Vetor de Variáveis Aleatórias
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1 Vetor de Variáveis Aleatórias Luis Henrique Assumpção Lolis 25 de junho de 2013 Luis Henrique Assumpção Lolis Vetor de Variáveis Aleatórias 1
2 Conteúdo 1 Vetor de Variáveis Aleatórias 2 Função de Várias V.A. s 3 Valor esperado / matriz de correlação e de covariância 4 Vetores Juntamente Gaussianos 5 Estimação de V.A.s Luis Henrique Assumpção Lolis Vetor de Variáveis Aleatórias 2
3 Sumário 1 Vetor de Variáveis Aleatórias 2 Função de Várias V.A. s 3 Valor esperado / matriz de correlação e de covariância 4 Vetores Juntamente Gaussianos 5 Estimação de V.A.s Luis Henrique Assumpção Lolis Vetor de Variáveis Aleatórias 3
4 Vetor de Variáveis Aleatórias Um vetor de variáveis aleatórias é um elemento de n dimensões onde cada coordenada desse elemento é uma variável aleatória. X = X 1 X 2. X n = [X 1, X 2,..., X n ] T Também representado por X = (X 1, X 2,..., X n ) Um vetor ponto específico desse vetor aleatório, é representado por x = (x 1, x 2,..., x n ), onde x i corresponde ao valor de X i Luis Henrique Assumpção Lolis Vetor de Variáveis Aleatórias 4
5 Ex: Amostras de Áudio O resultado ω de um experimento aleatório é um sinal de áudio X(t). Fazemos com que X k = X(kT ) seja a amostra do sinal tomada no instante kt. Um codec de MP3 processa o audio em blocos de n amostras X = (X 1, X 2,..., X n ). X é um vetor aleatório. Luis Henrique Assumpção Lolis Vetor de Variáveis Aleatórias 5
6 Eventos e probabilidades X = (X 1, X 2,..., X n ) tem uma região n-dimensional R n. Um evento A representa: A = {X 1 A 1 } {X 2 A 2 }... {X n A n } O evento A ocorre quando todos os eventos {X k A k } ocorrem juntamente. Então a probabilidade de um evento fica: P [A] = P [X A] = P [{X 1 A 1 } {X 2 A 2 }... {X n A n }] P [X 1 A 1, X 2 A 2,..., X n A n ] Luis Henrique Assumpção Lolis Vetor de Variáveis Aleatórias 6
7 Distribuições Conjuntas F X (X) F X1,X 2,...,X n (x 1, x 2,..., x n ) = P [X 1 x 1, X 2 x 2,..., X n x n ] Distribuições marginais: A f.d.a. conjunta para X 1,..., X n 1 é dada por F X1,X 2,...,X n (x 1, x 2,..., x n 1, ) A f.d.a. conjunta de X 1 e X 2 é dada por F X1,X 2,...,X n (x 1, x 2,,..., ) Luis Henrique Assumpção Lolis Vetor de Variáveis Aleatórias 7
8 Função de massa de probabilidade conjunta P X(X) P X1,X 2,...,X n (x 1, x 2,..., x n) = P [X 1 = x 1, X 2 = x 2,..., X n = x n] Probabilidade de um evento: f.m.p marginal: f.m.p condicional: P [X A] = x A... P X1,X 2,...,X n (x 1, x 2,..., x n) p j(x j) = P [X j = x j] = P X1,X 2,...,X n (x 1, x 2,..., x n) x 1 x j+1 x n x j 1 p Xn (X n x 1,..., X n 1) = px 1,...,X n (x 1,..., x n) p X1,...,X n 1 (x 1,..., x n 1) Luis Henrique Assumpção Lolis Vetor de Variáveis Aleatórias 8
9 Função de densidade de probabilidade conjunta P [X A] = f.d.a conjunta: x1 x A... p X1,...,X n (x 1,..., x n)dx 1... dx n F x (X) = F X1,...,X n (x 1,..., x n ) =... f.d.p. marginal: f.m.p condicional: xn p X1,...,X n (x 1,..., x n)dx 1... dx n f X1 (x 1 ) =... p X1,X 2,...,X n (x 1, x 2,..., x n)dx 2... dx n p Xn (X n x 1,..., X n 1 ) = p X 1,...,X n (x 1,..., x n ) p X1,...,X n 1 (x 1,..., x n 1 ) Luis Henrique Assumpção Lolis Vetor de Variáveis Aleatórias 9
10 Independência A noção de independência se expande a n variáveis. Sendo que a probabilidade do intervalo de n coordenadas é igual ao produto das probabilidades de cada um dos n intervalos para as n distribuições de uma variável (cada variável sendo a distribuição marginal de cada uma das n dimensões da f.d.p conjunta) Luis Henrique Assumpção Lolis Vetor de Variáveis Aleatórias 10
11 Sumário 1 Vetor de Variáveis Aleatórias 2 Função de Várias V.A. s 3 Valor esperado / matriz de correlação e de covariância 4 Vetores Juntamente Gaussianos 5 Estimação de V.A.s Luis Henrique Assumpção Lolis Vetor de Variáveis Aleatórias 11
12 Uma função de várias V.A. s Z = g(x 1, X 2,..., X n ) A f.d.a de Z é o evento equivalente {Z z}, R z = {x : g(x) z} F Z (z) = P [X R z ] =... p X1,...,X n (x 1,..., x n)dx 1... dx n x R z Em outras palavras, encontrar os valores que são os limites em X que correspondam a g 1 (z). Luis Henrique Assumpção Lolis Vetor de Variáveis Aleatórias 12
13 Máximo e mínimo de V.A s W = max(x 1, X 2,..., X n ) e Z = min(x 1, X 2,..., X n ) e X i variáveis aleatórias independentes. O máximo de X 1, X 2,..., X n é menor ou igual a x se cada X i é menor que x: F W (w) = P [max(x 1, X 2,..., X n ) w] = P [X 1 w]p [X 2 w]... P [X n w] = (F X (w)) n O mínimo de X 1, X 2,..., X n é maior ou igual a x se cada X i é maior que x: 1 F Z (z) = P [min(x 1, X 2,..., X n ) > z] = P [X 1 > z]p [X 2 > z]... P [X n > z] = (1 F X (z)) n F Z (z) = 1 (1 F X (z)) n Luis Henrique Assumpção Lolis Vetor de Variáveis Aleatórias 13
14 Exemplo: Confiabilidade de sistemas redundantes Considere um sistema contendo n subsistemas independentes redundantes. Cada subsistema tem uma duração de vida distribuída exponencialmente com um parâmetro λ. O sistema funciona contanto que ao menos um subsistema esteja funcionando. Encontre o f.d.a do tempo de vida do sistema. W = max(x 1, X 2,..., X n ) F W (w) = (F X (w)) n = (1 e λw ) n = n ( ) n [ 1 (n k) e kλw] k k=0 Luis Henrique Assumpção Lolis Vetor de Variáveis Aleatórias 14
15 Sumário 1 Vetor de Variáveis Aleatórias 2 Função de Várias V.A. s 3 Valor esperado / matriz de correlação e de covariância 4 Vetores Juntamente Gaussianos 5 Estimação de V.A.s Luis Henrique Assumpção Lolis Vetor de Variáveis Aleatórias 15
16 Valor esperado de vetores aleatórios E[Z] = g(x 1, x 2,..., x n)p x(x 1, x 2,..., x n)dx 1 dx 2... dx n g(x 1, x 2,..., x n)p x(x 1, x 2,..., x n) x 1 x n X juntamente contínuo X discreto Um g(x) interessante é a soma de das funções de X: E[g 1 (X) + g 2 (X) + + g n (X)] = E[g 1 (X)] + + E[g n (X)] Outro exemplo importante é quando g(x) é o produto de n funções individuais de X par X 1,..., X n variáveis independentes: E[g 1 (X 1 )g 2 (X 2 )... g n (X n )] = E[g 1 (X 1 )]E[g 2 (X 2 )]... E[g n (Xn)] Luis Henrique Assumpção Lolis Vetor de Variáveis Aleatórias 16
17 Vetor Médio m x = E[X] = E X 1 X 2. X n E[X 1 ] E[X 2 ]. E[X n ] Luis Henrique Assumpção Lolis Vetor de Variáveis Aleatórias 17
18 Matriz de Correlação R x = E E[X1 2] E[X 1X 2 ]... E[X 1 X n ] E[X 2 X 1 ] E[X2 2]... E[X 2X n ] E[X n X 1 ] E[X n X 2 ]... E[Xn] 2 Luis Henrique Assumpção Lolis Vetor de Variáveis Aleatórias 18
19 Matriz de Covariância K x = E[(X 1 m 1) 2 ] E[(X 1 M 1)(X 2 M 2)]... E[(X 1 M 1)(X n m n)] E[(X 2 M 2)(X 1 M 1)] E[(X 2 M 2) 2 ]... E[(X 2 M 2)(X n m n)] E E[(X n m n)(x 1 M 1)] E[(X n m n)(x 2 M 2)]... E[(X n m n) 2 ] Luis Henrique Assumpção Lolis Vetor de Variáveis Aleatórias 19
20 Sumário 1 Vetor de Variáveis Aleatórias 2 Função de Várias V.A. s 3 Valor esperado / matriz de correlação e de covariância 4 Vetores Juntamente Gaussianos 5 Estimação de V.A.s Luis Henrique Assumpção Lolis Vetor de Variáveis Aleatórias 20
21 Vetores Juntamente Gaussianos No lugar de um valor de correlação para a normal bivariada temos uma matriz de correlação combinando as variáveis X i duas a duas. Os items da f.d.p conjunta são vetores coluna. A expressão fica da seguinte forma: p x(x) p (x1,x 2,...,x 3 )(X 1, X 2,..., X n) = exp { 1 2 (x m)t K 1 (x m) } Onde x e m são vetores coluna (2π) n/2 K 1/2 O operador (.) T significa a transposta do vetor ou matriz e. o determinante da matriz. A operação é uma multiplicação de um vetor linha (x m) T de tamanho n por uma matriz inversa da matriz de covariância K 1 de tamanho n n e o resultado multiplicado pelo vetor coluna (x m) de tamanho n. Luis Henrique Assumpção Lolis Vetor de Variáveis Aleatórias 21
22 Vetores Juntamente Gaussianos p x (X) p (x1,x 2,...,x 3 )(X 1, X 2,..., X n ) = exp { 1 2 (x m)t K 1 (x m) } x = x 1 x 2. x n (2π) n/2 K 1/2, m = m 1 m 2. m n = E[X 1 ] E[X 2 ]. E[X n ] Luis Henrique Assumpção Lolis Vetor de Variáveis Aleatórias 22
23 Vetores Juntamente Gaussianos K = Var(X 1 ) Cov(X, X )... Cov(X, X ) Cov(X, X ) Var(X 2 )... Cov(X, X ).... Cov(X, X )... Var(X n ) Luis Henrique Assumpção Lolis Vetor de Variáveis Aleatórias 23
24 Revisão de operações matriciais Multiplicação: [AB] i,j = A i,1 B 1,j +A i,2 B 2,j + +A i,n B n,j = n r=1 A i,rb r,j Determinante (2X2 e 3X3): a b c d = ad bc a b c d e f g h i = a e f h i b d f g i + c d e g h = aei + bfg + cdh ceg bdi afh. Luis Henrique Assumpção Lolis Vetor de Variáveis Aleatórias 24
25 Revisão de operações matriciais Inversa (2X2 e 3X3): [ ] 1 [ ] [ ] a b A 1 = = 1 d b c d det(a) = 1 d b c a ad bc c a 1 T a b c A B C A 1 = d e f = 1 det(a) D E F = g h k G H K A D G 1 det(a) B E H C F K A = (ek fh) D = (bk ch) G = (bf ce) B = (dk fg) E = (ak cg) H = (af cd) C = (dh eg) F = (ah bg) K = (ae bd) Transposta: (A T ) ij = A ji Luis Henrique Assumpção Lolis Vetor de Variáveis Aleatórias 25
26 Ilustração aplicando a normal bivariada O vetor de médias e a matriz de covariância ficam da seguinte forma: [ ] [ µ1 σ µ x =, e C µ xx = 2 ] 1 ρσ 1 σ 2 2 ρσ 1 σ 2 σ2 2 O determinante da matriz de covariância fica: det(c xx ) = σ 2 1 σ2 2 (ρσ 1σ 2 ) 2 = σ 2 1 σ2 2 (1 ρ2 ) A inversa da matriz de covariância fica: C 1 xx = [ σ2 2 ρσ 1 σ 2 ρσ 1 σ 2 σ1 2 σ1 2σ2 2 (1 ρ2 ) ] [ σ 2 1 ρσ 1 ] 1 σ 1 2 ρσ 1 1 = σ 1 2 σ 2 2 (1 ρ 2 ) Luis Henrique Assumpção Lolis Vetor de Variáveis Aleatórias 26
27 Ilustração aplicando a normal bivariada (x µ x) T C 1 xx (x µ x) = [ x 1 µ 1 x 2 µ 2 ] (1 ρ 2 ) ( ) x1 µ 2 ( ) ( 1 x1 µ 1 x2 µ 2 2ρ σ = 1 σ 1 σ 2 (1 ρ 2 ) [ σ 2 1 ρσ 1 1 σ 1 2 ρσ 1 1 σ 1 2 σ 2 2 ) + Conectando os resultados obtidos: 1 p xy (X, Y ) = 2πσ 1 σ 2 1 ρ 2 { ( 1 (x µ1 ) 2 exp 2(1 ρ 2 ) σ1 2 + (y µ 2) 2 σ2 2 ] [ ] x1 µ 1 x 2 µ 2 ( ) x2 µ 2 2 σ 2 2ρ(x µ )} 1)(y µ 2 ) σ 1 σ 2 Luis Henrique Assumpção Lolis Vetor de Variáveis Aleatórias 27
28 Sumário 1 Vetor de Variáveis Aleatórias 2 Função de Várias V.A. s 3 Valor esperado / matriz de correlação e de covariância 4 Vetores Juntamente Gaussianos 5 Estimação de V.A.s Luis Henrique Assumpção Lolis Vetor de Variáveis Aleatórias 28
29 Os tipos de estimação Estimação dos parâmetros de uma ou mais variáveis. Frequências relativas probabilidade de eventos. Médias de amostras esperança e outros momentos (variância, etc) Estimação de uma variável inacessível X através de uma variável acessível Y. X: Sinal enviado em um canal de comunicação. Y: Sinal recebido. X: Valor futuro. Y: Valor presente. Estimadores Máximo à posteriori - (MAP - Maximum a posteriori) Máxima verossimilhança - (ML - Maximum likehood) Luis Henrique Assumpção Lolis Vetor de Variáveis Aleatórias 29
30 Estimador do máximo à posteriori Qual o valor da entrada x que maximiza P [X = x Y = y]? P [X = x Y = y] = maxp [X = x Y = y] x P [Y = y X = x]p [X = x] P [Y = y] (Bayes) Conhecendo P [Y = y X = x], P [X = x] e P [Y = y], podemos testar para cada y, que valor de x maxima P [X = x Y = y] Luis Henrique Assumpção Lolis Vetor de Variáveis Aleatórias 30
31 Estimador de máxima verossimilhança As vezes não sabemos P [X = x], então pegamos o máximo do outro elemento da equação: maxp [Y = y X = x] x Luis Henrique Assumpção Lolis Vetor de Variáveis Aleatórias 31
32 Estimadores de V.A. contínua MAP: ML: max x max x p x (X = x Y = y) p y (Y = y X = x) Luis Henrique Assumpção Lolis Vetor de Variáveis Aleatórias 32
33 Testes de MAP e ML é variáveis juntamente gaussianas A condicional de X dado Y é dada por: { ( 1 exp 2(1 ρ 2 )σ 2 x ρ σ ) } 2 x (y µ y ) µ x x σ y p x (x y) = 2πσ 2 x (1 ρ 2 ) Maximado pelo valor de x para o qual o exponente é zero. Então: ˆXMAP = ρ σ x (y µ y ) + µ x σ y Já a condicional de Y dado X é dada por: { ( 1 exp 2(1 ρ 2 )σ 2 y ρ σ ) } 2 y (x µ x ) µ x y σ x p y (y x) = 2πσy(1 2 ρ 2 ) Maximado pelo valor de x para o qual o exponente é zero. Então: ˆXML = σ x ρσ y (y µ y ) + µ x Luis Henrique Assumpção Lolis Vetor de Variáveis Aleatórias 33
34 Estimador de Erro Quadrático Mínimo Quando se lê um Y, sendo que X = g(y ) e o erro na estimação de g(y ) é zero, é definido que o custo associado é zero, c(x g(y )) = 0 Agora quando se tem um erro (quando por exemplo não temos o total controle da função g(y )), podemos calcular o valor esperado do erro, quando X g(y ): e = E[(X g(y )) 2 ] Definir o valor a que minimiza o erro: min a E[(X a) 2 ] = E[X 2 ] 2aE[X] + a 2 Tirando a derivada em relação a a e resolvendo para zero: a = E[X] Luis Henrique Assumpção Lolis Vetor de Variáveis Aleatórias 34
35 Estimador de Erro Quadrático Mínimo Linear Se X é estimado de uma função linear g(y ) = ay + b: min a,b E[(X ay b)2 ], (a) O mínimo em relação a b fica: Substituindo em (a) fica: b = E[X ay ] = E[X] ae[y ] min a E[{(X E[X]) a(y E[Y ])} 2 ], derivando em a, 0 = d da E[{(X E[X]) a(y E[Y ])}2 ] 2(Cov(X, Y ) a Var(Y )) O melhor coeficiente en a fica: a = Cov(X, Y ) σ x = ρ x,y Var(Y ) σ y Luis Henrique Assumpção Lolis Vetor de Variáveis Aleatórias 35
36 Estimador de Erro Quadrático Mínimo Linear O estimador de mínimo erro médio quadrático médio mmse minimum mean square error linear estimator: ˆX = a Y + b Y E[Y ] = ρ x,y σ x + E[X] σ y Se X e Y não são correlatos, a melhor estimativa de X é a média E[X]. Se são totalmente correlatos, ρ ± 1, então a melhor estimativa é ±σ x (Y E[Y ])/σ y + E[Y ]. Luis Henrique Assumpção Lolis Vetor de Variáveis Aleatórias 36
37 Estimador de Erro Quadrático Mínimo Normalmente o estimador de X que minimiza o Erro Quadrático Médio um a função não linear de Y : minimizee[(x g(y )) 2 ] g(.) O problema é resolvido usando esperança condicional: E[(X g(y )) 2 ] = E[E[(X g(y )) 2 Y ]] = E[(X g(y )) 2 Y = y]f u (Y )dy g(y) é uma constante para a esperança condicional. g(y) que minimiza a esperança condicional: g (y) = E[X Y = y], chamada de curva de regressão. Luis Henrique Assumpção Lolis Vetor de Variáveis Aleatórias 37
38 Estimador de Erro Quadrático Mínimo O erro médio quadrático do melhor estimador fica: e = E[(X g (Y )) 2 ] = E[(X E[X y]) 2 Y = y]f y (Y )dy R = Var[X Y = y]f y (Y )dy R n Luis Henrique Assumpção Lolis Vetor de Variáveis Aleatórias 38
39 Exemplos Comparação MSE mínimo e o MSE linear. Luis Henrique Assumpção Lolis Vetor de Variáveis Aleatórias 39
40 Exemplo - MSE e MSE linear da normal bivariada E[X Y = y] = E[X] + ρ x,y σ x σ y (Y E[Y ]) Idênticos os MSE e MSE linear, então o erro quadrático mínimo de V.A.s gaussianas é linear. Luis Henrique Assumpção Lolis Vetor de Variáveis Aleatórias 40
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