5.3 Variáveis aleatórias gaussianas conjuntas

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1 M. Eisencraft 5.3 Variáveis aleatórias gaussianas conjuntas 64 respectivamente. São as chamadas funções características marginais: Φ X (ω ) = Φ X,Y (ω,0) (5.0) Φ Y (ω ) = Φ X,Y (0,ω ) (5.) Os momentos conjuntos m nk podem ser encontrados a partir da função característica conjunta por: m nk = ( j) n+k n+k Φ X,Y (ω,ω ) ω n ω k ω =0,ω =0 (5.) Esta expressão é a generalização bidimensional da Eq. (3.6). Exercício 5.3. Duas variáveis aleatórias X e Y tem função característica conjunta Φ X,Y (ω,ω ) = exp ( ω 8ω3 ) (5.3) Mostre que X e Y têm média nula é que elas são não correlacionadas. 5.3 Variáveis aleatórias gaussianas conjuntas Variáveis aleatórias gaussianas são muito importantes porque aparecem praticamente em todas as áreas da Engenharia e das Ciências. Nesta seção o caso de duas variáveis aleatórias conjuntas gaussianas é examinado. Duas variáveis aleatórias X e Y são são ditas conjuntamente gaussianas se sua função densidade conjunta é { [( ) f X,Y = πσ X σ exp x X ρ( x X )( y Y ) ( ) ]} y Y + Y ρ ( ρ ) σx σ X σ Y σy (5.4) [ (X em que X = E[X], Y = E[Y], σx = E ) [ (Y ) X ], σy ] = E Y e ρ = E [( X X )( Y Y )] = C XY σ X σ Y. A Figura 5. mostra um gráfico da função densidade gaussiana bidimensional. Seu máximo

2 M. Eisencraft 5.3 Variáveis aleatórias gaussianas conjuntas 65 ocorre em ( X,Y ). Da Eq. (5.4), se ρ = 0, correspondendo a variáveis não-correlacionadas, f XY (x,y) pode ser reescrita como f X,Y (x,y) = f X (x) f Y (y) (5.5) em que f X (x) e f Y (y) são as densidades marginais de X e Y e dadas por f X (x) = f Y (y) = e (x X) σ X (5.6) πσ X e (y Y) σ Y. (5.7) πσ Y Assim, conclui-se que quaisquer variáveis aleatórias gaussianas não-correlacionadas são independentes. Exercício5.4. SejamduasvariáveisaleatóriasgaussianasX e Y commédiasx e Y, variâncias σ X e σ Y e coeficiente de correlação ρ. Determine o ângulo θ tal que as variáveis A = X cosθ+y sinθ (5.8) B = X sinθ +Y cosθ (5.9) sejam independentes. Exercício 5.5. [] Suponha que a queda de neve anual (quantidade de neve acumulada em metros) em dois hotéis de esqui alpinos vizinhos seja representada por variáveis aleatórias gaussianas conjuntas X e Y para as quais ρ = 0,8, σ X =,5m, σ Y =,m e R XY = 8,476m. Se a queda de neve média no primeiro hotel é 0m, qual a taxa de queda média no outro hotel? Exercício 5.6. [4] Duas variáveis aleatórias X e Y têm medias e variâncias dadas por m X =, σ X = 3, m Y = e σ Y = 5. Uma nova variável aleatória Z é definida por Z = 3X 4Y. (5.30)

3 M. Eisencraft 5.3 Variáveis aleatórias gaussianas conjuntas 66 Figura 5.: Densidade gaussiana bidimensional [].

4 M. Eisencraft 5.4 Transformações de múltiplas variáveis aleatórias 67 Determine a média e a variância de Z se o coeficiente de correlação entre X e Y é ρ XY = 0, Transformações de múltiplas variáveis aleatórias Deseja-se encontrar a função densidade conjunta de um conjunto de novas VAs Y i = T i (X,X,...,X N ), i =,,...,N (5.3) definido pelas transformações T i. Assume-se que as novas VAs Y i dadas pela Eq. 5.3 são produzidas por funções contínuas tendo derivadas parciais contínuas em todos os pontos. Assume-se também que um conjunto de funções inversas T j contínuas das novas variáveis: existe tal que as antigas variáveis podem ser expressas como funções X j = T j (Y,Y,...,Y N ), j =,,...,N. (5.3) O jacobiano é o determinante de uma matriz de derivadas definido como J = T Y. T N Y T Y N. T N Y N (5.33) Com esta definição, pode-se mostrar que f Y,...,Y N (y,...,y N ) = f X,...,X N ( x = T (y ),...,x N = T N (y N) ) J (5.34) Quando N =, a Eq. (5.34) reduz-se à Eq. (3.30) previamente deduzida para uma única variável.

5 M. Eisencraft 5.5 Transformações lineares de variáveis aleatórias gaussianas 68 Exercício 5.7. Sejam as transformações lineares dadas por Y = T (X,X ) = ax +bx (5.35) Y = T (X,X ) = cx +dx. (5.36) Encontre f Y,Y (y,y ) em função de f X,X (x,x ) 5.5 Transformações lineares de variáveis aleatórias gaussianas A Eq. (5.3) pode ser diretamente aplicada ao problema de transformar linearmente um conjunto de VAs gaussianas X, X,..., X N para o qual a densidade conjunta gaussiana se aplica. As novas variáveis Y, Y,..., Y N são Y = a X +a X + +a N X N (5.37) Y = a X +a X + +a N X N (5.38). (5.39) Y N = a N X +a N X + +a NN X N (5.40) em que os coeficientes a ij e j =,,...,N são números reais. Definimos a matriz [T] = a a a N a a a N... (5.4) a N a N a NN Pode-se mostrar [] que as novas variáveis Y, Y,..., Y N são conjuntamente gaussianas. Ou seja, uma transformação linear de VAs gaussianas produz VAs gaussianas.

6 M. Eisencraft 5.6 Geração computacional de múltiplas variáveis aleatórias 69 Pode-se mostrar também [] que estas novas variáveis têm médias Ȳ j = N a jk Xk (5.4) k= e co-variâncias dadas pelos elementos da matrix de covariância [C Y ] = [T][C X ][T] t. (5.43) As matrizes de co-variância tem elementos C ij definidos por C ij = E [( X i X )( i Xj X )] σx j = i, i = j C Xi X j, i j (5.44) Exercício 5.8. Duas VAs gaussianas X e X têm médias nulas e variâncias σ X = 4 e σ X = 9. Sua co-variância C X X é igual a 3. Se X e X são linearmente transformadas em novas variáveis Y e Y de acordo com Y = X X (5.45) Y = 3X +4X (5.46) calcule as médias, variâncias e co-variância de Y e Y. 5.6 Geração computacional de múltiplas variáveis aleatórias Para gerar computacionalmente algumas VAs pode ser necessário usar mais de uma distribuição uniforme inicial, como feito na Seção 3.5. Por exemplo, duas VAs gaussianas independentes com médias nulas e variância unitária

7 M. Eisencraft 5.6 Geração computacional de múltiplas variáveis aleatórias 70 podem ser geradas pelas transformações Y = T (X,X ) = ln(x )cos(πx ) (5.47) Y = T (X,X ) = ln(x )sin(πx ) (5.48) (5.49) Variáveis gaussianas com variâncias quaisquer σ W e σ W e coeficiente de correlação ρ W podem ser geradas a partir de Y e Y usando as transformações [] W = σ W Y (5.50) W = ρ w σ W Y +σ W ρ W Y. (5.5) Exercício 5.9. Usando o Matlab R, a gere N = 0000 amostras de duas VAs uniformes no intervalo (0,). Esboce seus histogramas; b a partir destas VAs, gere duas VAs gaussianas com média nula e variância unitária. Esboce seus histogramas; c a partir do resultado do item anterior, gere duas VAs W e W com σ W = 4 e σ W = 9 e coeficiente de correlação ρ W = 0.4; esboce o histograma delas; d para confirmar a qualidade das VAs geradas, estime suas médias, variâncias e coeficiente de correlação usando as estimações W i = N σ W i = N ρ W = N w in (5.5) n= N n= ) ( σ W σ W N ( w in Wi ) (5.53) N ) (w n )(w W n W n= (5.54)

8 Referências Bibliográficas [] P. Z. P. Jr., Probability, Random Variables And Random Signal Principles, 4th ed. New York: Mcgraw-Hill, 00. [] B. P. Lathi, Modern Digital and Analog Communication Systems, 3rd ed. New York, NY, USA: Oxford University Press, Inc., 998. [3] A. V. Oppenheim, A. S. Willsky, and S. H. Nawab, Sinais e sistemas, nd ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 00. [4] R. E. Ziemer and W. H. Tranter, Principles of Communications, 6th ed. Wiley Publishing,

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M. Eisencraft 4.6 Distribuição e densidade de uma soma de variáveis aleatórias57 Assim, e usando a Eq. (4.17), F W (w) = F W (w) = + w y + x= f X,Y (x,y)dxdy (4.24) w y f Y (y)dy f X (x)dx (4.25) x= Diferenciando