Departamento de InformáAca - PUC- Rio. Hélio Lopes Departamento de InformáAca PUC- Rio. A plataforma R

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1 Introdução à Simulação Estocás5ca usando R INF2035 PUC- Rio, Departamento de InformáAca - PUC- Rio Hélio Lopes Departamento de InformáAca PUC- Rio A plataforma R R é uma linguagem de programação de alto nível que oferece recursos para a produção de gráficos de qualidade bem como para a realização de cálculos estassacos com boa precisão numérica. Dentre as virtudes de R não podemos deixar de mencionar que ela obedece os padrões de sovware livre e que está disponível para uma boa variedade de plataformas de hardware e sistemas operacionais. Há uma grande comunidade de desenvolvedores contribuindo permanentemente para a criação de novas funcionalidades, bem como para a correção dos eventuais problemas que R apresenta. 1

2 A plataforma R A comunidade R_STAT, disponível em h\p://br.groups.yahoo.com/group/r_stat, é um exemplo disso para usuários de R no Brasil. O número de bibliotecas de qualidade para as mais diversas aplicações cresce constantemente aumentando, com isso, a aplicabilidade deste sistema em diversas áreas. R pode ser obado tanto compilado quanto para compilar pelo síao h\p:// project.org. Para uma excelente introdução ao R veja An IntroducAon to R no próprio síao onde se obtem o sovware. A plataforma R Como em todas as outras linguagens, é possível declarar variáveis em R que são referenciadas pelos seus nomes. Os nomes das variáveis podem conter qualquer letra, dígito ou ponto mas não pode começar com um dígito. Os nomes das variáveis são case sensi(ves, assim dado, Dado, e Dado referem a três variáveis diferentes. O operator de atribuição em R é <-. 2

3 A plataforma R Exemplos: > Dado <- 4 > Soma < > um.nome.de.variavel.grande <- sqrt(16) Cada linha de comando acima atribui a variável que está do lado esquerdo do operador de atribuição o valor do lado direito. Para todos esses casos é atribuído o valor 4 às variáveis Dado, Soma e um.nome.de.variavel.grande A plataforma R Para ver o valor de uma variável em R, você deve executar o comando print, ou simplesmente o nome da própria variável: > print(dado) > Dado 3

4 A plataforma R Nem sempre usaremos variáveis reais no R. De fato na maioria das aplicações usaremos variáveis que são vetores, que são uma lista de objetos do mesmo Apo. Existem várias maneiras diferentes de se criar um vetor no R. Muitas funções e operadores retornam uma instância de um vetor. Aqui veremos algumas formas de como se criar um vetor e algumas funções que operam esses componente a componente. A plataforma R A função c combina ou coleciona valores em um vetor: > v <- c(1,2,- 0.5,0.3) > v A função seq cria uma sequencia de valores em um vetor: > w <- seq(1,4) > w Para acessar a primeira componente do vetor, faça: > w[1] 4

5 Distribuições de variáveis aleatórias Neste ponto é conveniente lembrar que conhecer a distribuição de uma variável aleatória consiste em ser capaz de calcular a probabilidade de qualquer evento dentro da classe de eventos possíveis, suas uniões e interseções. A função de distribuição acumulada, definida por F(t)= Pr(X< t) para todo t real, é capaz de caracterizar a distribuição de qualquer variável aleatória X. Distribuições de variáveis aleatórias As propriedades das funções de distribuição acumulada são as seguintes: Se x n x então F(x n ) F (x). Se x então F (x) 0, e se x então F (x) 1 Se x<y então F(x) F (y). Reciprocamente, toda função saasfazendo as três propriedades acima é função de distribuição acumulada, isto é, ela caracteriza a distribuição de alguma variável aleatória real. 5

6 Funções densidade de probabilidade Caso exista uma função f : F(t) = t + f(x) dx para a qual então dizemos que F caracteriza a distribuição de uma variável aleatória consnua. Nesse caso, f recebe o nome de densidade de probabilidade, ou simplesmente de densidade, e também caracteriza a distribuição da viariável aleatória. Funções densidade de probabilidade Toda densidade de probabilidade possui duas propriedades: Ela é não negaava, e o conjunto { x : f(x) > 0} recebe o nome de suporte da densidade ou da distribuição, e a sua integral é unitária, isto é: f(x) dx = 1. A função de distribuição acumulada de variáveis aleatórias consnuas é estritamente crescente no suporte e, portanto, inversível nesse conjunto. 6

7 Variáveis aleatórias discretas Caso o espaço amostral da variável aleatória seja finito ou enumerável, dizemos se tratar de uma variável aleatória discreta. Nesse caso, basta conhecer a probabilidade de cada evento atômico para caracterizar a sua distribuição, isto é, a função (x i,p i = Pr(X = p i )) para todo evento elementar x i. A função (x i,p i = Pr(X = p i )) recebe o nome de função de probabilidade, e é possível ver que a função de distribuição acumulada, neste caso, é constante por partes: F(t)= xi t p i Momentos Uma informação muito importante que decorre do conhecimento da distribuição de uma variável aleatória é a dos seus momentos. O momento de ordem k da variável aleatória X com distribuição caracterizada pela densidade f é dado pela integral E(X k )= x k f(x) dx se ela exisar. Caso se trate de uma variável aleatória discreta, a integral é subsatuída por uma soma. 7

8 Momentos O primeiro momento recebe o nome de esperança ou média, e a diferença entre o segundo momento e o quadrado da esperança é chamado variância, isto é: Var(X) = E(X 2 ) (E(X)) 2. Distribuição uniforme A distribuição uniforme no intervalo unitário ocupa um lugar de destaque no universo da simulação estocásaca. Ela é definida pela densidade f(x) =1 (0,1) (x) 1 A (x) = 0 se x A 1 A (x) = 1 se x A onde é a função indicadora do conjunto A, isto é: 8

9 Distribuição uniforme A probabilidade de qualquer evento dentro do intervalo unitário depende apenas do comprimento do intervalo, isto é: para todos 0 < a < b < 1. Pr(a X b) =1/(b a) EXERCÍCIO: Qual é a função distribuição de uma variavel uniforme no intervalo (0,1)? Distribuição exponencial A distribuição da variável aleatória X chama- se exponencial padrão se a sua densidade é f(t)=exp{ t} + (t) Com isso, a sua função de distribuição acumulada é F(t)=(1-exp{ t}) + (t) A distribuição da variável aleatória Y = λx, com X exponencial padrão e λ > 0 chama- se exponencial de média λ, e a sua densidade é f Y (t) = 1 exp{ t/ } +(t). 9

10 Distribuição normal A distribuição da variável aleatória X é chamada normal padrão se a sua densidade é f(t) = 1 exp 1 2 2, t2 para todo t. Não dispomos de uma forma explícita para a função de distribuição acumulada da distribuição normal padrão, mas há uma relação entre ela e uma importante função especial chamada função de erro : (t) = 2 t 0 exp{ x2 } dx. É frequente encontrar a notação (t) = erf(t), e vale que (t) =2F ( 2t) 1, com F a função de distribuição acumulada da lei normal padrão. Distribuição normal Se X segue uma distribuição normal padrão, então Y = σx + µ, com µ um número real qualquer e σ > 0, segue uma distribuição normal de média µ e desvio padrão σ (ou, equivalentemente, variância σ 2 ). Neste caso, a densidade de Y é f Y (t) = 1 2 exp (t µ) 2. 10

11 Distribuição log- normal Se X segue uma lei normal de média µ e variância σ 2, então Y = e X segue uma distribuição log- normal de parâmetros µ e σ 2. A densidade que caracteriza esta distribuição é 2 1 f Y (y) = Note que µ e σ 2 y exp 1 log(y) µ são apenas os parâmetros que indexam esta lei; não são a média e a variância da distribuição. A média desta distribuição é E(Y ) = exp { µ + σ 2 / 2 }, enquanto a variância é dada por Var(Y ) = exp 2µ exp 1. Distribuição Bernoulli Uma das distribuições discretas mais simples é a lei de Bernoulli. Uma variável aleatória discreta segue a lei de Bernoulli com parâmetro p que pertence ao intervalo [0, 1] se ela adota o valor 1 com probabilidade p ou o valor 0 com probabilidade 1 p. Desta forma, a função de probabilidade que caracteriza esta lei é {(0, 1 p), (1, p)}. 11

12 Distribuição Binomial A soma de n variáveis aleatórias independentes e idenacamente distribuídas, cada uma obedecendo uma distribuição de Bernoulli com parâmetro p segue uma lei Binomial com parâmetro (n, p). A função de probabilidade que caracteriza esta distribuição é n k, k p k (1 p) n k para todo 0 k n. Distribuição de Poisson A distribuição de Poisson caracteriza a contagem do número de eventos que, isoladamente, são raros mas para os quais são feitas muitas observações independentes. Imaginemos, por exemplo, a situação de observar em um pequeno intervalo de tempo a chegada de um freguês em um banco, ou a ocorrência de um sinistro para uma empresa de seguros devido a um roubo de carro; a probabilidade disso ocorrer é pequena, mas quando a observação é realizada ao longo de um intervalo maior ela se torna razoável. 12

13 Distribuição de Poisson Nessas condições, e com algunas restrições adicionais, podemos modelar o número de eventos com a variável aleatória X cuja lei é dada por Pr(X = k) = k k! e, para todo k 0 onde λ > 0 é a média e o parâmetro que caracteriza a distribuição. Inversão Veremos agora como transformar variáveis aleatórias uniformes em variáveis aleatórias que obedecem outra distribuição. O resultado que será apresentado a seguir é um dos pilares da simulação estocásaca. 13

14 Inversão Teorema: Sejam F : IR [0, 1] a função de distribuição acumulada de uma variável aleatória e F a sua inversa generalizada, dada por F (t) = inf {x : t = F(x)}. Se U é uma variável aleatória que segue uma lei uniforme no intervalo (0, 1) então F é a função de distribuição acumulada da variável aleatória resultante da transformação V = F (U). Lema: Quando a variável aleatória de interesse é con[nua vale que F (t) = F 1 (t) para todo t em IR. Inversão A aplicabilidade deste resultado geral restringe- se somente à disponibilidade de boas implementações de F 1 ou de F. Casos importantes para os quais não há formas explícitas simples são as distribuições normal e log- normal, por exemplo. No caso da distribuição exponencial com parâmetro λ, a função de distribuição acumulada é dada por F(t) = (1 exp{ t/λ})1 R+ (t), logo a inversa é dada por F 1 (t) = λ log(1 t). Com isso, a variável aleatória Y = λ log(1 X) segue uma distribuição exponencial com média λ quando X segue uma lei uniforme no intervalo (0, 1). 14

15 Inversão Para gerar ocorrências da distribuição de Bernoulli podemos usar o Teorema e fazer Y = 1 (0,p) (U). Com isso, Y irá obedecer a lei desejada com parâmetro p. As ocorrências de variáveis aleatórias binomiais podem ser construídas como a soma de eventos de variáveis aleatórias Bernoulli independentes. Mas existe uma forma mais eficiente de gerar uma binomial qual será? Inversão A geração de ocorrências de variáveis aleatórias Poisson pode parecer inviável com este método pois, em princípio, requereria o cálculo de infinitos valores de probabilidade. Esse problema pode ser contornado fazendo uso de um algoritmo iteraavo que, dada a ocorrência da variável aleatória uniforme X(ω) = x, calcule o valor inicial p0 = Pr(Y = 0) = e λ e faça a comparação com apenas o primeiro degrau da inversa generalizada da função de distribução acumulada. Se p0 < x então retorne 0, caso contrário calcule p1 = Pr(Y = 1) = λe λ e faça a comparação com p0 + p1, e assim por diante 15

16 Método polar para a geração de uma Normal padrão De volta à distribuição normal, podemos, em princípio, ualizar o seguinte resultado: Sejam U 1, U 2 variáveis aleatórias independentes e idenacamente distribuídas segundo uma lei uniforme no intervalo unitário. Definamos R = sqrt( 2 log U 1 ) e Θ = π(2 U 2 1). As variáveis aleatórias X, Y definidas por X = R cos Θ e Y = R sen Θ são independentes com distribuição comum normal padrão. Gerando variáveis aleatórias no R A plataforma R oferece diversas roanas para a geração de ocorrências de variáveis aleatórias com estas e muitas outras distribuições. Dentre elas podemos mencionar runif, para ocorrências de uniformes, rbinom para binomiais (e, como caso paracular, de Bernoulli), rnorm para normais e rpois para Poisson. 16