1) Deseja-se usar o algoritmo de rejeição para simular de uma v.a. normal positiva, cuja densidade é dada por. 2 x > 0.

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1 MAE Análise de Dados e Simulação - o semestre de IME - USP 2 a Lista de Exercícios ) Deseja-se usar o algoritmo de rejeição para simular de uma v.a. normal positiva, cuja densidade é dada por f(x) 2 π e x2 /2 x > 0. Foram propostas duas densidades: i) g (x) e x, x > 0 (exponencial) ii) q 2 (x) xe x, x > 0 (gama) a) Verifique a possibilidade de usar o algoritmo nas duas situações. Solução: O método de rejeição é dado por f(x) g (x) C em que C Max ( f(x) g(x) ). Assim, para o caso i), Derivando f(x) g (x) ( ) f(x) C Max g (x) ( ) 2 /2+x Max π e x2. e igualando a zero verificaremos que o ponto de máximo é x. Para o caso ii), teremos que ( ) 2 /2+x C Max π x e x2. Derivando f(x) g 2 (x) expressão: e igualando a zero e igualando a zero encontraremos a seguinte ( /2+x x e x2 x ) x + 0. Observe que essa expressão só será igual a zero se ( x x + ) 0. No entanto, essa equação não possui raiz real e assim não podemos aplicar o método de rejeição. b) No caso do algoritmo ser adequado, obtenha o número médio esperado de iterações. Solução: No caso i), o número médio esperado de iterações é C 2 π e/2.

2 2 2) Seja (X, Y ) um vetor aleatório continuo com função de densidade de probabilidade conjunta f XY (x, y) mostre que: a) E[X] E[E[X Y ]] Solução: E[X] E[E[X Y ]] y y x x x E X Y (X Y y)f Y (y)dy ( ) xf X Y (x y)dx f Y (y)dy x x f X Y (x y)f Y (y)dydx y x f X,Y (x, y)dydx y xf X (x)dx b) V ar[x] E(V ar[x Y ]) + V ar[e[x Y ]] Solução: Sabendo que E[V ar[x Y ]] E [ E[X 2 Y ] E[X Y ] 2] E[E[X 2 Y ]] E[E[X Y ] 2 ] E[X 2 ] E[E[X Y ] 2 ] e V ar[e[x Y ]] E[E[X Y ] 2 ] E[E[X Y ]] 2 E[E[X Y ] 2 ] E[X] 2 Somando as duas expressões teremos que: V [X] E[X 2 ] E[E[X Y ] 2 ] + E[E[X Y ] 2 ] E[X] 2 E[X 2 ] E[X] 2

3 3 3) Ônibus chegam a um evento esportivo de acordo com um PPH com taxa 5 por hora. Cada ônibus pode conter 20, 2, 22,, 40 torcedores com igual probabilidade, independentemente do ônibus. a) Descreva um algoritmo para simular o número de torcedores que chegam ao evento até o tempo t hora. Solução: i) Gere um processo de poisson homogêneo,n(t), com o tempo variando até hora e com taxa 5 chegadas por hora. No caso, gere um valor de N(t) poisson(5t) com t. ii) Gere uma amostra de tamanho N(t) de uma uniforme discreta, X, no espaço {20, 2,, 40 de modo a obter um vetor X {X, X 2,, X N(t) iii) Faça o número de torcedores que chegam ao evento,n Torcedores, igual a soma N(t) dos elementos de X, ou seja, N Torcedores X k. b) Escreva um programa no R e obtenha 500 réplicas do processo, isto é, 500 valores da v.a. números de torcedores. Apresente o box-plot desses valores e as estatísticas resumos. torcedores. k Compare com o verdadeiro número esperado de Solução O número de torcedores que chega ao evento é dado por, N(t) T j em que X j U{20, 2,, 40, cujo a média é E[X j ] µ , e N(t) P P H com taxa de 5 ônibus por hora com o tempo variando até hora. Ou seja, N() P oisson(5). Assim, X j E(T N() n) E ( N(t) X j N() n ) j E ( n ) X j j µ nµ. j E ( ) X j Portanto E(T N() n) N()µ e o valor esperado do número de torcedores é, E(T ) E(E(T N() n)) E(N()µ) µe(n()) j

4 4 Na tabela temos as estatísticas resumo para uma amostra de tamanho 500. Min o Q Mediana Média 3 o Q Max Box-plot dos dados: Código: #Maneira t <- lambda <- 5 N_Torced <- numeric(500) for( i in :500){ Nt <- rpois(,lambda*t) X <- sample(20:40,nt,replace T) N_Torced[i] <- sum(x) mean(n_torcedores); var(n_torcedores) # Maneira 2 N_Torced2 <- replicate(500,sum(sample(20:40,rpois(,lambda*t),replace T))) mean(n_torced2); var(n_torced2)

5 5 c) Obtenha o valor verdadeiro para variância do número de torcedores. Apresente uma estimativa dessa variância via simulação, usando o programa anterior. Solução Sabendo que a variância de X é (40 20+) e que a variância de T N() é N() V ar(t N() n) V ar( X j N() n) V ar( j X j ), por independência j V ar(x j ) j n 22 2 A variância do número de torcedores que chegam ao evento, T, é dada por, V (T ) V ar(e(t N() n)) + E(V ar(t N() n)) V ar(30n()) + E(N() 22 ) O valor obtido com a simulação foi , que é um valor próximo do valor real. 4) Escreva um programa para gerar as primeiras 0 chegadas de um PPNH com funções intensidade λ(t) t + Descreva o algoritmo. Apresente os códigos do R utilizados para implementar o algoritmo e os tempos de chegadas simulados.

6 6 Solução: O algoritmo para gerar o PPNH é i) t 0, I 0 ii) Gere um número aleatório U. iii) Faça t t λ log(u). iv) Gere um número aleatório U. v) Se U λ(t), faça I I +, S(I) t. λ vi) Retorne ao passo ii) até que I 0. em que λ(t) é a função de intensidade, λ é um valor tal que λ(t) λ, I é o número de eventos e S(),, S(I) são os tempos dos eventos. Para esta questão temos que, λ(t) t+ e λ 7. Código: t <- 0 ; I <- 0 lambda <- 7 S <- numeric(0) while(i < 0) { U <- runif(2) t t - log(u[])/lambda if(u[2] < (3 + 4/(t + ))/lambda){ I I + ; S[I] t Evento Tempo de ocorrência

7 7 5) Suponha que trabalhos chegam a um sistema com um único servidor de acordo com um PPNH cuja taxa é inicialmente 4 por hora, depois aumenta constantemente até obter a taxa de 9 por hora depois de 5 horas, e então decresce constantemente até obter a taxa de 4 por hora depois de mais 5 horas adicionais. Assim, o processo continua sucessivamente de forma que λ(t + 0) λ(t). Suponha que o tempo de serviço tem distribuição exponencial com taxa 25 por hora. Implemente um programa em R para determinar o tempo médio em que o servidor não está operando nas primeiras 00 horas, ou seja, quando não existe nenhum trabalho na fila. Utilize 500 simulações e interprete a saída do programa. Solução: Primeiramente, precisamos criar um algoritmo para simular do processo de Poisson não homogêneo (PPNH) com função de intensidade λ(t) descrita no enunciado. Utilizando a propriedade de que λ(t + 0) λ(t) temos que λ(t) pode ser escrita como: 4 + 3t, se 0 t < 5 λ(t) 34 3t, se 5 t < 0 Para simular do PPNH dado que estamos no instante de tempo s precisamos saber qual das equações de λ(t) utilizaremos. Dessa forma, se o resto da divisão de s por 0 estiver entre 0 e 5 utilizaremos a primeira equação, caso contrário, utilizaremos a segunda equação. Como λ(t) 9, temos o seguinte algoritmo:. Simule t de um PPH com taxa 9. Simule u com distribuição U(0, ) Faça t 9 ln(u) 2. Simule u com distribuição U(0, ) 3. Se o resto da divisão de s por 0 estiver entre 0 e 5, faça: Se u 4+3t 9 então faça t s + t. Caso contrário, volte para. Se u < 34+3t 9 então faça t s + t. Caso contrário, volte para

8 8 Código: #Programa para simular do processo de Poisson n~ao homeg^eneo Tempo <- function(s){ #Primeiro precisamos determinar qual lambda(t) usar para simular do PPNH valor <- floor(s/0) valor <- s - 0*valor if(valor < 5) tipo <- 0 else tipo <- if(tipo0){ stop <- 0 while(stop0){ u <- runif(,0,) t <- - (/9)*log(u) u <- runif(,0,) if(u < (4+3*t)/9) stop <- else { stop <- 0 while(stop0){ u <- runif(,0,) t <- - (/9)*log(u) u <- runif(,0,) if(u < (34-3*t)/9) stop <- return(t+s) #Programa para simular o problema proposto filas <- function(t){ #inicializa c~ao A <- vector() D <- vector() tnnand0

9 9 #Gerar T0, ou seja, o tempo para a chegada do primeiro cliente ta <- Tempo(0) td <- Inf n.operando <- ta stop <- 0 while(stop0){ #Caso if(ta < td & ta< T){ t <- ta Na <- Na+ n <- n+ #Gero o tempo de chegada do proximo cliente ta <- Tempo(t) if(n) { y <- rexp(,25) td <- t+y A[Na] <- t else { #Caso 2 if(td < ta & td < T){ t <- td n <- n- Nd<- Nd + if(n0){ td <- Inf n.operando <- n.operando + (ta-t) else { y <- rexp(,25) td <- t+y D[Nd]t else { #Caso 3

10 0 if(min(ta,td)>t){ stop <- return(list(tempo_chegadasa,tempo_saidasd,tempo_ocioson.operando)) #Para calcular o tempo medio que o servidor nao opera utilizando 500 simulacoes n.operando <- vector() for(j in :500){ n.operando[j] <- filas(00)$tempo_ocioso list(tempo_ociosomean(n.operando)) $Tempo_ocioso [] Portanto, o servidor fica ocioso por aproximadamente 25 horas das 00horas que ele opera, ou seja, o servidor fica um quarto do seu tempo de trabalho sem estar em operação. 6) Simule uma amostra de tamanho n de uma normal padrão, em que n é tal que: n 00 e s n < a) Quantos valores você espera que sejam simulados? Quantos você simulou? Compare e comente. Solução: Temos que var( X) < 0.05 n < 0.05 n > 20 n > 400 Assim, o valor esperado de dados simulados deve ser maior que 400 e o valor obtido com o código R foi n 434.

11 i. Gere uma amostra de tamanho n de uma normal padrão, x n (x, x n ) e calcule o valor inicial de d sd(xn) n, em que sd(x n ) (x i x). n ii. Gere o elemento x n+ e concatene a x n. Faça n n +. iii. Calcule d sd(xn) n iv. Se d < 0.05 pare. Caso contrário retorne ao passo ii. Código R: n <- 00 x <- rnorm(n) d <- sd(x)/sqrt(n) while(d > 0.05) { x <- c(x,rnorm()) n <- n + u <- seq(-4,4, len 000) d <- sd(x)/sqrt(n) hist(x, freq F, main "Histograma", ylab "Densidade") lines(u, dnorm(u), col"blue", lwd2) b) Apresente a média e a variância amostrais. Faça um histograma dos dados simulados e sobreponha a este a curva da normal padrão. Solução: A média e a variância foram e.084, respectivamente. i

12 2 7) Use simulação para estimar o valor da integral: 0 ex2 dx Simule pelo menos 00 valores e pare quando o desvio padrão do seu estimador for menor que 0.0. Solução: Usando o método de Monte Carlo podemos encontrar uma estimativa para 0 ex2 dx gerando amostra de uma uniforme U(0, ). E para a resolução da questão procedemos de forma parecida com a questão 6). Código: n <- 00 x <- exp(runif(00)^2) d <- sd(x)/sqrt(n) while(d > 0.0) { x <- c(x, exp(runif(00)^2)) n <- n + d <- sd(x)/sqrt(n) O valor de n para que o valor do desvio padrão do estimador seja menor que 0.0 foi de 2258 e a estimativa foi de ) Para estimar θ foram gerados 20 valores independentes de uma v.a. com média θ. Quantas observações adicionais espera-se simular se deseja-se que a estimativa final não se distancie do verdadeiro valor de θ por mais de unidade e isso ocorra com probabilidade 0.99? Os valores gerados são apresentados a seguir: 02,2,3,07,4,95,33,45,39,7,93,,24,22,36,4,9,22,5,43. Solução: Sabendo que quantil da t-student t 9, e que S O tamanho da amostra total para que estimativa final não se distancie do verdadeiro por mais de unidade e que ocorra com probabilidade 0.99, é n t2,90.99 S2 erro E portanto, temos que gerar mais 2289 amostras.

13 3 9) Sejam X,, X n v.a. independentes e identicamente distribuídas com média µ. Para duas constantes tais que a < b, estamos interessados em estimar p P [a < X µ < b]. a) Explique como usar o método de bootstrap para estimar p. Solução: Primeiro encontraremos a distribuição de δ X µ usando a aproximação bootstrap e para isso procedemos da seguinte forma: i) Calcule a média dos dados, x, e a considere como uma estimativa para µ. ii) Calcule o vetor de médias x que contém a média de cada uma das B amostras bootstrap. iii) Calcule a diferença δ x x. A partir da distribuição bootstrap representada pela amostra δ podemos calcular a estimativa de p como sendo: ˆp Cardinalidade ( ) a < δ < b B. b) Considere n 0,a 5 e b 5.Estime p considerando que os valores observados são : 56,0, 78, 67, 93, 87,64,72,80 e 69. Solução: A estimativa para P ( 5 < X µ < 5) P ( 5 < X X < 5) para B 0 4. Código: dados <- c(56,0, 78, 67, 93, 87,64,72,80,69) B <- 0^4 # quantidade de amostra bootstrap xbar <- mean(dados) xbar_ast <- replicate(b, mean(sample(dados,0,replace T))) delta_ast <- xbar_ast - xbar P <- length(delta_ast[delta_ast > -5 & delta_ast < 5])/B

14 4 0) Considere x,, x n uma amostra observada de uma v.a. com média θ. Na comparação feita em aula dos métodos bootstrap e Jackknife para estimar o erro quadrático médio de x usamos o seguinte resultado: ( x (i) x ) 2 i Prove o resultado acima. (n ) 2 (x(i) x) 2 Solução: Sabendo que x (i) é a média do conjunto de x,, x n sem a i-ésima observação, ou seja, e que x (i) E assim temos que, n j j i n (n x x (i)) x n i x (j) (( ) ) x (j) x (i) n j x (i) i ( ) n n (n x x (i)) i ( ) n n (n x x (i)) x i ( x (i) x ) 2 i ( ) n x 2 x(i) x n ( n x x(i) (n ) x i i ( x x(i) n ) 2 n i ( x(i) x ) 2 (n ) 2 i ) 2