Probabilidades e Estatística

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Bruna Diegues Araújo
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1 Deartamento de Matemática Probabilidades e Estatística LEAN, LEE, LEGI, LERC, LMAC, MEAer, MEAmbi, MEBiol, MEEC, MEMec o semestre 011/01 1 o Teste B 1/04/01 11:00 Duração: 1 hora e 30 minutos Justifique convenientemente todas as resostas! Gruo I 10 valores 1. Um sistema de extracção é constituído or duas bombas idênticas, B 1 e B. A emresa resonsável elo fabrico destas bombas de extracção adiantou que, em sistemas deste tio, a robabilidade de falhar elo menos uma das duas bombas no eríodo de um ano é 0.07 e que a robabilidade de ambas falharem nesse mesmo eríodo é (a) Calcule a robabilidade de B 1 falhar no eríodo de um ano. (.0) Quadro de eventos e robabilidades Evento Probabilidade F 1 bomba de extracção B 1 falha no eríodo de um ano P (F 1)? F bomba de extracção B falha no eríodo de um ano P (F )P (F 1)? (bombas idênticas!) F 1 [ F elo menos uma das duas bombas falha no eríodo de um ano P (F 1 [ F )0.07 F 1 \ F ambas as bombas falham no eríodo de um ano P (F 1 \ F )0.01 Prob. edida Alicando a regra da adição e o facto de P (F 1 )P (F ), tem-se: P (F 1 [ F ) 0.07 P (F 1 )+P (F ) P (F 1 \ F ) 0.07 P (F 1 ) P (F 1 \ F ) 0.07 P (F 1 ) P (F 1 \ F ) (b) Determine a robabilidade de B falhar no eríodo de um ano condicional a que B 1 falhe nesse (1.5) eríodo. Probabilidade edida P (F F 1 ) P (F 1 \ F ) P (F 1 ) P (F 1 \ F ) P (F 1 ) Página 1 de 7

2 (c) Indique, justificando, se as bombas de extracção falham de modo indeendente no eríodo de um (1.0) ano. Averiguação de indeendência entre F 1 e F Relembre-se que os eventos A e B são indeendentes se e só se P (A \ B) P (A) P (B). Ora, P (F 1 \ F ) P (F 1 ) P (F ) , elo que F 1 e F são eventos deendentes. Resolução alternativa Averiguação de indeendência entre F 1 e F É sabido que, caso A e B sejam eventos indeendentes (com robabilidades não nulas), P (A B) P (B) ep (B A) P (B). Ora, P (F F 1 ) 6 P (F ) 0.04, elo que ode concluir-se que F 1 e F são eventos deendentes.. Numa grande instituição bancária, 6% das essoas emregadas são rogramadoras de rofissão, 50% das essoas emregadas são mulheres e 4% das mulheres emregadas são rogramadoras de rofissão. (a) Identifique a distribuição da variável aleatória que reresenta o número de essoas da instituição (3.0) que são seleccionadas, ao acaso e com reosição, até ser detectado ela rimeira vez um homem rogramador de rofissão e indique o valor eserado e o desvio adrão dessa variável aleatória. X número de emregadas/os que são seleccionadas/os casualmente e com reosição até ser detectado o rimeiro homem cuja rofissão seja rogramador Distribuição de X A v.a. X corresonde ao número total de rovas de Bernoulli i.i.d. realizadas até à ocorrência do rimeiro sucesso. Assim, X Geométrica() Parâmetro Sejam M, H e P os eventos seleccionar casualmente uma mulher, um homem e um/a rogramador/a, resectivamente. Então é sabido que Logo P (M) P (H) P (P ) 0.06 P (P M) P (homem e rogramador) P (H \ P ) P (P ) P (M \ P ) P (P ) P (P M) P (M) Página de 7

3 Valor eserado de X E(X) form 1 5 Variância de X V (X) form Desvio adrão de Y DP(Y )+ V (Y ) ' 4.50 (b) Admita agora que foram seleccionadas, ao acaso e sem reosição, 0 essoas da instituição. (.5) Calcule um valor aroximado da robabilidade de elo menos duas delas serem rogramadoras de rofissão. Y número de essoas numa amostra de 100 seleccionadas ao acaso e SEM reosição daquela instituição com N essoas emregadas das quais M são rogramadoras. Distribuição de X Y Hiergeométrica(N,M,n) Parâmetros N essoas (todos/as trabalhadores/as da instituição) M N P (P )N 0.06 essoas rogramadoras n 0 essoas seleccionadas ao acaso e SEM reosição aroximativa Admitindo que n 0 < 0.1 N, ode aroximar-se a f.. da v.a. Y Hiergeométrica(N,M,n) ela f.. da v.a. aroximativa Ỹ Binomial n 0, MN 0.06 F.. de Ỹ 0 P (Ỹ y) y 0.06 x (1 0.06) 0 y,y0, 1,...,0 Prob. edida valor aroximado P (Y ) 1 P (Y ale 1) ' 1 P (Ỹ ale 1) 1 F Binomial(0,0.06) (1) tabela ' Gruo II 10 valores 1. Sejam X e Y variáveis aleatórias que indicam o número de arafusos, de um conjunto de dois arafusos analisados, que não satisfazem as esecificações relativas ao comrimento e ao diâmetro, resectivamente. Suonha que a função de robabilidade conjunta de X e Y é dada or: (a) Calcule a covariância entre X e Y. O que ode concluir relativamente à indeendência entre X (.5) e Y? Par aleatório X número de arafusos que não satisfazem as esecificações relativas ao comrimento Y número de arafusos que não satisfazem as esecificações relativas ao diâmetro Página 3 de 7

4 F.. conjunta e f.. marginais P (X x, Y y), P (X x) ep (Y y) encontram-se na tabela seguinte: Covariância entre X e Y Uma vez que se retende calcular X Y 0 1 P (X x) P (Y y) cov(x, Y ) E(XY ) E(X)E(Y ) serão necessários alguns cálculos auxiliares que envolverão as f.. conjunta de (X, Y ) e as f.. marginais de X e Y. Valor eserado de X X E(X) x P (X x) x0 X X x P (X x, Y y) x Valor eserado de Y X E(Y ) y P (Y y) y0 y0 X X y P (X x, Y y) y x0 Momento cruzado de X e Y de ordem (1, 1) X X E(XY ) xy P (X x, Y y) Conclusão x0 y cov(x, Y ) E(XY ) E(X)E(Y ) Comentário Visto que cov(x, Y ) ode concluir-se que X e Y são v.a. deendentes. (b) Determine E(Y X ale 1). Y X ale 1 (.5) F.. de Y X ale 1 Na alínea anterior obteve-se a f.. marginal de X, elo que ode adiantar-se que P (X ale 1) P (X 0) + P (X 1) Página 4 de 7

5 Resta adiantar que: P (Y 0 X ale 1) P (X ale 1,Y 0) P (X ale 1) P (X 0,Y 0) + P (X 1,Y 0) P (X ale 1) ; P (Y 1 X ale 1) P (X ale 1,Y 1) P (X ale 1) P (X 0,Y 1) + P (X 1,Y 1) P (X ale 1) ; P (Y X ale 1) P (X ale 1,Y ) P (X ale 1) P (X 0,Y ) + P (X 1,Y ) P (X ale 1) ; P (X x Y >0) 0, ara x 6 0, 1,. Valor eserado de Y X ale 1 X E(Y X ale 1) y P (Y y X ale 1) y ' Num dado modelo de bicicletas, o comrimento entre os centros dos rebites de cada elo da corrente (contribuição do elo ara o comrimento da corrente) é uma variável aleatória de valor médio cm e desvio adrão 0.04 cm. As normas do corresondente fabricante exigem que o comrimento de uma corrente esteja comreendido entre 49 cm e 50 cm e as correntes comercializadas ossuem elos, cujos comrimentos se consideram indeendentes. (a) Calcule o valor aroximado da robabilidade de uma corrente comercializada, seleccionada ao (3.0) acaso, satisfazer as normas exigidas. X i contribuição do elo i ara o comrimento (em cm) da corrente, i1,..., Distribuição, valor eserado e variância de X i i.i.d. X i X, i 1,..., E(X i )E(X) µ V (X i )V(X) 0.04 Nova v.a. Y P i1 X i comrimento (em cm) de uma corrente com elos Valor eserado e variância de Y E(Y )E P i1 X i P i1 E(X i) Xi X E(X) 49.5 Página 5 de 7

6 P V (Y )V i1 X Xi inde. i P i1 V (X i) Xi X V (X) Distribuição aroximada de Y Pelo Teorema do Limite Central (TLC) ode escrever-se Y E(Y ) V (Y ) a Normal(0, 1). Prob. edida valor aroximado 49 E(Y ) P (49 ale Y ale 50) P ale Y E(Y ) 50 E(Y ) ale V (Y ) V (Y ) V (Y ) P TLC ' ale Y E(Y ) ale V (Y ) ' (1.6) ( 1.6) (1.6) [1 (1.6)] tabela ( ) (b) Determine qual deveria ser o valor aroximado do desvio adrão do comrimento entre os centros (.0) dos rebites de cada elo ara que 90% das correntes comercializadas cumrissem as normas do fabricante. X i contribuição do elo i ara o comrimento (em cm) da corrente, i1,..., Distribuição, valor eserado e variância de X i i.i.d. X i X, i 1,..., E(X i )E(X) µ V (X i )V(X) Nova v.a. Y P i1 X i comrimento (em cm) de uma corrente com elos Parâmetros E(Y )E V (Y )V P i1 X i P Xi inde. P i1 X i i1 E(X i) Xi X E(X) 49.5 P i1 V (X i) Xi X Distribuição aroximada de Y Alicando mais uma vez o TLC, ode escrever-se Y E(Y ) V (Y ) a Normal(0, 1). Valor aroximado de V (X) : P (49 ale Y ale 50) E(Y ) P ale Y E(Y ) 50 E(Y ) ale 0.90 V (Y ) V (Y ) V (Y ) P ale Y E(Y ) ale V (Y ) ' 0.90 ale1 1 ' ' 0.90 Página 6 de 7

7 ' ' (0.95) tabela ' ' ' Página 7 de 7

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