Probabilidade 2 - ME310 - Lista 2

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Ana Beatriz de Figueiredo de Mendonça
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1 Probabilidade - ME3 - Lista November, 5 Lembrando:. Estatística de ordem, pg 38 Ross: f xj (x) = n! (n j)!(j )! F (x)j ( F (x)) n j f(x). Distribuição de probabilidade conjunta de funções de variáveis aleatórias, pg. 33 Ross: f Y,Y (y, y ) = f X,X (x, x ) J(x, x ) 3. Covariância: Cov(X, Y ) = E((X E(X)) (Y E(Y ))) = E(X Y ) E(X) E(Y ) 4. Variância: V ar(x) = E((X E(X)) ) = E(X ) E(X)

2 . Uma máquina funciona enquanto pelo menos 3 das 5 turbinas funcionam. Se cada turbina funciona um tempo aleatório com densidade x e x, x >, independentemente das outras, calcule a distribuição de tempo de funcionamento da máquina. Dica: estatísticas de ordem. Resp. ) n! da equação, sabemos que f xj (x) = (n j)!(j )! F (x)j ( F (x)) n j f(x), se três turbinas funcionam então o avião funciona, como x < x < x 3 < x 4 < x 5, basta calcularmos a probabilidade da turbina X 3 estar funcionando (se ela não estiver, o avião não estará). para isso, temos n = 5, j = 3 f X3 (t) = 5!!! F (t) ( F (t)) f(t) = 3 ( (+t)e t ) ((+t)e t t ) t e. Considere uma amostra de tamanho 5 da distribuição Uniforme(, ). Ache a probabilidade de que a mediana está no intervalo ( 4, 3 4 ). Resp. ) De novo, usamos estatística de ordem. Nesse caso, temos que lembrar que a mediana amostral é o elemento x+ em uma amostra de x + elementos, nesse caso x =, então temos que calcular a distribuição do terceiro elemento: Usando a equação temos: 5! f x3 (x) = (5 3)!(3 )! F (x)3 ( F (x)) 5 3 f(x) = 3 x ( x) I x (,) Para calcular a probabilidade de estar no intervalo ( 4, 3 4 ) fazemos: P ( 4 X ) = 3/4 /4 3 x ( x) dx = 3/4 /4 3 (x x 3 + x 4 )dx = 3 ( x3 3 x4 + x5 5 ) x=3/4 x=/4, A densidade conjunta das v.a. X e Y é dada por f(x, y) = x y I {x,y }. Calcule a densidade conjunta das variáveis U = XY e V = X/Y. Resp. 3) f U,V (u, v) = f X,Y (x, y) J(x, y) J(x, y) = y x /y x/y = x y x y = x y

3 f U,V (U, V ) = vu I (u, v) x y I {x,y } x y onde = {(u, v) R : u ; /u < v < u}. = x y I {x,y } x y = y x x y I {x,y } = 4. Sejam X e Y v.a. i.i.d. U nif ormes(, ). Calcule a densidade conjunta de a) U = X + Y, V = X/Y Resp. a) f X (a) = f Y (a) = I {a (,)} J(x, y) = /y x/y = x y y Seja D = (, ). f U,V (u, v) = I D(x,y) u I (u,v) (+v) x y = I D(x,y) x y y + y = I D(x,y) x+y = ( u +v ) I (u,v) u = y onde = {(u, v) R : < v ; < u < + v} {(u, v) R : v > ; < u < + /v}. b) U = X, V = X/Y. J(x, y) = /y x/y = x y f U,V (u, v) = I D(x,y) x y = I D(x,y) x = u y v I (u, v) onde = {(u, v) R : < u < ; v > u}. 5. Sejam X e Y v.a. independentes U nif ormes(, ). Mostre que para qualquer α > : E( X Y α ) = (α+)(α+) Resp. 5) E( X Y α ) = x (,),y (,) x y α dxdy = x<y dxdy+ (y x)α y (y x)α dxdy + x (x y)α dydx = y) α dxdy = = (α+)(α+) (y x)α+ ( ) α+ x=y dy+ (x y)α+ x= ( ) α+ y=x y= dx = x>y (x y dy+ α+ x α+ α+ α+ dx = 3

4 6) N bolas (numeradas de até N) são distribuídas em N urnas (também numeradas de até N) de forma que para cada i a bola i vai para uma das urnas,..., i com probabilidade /i (independentemente das outras bolas). Calcule a) o número esperado das urnas vazias Resp. a) Seja P (X j = i) = j a probabilidade da j-ésima bola cair em uma urna específica i, com i j, então a probabilidade da j-ésima bola não cair na urna i é P (X j i) = j para i j. { se urna i está vazia Considere o evento Y i =, e considere o evento U = caso contrário N i= Y i, quantidade de urnas vazias. Temos que E(Y i ) = P (Urna i vazia) = P (X i, X i, X 3 i, X 3 i, X 4 i,...) = N N N N E(U) = E( Y i ) = E(Y i ) = ( j ) = N. i= i= i= j=i b) A probabilidade de que nenhuma urna está vázia. Resp. b) Observe que para que isso ocorra, cada bola deve estar em exatamente uma urna. Mas para que isso ocorra, a i-ésima bola deve estar na urna i, pois a bola só pode estar na urna, com isso, a bola que poderia estar na urna ou na urna fica restrita apenas à urna, assim por diante. Logo, P (X N = N, X N = N,..., X = ) = N ( j ) = N!. 7) Se E(X) = e V ar(x) =, calcule E(( + X) ) e V ar( + 3X) Resp. a) V ar(x) = = E(X ) E(X) = E(X ) = E(X) + = 3 j= E(( + X) ) = E(4 + 4X + X ) = E(4) + 4E(X) + E(X ) N ( j ) j=i 4

5 Logo E(( + X) ) = = Resp. b) Logo V ar( + 3X) = E(( + 3X) ) E(( + 3X)) = E( + 6X + 9X ) E( + 3X) = E() + 6E(X) + 9E(X ) E( + 3X) = 34 (E() + 3E(X)) (E() + 3E(X)) = 34 ( + 3 ) ( + 3 ) = 8 8) Dois dados são lançados. Seja X a soma dos resultados, e Y a diferença (mas não o valor absoluto da diferença) entre os resultados no primeiro e no segundo dados. Calcule Cov(X, Y ). Resp. 8) Seja A a v.a. que representa o resultado do primeiro dado e B a v.a. que representa o resultado do segundo dado. Temos Cov(X, Y ) = E((X E(X)) (Y E(Y ))) A U(, 6), discreta B U(, 6), discreta X = A + B Y = A B Com isso: Cov(X, Y ) = E((A + B E(A + B)) (A B E(A B))) = E((A+B) (A B) (A+B) 7 (A B)+7 ) = E((A B 7 (A B)) = E(A ) E(B ) = 9) A densidade conjunta das v.a. X e Y é dada por f(x, y) = y e (y+ x y ) I {x>,y>}. Calcule Cov(X, Y ). Resp. 9) Cov(X, Y ) = E(X Y ) E(X) E(Y ) E(X Y ) = Γ(3) =. E(X) = e y dy = Γ() =. E(Y ) = Γ() =. xy y e (y+ x y ) dxdy = e y ( x e x y dx)dy = y e y dy = x x y e (y+ y ) dxdy = ( e y y x e x y dx)dy = y e (y+ x y ) dxdy = e y ( e x y dx)dy = y e y dy = 5

6 Com isso a solução é Cov(X, Y ) = =. ) Seja X U( π, π), e considere v.a. Y = sen(x), Z = cos(x). a) As v.a. Y, Z são independentes? Resp. a) As v.a. X e Y não são independentes! De fato, em primeiro lugar, devido ao fato que X + Y =, o ponto de coordenadas (X, Y ) está no círculo unitário em R. Agora, sejam A = [, ] e B = [, ], observe que P [Y B X A] = (fazer um desenho do círculo). No entanto, é fácil ver que P [Y B] < (fazer de novo um desenho). Assim, P [Y B X A] P [Y B] o que mostra que X e Y não são independentes. b) Calcule E(Y ) *) Aqui eu não estou usando a média do jeito usual com densidade da variável, estou fazendo a média de seno em torno do círculo trigonométrico, π é a área do círculo e a integral é a soma dos valores possiveis. Se fosse feito usando a definição formal de esperança e a densidade de y, o resultado seria o mesmo Resp. b) E(Y ) = π π π sen(x)dx = π cos(x) x=π x= π = ( ) ( ( )) π = c) Calcule E(Z) *) Aqui eu não estou usando a média do jeito usualcom densidade da variável, estou fazendo a média de cosseno em torno do círculo trigonométrico, π é a área do círculo e a integral é a soma dos valores possiveis. Se fosse feito usando a definição formal de esperança e a densidade de z, o resultado seria o mesmo Resp. c) E(Z) = π π π cos(x)dx = π sen(x) x=π x= π = = d) Cov(Y, Z) *) Aqui eu não estou usando a média do jeito usualcom densidade conjunta, estou fazendo a média de Seno(x) Cosseno(x) em torno do círculo trigonométrico, π é a área do círculo e a integral é a soma dos valores possiveis. Observe que nesse caso, não teríamos como calcular a esperança do jeito usual, pois não temos a densidade conjunta de Y,Z e elas não são independentes. E(Y Z) = π π π sen(x) cos(x)dx = cos(x) x= π x=π = 6

7 Cov(Y, Z) = E(XY ) E(X) E(Z) = = Conclusão, elas são variáveis dependentes com Covariância. 7

8 Este solucionário foi feito para a disciplina ME3 - Sem. Caso encontre algum erro, por favor peça alteração informando o erro em nosso grupo de discussão: https : //groups.google.com/f orum/?f romgroups#!f orum/me3 s ou diretamente no repositório do github: https : //github.com/eric lopes/p robabilidade Bons estudos, Eric. 8

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