Modelagem e Análise de Sistemas de Computação Aula 19

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1 Modelagem e Análise de Sistemas de Computação Aula 19 Aula passada Intro a simulação Gerando números pseudo-aleatórios Aula de hoje Lei dos grandes números Calculando integrais Gerando outras distribuições Método da transformada inversa

2 Lei dos Grandes Números Você já deve conhecer (intuitivamente) Experimento: jogar n vezes dado com seis faces D : resultado de uma jogada N 1 (n) : número de vezes que resultado é 1 F 1 (n) : fração de vezes que o resultado é 1 F 1 n = N 1 n n

3 Lei dos Grandes Números F n = N 1 n 1 n Realizar experimento (jogar o dado) quanto vale F 1 (10)? e F 1 (100)? e F 1 (1000)? F 1 (n) converge para P[D = 1] quando n tende ao infinito! P[D = 1] = 1/6 prob. do resultado ser igual a 1

4 Lei dos Grandes Números Frequência relativa do resultado de um experimento aleatório converge para sua probabilidade Resultado fundamental em probabilidade e estatística Atribui significado físico a um conceito abstrato (probabilidade) probabilidade existe! números (quando muitos) convergem

5 Lei dos Grandes Números Generalização: média de uma sequência de v.a. (iid) converge para seu valor esperado Variável aleatória: X Valor esperado: E [ X ] Sequência (iid): X 1, X 2,..., X n Média amostral: X n = i=1 n n X i E [ X ]=E [ X i ] para todo i Convergência: X n E [ X ] quando n tende ao infinito

6 Exemplo Experimento: jogar um dado X v.a. que indica o resultado X i v.a. que indica o resultado do i-ésimo experimento Quanto vale E[X]? E [ X ]=3. 5 3, 1, 2, 5, 6, 3, 2, 1, 4, 4, 2, 3, 5, 6, 1, 2, 2, 5, 3, 1. Sequência de resultados de experimentos repetidos Média: X n = i=1 n n X i = =3. 0 5

7 Lei dos Grandes Números Duas versões Lei fraca e lei forte Diferem na forma como a convergência é definida Seja X 1, X 2,..., X n uma sequencia de v.a. iid com valor esperado Seja n X n = i=1 n X i a média da sequência

8 Lei dos Grandes Números Lei fraca dos grandes números para qualquer 0 lim n P [ X n ]=1 convergência em probabilidade Lei forte dos grandes números P [lim n X n = ]=1 convergência quase certa (almost surely) Média converge para valor esperado!

9 Lei Fraca dos Grandes Números (Prova) Caso onde X i possui variância 2 X n é uma variável aleatória Temos então E [ X n ]= Var [ X n ]= 2 n Lembrando desigualdade de Chebyshev P [ X k ] 1 k 2

10 Lei Fraca dos Grandes Números (Prova) Aplicando Chebyshev a X n P [ X k n ] 1 1 n k 2 Dado 0 Escolher k, tal que = k n Substituindo, temos Converge para 1 quando n vai ao P [ X n ] 1 2 n 2 infinito

11 Aplicação Numérica Avaliação numérica de integrais Como calcular a seguinte integral? = 0 1 g x dx Se U é uma v.a. Uniforme [0, 1], então E [ g U ]= 0 1 g x f U x dx 1 = g x dx 0 =

12 Resolvendo Integrais Como calcular E[g(U)]? Gerar várias v.a. uniformes, aplicar g() aos valores, e tirar a média Considere uma sequência U 1, U 2,..., U k de v.a. independentes e uniforme [0,1] k i =1 k g U i E [ g U ]= Lei dos grandes números quando k sequência de v.a. i.i.d. converge para média

13 Resolvendo Integrais Conhecido como Método de Monte Carlo Generalização para quaisquer limites de integração mudança de variáveis Generalização para integrais múltiplas geração de vetor de uniformes (iid) muito poderoso

14 Exemplo: Estimando Pi (-1, 1) (1, 1). (-1, -1) (1, -1) X, Y : v.a. independentes uniforme (-1, 1) definem um ponto dentro do quadrado Definir v.a. Indicadora Estar dentro do círculo: I(x 2 + y 2 <= 1) Calcular sua probabilidade e valor esperado

15 Gerando Outras Distribuições Como gerar v.a. de outras distribuições? Utilizar a uniforme! V.a. discreta X P [ X = x j ]= p j j p j =1 Como gerar valores de X? U(0,1) x 1 x 2 x 3 x 4 x p 1 p 2 p 3 p 4 p

16 Gerando V.A. Discreta V.a. discreta X P [ X =x j ]=p j j p j =1 Se 0 a b 1 e U é uniforme (0,1), então P [a U b ]=b a Assim, temos j 1 p U j i i =1 P [ X =x j ]=P [ i =1 p i ]=p j

17 Gerando uma Geométrica X é geométrica : P [ X =i]=p q i 1 0 X ocorrência do primeiro sucesso de um experimento independente U(0,1) p p q p q 2 p q 3 p q P [ X j 1 ]=1 P [ X j 1 ] = 1 P[primeiros j-1 experimentos são falhas] = 1 q j 1

18 Gerando V.A. Contínua Mesma idéia: utilizar uniforme(0,1) Método da Transformada Inversa generalização da técnica que acabamos de ver U(0,1) 1 F X (x) Função de probabilidade cumulativa 0 x x

19 Método da Transformada U(0,1) 1 F X (x) Inversa 0 x x Seja U uniforme (0, 1) e X uma v.a. com função distribuição cumulativa F. X é dado por: X =F 1 U onde F -1 é a inversa de F (valor de x para o qual F(x) = u)

20 Método da Transformada Inversa (Prova) Seja F uma função de probabilidade cumulativa Seja X = F -1 (U) e U uma v.a. Uniforme (0,1) Seja F X a distribuição de X Provar que F X (x) = F(x) F X x =P [ X x ] = P [ F 1 U x ] definição = = = P [ F F 1 U F x ] P [U F x ] F x definição uniforme Equivalência de eventos e monotonicidade de F

21 Gerando uma Exponencial Seja X v.a. exponencial com parâmetro F X x =1 e x Pelo método, temos que x =F X 1 u Então F x =F F 1 u F x =u 1 e x =u e x =1 u x =l o g 1 u (1-U) também é uniforme(0,1) x = 1 l o g 1 u x = 1 log u

22 Gerando um Processo de Poisson Como gerar eventos de acordo com o processo de Poisson? S eventos Seja N(t) uma v.a. Poisson com parâmetro P [ N t o =k ] = t o k k! e t o Seja S o tempo entre chegadas Qual a distribuição do tempo entre chegadas? P [S t ]=? Exponencial! t

23 Gerando um Processo de Poisson S eventos P [S t ]=e t t Gerar sequência de exponenciais com parâmetro Quantos eventos em um intervalo t o? Gerar exponencias em sequência até que soma dos tempos seja maior que t o