P(seleção de um elemento baixo) = p P(seleção de um elemento médio) = p. P(seleção de um elemento alto) = p

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1 . A Distribuição Multinomial - Teste Qui-Quadrado. Inferência Estatística Uma imortante generalização da rova de Bernoulli (), é a chamada rova multinomial. Uma rova de Bernoulli () ode roduzir dois resultados ossíveis: sucesso ou fracasso, sim ou não, feminino ou masculino, os números ou, etc.... Comumente denotamos or e q (+q=) as robabilidades dos dois resultados descritos. Uma rova é dita multinomial quando a exeriência geradora roduz ou mais resultados. Se alguma classificação ode ser atribuída a um valor observado de uma exeriência, então odemos definir ara cada classificação ossível uma resectiva robabilidade. As alturas de um gruo de essoas odem ser classificadas em baixa, média ou alta, através de um critério de classificação. Se deste gruo de essoas, selecionarmos aleatoriamente um elemento, temos definidas três robabilidades: P(seleção de um elemento baixo) = P(seleção de um elemento médio) = P(seleção de um elemento alto) =, i= = Se um dado é lançado temos = 6 resultados ossíveis e i = / 6, sendo i 6 i =. i= Uma eça manufaturada ode ter defeito grave, defeito não grave ou ser não defeituosa. Neste caso temos i =. i= Portanto, uma rova multinomial tem diferentes resultados ossíveis. Se = a rova é dita binomial, modelada ela distribuição de Bernoulli (). No caso da Bernoulli, aenas um arâmetro é esecificado, isto é, se é uma das robabilidades da rova então (-) é a outra robabilidade. Numa rova multinomial, com resultados ossíveis, aenas (-) robabilidades são esecificadas, tendo em vista que = ( ). Suonha agora que uma rova multinomial sea reetida n vezes, cada uma delas com os mesmos resultados ossíveis, e seam,,...,, suas resectivas robabilidades associadas. Denotemos or X i, i =,,...,n, a variável aleatória que se identifica ao resultado ocorrido na i-ésima rova. Se as n realizações são indeendentes, o resultado final das n X, X,..., X. rovas é então uma variável aleatória n-dimensional ( ) n Se ( X, X,..., X n ) é uma variável aleatória n-dimensional, sua função de robabilidade, reresentada or P( X = x, X = x,..., X = x ) é o roduto de n robabilidades, n n sendo cada fator do roduto uma das robabilidades,,...,. Frederico Cavalcanti INF4 74

2 Retomemos o exemlo de seleção de um elemento de um gruo de essoas, com o obetivo de classificá-lo quanto à sua altura. Suonha que as robabilidades dos atributos (= resultados) seam P(alta) =, P(média) =,5 P(baixa) =, Suonha que n = 4 elementos seam selecionados do gruo. Nestas condições o esaço 4 amostra S, da exeriência é constituído or x, x, x, x. ontos ( ) 4 Porque suomos indeendência das rovas, a robabilidade de cada ( x, x, x, x 4 ) é o roduto de 4 robabilidades. Reresentando os resultados alta, média ou baixa, de cada rova, or, ou, resectivamente, teremos ( 4 ) ( 4 ) ( ) P X =, X =, X =, X = = (, ) P X =, X =, X =, X = = (,5)(, )(,)(, ) = = = = = P X, X, X, X4 (,) (,5) Consideremos agora a variável aleatória do atributo =,,...,, nas n rovas. Obviamente algumas relações entre as variáveis ara o caso exemlificado, quando = e n=4. 4 que se identifica ao número de ocorrências i = n. O quadro abaixo mostra = X, i =,,...,n e as variáveis, =,,..., X X X X Para avaliar a robabilidade do evento (,, ) robabilidades de todas as quadrulas = = =, devemos somar as que contem dois s, um e um. A,,5, e existem robabilidade de cada um destes ontos de S é igual ( ) ( ) ( ) 4! destes ontos em S.!!! Logo, 4! P,,,!!!,5, ( = = = ) = ( ) ( ) ( ) y =,,,, = y = 4 = Se n = elementos são selecionados do gruo, o modelo seria. Frederico Cavalcanti INF4 75

3 ! P y, y, y,,5, y!y!y! ( = = = ) = ( ) ( ) ( ) y =,,,..., + + = y = = Inferência Estatística y y y Definição. Seam n rovas multinomiais com resultados ossíveis e resectivas robabilidades, =,,...,. Se se identifica ao número de vezes que o resultado ocorre nas n rovas, =,,...,, então a função de robabilidade do vetor (,,..., ) é n! P y, y,..., y... ( = = = ) = ( ) ( ) ( ) y y y y!y!...y! y =,,,..., n = y = n = e nestas condições a vetor (,,..., ) é denominado variável aleatória multinomial de arâmetros n,,,...,. É interessante observar que se =, a variável aleatória (, ) coincide com a variável aleatória binomial (n, ), ois assume o valor (n- ), n! y n y P( = y, = y ) = y! n y! ( ) ( ) ( ) y =,,,..., n + = y = n = Como + = e y = n y, temos então que, n! y y n P( y ) y =,,,..., n n y n y = = = y! n y! ( ) ( ) ( ) y ( ) ( ) Prova-se facilmente que as distribuições marginais de (,,..., ) têm distribuição Binomial de médias n e variância n ( ). A rova teórica não será aqui aresentada, mas nós odemos verificar que em cada uma das n rovas indeendentes, ocorre o resultado (sucesso), ou um resultado diferente de (fracasso) com e - resectivamente. Assim, a variável é Binomial com robabilidades ( ) média n e variância n ( ). Teorema. Sea (,,..., ) uma variável aleatória multinomial com arâmetros n,,,...,. Para n suficientemente grande a variável aleatória Q ( ) n = tem = n aroximadamente, distribuição qui-quadrado com - graus de liberdade, isto é lim F t = F t, ara todo t. n Q ( ) ( ) χ Frederico Cavalcanti INF4 76

4 Para n suficientemente grande a distribuição de cada, =,,...,n é assintoticamente ( ), e, consequentemente, odemos escrever que Z = n ( ) ( n ) N(,), e em conseqüência Z = n ( ) N n ;n assintoticamente n é tem distribuição aroximadamente igual à da variável aleatória qui-quadrado com grau de liberdade. Assim, ara =, reresentemos Q ( ) ( ) Se n e Z or ( ) ( ) ( ) n n n = = + n n n = e, assim, = =, então ( n ) ( n ) Q ( n ) ( n ) ( ) n = + = n n = n tem distribuição qui-quadrado com grau de liberdade. Consideremos (,,..., ) uma variável aleatória com distribuição multinomial, conforme Definição.. Se = ( ) e = ( ), n,,..., rova-se em um nível mais avançado que o deste texto que... Q ( ) n = tem = n distribuição aroximadamente igual à da variável aleatória qui-quadrado com - graus de liberdade. A maioria dos autores alerta ara o fato de que tal aroximação ode ser utilizada, com um n suficientemente grande, mas de tal forma que n 5. A alicação do Teorema. é vasta. A variável aleatória Q é uma estatística adequada ara hióteses não aramétricas de indeendência, homogeneidade e também de aderência (ou adequabilidade de austamento) entre uma distribuição teórica e uma emírica. Frederico Cavalcanti INF4 77

5 . - Teste χ de Adequabilidade. Consideremos uma exeriência aleatória E com esaço amostra S e sea A, =,,..., uma artição de S, isto é, Seam P( A ) A = S e Ai A =. = =, =,,..., onde ( ) robabilidade de que um resultado de E sea elemento de Se a exeriência E é reetida n vezes e se elemento de arâmetros n, = , de tal forma que é a A. A ocorreu, então ( ),,...,, onde ( ) se identifica ao número de vezes que um,,..., é uma variável aleatória multinomial de = n Sea a hiótese nula H : =,, =,,...,- =,, contra a hiótese alternativa de que, simlesmente H é falsa. Se a hiótese nula é verdadeira a variável aleatória Q ( ) n, = tem = n, distribuição aroximadamente igual à da variável aleatória qui-quadrado com - graus de liberdade. Se H é verdadeira, então n, é o valor eserado de, e or isso eseramos que n assumam valores equenos, ara =,,...,. Com esta intuição reeitaremos, a hiótese H quando Q c. Se α é o nível de significância deseado, então ( c / H ) P Q = α. Exemlo. Um dos rimeiros seis números inteiros é escolhido ao acaso. Assim, A { x / x } = =, =,,..,6. Na realidade esta exeriência coincide com a do lançamento de um dado com o obetivo de se verificar o onto obtido. Sea α=,5 e vamos testar a hiótese de que a seleção aleatória é eficiente, ou sea, que o dado é erfeito. A hiótese nula é equivalente a H :P(A ) =, =, =,,...,6 6 e a hiótese alternativa é simlesmente a negação de H. Para realizar o teste, a exeriência foi realizada 6 vezes, semre nas mesmas condições. ( ) = Temos então que, n, = 6 = e Q = é χ. Consultando a 6 P Q. =, 5. tabela adequadamente, verificamos que ( ) 5 Frederico Cavalcanti INF4 78

6 Suonha agora que as freqüências emíricas dos eventos, 9,, 8, 5 e 4, resectivamente. O valor observado de então Inferência Estatística A, =,,...,6 tenham sido Q 5 ( ) 6 = = é ( ) ( 9 ) ( ) ( 8 ) ( 5 ) ( 4 ) Q5 = = 5,6 Como Q5,observ = 5, 6 > χ 5;,95 =,, a hiótese H é reeitada a um nível de significância de 5%. O -valor do teste é ( 5 ) H. P χ 5, 6 =, 8, ou sea o teste é significante e reeitamos Exemlo. Um onto X é selecionado aleatoriamente no intervalo (,). Consideremos os eventos 4 A = x / < x / 4 A = x // 4 < x / A = x // < x / 4 A = x / / 4 < x A exeriência foi realizada n = 6 vezes e a artir de X, uniforme em (,) foram gerados os resectivos valores da variável aleatória com densidade f x = x se <x<. ( ) As freqüências dos eventos A, =,,,4, foram resectivamente:, 4, 5 e 74. Vamos testar a hiótese H : a distribuição de X é da forma f ( x) a um nível de significância de α=,5. Sob a hiótese H, temos que = x se <x<, = xdx = ; = ; = e = ,,, 4, e consequentemente, como n = 6, os valores eserados n, de, são,, 5 e 7, ara =,,,4, resectivamente. Frederico Cavalcanti INF4 79

7 Assim, ( ) ( 4 ) ( 5 5) ( 74 7) Q = =, Como Q,observ =,8857 < χ ;,975 = 9,5 aceitamos H. Para comletar, calculamos -valor = ( ) não são significantes e assim aceitamos H. P χ,8857 =, 6874, ou sea, os dados Exemlo. O exemlo anterior ode ser resolvido de uma maneira diferente, mas que em geral roorciona um teste com maior oder. Os 6 valores da distribuição do exemlo anterior foram gerados elo software Excel. Vamos agora definir os eventos que P( A ) =, 5 =,,,4. Desta forma os eventos em questão são: As freqüências dos eventos assim, 4 A = x / < x,5 A = x /,5 < x,77 A = x /, 77 < x,866 A = x /,866 < x A, tais A, =,,,4 nestes intervalos foram 6, 9, 6 e 49 e ( 6 4) ( 9 4) ( 6 4) ( 49 4) Q = =, Como Q,observ =,85 < χ ;,975 = 9,5 aceitamos H. O -valor do teste é: P Q,85 =, 45, confirmando a decisão. Definição. X, X,..., X uma amostra aleatória de uma variável aleatória X cua Sea ( ) n distribuição é comletamente esecificada e definida em R. Se A, =,,..., é uma qualquer artição de R e ertencem a arâmetros n, A, então ( ), =,,..., é o número de valores X i s que,,..., é uma variável aleatória multinomial com,,..,, onde P( X A ) =, ara =,,...,. Nós odemos então usar o Teorema. ara testar se uma amostra ( ) n X, X,..., X tem origem em uma esecificada distribuição de robabilidades. Os exemlos. a. são alicações desta teoria. Frederico Cavalcanti INF4 8

8 Exemlo.4 Os valores abaixo foram gerados elo Excell sob a hiótese de normalidade, com média 7 e desvio adrão Vamos a seguir testar a hiótese de que realmente os dados tem origem X, N(7;.5), o que eqüivale testar a hiótese que o rocessador é eficiente na geração de distribuição de robabilidades normais. (x 7) A tabela seguinte mostra os valores y = que, segundo H tem distribuição,5 N(,) Considere a artição do intervalo (-;) do domínio de uma variável aleatória N(,), abaixo; A = x / < x, A = x /.97 < x, 4 A = x /, 4 < x A = x / < x, 4 A = x /, 4 < x,97 A = x /,97 < x A artição acima foi construída de forma que ( ) = P A =,66 ara todo =,,,4,5,6. As freqüências absolutas corresondentes ao eventos A, =,,...,6 são resectivamente, 5, 6, 5, 6 e 5. Para todo =,,...,6 as freqüências eseradas Como α=,5. n =,66 5,e então ( 5) ( 5 5) ( 6 5) ( 5 5) ( 6 5) ( 5 5) Q5 = =, Q =, < χ =, aceitamos a hiótese H a um nível de significância 5 5;,95 Frederico Cavalcanti INF4 8

9 O -valor do teste é ( 5 ) onto de reeitarmos a hiótese nula. Inferência Estatística P χ >, >,9, e ortanto os dados não são significantes a O Teorema. é de utilidade quando deseamos testar se uma amostra tem origem comletamente esecificada, ou sea, quando conhecemos a forma e os arâmetros da distribuição de X. Em muitas alicações no entanto vamos testar uma hiótese, or exemlo, de que a distribuição é normal, mas sem esecificar os valores aramétricos corresondentes. A solução consiste em estimar tais arâmetros e usar o teorema que segue, que constitui uma variação do Teorema.. Teorema. X, X,..., X uma amostra de uma variável aleatória X, cua função de Sea ( n ) distribuição F ( ) Sea X x, definida em R, deende de s arâmetros desconhecidos. A, =,,.., uma artição de R e sea ( ),,..., a variável aleatória multinomial de arâmetros n,,,..,, associada à artição. Se P ˆ,P ˆ ˆ,..,P são os estimadores de máxima verossimilhança de,,..,, obtidos a artir de (,,..., ), então a distribuição de Q ( ˆ ) np = converge em distribuição ˆ = np ara a distribuição de uma variável aleatória qui-quadrado com --s graus de liberdade. Nota: Não é aconselhável alicar esta teoria se n < 5. Se ossível, intervalos de classe contíguos odem ser reunidos ara atender a restrição. Exemlo.5 A indústria aemaha roduz um tio de circuito eletrônico ara diversos tios de equiamentos. A emresa retende testar a hiótese de que a vida média desse roduto tem distribuição exonencial de arâmetro,, e, ara isto ofereceu substituição grátis a clientes comradores do circuito. Este rocedimento lhe roorcionou obter valores observados da variável aleatória temo de vida do circuito. O quadro abaixo disõe os dados em uma tabela de distribuição de freqüências. L L Freq. Pto.médio Total >, Frederico Cavalcanti INF4 8

10 Os dados foram classificados em intervalos de classe limitados sueriormente (L) elo decil de uma distribuição exonencial (,), isto é, o L do terceiro intervalo, foi calculado da forma [ ] ( ), L X F (L) =, e =, (L) = ln(, 7) = 5, 66 Para obter a vida total dos rodutos foram definidos os ontos médios das classes e estes, multilicados elas freqüências observadas comõem a última coluna do quadro, cuo total dividido or roduziu a estimativa deseada da duração média de vida dos circuitos e a corresondente estimativa do arâmetro λ da variável exonencial, de acordo com a hiótese a ser testada. 9.,8 x = = 96,45 λ ˆ =/96,45=,4 Com relação a atribuição de um valor de x ara a última freqüência, um raciocínio lógico seria obter o valor médio de X quando X >,5. Se X é, sob a hiótese H, uma variável exonencial, então X é sem memória e, P( X > x / X > a) = P(X > x a) P( X x / X > a) = P(X x a) λ( x a) f ( x) = λe x>a X / X> a Podemos agora calcular o valor eserado da variável aleatória (X/X>a), sendo X exonencial ( λ ). + λ( x a) E[ X / X > a] = λ xe dx = a + λ a Como (-) durações foram menores do que,5 então este valor ode ser usado como estimativa do ercentil de ordem = 79 =,895. E assim, odemos escrever,5 Logo, [ ] λ = λ λ λx e dx,895 =,979 / =,4 + a ( x a) λ E X / X > a = λ xe dx =, 5 +,4 =,9 O quadro que segue mostra o cálculo de Q = Q8. Observe que s = arâmetro foi estimado. Frederico Cavalcanti INF4 8

11 L L y ˆ n Inferência Estatística ˆ ( ) >, y nˆ nˆ λ λ ˆ = F, F,5 = e e, e sendo Note, or exemlo que, ( ) ( ),5, λ ˆ =, 4, X X,96,5 ˆ e e,8967, 7975,4 = = =. A um nível α=,5, Q8;,95 = 5,5, e assim, decidimos aceitar a hiótese nula á que Q8;observ. 4, 64 5,5 decisão. = <. O -valor é igual a P{ χ 8 4, 64} =,7, confirmando a Exemlo.6 Testar a hiótese que os dados da rimeira e segunda coluna da tabela abaixo, tem origem numa distribuição de Poisson. Use α =,5. Solução: Para determinar o corresondente conunto de freqüências eseradas, rimeiramente.4 estimaremos a média da amostra e obtemos λ ˆ = =,5 ou aroximadamente 44 λ ˆ =. Assim, a terceira coluna contém a distribuição teórica de Poisson de arâmetro λ =. A quarta coluna é o roduto da terceira coluna ela freqüência total n = 44. Erros F observ P teórica F eserada ( ) n / n 8,498,9,6984 5,494 65,76,4675,4 98,56, 7,4 98,56,77 4 8,68 7,9, ,8 44,5,6 6 8,54,76,7864 7,6 9,54,59 8,8,564,686 9,7,88,98 soma 44 6,564 Frederico Cavalcanti INF4 84

12 Observamos no entanto que n 8 =,564 e n 9 =,88 são ambas menores do que 5 e desta forma, devemos reunir a duas freqüências, em uma única ara atender a condição n 5. Como a soma destas duas freqüências é igual a 4,75 < 5, então, a solução é reunir as freqüências de x = 7, 8 e 9. A nova tabela então seria: Erros F observ P teórica F eserada ( ) n / n 8,498,9,6984 5,494 65,76,4675,4 98,56, 7,4 98,56,77 4 8,68 7,9, ,8 44,5,6 6 8,54,76,7864 7,4 4,56,7 soma 44 5,9 O número de graus de liberdade é igual a --s = 8-- = 6, onde s = corresonde ao grau de liberdade erdido quando se estimou λ. Assim Q9 = Q7 = 6, 49 < χ 7 = 4, não reeitamos a hiótese de que os dados são originários de uma distribuição de Poisson.. - Indeendência de Variáveis Suonha que uma amostra de uma oulação tenha or obetivo o registro de duas características de cada elemento da oulação. Reresentemos estas características (variáveis aleatórias) or X e. Freqüentemente, um dos obetivos da análise estatística é avaliar a relação entre X e. Dado um valor de X odemos estimar um valor de? Se deende de X, odemos de alguma forma relacionar X e e obter uma estimativa de dado X, e nesse caso diremos que X e são deendentes. Se um valor de X não roorciona nenhuma informação sobre o valor de, dizemos que X e são variáveis aleatórias indeendentes. Suonha que deseamos estimar a renda média de uma família moradora numa determinada cidade. Se temos informação sobre a classe social desta família, oderemos estimar com maior recisão essa renda, ois sabemos que existe uma certa deendência entre as variáveis renda e classe social. Se de uma turma de graduação de Engenharia selecionarmos um elemento com o obetivo de registrar o seu sexo, eseramos em geral, selecionar um elemento do sexo masculino. Sabemos que existe uma relação forte entre a escolha de certas carreiras e o sexo. Frederico Cavalcanti INF4 85

13 Exemlo.7 Duzentos estudantes de Economia e Administração de uma Universidade, foram classificados segundo o sexo, e os dados comõem a tabela abaixo: Curso/Sexo Masculino Feminino Total Economia 85 5 Administração Total 4 6 Como veremos brevemente, alicando o teste Qui-quadrado de Indeendência, calculamos Q =, 999 o que nos leva a aceitar a hiótese de indeendência entre as variáveis Curso e Sexo a um nível de significância de,, visto que Q;,99 = 6,6. A tabela abaixo considera as freqüências de cada coluna obtidas com os ercentuais da coluna de total: Curso/Sexo Masculino Feminino Total Economia 84 6,6 Administração 56 4,4 Total 4 6 Se o mesmo rocedimento for realizado usando a linha de total obtemos as seguintes freqüências: Curso/Sexo Masculino Feminino Total Economia 84 6 Administração Total,7, Os dois últimos quadros mostram que, se usarmos a distribuição marginal da variável Curso sobre o total das colunas de Sexo, o resultado é bem róximo dos valores originais observados. O mesmo acontece quando usamos a distribuição marginal da variável sexo e a alicamos sobre o total das colunas de Curso. Estas considerações nos leva a sugerir que as variáveis X e são indeendentes. Exemlo.8 Consideremos agora um exemlo similar mas envolvendo alunos de Física e Ciências Sociais. O quadro abaixo reune as freqüências das variáveis sexo e discilina ara análise. Curso/Sexo Masculino Feminino Total Física Ciências Sociais Total 4 6 Como veremos brevemente, alicando o teste Qui-quadrado de Indeendência, calculamos Q = 5,96 o que nos leva a aceitar a reeitar indeendência entre as variáveis Curso e Sexo a um nível de significância de,5, visto que Q;,995 = 7,88. Frederico Cavalcanti INF4 86

14 A tabela abaixo mostra as freqüências de cada célula e o seu corresondente ercentual em relação ao total da coluna. Curso/Sexo Masculino Feminino Total Física (,7) (,) (),6 Ciências Sociais 4(,9) 4(,67) (8),4 Total 4 6 O que se observa claramente é que existe uma maior concentração do sexo masculino (7%) no curso de Física e do sexo feminino (67%) no curso de Ciências Sociais. Isto quer dizer que se selecionarmos aleatoriamente um aluno do sexo masculino é grande a chance dele cursar Física, enquanto que se o aluno é do sexo feminino é mais rovável que o curso que freqüenta é Ciências Sociais.. - Tabelas de Contingência - Teste de Indeendência. Muitas vezes na rática, os n elementos de uma amostra são classificados de acordo com dois diferentes critérios. Por exemlo, consideremos uma amostra aleatória de n estatísticos. Cada um deles será classificado segundo dois critérios: salário inicial e área de esecialização. Em geral, uma questão de grande interesse, consiste em testar a hiótese de que os dois critérios são indeendentes. Suonha que o critério tenha três níveis salariais, nomeados A, B e C, e que o critério classifique cada estatístico segundo as esecializações: Amostragem, Demografia e Econometria. O quadro abaixo aresenta um exemlo de classificação, segundo os dois critérios, com base numa amostra de tamanho n =. Amostragem Demografia Econometria Total A 5 7 B C 4 Total 4 7 Reresentemos or i, i =,,..,r e =,,..,c o número de elementos na amostra classificados no nível i, elo critério, e no nível, elo critério. Sea ainda i, a robabilidade de um elemento da oulação ser classificado no nível i, segundo o critério, e no nível, de acordo com o critério. Se or exemlo, r = e c =, a matriz dos vetores multinomiais abaixo é chamada tabela de contingência. Frederico Cavalcanti INF4 87

15 As linhas da tabela descrevem os níveis do critério, e as colunas os níveis do critério. A toda tabela de contingência, está associada a matriz de robabilidades corresondente, conforme abaixo Analogamente a uma função de robabilidade de uma variável aleatória bidimensional do tio discreto, temos que = = P(elemento do nível i, critério ) i. i = = = P(elemento do nível, critério ). i i= Se de fato os critérios de classificação são indeendentes então é verdade que i = i.. Em outras alavras, a robabilidade de seleção de um elemento da oulação classificado nos níveis i e, dos critérios e resectivamente, é igual a robabilidade de seleção de um elemento classificado no nível i vezes a robabilidade de seleção de um elemento classificado no nível. Os estimadores de máxima verossimilhança ara os arâmetros i. e. são resectivamente i.. P ˆ ˆ i. = e P. = n n e, em conseqüência, o estimador de máxima verossimilhança ara a robabilidade do resultado (i,), sob a hiótese nula é ˆ i.. Pi = = Pˆ ˆ i. P. n e, desta forma, o estimador ara o valor eserado de i é E i ˆ i.. = npi = n Finalmente, de acordo com o Teorema., se a hiótese nula é verdadeira, isto é, H : i = i.., a variável aleatória Q E r c i i = i= = Ei Frederico Cavalcanti INF4 88

16 tem distribuição aroximadamente igual à da distribuição qui quadrado com rc--[(r-)+(c-)] = (r-)(c-) graus de liberdade. Se H é verdadeira eseramos que as diferenças entre os valores observados i e os valores eserados E i, seam equenas e isto indica que devemos reeitar H quando Q for maior que um valor c, selecionado da variável aleatória qui quadrado com (r-)(c-) graus de liberdade, de acordo com um nível de significância α fixado. Exemlo.9 Um estudo desenvolvido em 956 no Canadá, classificou 469 idosos entre 6 e 64 anos segundo dois critérios: mortalidade e hábito de fumar. Duas classes foram consideradas quanto ao hábito de fumar (fumantes e não fumantes), enquanto que com reseito a mortalidade: idosos ainda vivos e idosos que morreram no eríodo de 6 anos aós o início da exeriência. A tabela de contingência construída foi a seguinte: Hábito de fumar Mortalidade Não Fumantes Fumantes Total Vivos Mortos Total Sob a hiótese de indeendência, as freqüências eseradas são: 67 7 E = = 4, E = = 46, E = = 94, E = = 55, 469 Assim, temos Q ( 7 4, ) ( 54 46, 79) ( 95 94, 79) ( 48 55, ) = , 46, 79 94, 79 55, Q =, 479 +, +, 55 +,4594 Q =, 7946 Como Q;observ =, 7946 < Q;,95 =,84 então não odemos reeitar a hiótese nula de que as variáveis são indeendentes. Exemlo. Frederico Cavalcanti INF4 89

17 Um comanhia deve escolher entre três lanos de ensão. A direção desea saber se a referência elos lanos de ensão é indeendente do vínculo do emregado com a emresa. Há duas classificações quanto ao vínculo emregatício: assalariados e horistas. As oiniões de 5 emregados estão resumidas na tabela de contingência abaixo e o nível de significância deseado é de α=,5. Planos de Pensão Trabalho Totais Assalariado Horista Totais 5 Calculemos inicialmente as estimativas da robabilidades marginais, y. 4 y. ˆ. = = =,68 ˆ. = = =,4 n 5 n 5 y. 6 y. ˆ ˆ. = = =,. = = =,4 n 5 n 5 y n 5. ˆ. = = =, As freqüências eseradas são aresentadas no quadro abaixo. E = 5 ˆ = 5 ˆ ˆ = 5, 68, 4 = 6. Por exemlo, ( ) ( ) ( ).. Planos de Pensão Trabalho Totais Assalariado Horista Totais 5 Calculando a variável aleatória Q, obtemos ( 6 6) ( 4 6) ( 4 68) ( 4 64) ( 6 64) ( 6 ) Q = = 49, O número de graus de liberdade é (-)(-)=, e ara o nível de significância fixado Q = 5,99. temos ;,95 Como Q,observ = 49,6 > 5,99 reeitamos a hiótese nula, ou sea, reeitamos a hiótese de que a referência or lanos de ensão indeende do vínculo emregatício do emregado. Exemlo. Frederico Cavalcanti INF4 9

18 O Sindicato dos Donos de Restaurantes encomendou uma esquisa ara verificar se a olítica de roaganda de cada restaurante e seu adrão de atendimento (serviço e qualidade da refeição), são indeendentes. Os dados abaixo mostram os resultados da investigação de 44 associados do Sindicato. Teste a hiótese a um nível α =,5. Padrão de Atendimento Política Baixo Médio Alto Total Agressiva Neutra Não Agressiva Total As robabilidades marginais estimadas são 4 7 ˆ. = =,4 ˆ ˆ. = =,9. = =, ˆ ˆ ˆ. = =,7. = =, 46. = =, Assim, sob a hiótese de indeendência, a freqüência eserada da célula agressiva/baixa seria E =,4,7 44 = 6,98. Política Baixo Médio Alto Total Agressiva 4-6,98 5-6, ,69 4 Neutra 5-,96 7-8, 86-7,7 7 Não Agressiva 7-6,85 8-6,5 6-54,4 Total Calculando Q, obtemos Q =,9+,59+,+,586+,857+5,558+,+,6+6,898=,7558 Observamos que Q 4,observ =,7558 > Q4;,95 = 9,49 reeitamos a hiótese que as variáveis em questão seam indeendentes..4 - Tabelas de Contingência - Teste de Homogeneidade. Frederico Cavalcanti INF4 9

19 O uso de uma tabela de contingência ara testar a indeendência entre duas variáveis não é a única alicação deste tio de organização de dados. Uma outra situação comum ocorre quando m oulações em estudo são classificadas em categorias. Realizada uma amostra da oulação i, i=,,...,m, os valores observados, em cada uma das amostras, são então classificados em categorias, formando uma tabela de contingência exatamente igual aquela definida no exemlo.8. Num teste de homogeneidade entre oulações, o que se desea é testar se as roorções em cada uma das categorias são as mesmas ara as m oulações. Por exemlo, quando temos aenas duas categorias tais como: sucesso e fracasso, eça defeituosa e eça não defeituosa, masculino e feminino, etc..., o teste de homogeneidade é na verdade o teste de igualdade entre m arâmetros de distribuições do tio Binomial. Suonhamos então que temos amostras aleatórias indeendentes de m oulações, sendo n i o tamanho da amostra selecionada da oulação i =,,...,m. Sea X i, i =,,...,m e =,,..., n i os valores observados. Consideremos uma artição de R, domínio comum das m oulações, definida or D, D,..., D, e sea a freqüência absoluta dos valores X i que ertencem a D r, r =,,...,. Por exemlo, r é a contagem do número de valores observados na amostra, que ertencem ao r-ésimo conunto da artição, ou sea D r, r =,,...,. Analogamente 5 é o número de valores observados da amostra, X classificados em D 5. As freqüências ( i,,..., m e r,,..., ) ir = =, dos valores X i (i =,,..,m e =,,..., n i ) se aresentam na tabela de contingência abaixo, onde m.r = ir. i= Categoria Poulação Poulação Poulação m Total m m m. Total n n m n m n Na amostra i, o vetor ( i, i,..., i ) define uma variável aleatória multinomial de arâmetros n i, i, i,..., i, i =,,...,m. Os arâmetros das variáveis ( ) i i i,,..., são visualizados na tabela abaixo, ara maior comreensão: i= i ir Frederico Cavalcanti INF4 9

20 Categoria Poulação Poulação Poulação m m m m Total n n n m A hiótese de homogeneidade ode ser assim escrita: H : "as roorções em cada uma das categorias são as mesmas ara as m oulações" Então, sob a hiótese H, temos: = =... = m = =... = m = =... = m = =... = m Em outras alavras a hiótese H estabelece que a robabilidade r, de um valor observado ertencer a D, r =,,.., é a mesma, não imortando de qual oulação i ele foi selecionado. O estimador de máxima verossimilhança de m r ir i=.r r = = m m ˆP n n i i= i= e um estimador ara o valor eserado de.r Eir = n ˆ i = n m ir. n i= Segundo o Teorema., ara um fixado i, i i ir r, r =,,..., é dado or, denotado or [ ] Q E é dado or ir ( n ˆ ) ir i r i = é aroximadamente r= n ˆ ii uma variável aleatória qui quadrado com - graus de liberdade, e, sendo as amostras ( n ˆ ) m ir i r = é aroximadamente uma variável aleatória com indeendentes, Q i= r= n ˆ ir distribuição qui quadrado com m(-) graus de liberdade. Frederico Cavalcanti INF4 9

21 Para estimar os valores eserados,,...,,e, assim erdemos s = - graus de liberdade, ois com o Teorema. Q E ir m ( ) ir Eir = i= r= E ir Inferência Estatística, recisamos estimar as robabilidades r =. De acordo r= é aroximadamente uma distribuição qui quadrado com m(-)-(-) = (m-)(-) graus de liberdade. Se H é verdadeira, eseramos que as diferenças entre os valores observados valores eserados E ir, seam equenas e isto indica que devemos reeitar ir e os H quando Q for maior que um valor c, selecionado da variável aleatória qui quadrado com (m-)(-) graus de liberdade, de acordo com um nível de significância α fixado. Exemlo. Um grande anunciante da imrensa escrita encomendou uma esquisa ara verificar se existe algum tio de comaração entre referência ela leitura de um determinado ornal e classe social do leitor. Uma amostra de leitores de cada um de três dos maiores ornais, aresentou os seguintes resultados. Classe Social ESP JB GLB Total Alta Média Média 54 Baixa 4 6 As estimativas dos arâmetros r, r =,,,4 são,5,,5,,8 e,4 resectivamente, e estas robabilidades multilicadas or roduzem os valores eserados de cada célula, conforme a tabela abaixo Classe Social ESP JB GLB Total Alta Média Média Baixa Assim, calculamos o valor de Q 6 : Frederico Cavalcanti INF4 94

22 (8 5) (6 5) ( 5) Q6 = (49 5) (59 5) (5 5) ( 8) ( 8) ( 8) ( 4) (4 4) (6 4) + + = Q =,96 +, 4 +, 44 +,8 +, 679 +, ,888+,7++++=,67 Inferência Estatística Como Q6,observ =, 67 > Q6;,95 =, 6, reeitamos a hiótese nula de homogeneidade, ou sea, reeitamos a hiótese de que as amostras tem origem de uma mesma oulação. O teste de homogeneidade ode ser alicado ara testar a igualdade da roorção de elementos com um certo atributo de duas oulações diferentes, sendo ortanto equivalente ao teste da igualdade entre a média de duas variáveis aleatórias indeendentes X e, com distribuição de Bernoulli. Exemlo. Consideremos os dados do exemlo 9.4 disostos na tabela de contingência seguinte: Oção/Classe Classe A Classe B Totais Aulas aos sábados Aulas em fevereiro Totais 8 8 Usaremos o teste qui-quadrado de homogeneidade ara testar se as distribuições or classe são de mesma origem. As estimativas dos arâmetros r, r =, são resectivamente: ˆ 6 ˆ 64 =, 65 e =,5 8 8 O quadro de freqüências eseradas é então: Oção/Classe Classe A Classe B Aulas aos sábados 65 5 Aulas em fevereiro 5 8 Totais 8 Calculemos o valor observado de Q : ( 6 65) ( 56 5) ( 4 5) ( 4 8) Q = Q =,846 +,76 +, 74 +,574 =,9778 Q =,9778 < Q =,84 então aceitamos a hiótese nula de que as Como ;observ ;,95 amostras tem origem única. Exercícios Proostos. Frederico Cavalcanti INF4 95

23 . - De uma oulação de ais e filhos, foram selecionados ares (ai;filho) e a cor de seus olhos foram registradas, conforme a tabela abaixo. Desea-se testar a um nível de significância de, se a cor dos olhos do ai e a cor dos olhos do filho são indeendentes. Filho/Pai Claro Escuro Claro Escuro 5. - essoas de uma oulação foram classificadas segundo o sexo e o daltonismo, conforme tabela abaixo. Teste a hiótese de que as duas variáveis são indeendentes a um nível de significância de,5. Daltonismo/Sexo Homem Mulher Não Sim Os dados abaixo indicam que na oulação consultada, a referência or uma marca de carro indeende do sexo? Sexo/Marca Marca A Marca B Marca C Homem 6 8 Mulher Determine, com base nos dados contidos na tabela abaixo, se a roorção verdadeira dos comradores que referem o detergente A ao detergente B é a mesma nas três cidades. Comradores Rio S.Paulo B.Horizonte Total A B Total O número de erros tiográficos em um livro é em geral regulado or uma lei de Poisson. O número de erros contidos em áginas de uma recente novela foram registrados na tabela abaixo. N de Páginas N de Erros Total Teste a um nível de significância de, a hiótese de que o número de erros se distribui conforme uma lei de Poisson de arâmetro,4 λ =..6 - Teste a hiótese que no lançamento de uma moeda, cara e coroa são igualmente rováveis, usando uma amostra de 7 caras e coroas. Use α =, Em um exerimento de multilicação de grãos de ervilhas, Mendel obteve 5 redondas amarelas, 8 redondas verdes, angulosas amarelas e angulosas verdes. Esta exeriência contradiz a teoria segundo a qual as robabilidades das quatro esécimen estão na razão de 9:::? Use α =,5. Frederico Cavalcanti INF4 96

24 .8 - Trezentos estudantes de uma Universidade foram entrevistados a reseito de suas ideologias olíticas e esses dados foram organizados na tabela abaixo. Teste a um nível de significância de,5, se existem diferenças entre as osições olíticas de estudantes do sexo masculino e feminino. Ideologia/Sexo Masculino Feminino Totais Direita 69 9 Centro 5 75 Esquerda Totais.9 - Em uma emresa funcionários foram classificados segundo o sexo e estado civil, resultado na tabela de contingência x seguinte: EstadoCivil/Sexo Masculino Feminino Totais Casados Solteiros 4 6 Outros 9 Totais 64 6 A um nível de significância α =, 5 teste a hiótese de que não existem diferenças entre a distribuição do estado civil de estudantes do sexo masculino e feminino.. - A 4 de 77 acientes com uma determinada doença foi alicado um soro. Eles foram tratados da mesma forma que os outros 4 acientes que não receberam o soro. Usando os dados da tabela abaixo teste a hiótese (use α =,5 ) de que o soro não audou a cura da doença. Soro/Cura Curados Não Curados Totais Com Soro Sem Soro 4 Totais A atitude discilinar do ai e o comortamento do filho são deendentes? Use a tabela abaixo obtida na investigação de 97 ares (ai/filho) na cidade de Dallas (USA), em 988. Pai/Filho Delinqüente Não Delinqüente Totais Amável mas firme Negligente 8 4 Rigoroso 4 6 Irregular Totais Frederico Cavalcanti INF4 97

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