responder à questão anterior porque é sensível às mudanças de escala: y y cov(x,y) = 1. cov(x,y) = / (cont.) Definição: A correlação ou coeficiente de correlação (linear) entre duas variáveis aleatórias, X e Y, representa-se por corr(x,y) ou ρ X,Y e é definida por corr(x,y) = ρ X,Y = cov(x,y) V(X)V(Y) = σ XY σ X σ Y 32 / 59 16

17 O coeficiente de correlação não é alterado quando há mudanças de escala e é adimensional: y y ρ X,Y = 0.81 ρ X,Y = / (cont.) Propriedades da correlação 1. 1 ρ X,Y 1 2. ρ X,Y = 1 se e só se Y = a+bx, com b > 0 ρ X,Y = 1 se e só se Y = a+bx, com b < 0 3. Se X e Y forem independentes então ρ X,Y = 0. Mas a proposição inversa não é verdadeira, i.e., ρ X,Y = 0 / X e Y são independentes 34 / 59 17

18 5.3 (cont.) Demonstrações 1) Considere-se a variável aleatória X σ X + Y σ Y. Usando uma das propriedades da variância vem: ( X V + Y ) [ ( X 0 E + Y ) ] 2 [ ( X E + Y )] 2 σ X σ Y σ X σ Y σ X σ Y E(X2 ) σ 2 X + E(Y 2 ) σ 2 Y +2 E(XY) E2 (X) σ X σ Y σx 2 E2 (Y) σy 2 2 E(X)E(Y) 0 σ X σ Y E(X2 ) E 2 (X) σ 2 X + E(Y 2 ) E 2 (Y) σy ρ X,Y 0 ρ X,Y 1 +2 E(XY) E(X)E(Y) σ X σ Y 0 De igual modo V ( X Y ) 0 ρ X,Y 1 σ X σ Y 35 / (cont.) Demonstrações (cont.) ( X 2) ρ X,Y = 1 V Y ) = 0 X Y = constante σ X σ Y σ X σ Y ( X ρ X,Y = 1 V + Y ) = 0 X + Y = constante σ X σ Y σ X σ Y 3) X e Y independentes f X,Y (,y) = f X ()f Y (y), E(XY) = ( = yf X,Y (,y)ddy = )( f X ()d yf X ()f Y (y)ddy = ) yf Y (y)dy = E(X)E(Y ) cov(x,y) = 0 ρ X,Y = 0 / 59 18

19 5.3 (cont.) Para mostrar que cov(x,y) = corr(x,y) = 0 / basta dar um contra-eemplo: X e Y são independentes X\Y P(X = ) 1 0 1/6 0 1/6 0 1/12 1/12 1/12 2/ /6 0 1/6 P(Y = y) 1/12 5/6 1/12 1 I. E(XY) = 0, E(X) = E(Y) = 0, logo cov(x,y) = 0 II. mas X e Y não são independentes (por eemplo, P(X = 1,Y = 1) P(X = 1) P(Y = 1) 37 / (cont.) Eemplo (cont.): X\Y P(X = ) 0 16/ 8/ 1/ 25/ 1 8/ 2/ 0 10/ 2 1/ 0 0 1/ P(Y = y) 25/ 10/ 1/ 1 Vimos antes que cov(x,y) = 1/18, o que significa que há uma tendência para Y decrescer quando X cresce e vice-versa, e podemos agora responder à questão: essa tendência é forte ou fraca? Como X e Y Bin(2,1/6), tem-se que V(X) = V(Y) = np(1 p) = 5/18, logo corr(x,y) = 1/18 5/18 5/18 = 1 5 o que permite concluir que a sua tendência/relação é fraca (por o seu valor estar bastante mais próimo de zero do que de um), para além de que as variáveis estão correlacionados linearmente no sentido negativo. 38 / 59 19

20 5.4 - Combinações lineares de variáveis aleatórias Definição: Dadas p variáveis aleatórias, X 1,X 2,...,X p e p constantes reais, c 1,c 2,...,c p, diz-se que a variável aleatória Y, definida como é uma combinação linear de X 1,X 2,...,X p. Valor esperado de uma combinação linear Y = c 1 X 1 +c 2 X 2 + +c p X p E(c 1 X 1 +c 2 X 2 ) = c 1 E(X 1 )+c 2 E(X 2 ) Demonstração: (c 1 1 +c 2 2 )f( 1, 2 )d 1 d 2 = = c 1 1 f( 1, 2 )d 1 d 2 +c 2 2 f( 1, 2 )d 1 d 2 E(c 1 X 1 +c 2 X 2 + +c p X p ) = c 1 E(X 1 )+c 2 E(X 2 )+ +c p E(X p ) 39 / (cont.) Variância de uma combinação linear V(c 1 X 1 +c 2 X 2 ) = c 2 1 V(X 1)+c 2 2 V(X 2)+2c 1 c 2 cov(x 1,X 2 ) Dem.: V(c 1 X 1 +c 2 X 2 ) = E [ (c 1 X 1 +c 2 X 2 ) 2] [E(c 1 X 1 +c 2 X 2 )] 2 = = E(c 2 1 X2 1 +c2 2 X2 2 +2c 1c 2 X 1 X 2 ) (c 1 E(X 1 )+c 2 E(X 2 )) 2 = = c 2 1 E(X2 1 )+c2 2 E(X2 2 )+2c 1c 2 E(X 1 X 2 ) c 2 1 E2 (X 1 ) c 2 2 E2 (X 2 ) 2c 1 c 2 E(X 1 )E(X 2 ) = = c 2 1( E(X 2 1 ) E 2 (X 1 ) ) +c 2 2( E(X 2 2 ) E 2 (X 2 ) ) + +2c 1 c 2 (E(X 1 X 2 ) E(X 1 )E(X 2 )) 40 / 59 20

21 5.4 (cont.) Variância de uma combinação linear (cont.) V(c 1 X 1 + +c p X p ) = p c 2 i V(X i)+2 i=1 p p i=1 j=1,j>i c i c j cov(x i,x j ) Se cov(x i,x j ) = 0, para qualquer i j, ou seja, se as variáveis aleatórias forem não correlacionadas duas a duas, então V(c 1 X 1 + +c p X p ) = p c 2 i V(X i) i=1 O mesmo acontece se as variáveis aleatórias forem independentes duas a duas, pois como se viu, independência covariância (e correlação) nula. 41 / (cont.) Casos especiais de somas de variáveis aleatórias 1. Propriedade reprodutiva da distribuição binomial X 1 Bin(n 1,p) X 2 Bin(n 2,p) X 1 +X 2 Bin(n 1 +n 2,p) X 1 e X 2 independentes Caso especial: k ) X i Bin(n i,p) independentes X 1 + +X k Bin( i=1 n i,p X i Ber(p) Bin(1,p) independentes X 1 + +X n Bin(n,p) 42 / 59 21

22 5.4 (cont.) 2. Propriedade reprodutiva da distribuição de Poisson X 1 Poisson(λ 1 ) X 2 Poisson(λ 2 ) X 1 e X 2 independentes X 1 +X 2 Poisson(λ 1 +λ 2 ) X i Poisson(λ i ) independentes X 1 + +X k Poisson( k i=1 λ i ) 43 / (cont.) 3. Propriedade reprodutiva da distribuição Normal X 1 N(µ 1,σ 2 1 ) X 2 N(µ 2,σ 2 2 ) X 1 e X 2 independentes ax 1 +bx 2 N(aµ 1 +bµ 2,a 2 σ 2 1 +b2 σ 2 2 ) X i N(µ i,σ 2 i ) independentes c 1 X 1 + +c k X k N ( k i=1 c iµ i, ) k i=1 c2 i σ2 i 44 / 59 22

23 5.5 - Desigualdade de Chebychev Desigualdade de Chebychev: Qualquer que seja a variável aleatória com valor esperado µ e variância σ 2 verifica-se P ( X µ cσ) 1 c 2 Demonstração: Considera-se a v.a. auiliar, Y, tal que { 1, se X µ cσ Y = 0, c.c. (Y Ber(p), com p = P( X µ cσ)) E(Y) = P( X µ cσ) (X µ) 2 (X µ) 2 Y c 2 σ 2 Y logo E [ (X µ) 2] c 2 σ 2 E(Y) P ( X µ cσ) 1 c 2 45 / (cont.) Observações: é uma desigualdade muito útil em casos práticos, pois para qualquer v.a. X, conhecidas a média e variância, a probabilidade no intervalo ]µ cσ,µ+cσ[ nunca é inferior a 1 1 c 2, justificando o uso de µ como medida de localização e σ como medida de dispersão. permite interpretar o desvio padrão para qualquer v.a. (de forma semelhante à interpretação usada para a distribuição normal) só é útil para c > 1! permite demonstrar outros resultados mais interessantes. quando a distribuição da variável é conhecida esta desigualdade não é tão útil pois pode calcular-se o valor eacto (ou, pelo menos, um seu valor aproimado). 46 / 59 23

24 5.5 (cont.) P ( X µ cσ) 1 c 2: c X qualquer X Normal µ c σ µ µ + c σ Tal que eistem µ e σ 47 / Teorema do Limite Central. Aplicações às distribuições binomial e de Poisson Na maioria das situações é difícil determinar a distribuição da soma de variáveis (mesmo que sejam independentes!). O teorema seguinte justifica a grande utilidade e importância da distribuição normal (quer em probabilidades quer em estatística). Teorema do Limite Central: Seja X 1,...,X n uma sucessão de v.a. independentes e identicamente distribuídas com valor esperado µ < e variância σ 2 <. Considere-se S n = n i=1 X i, então quando n + S n E(S n ) = S n nµ a N (0,1), V (Sn ) nσ 2 ou seja, lim P n + ( ) S n E(S n ) z = Φ(z) V (Sn ) 48 / 59 24

25 5.6 (cont.) Observações: A demonstração do teorema eige algumas ferramentas matemáticas avançadas. Observar que, ( n ) E(S n ) = E X i = i=1 n E(X i ) = ne(x 1 ) = nµ e como X 1,X 2 X n são v.a. independentes tem-se ( n ) n V (S n ) = V X i = V(X i ) = nv(x 1 ) = nσ 2 i=1 i=1 i=1 As v.a. X 1,...,X n podem ser discretas ou contínuas. Geralmente considera-se n grande se n 30 As distribuições Binomial e de Poisson podem ser aproimadas pela distribuição normal (na secção anterior vimos que podem ser escritas como somas de variáveis aleatórias). 49 / (cont.) Simulações: (dinâmica) Os gráficos das páginas seguintes representam simulações realizadas em R ( 50 / 59 25

26 Simulação da soma padronizada de n v.a. Unif(0,1) n = 1 Obs. = Simulação da soma padronizada de n v.a. Unif(0,1) n = 5 Obs. = Densidade Densidade Soma St Soma St. Simulação da soma padronizada de n v.a. Unif(0,1) n = 10 Obs. = Simulação da soma padronizada de n v.a. Unif(0,1) n = 15 Obs. = Densidade Densidade Soma St Soma St. 51 / 59 Simulação da soma padronizada de n va. Ep(1) n = 10 Obs. = Simulação da soma padronizada de n va. Ep(1) n = 30 Obs. = Densidade Densidade Soma St Soma St. Simulação da soma padronizada de n va. Ep(1) n = 50 Obs. = Simulação da soma padronizada de n va. Ep(1) n = 70 Obs. = Densidade Densidade Soma St Soma St. 26

27 27 52 / 59

28 Aproimação da dist. Binomial pela dist. Normal Aproimação da dist. Binomial pela dist. Normal n = 20 p = 0.25 n = 20 p = 0.5 F() F() Aproimação da dist. Binomial pela dist. Normal Aproimação da dist. Binomial pela dist. Normal n = 50 p = 0.2 n = 100 p = 0.2 F() F() / 59 Aproimação da dist. Poisson pela dist. Normal Aproimação da dist. Poisson pela dist. Normal λ = 5 λ = 10 F() F() Aproimação da dist. Poisson pela dist. Normal Aproimação da dist. Poisson pela dist. Normal λ = 15 λ = 20 F() F()

29 29 54 / 59

30 5.6 (cont.) Aproimações Binomial/Normal e Poisson/Normal: X Bin(n,p) pode ser aproimada por X N(np,np(1 p)) quando np > 5 e n(1 p) > 5 X Poisson(λ) pode ser aproimada por X N(λ,λ) quando λ > 5 Correcção de continuidade: em geral a aproimação é melhor se fizermos P(X ) P( X +0.5) Eemplo: O número de chamadas de telemóvel registadas a partir de certa zona numa hora tem, em condições estacionárias, distribuição de Poisson de parâmetro Calcule a probabilidade de ocorrerem mais de 1600 chamadas na próima hora. P(X > 1600) = 1 P(X 1600) 1 P( X ) = Φ( 2.59) / 59 Eercícios Eercício 5.1: Segundo os cálculos do engenheiro responsável pelo tráfego de uma dada ponte, a carga W (em toneladas) que o tabuleiro dessa ponte pode suportar sem sofrer danos estruturais segue uma distribuição normal, de valor médio 400 toneladas e desvio padrão 40 toneladas. Considere que os pesos dos veículos que nela circulam são variáveis aleatórias normais, independentes, com valor médio 3 toneladas e desvio padrão 0.3 toneladas. (a) Admita que, em certo momento, estão 100 veículos sobre a ponte. Determine a probabilidade de o peso total desses veículos eceder 400 toneladas. 56 / 59 30

31 Eercício (cont.) (b) Prove que o valor esperado e a variância da variável aleatória que representa a diferença entre o peso total de n veículos e a carga W que a ponte pode suportar são, respectivamente, 3n 400 e 0.09n+1600, admitindo que o peso total e a carga são variáveis aleatórias independentes. Determine ainda o maior valor de n para o qual a probabilidade de ocorrência de danos na estrutura é inferior a 0.1? 57 / (cont.) Eercício 5.2: Suponha-se que ao adicionar números reais cada número é arredondado previamente para o inteiro mais próimo. Admita-se que os erros de arredondamento são v.a. independentes e identicamente distribuídas com distribuição uniforme contínua no intervalo [ 0.5; 0.5] (esta suposição é razoável se desconhecermos à partida tudo sobre os referidos números reais e admitirmos que também eles se distribuem uniformemente e independentemente nalgum intervalo). a) Qual é a probabilidade de que, ao adicionar 1500 números, o valor absoluto do erro seja superior a 15? 58 / 59 31

32 5.6 (cont.) b) Quantos números podem ser somados para que se possa garantir com uma probabilidade de aproimadamente 90% que o erro absoluto não ecede 10? 59 / 59 32