UNIDADE II. José J. C. Hernández. April 9, 2017 DE - UFPE. José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I April 9, / 60

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1 INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA UNIDADE II José J. C. Hernández DE - UFPE April 9, 2017 José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I April 9, / 60

2 Variável aleatória Seja X : Ω R uma função real de Ω e considere A = (, a]. A função X será uma variável aleatória se P(X 1 (A)) está bem definida para todo a R. Aqui: X 1 (A) = {w Ω : X (w) A}. José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I April 9, / 60

3 Tipos de Variável aleatória Podemos trabalhar apenas com as variáveis aleatórias e sua medida de probabilidade. Seja X uma variável aleatória e P sua medida de probabilidade. Variáveis aleatórias discretas: Uma variável aleatória X cujo suporte S X é um conjunto enumerável é dita ser discreta (ex: S X = {0, 1}, S X = {1, 2, 3}). Variáveis aleatórias contínuas: Uma variável aleatória X cujo suporte S X é um conjunto não-enumera vel é dita ser contínua (ex: S X = (0, 1), S X = (3, 5), S X = (0, ),S X = R). José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I April 9, / 60

4 ESPERANÇA, VARIÂNCIA DE V.A. DISCRETAS Esperança, variância e Desvio padrão Seja X uma variável aleatória discreta com suporte S X = {x 1, x 2,..., x n,... }. Seja p(x i ) = P(X = x i ). Esperança: A esperança matemática de X é definida por E(X ) = x i p(x i ), i=1 Variância: A variância de X é definida por Var(X ) = [x i E(X )] 2 p(x i ) = E(X 2 ) (E(X )) 2 i=1 Desvio padrão: O Desvio padrão de X é definida por DP(X ) = σ(x ) = Var(X ). José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I April 9, / 60

5 Valor esperado de função de v.a. Seja X variável aleatória discreta com valores x 1,..., x n e probabilidades p(x 1 ),..., p(x n ). Definamos a v.a. Y = f (X ), onde f : R R, então E(Y ) = E(f (X )) = n f (x i )p(x i ). i=1 A variância de Y = f (X ) é Var(Y ) = Var(f (X )) = n [ f (xi ) 2 E(f (X )) ] 2 p(xi ). i=1 José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I April 9, / 60

6 Esperança e Variância de f (X, Y ) Sejam X, Y duas variáveis aleatórias discretas com valores x 1,..., x n, y 1,..., y n e probabilidades p(x 1 ),..., p(x n ) p(y 1 ),..., p(y n ). Se p(x i, y j ) = P(X = x i, Y = y j ), i = 1,..., n, j = 1,..., m é a distribuição conjunta de X e Y, e f (X, Y ) for uma função de X e Y, então E(f (X, Y )) = n m f (x i, y j )p(x i, y j ). i=1 j=1 Dois casos particulares: E(X + Y ) = E(X ) + E(Y ). Se X e Y são v.a. independentes, então E(XY ) = E(X )E(Y ). José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I April 9, / 60

7 Exemplo: Pedro é o gerente de uma revendedora de carros. Toda semana ele tem 5 carros para vender. Se ele vender até dois carros, não ganha qualquer adicional ao seu salário; porém se ele conseguir vender 3 ou mais carros, ganha um premio igual a 100x 2, onde x é o número de carros vendidos. Se a probabilidade de vender um carro é 0.6, e cada carro se vende de forma independiente. Determine o valor esperado, a variância e o desvio padrão do premio semanal. Solução: f (x) = 0, x = 0, 1, 2 900, x = , x = , x = 5 E(f (X )) = 0 + f (3)P(X = 3) + f (4)P(X = 4) + f (5)P(X = 5) José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I April 9, / 60

8 Exemplo: Suponha que estamos interesados em estudar a composição de familias com três crianças, quanto ao sexo. Definamos as v.a. X = { número de meninos 1, se o primeiro filho for homem Y = 0, se o primeiro filho for mulher Supondo que as possíveis composições tenham a mesma probabilidade, Construir as distribuições das v.a. X + Y e XY. Calcular E(X + Y ) e E(XY ). X e Y são independentes? José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I April 9, / 60

9 Variáveis aleatórias contínuas Seja X uma variável aleatória e S X o seu suporte. Dizemos que X é uma variável aleatória contínua se S X for não-enumerável. Exemplos: S X = (0, 1) S X = (a, b) com a < b S X = (, ) = R S X = (0, ) José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I April 9, / 60

10 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS Uma variável aleatória X é contínua se existe uma função real f X : R R + tal que onde f X satisfaz F X (x) = f X (x) 0 para todo x R f X é continua em S X f X (x)dx = 1 x f X (t)dt A função f X é chamada de função densidade de probabilidade de X José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I April 9, / 60

11 Seja B R, então definimos P(X B) = B f (x)dx. Em particular P(X [a, b]) = P(a X b) = b a f (x)dx. José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I April 9, / 60

12 Exemplo: Seja X uma v.a. contínua com { 2x, se x (0, 1) f X (x) = 0, caso contrário Verifique se f satisfaz as propriedades de uma função densidade de probabilidades. Apresente o gráfico (x, f (x)). Qual o suporte de X? Seja B = (0, 1/2), calcule P(X B) e P(X B c ). José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I April 9, / 60

13 Exemplo: Seja X uma v.a. contínua com função densidade de probabilidades { c f X (x) = x, se x (1, exp(2)) 0, caso contrário Encontre a constante c. Apresente o gráfico (x, f (x)). Qual o suporte de X? Seja B = (0, 1/2), calcule P(X B) e P(X B c ). Calcule também P(X (1, 2])). José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I April 9, / 60

14 Esperança Seja X uma v.a. contínua com função de densidade f. A Esperança matemática de X é definida por E(X ) = xf (x)dx. Seja h uma função real, a Esperança matemática de h(x ) é definida por E(h(X )) = h(x)f (x)dx. A esperança matemática nos informa o valor central da densidade de valores possíveis de X. José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I April 9, / 60

15 Esperança - Propriedades Seja X uma v.a. contínua com função de densidade f. Se a R é uma constante, então E(a) = a; Se a R é uma constante, então E(aX ) = ae(x ); Se a, b R são constantes, então E(aX + b) = ae(x ) + b; Exemplo 4: Calcule a esperança dos exemplos 2 e 3. José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I April 9, / 60

16 Variância Seja X uma v.a. contínua com função de densidade f. A Variância de X é definida por Var(X ) = (x E(X )) 2 f (x)dx. Seja h uma função real, a Variância de h(x ) é definida por Var(h(X )) = (h(x) E(h(X )) 2 f (x)dx. A variância nos informa o grau de variabilidade da densidade de valores possíveis de X. É uma medida de quão dispersa está a densidade de pontos possíveis que X pode assumir. José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I April 9, / 60

17 Variância - Propriedades Seja X uma v.a. contínua com função de densidade f. Se a R é uma constante, então Var(a) = 0; Se a R é uma constante, então Var(aX ) = a 2 Var(X ); Se a, b R são constantes, então Var(aX + b) = a 2 E(X ). Var(X ) = E(X 2 ) (E(X )) 2. Exemplo 5: Calcule a Variância dos exemplos 2 e 3. José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I April 9, / 60

18 Exemplo 6: A distribuição exponential é uma variavel aleatória contínua bastante conhecida na estatística e tem função de densidade de probabilidade dada por: f (x) = λe λx, x 0. Sabe-se que para que f seja de fato uma fdp, ela deve satisfazer, dentre outras condições, a seguinte condição: A probabilidade de todo espaço amostral é 1. Demonstre essa propriedade. Uma fábrica produz baterias. Se o tempo de vida de uma bateria tem distribuição exponential com parâmetro 1/80. Calcular a vida media de uma bateria. Qual a probabilidade de que ela dure mais de 100 horas? José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I April 9, / 60

19 CORRELAÇÃO Seja (X, Y ) uma v.a. bidimensional. Definimos a correlação, ρ(x, Y ), entre X e Y como, ρ(x, Y ) = E(X E(X ))E(Y E(Y )) Var(X )Var(Y ). Propriedades: 1 ρ 1. E(XY ) E(X )E(Y ) ρ =. Var(X )Var(Y ) Se X e Y são independentes, então ρ = 0. Se ρ 2 = 1, então Y = AX + B, onde A e B são constantes (com probabilidade 1). Se X e Y são duas v.a. tal que Y = AX + B. Então ρ 2 = 1. Se A > 0, então ρ + 1. Se A < 0, então ρ = 1. José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I April 9, / 60

20 Principais variáveis aleatórias discretas Variável Uniforme Discreta Variável de Bernoulli Variável Binomial Variável geométrica Variável Pascal Variável hipergeométrica Variável de Poisson José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I April 9, / 60

21 Variável Uniforme Discreta A variável aleatória X tem distribuição uniforme quando P(X = k) = 1 S X para todo k S X com S X < (numero de elementos de S X é finito). Exemplo: seja X uma v.a. discreta com S X = {0, 1, 2} e P(X = 0) = P(X = 1) = P(X = 2) = 1 3. Calcule a esperança, variância e função distribuição acumulada. José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I April 9, / 60

22 Variável de Bernoulli Suponha que um experimento cujo resultado pode ser classificado como sucesso ou fracasso é executado (experimento de Bernoulli). Seja X = 1 se o resultado for sucesso e X = 0 se for fracasso. Dizemos que X é uma variável aleatória de Bernoulli e sua função de probabilidade é definida por P(X = 1) = p, P(X = 0) = 1 p em que p [0, 1]. Exemplo: Seja X Ber(p). Calcule a esperança, variância e função distribuição acumulada. Faça os gráficos da distribuição de X e da f.d.a. F X. José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I April 9, / 60

23 Variável Binomial Suponha que n experimentos independentes de Bernoulli são executados (probabilidade de sucesso igual a p). Seja X o número de sucessos que ocorrem nos n experimentos, então X é dita ser uma variável aleatória binomial com parâmetros n e p. Pode-se mostrar que sua função de probabilidade é dada por ( ) n P(X = k) = p k (1 p) n k k para k = 0, 1, 2,..., n Exemplo: Seja X Ber(p). Calcule a esperança, variância e função distribuição acumulada. Faça os gráficos da distribuição de X e da f.d.a. F X. José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I April 9, / 60

24 Variável de Bernoulli e Binomial Exemplo: Um pacote de informações é enviado pelo transmissor ao receptor através de uma conexão, sendo p = 0.95 a probabilidade de que o pacote chegue corretamente ao receptor. Seja X a variável que representa o transmissor enviar corretamente um pacote. Calcule o valor esperado e a variância de X. Suponha que 20 pacotes de informação são enviados pelo transmissor ao receptor através de uma conexão. Cada pacote tem resultado independente de outro. Defina a variável aleatória adequada e calcule a probabilidade de no mínimo 18 pacotes cheguem corretamente ao receptor. José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I April 9, / 60

25 Variável de Bernoulli e Binomial Exemplo: Suponha que um aluno pretende fazer um teste de múltipla escolha com 10 questões e cinco alternativas por questão respondendo cada uma das questões de forma aleatória. Qual é probabilidade dele acertar no máximo 3 questões? José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I April 9, / 60

26 Variável de Bernoulli e Binomial Exemplo: A probabilidade de uma caça bem sucedida de uma aranha é p = 0.3. Em um dia especifico a aranha teve 7 caças. (a) Qual é a probabilidade que ela conseguiu pelo menos duas refeições? (b) Qual é a probabilidade que ela conseguiu menos que 4 efeições? José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I April 9, / 60

27 Variável Aleatória de Poisson Quando estamos interessados no número de eventos de um certo tipo que ocorrem num intervalo de tempo (ou superfície ou volume) utilizamos a distribuição de Poisson. Dizemos que X tem distribuição de Poisson com parâmetro λ, quando para k = 0, 1, 2,... P(X = k) = e λ λ k O evento X = k significa que o evento de interesse ocorreu k vezes no intervalo de tempo (ou superfície ou volume) especificado. O parâmetro λ e a taxa média de ocorrência do evento no intervalo de tempo (ou superfície ou volume) especificado. Assume-se que a probabilidade de ocorrer o evento de interesse mais de uma vez num intervalo muito pequeno é desprezível. k! José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I April 9, / 60

28 Exemplo: O numero médio de pessoas que chegam a um pronto socorro em 10 minutos é 2. (a) Calcular a probabilidade que nos próximos 10 minutos não chegue ninguém. (b) Calcular a probabilidade que nos próximos 10 minutos cheguem pelo menos 4 pessoas. (c) Calcular a probabilidade que nos próximos 10 minutos cheguem mais que 1, mas menos que 8 pessoas. José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I April 9, / 60

29 Exemplo: Suponha que a probabilidade de que um celular producido pela empresa ASUS seja defeituoso é de Se quince itens produzidos por essa empresa são selecionados ao acaso, qual é a probabilidade de que não mais do que dois defeituosos sejam encontrados? Use a distribuição binomial e a distribuição de Poisson e compare os resultados. Exemplo: Se X é uma variável aleatória de Poisson com parâmetro λ, calcular E(X ) e Var(X ) Exemplo: Suponha que o número de clientes que chegam em um banco segue uma distribuição de Poisson. Se a probabilidade de chegarem 3 clientes for o triplo da de chegarem 4 clientes em um dado período de 10 minutos. Determine: (a) Qual o nu?mero esperado de clientes que chegam em um período de 1 hora neste banco? (b) Qual o número mais provável de clientes que chegam em um período de 1 hora neste banco? José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I April 9, / 60

30 Variável Hipergeométrica Considere uma população de N objetos, r dos quais têm atributo A e N r têm atributo B. Um grupo de n elementos é escolhido ao acaso, sem reposição. Estamos interesados em calcular a probabilidade de que esse grupo contenha k elementos com atributo A ( r N r ) k)( P(X = k) = n k ( N n) para k = 0, 1, 2,..., min{r, n}. José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I April 9, / 60

31 Exemplo: O Departamento de Estatística da UFPE é formado por 35 professores, sendo 21 homens e 14 mulheres. Uma comissão de 3 professores será constituida para uma banca de um TCC, sorteando ao acaso e sem reposição três membros do departamento. Calcular a probabilidade que a comissão tenha pelo menos 1 mulher. Exemplo: Por engano 3 peças defeituosas foram misturadas com boas formando um lote com 12 peças no total. Escolhendo ao acaso 4 dessas peças, determine a probabilidade de encontrar: (a) Pelo menos 2 defeituosas. (b) No máximo 1 defeituosa. (c) No mínimo 1 boa. José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I April 9, / 60

32 Variável Hipergeométrica: Aproximação com a binomial Pode-se demonstrar que se X é uma v.a. hipergeométrica, então E(X ) = np, Var(X ) = np(1 p) N n N 1 onde p = r/n é a probabilidade de obter um objeto com atributo A. Se N for grande, quanto comparado com n, isto é, N n N 1 1, então E(X ) = np, Var(X ) np(1 p). Assim para N grande, quanto comparado com n, podemos aproximar P(X = k) b(k, n, p) José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I April 9, / 60

33 Variável de Poisson: Aproximação com a binomial Suponhamos que chamadas telefônicas cheguem em uma grande central, e que em um período particular de três horas (180 minutos), um total de 270 chamadas tenham sido recebidas, ou seja, 1,5 chamadas por minuto. Suponhamos que queiramos calcular a probabilidade de serem recebidas k chamadas durante os próximos três minutos. Ao considerar o fenômeno da chegada de chamadas, poderemos chegar á conclusão de que, a qualquer instante, uma chamada telefônica é tão provável de ocorrer como em qualquer outro instante. Vamos fazer uma série de aproximações para este cálculo. José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I April 9, / 60

34 Variável de Poisson: Aproximação com a binomial Para começar, pode-se dividir o intervalo de 3 minutos em nove intervalos de 20 segundos cada um. Poderemos então tratar cada um desses nove intervalos como um ensaio de Bernoulli, durante o qual observaremos uma chamada (sucesso) ou nenhuma chamada (falha), com probabilidade de sucesso igual a p = = 0.5. Desse modo, poderemos ser tentados a afirmar que a probabilidade de 2 chamadas é igual a ( ) 9 2 (0.5) 9 = Porém, este cálculo ignora a possibilidade de que mais de uma chamada possa ocorrer em um único intervalo. Então, queremos aumentar o número n de subintervalos de tempo de modo que cada subintervalo corresponde a 180 n segundos e então a probabilidade de ocorrência de uma chamada em um subintervalo é igual a p = 4.5 n. Desta maneira temos que np = 4, 5 permanece constante ao crescermos o número de subintervalos. José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I April 9, / 60

35 Variável de Poisson: Aproximação com a binomial Utilizando novamente o modelo binomial, temos que ( ) n P(X = k) = p k (1 p) n k k ( ) n(n 1) (n k + 1) 4.5 k ( = [ ( k! n = 4.5k (1) 1 1 ) ( 1 2 ) k! n n ( ) n ( ) k n n n n ( 1 k 1 n ) n k )] José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I April 9, / 60

36 Variável de Poisson: Aproximação com a binomial Theorem Se lim n np n = α > 0, então lim n ( n )p kn(1 p n ) n k α αk = e k k!. José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I April 9, / 60

37 Variável de Poisson: Aproximação com a binomial Exemplo: Ao formar números binários com n dígitos, a probabilidade de que um dígito incorreto possa aparecer é 0,002. Se os erros forem independentes, qual é a probabilidade de encontrar k dígitos incorretos em um número binário de 25 dígitos? Se um computador forma 10 6 desses números de 25 dígitos por segundo, qual é a probabilidade de que pelo menos um número incorreto seja formado durante qualquer período de 1 segundo? José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I April 9, / 60

38 Principais variáveis aleatórias continuas Variável Uniforme Variável Normal Variável t-student José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I April 9, / 60

39 Distribuição Uniforme Dizemos que a variável aleatória X tem Distribuição Uniforme com parâmetros a e b, < a < b < se sua função densidade de probabilidade é dada por 1, se a x b f (x) = b a 0, caso contrário Notação: X U(a, b). José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I April 9, / 60

40 Seja X U(a, b). Para qualquer intervalo [c, d] onde a c < d b temos que P(c X d) = d c f (x)dx = d c b a. Função de distribuição acumulada 0, x < a x a F (x) = P(X x) =, a x < b b a 1, x b E(X ) = a + b 2, Var(X ) = (b a)2 12 José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I April 9, / 60

41 Exemplo: A espessura de chapas fabricadas numa indústria está uniformemente distribuída entre 0, 84 cm e 1, 04 cm. 1 De um total de 200 chapas inspecionadas, quantas excedem 1,00 cm? 2 Qual deve ser a espessura de modo que 40% das chapas não excedam essa espessura. Exemplo: A partir das 7 da manhã, um ônibus passa por um ponto específico em intervalos de 30 minutos e fica parado no ponto por 6 minutos. Suponha que um passageiro chegou neste ponto em uma hora que está uniformemente distribuída entre 7 : 00 e 8 : 00. Encontre a probabilidade do passageiro: 1 Não esperar no ponto pelo ônibus. 2 Esperar menos do que 6 minutos. 3 Esperar mais do que 6 minutos. José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I April 9, / 60

42 Distribuição Normal ou Gaussiana Exemplo: Observamos o peso, em kg, de 1500 pessoas adultas selecionadas, ao acaso, em uma população. O histograma por densidade é o seguinte: José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I April 9, / 60

43 A análise do histograma indica que: a distribuição dos valores é aproximadamente simétrica em torno de 70 kg; a maioria dos valores (88%) encontra-se no intervalo (55, 85); existe uma pequena proporção de valores abaixo de 48 kg (1, 2%) e acima de 92 kg (1%). José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I April 9, / 60

44 Vamos a definir a variável aleatória X : peso, em kg, de uma pessoa adulta escolhida, ao acaso, da população. Como se distribuem os valores da variável aleatória X, isto e, qual é a distribuição de probabilidades de X? A curva contínua da figura denomina-se curva Normal (ou curva de Gauss). José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I April 9, / 60

45 A distribuição Normal é uma das mais importantes distribuições contínuas de probabilidade pois: Muitos fenômenos aleatórios comportam-se próximos a essa distribuição: 1 altura 2 pressão sanguínea 3 peso, etc Pode ser utilizada para calcular, de forma aproximada, probabilidades para outras distribuições, como por exemplo, para a distribuição binomial. O modelo normal de probabilidade foi desenvolvido por Carl Friedrich Gauss. José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I April 9, / 60

46 A v. a. X tem distribuição Normal com parâmetros µ e σ 2 se sua função densidade de probabilidade é dada por: { f (x) = 1 σ π exp 1 ( ) } x µ 2, < x <. 2 σ Notação: X N(µ, σ 2 ). Simétrica em torno de µ, ou seja f (x + µ) = f (x µ) para todo x R. José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I April 9, / 60

47 Propriedades da distribuição Normal X N(µ, σ 2 ) 1 E(X ) = µ (média ou valor esperado); 2 Var(X ) = σ 2 (e portanto DP = σ); 3 x = µ é o ponto de máximo de f (x); 4 x µ e x + µ são pontos de inflexão de f (x); 5 a curva normal é simétrica em torno da média µ. José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I April 9, / 60

48 A distribuição Normal depende dos parâmetros µ e σ 2 Curvas Normais com mesma variância σ 2 mas médias diferentes µ 2 > µ 1. José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I April 9, / 60

49 Influência de σ 2 na curva Normal Curvas Normais com mesma média µ mas com variâncias diferentes σ 2 > σ 1. José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I April 9, / 60

50 Padronização de uma variável com distribuição Normal Seja X N(µ, σ 2 ). Uma propriedade importante é que a variável Z = X µ N(0, 1). σ Dizemos que Z tem distribuição normal padrão. Note que E(Z) = 0 e Var(Z) = 1. Ou seja, Z é simétrica em torno de zero. Definimos P(Z z) = A(z) José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I April 9, / 60

51 Cálculo de probabilidades Seja X N(µ, σ 2 ) P(a < X < b) = P(a X b) José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I April 9, / 60

52 Cálculo de probabilidades José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I April 9, / 60

53 A v.a. Z N(0, 1) denomina-se normal padrão ou reduzida. Portanto ( a µ P (a < X < b) = P < Z < b µ ) σ σ ( ) ( ) b µ a µ = A A σ σ José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I April 9, / 60

54 José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I April 9, / 60

55 Exemplo: Se Z N(0, 1). Calcular 1 P(Z 0.32) 2 P(0 Z 1.71) 3 P( 1.32 Z 0) 4 P(1.32 Z 1.79) 5 P( 2.3 Z 1.49) 6 P(Z 1.5) 7 P(Z 1.3) 8 P( 1 Z 2) Exemplo: Como encontrar o valor z da distribuição N(0; 1) tal que: (a) P(Z z) = (b) P(0 < Z z) = (c) P(Z z) = 0.3 (d) P( z < Z z) = 0.8 José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I April 9, / 60

56 Exemplo: O tempo gasto no exame vestibular de uma universidade tem distribuição Normal, com média 120 min e desvio padrão 15 min. 1 Sorteando-se um aluno ao acaso, qual é a probabilidade dele terminar o exame antes de 100 minutos? 2 Qual deve ser o tempo de prova, de modo a permitir que 95% dos vestibulandos terminem no prazo estipulado? 3 Qual é o intervalo de tempo, simétrico em torno da média (intervalo central), tal que 80% dos estudantes gastam para completar o exame? José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I April 9, / 60

57 Distribuição t-student A distribuição t-student é uma das distribuições mais utilizadas na estatśtica,com aplicações que vão desde a modelagem estatśtica at testes de hipóteses. Dizemos que a variável aleatória X tem Distribuição distribuição t-student com n graus de liberdade se sua função densidade de probabilidade é dada por f (x) = 1 Γ ( ) n+1 2 nπ Γ ( ) n (1 + x 2 ) ( n+1 2 ), n = 1, 2,..., x R. n 2 Notação: X t n José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I April 9, / 60

59 Propiedades 1 Se X t n, então E(X ) = 0, n > 1 Var(X ) = n n 2, n > 2 2 A funçõ densidade da distribuição t-student é simétrica em torno do zero, i.e., f (x) = f ( x) para todo x R. 3 A funçõ densidade da distribuição t-student tem a mesma forma da distribuição Normal, mas reflete a maior variabilidade (com curvas mais alargadas) que é de se esperar em amostras pequenas. 4 Quanto maior o grau de liberdade, mais a distribuição t-student se aproxima da distribuição Normal. José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I April 9, / 60