Probabilidades e Estatística LEE, LEGI, LENO, LETI, LMAC, MEAer, MEAmbi, MEBiol, MEBiom, MEEC, MEFT, MEMat, MEQ

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Lucinda Barreiro
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1 Duração: 90 minutos Grupo I Probabilidades e Estatística LEE, LEGI, LENO, LETI, LMAC, MEAer, MEAmbi, MEBiol, MEBiom, MEEC, MEFT, MEMat, MEQ Justifique convenientemente todas as respostas o semestre 08/09 04/05/09 :00 o Teste B 0 valores. Considere que um trabalho científico é avaliado por 3 revisores que recomendam a sua rejeição (ou aceitação) de modo mutuamente independente. Admita que a probabilidade de o revisor recomendar a rejeição do trabalho é igual a 0.7, 0.75 e 0.8 para o o, o e 3 o revisores, respetivamente. (a) Determine a probabilidade de pelo menos um dos 3 revisores recomendar a rejeição do trabalho. (3.0) Quadro de acontecimentos e probabilidades Acontecimento Probabilidade 0.7, i R i revisor i recomendar a rejeição do trabalho} P(R i ) 0.75, i 0.8, i 3 Probabilidade pedida Dado que os eventos R, R e R são mutuamente independentes, tem-se P(R R ) P(R ) P(R ) P(R R 3 ) P(R ) P(R 3 ) P(R R 3 ) P(R ) P(R 3 ) P(R R R 3 ) P(R ) P(R ) P(R 3 ). Consequentemente, P(R R R 3 ) P(R ) + P(R ) + P(R 3 ) P(R R ) P(R R 3 ) P(R R 3 ) +P(R R R 3 ) P(R ) + P(R ) + P(R 3 ) P(R ) P(R ) P(R ) P(R 3 ) P(R ) P(R 3 ) +P(R ) P(R ) P(R 3 ) (b) Calcule a probabilidade de o 3 o revisor recomendar a rejeição do trabalho sabendo que o o ou o (.0) o revisor recomendou a rejeição do mesmo. Probabilidade pedida P[R 3 (R R )] indep.mútua P[R 3 (R R )] P(R R ) P[(R 3 R ) (R 3 R )] P(R ) + P(R ) P(R R ) P(R R 3 ) + P(R R 3 ) P[(R R 3 ) (R R 3 )] P(R ) + P(R ) P(R R ) P(R R 3 ) + P(R R 3 ) P(R R R 3 ) P(R ) + P(R ) P(R R ) P(R ) P(R 3 ) + P(R ) P(R 3 ) P(R ) P(R ) P(R 3 ) P(R ) + P(R ) P(R ) P(R ) P(R 3 ) [P(R ) + P(R ) P(R ) P(R )] P(R ) + P(R ) P(R ) P(R ) P(R 3 ) 0.8. Página de 6

2 [Alternativamente: ao admitir-se que R, R e R 3 são eventos mutuamente independentes, R 3 e (R R ) são também eventos independentes, logo P[R 3 (R R )] P(R 3 ) 0.8.]. O número de obstáculos que surgem durante a execução de um jogo eletrónico é uma variável aleatória X com função de probabilidade dada por P(X x) e x 5, x 5,6,7,... (x 5)! (a) Qual é a probabilidade de X não exceder 9? (.0) Variável aleatória de interesse X número de obstáculos que surgem durante a execução de um jogo eletrónico F.p. de X P(X x) e x 5 (x 5)!, x 5,6,7,... Probabilidade pedida P(X 9) F X (9) 9 e x 5 x5 (x 5)! 4 e x x! x0 F Poi sson(5.4) (4) tabel a/calc (b) Determine o o quartil de X. (.0) o quartil de X Atente-se que F X (x) x e i 5 i5 (i 5)! o quartil de X por ξ. Então F Poi sson(5.4) (x 5), x 5,6,7,..., e represente-se o ξ : 0.5 F X (ξ) P(X ξ) () 0.5 F X (ξ) [F X (ξ) F X (ξ )] F X (ξ ) 0.5 F X (ξ). () Tirando partido da definição de o quartil em () e do facto de 0.5 F X (9) (a) P(X 9) [F X (9) F X (8)] [F Poi sson(5.4) (9 5) F Poi sson(5.4) (8 5)] tabel a/calc ( ) 0.4, concluímos que ξ 9. [A prova da sua unicidade é deixada como exercício.] [Em alternativa, note-se que F X (8) F X (9 ) F Poi sson(5.4) (8 5) t abel a/calc F X (9) (a) Logo o resultado () leva-nos a concluir que ξ 9; a prova da sua unicidade é deixada como exercício.] (c) Admita que os números de obstáculos em diferentes execuções do jogo são variáveis (.0) independentes e identicamente distribuídas a X. Calcule a probabilidade de um jogador ter de executar o jogo mais de 0 vezes até encontrar a primeira execução com 5 obstáculos. Variável aleatória de interesse Y no. de execuções do jogo até surgir a primeira com 5 obstáculos Distribuição de Y Y Geométrica(p), onde p P(X 5) e 5.4 [ ]. Página de 6

3 F.p. de Y P(Y y) ( p) y p, y,,... F.p. de Y P(Y > 0) P(Y 0) 0 y ( p) y p ( p)0 p ( p) ( p) 0 ( e 5.4) [ ( ) ]. Grupo II 0 valores. O erro de quantização na digitalização de um valor de um sinal analógico é representado pela variável aleatória X com distribuição uniforme contínua com valor esperado nulo e variância igual a. (a) Identifique os parâmetros da distribuição de X e obtenha E( X ). (.0) Variável aleatória de interesse X erro de quantização cometido na digitalização de um valor de um sinal analógico Distribuição de X X Uniforme(a, b), onde E(X ) 0 (a,b) : V (X ) F.d.p. de X b a, a x b f X (x) 0, c.c. Valor esperado de X E( X ) x é f. par a+b 0 (b a) + 0 x 0 4., x 0, c.c. x f X (x)dx x dx x dx a<b b a ( a a) a<0 b a 4a a b a (b) Admita que os erros de quantização cometidos na digitalização de 0 valores de um sinal (3.0) analógico são variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas a X. Determine um valor aproximado para a probabilidade de a média desses erros exceder V.a. X i erro quant. cometido na digitaliz. do i ésimo valor de um sinal analógico, n 0 i,...,n Página 3 de 6

4 Distribuição, valor esperado e variância comuns i.i.d. X i X, i,...,n E(X i ) E(X ) µ 0, i,...,n V (X i ) V (X ) σ, i,...,n V.a. de interesse X n n i X i média erros quant. cometidos na digitaliz. de n valores do sinal analógico Valor esperado e variância de X n E( X ) E ( n n i X ) i n V ( X ) V ( n n i X i ) Xi indep. n i E(X i ) X i X n ne(x ) E(X ) µ n n i V (X i ) X i X nv (X ) V (X ) n n σ n Distribuição aproximada de X Pelo teorema do limite central (TLC) pode escrever-se X E( X ) V ( X ) X µ σ n a Normal(0,). Valor aproximado da probabilidade pedida P( X > 0.05) P( X 0.05) ( ) X µ P σ 0.05 µ σ n n T LC Φ Φ(.90) tabel a/calc Um quartel de bombeiros dispõe de dois veículos de socorro médico que requerem equipas de emergência para os operar. Considere que a variável aleatória X (respetivamente Y ) representa o número de equipas de emergência disponíveis (respetivamente o número de veículos de socorro médico disponíveis) em qualquer instante. Admita que a função de probabilidade conjunta de X e Y é apresentada na tabela abaixo. Y X (a) Calcule P(X Y ). (.5) Par aleatório (X, Y ) X número de equipas de emergência disponíveis Y número de veículos de socorro disponíveis F.p. conjunta e f.p. marginais P(X x,y y), P(X x) y P(X x,y y) e P(Y y) x P(X x,y y) encontram-se sumariadas na tabela seguinte: Página 4 de 6

5 Y X 0 P(X x) P(Y y) Prob. pedida P(X Y ) P(X,Y ) P(Y ) x y P(X x,y y) y P(Y y) P(X,Y ) + P(X,Y ) + P(X,Y ) + P(X,Y ) P(Y ) + P(Y ) (b) Determine a correlação entre X e Y e averigúe se X e Y são variáveis dependentes. (3.5) Correlação entre X e Y Uma vez que se pretende calcular cor r (X,Y ) cov(x,y ) E(X Y ) E(X ) E(Y ), V (X ) V (Y ) V (X ) V (Y ) serão necessários alguns cálculos auxiliares que envolverão as f.p. conjunta de (X, Y ) e marginais de X e Y calculadas em (a). Valor esperado e variância de X E(X ) x P(X x) x V (X ) E(X ) E (X ) x P(X x) E (X ) x0 ( ) Valor esperado e variância de Y E(Y ) y P(Y y) y V (Y ) E(Y ) E (Y ) y P(Y y) E (Y ) y ( ).6 Página 5 de 6

6 V (Y ) Valor esperado de X Y E(X Y ) x y P(X x,y y) Covariância x0 y cov(x,y ) E(X Y ) E(X ) E(Y ) Correlação entre X e Y (cont.) cor r (X,Y ) cov(x,y ) V (X ) V (Y ) Dependência entre X e Y É sabido que: caso X e Y sejam v.a. independentes, então cor r (X, Y ) 0. Ora, cor r (X,Y ) logo X e Y são v.a. dependentes. [Alternativamente... X e Y são v.a. dependentes sse P(X x,y y) P(X x) P(Y y), para algum (x, y) R. Por um lado P(X 0,Y 0) 0.0. Por outro lado P(X 0) P(Y 0) Deste modo conclui-se que P(X 0,Y 0) P(X 0) P(Y 0), pelo que X e Y são v.a. dependentes.] Página 6 de 6

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