Inversão. Introdução à Simulação Estocás5ca usando R INF2035 PUC- Rio, Hélio Lopes Departamento de InformáAca PUC- Rio 4/25/13

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1 Introdução à Simulação Estocás5ca usando R INF2035 PUC- Rio, Departamento de InformáAca - PUC- Rio Hélio Lopes Departamento de InformáAca PUC- Rio Inversão Teorema: Sejam F : IR [0, 1] a função de distribuição acumulada de uma variável aleatória e F a sua inversa generalizada, dada por F (t) = inf {x : t = F(x)}. Se U é uma variável aleatória que segue uma lei uniforme no intervalo (0, 1) então F é a função de distribuição acumulada da variável aleatória resultante da transformação V = F (U). Lema: Quando a variável aleatória de interesse é conpnua vale que F (t) = F 1 (t) para todo t em IR. 1

2 Inversão P - 1 (P(x))=x e P(P - 1 (y))=y, x em IR e 0<y<1. Pr(P - 1 (U)<=x) = Pr(P(P - 1 (U))<=P(x)) = Pr(U<=P(x)). Como U tem distribuição unifrome no intervalo (0,1), a probabilidade Pr(U<=P(x)) é igual ao tamanho do intervalo [0,P(x)]. Dessa forma: Pr(P - 1 (U)<=x) = P(x) o que jusmfica o método da inversa. Método da Inversa Algoritmo para gerar uma variável X cuja função distribuição acumulada é F. Passo 1: Gere uma variável U ~ Uniforme(0,1) Passo 2: Retorne X <- F - (U) 2

3 Método da Inversa O método propõe gerar amostras de uma variável aleatória X, com densidade p, através de amostras de uma outra variável aleatória Y com densidade de probabilidade h. Vale observar que as duas variáveis X e Y devem ter o mesmo suporte k. A função de densidade h é chamada de densidade proposta e definida pelo usuário do método. Cada amostra y de Y é aceita ou rejeitada como uma amostra de X de acordo com um critério definido pelo método, tal que no fim do processo de geração obtém- se uma sequência de amostras x que respeitam a distribuição p. 3

4 Sejam p e h as funções de densidades de X e Y respecavamente e, seja c uma constante real tal que: p(x) <= c. h(x), para todo x pertencente a k. Amostra x de X pode ser gerada através das seguintes etapas. Passo 1: gere uma amostra y de Y com densidade h; Passo 2: gere uma amostra u de U com densidade Uniforme (0,1); Passo 3: se u <= p(y)/(c.h(y)), então retorne x <- y, senão volte ao Passo 1. Verificando que de fato o método funciona: 4

5 TEOREMA: O número de iterações que são necessárias para a convegência do método de rejeição é uma v.a. geométrica com média c. Exercicio: Suponha que deseja- se gerar amostras de uma variável aleatória X com função densidade de probabilidade Beta restrita ao intervalo (01,1): com parâmetros alfa = 2 e beta = 2. (Sugestão: use Y como Uniforme(0,1)). 5

6 Exercicio: Suponha que deseja- se gerar amostras de uma variável aleatória X com função densidade de probabilidade Normal(0,1). (Sugestão: use Y como Exponencial(1), mas cuidado com o suporte). p(x) = 2/sqrt(2pi). exp(- x^2/2) h(x) = exp(- x) onde x > 0. 6

7 Método Polar Sejam X e Y duas variáveis aleatórias normais padrão e indenpendentes. Considere ainda que R e theta sejam as coordenadas polares do vetor (X,Y): R 2 = X 2 +Y 2 tan(theta) = Y/X Como X e Y são independentes a sua densidade conjunta é o produto de suas densidades individuais, assim: f(x,y) = 1/sqrt(2pi). exp(- x 2 /2). 1/sqrt(2pi). exp(- y 2 /2) = 1/2pi. exp(- (x 2 +y 2 )/2) Método Polar Para determinar a densidade conjunta de R 2 e theta f(r 2,theta) devemos fazer a mudança de variáveis: d = x 2 +y 2 e theta = arctan(y/x) Como a Jacobiana da transformação o determinante da matriz composta pelas derivadas de d e theta em relação a x e y é igual a 2, segue: f(d,theta) = ½. 1/2pi. exp(- d), d >0 e 0<x<2pi Observe que essa densidade é o produto de densidade exponencial com média 2 e uma uniforme em (0,2pi). 7

8 Método Polar Para gerar um par de v.a. Normais padrão independentes entre si, X e Y, siga o seguinte algoritmo: Passo 1: Gere independentemente duas uniformes: U 1 e U 2 Passo 2: R 2 = - 2 ln(u 1 ) e theta = 2pi. U 2 Passo 3: Faça X = R cos(theta) Y = R sin(theta) 8