Modelagem e Análise de Sistemas de Computação Aula 20

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Sara Padilha Festas
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1 Modelagem e Análise de Sistemas de Computação Aula 20 Aula passada Lei dos grandes números Calculando integrais Gerando outras distribuições Método da transformada inversa Aula de hoje Simulando uma fila Lista de eventos Estimador Teorema do Limite Central

2 Simulação O que é uma simulação? Realização da evolução de um sistema estocástico no tempo caminho amostral Sistema é caracterizado pelo seu estado evolução do estado Estado dependente das medidas de interesse objetivo da simulação!

3 Fila - Estado Qual o estado do sistema? número de elementos na fila Estado evolui (muda) em instantes discretos no tempo Em que instantes? instante de chegada e instante de saída Eventos ações que modificam o estado do sistema Simulação de Eventos Discreto

4 Fila - Eventos Dois eventos: chegada e saída O que ocorre em cada um destes eventos? Chegada anotar o instante de chegada do elemento incrementar a fila Quando atualizar o tempo? Saída Quando gerar a próxima chegada? calcular tempo de espera do elemento saindo (W i ) decrementar a fila

5 Simulação Variáveis Variáveis t: representa o instante de tempo que o simulador se encontra variáveis de estado: representam o estado do sistema no tempo t variáveis de interesse: representam valores que permitem o cálculo de medidas de interesse

6 Eventos Simulação Eventos ações que modificam o estado do sistema Evento ocorre variáveis são atualizadas (tempo, estado do sistema, medidas de interesse) Permite seguir o modelo no tempo eventos t variáveis são atualizadas (tempo, estado, etc)

7 Lista de Eventos Lista contendo todos os eventos que irão ocorrer no futuro tipo de evento, instante de ocorrência do evento ordenada por ordem de ocorrência Lista de Eventos E 1 E 2 E 1 E 1 T 1 T 2 T 3 T 4 Simulador processa próximo evento da lista remove evento da lista Quando adicionar eventos na lista? ao processar um evento!

8 Simulador Genérico 1.Inicializar variáveis 2.Inserir um ou mais eventos na lista de eventos 3.Enquanto não chegar ao fim da simulação 4.Remover próximo evento da lista de eventos 5.Processar evento Definir estado inicial Bootstrap: dá início a simulação Condição para terminar simulação (ex. t > t max ) Diminui lista de eventos Atualiza variáveis, gera eventos, gera outras informações

9 Simulação da Fila Estado: N Eventos: E C, E S (chegada e saída) Tempo: t Condição de parada: t > t max Estado inicial: fila vazia (N = 0) Bootstrap: chegada no instante 0 (E C, 0) Lista de Eventos E C 0

10 Simulação da Fila Calcular tempo médio de espera W i : tempo de espera do i-ésimo elemento Outras variáveis N C : número total de chegadas até o momento N S : número total de saídas até o momento C(i) : instante de chegada do i-ésimo elemento S(i) : instante de saída do i-ésimo elemento W i = S(i) C(i)

11 Inicialização 1.t = 0 2.N = 0 3.N C = 0 4.N S = 0 5.Adicionar evento (E C, 0)

12 Evento de Chegada 1.t = t E // t E = tempo de ocorrência do evento 2.N = N N C = N C C(N C ) = t 5.Gerar x ~ F X (x) // tempo até próxima chegada 6.Adicionar evento (E C, t+x) 7.Se (N = 1) // fila estava vazia 8. Gerar y ~ F S (y) // tempo de serviço 9. Adicionar evento (E S, t+y)

13 Evento de Saída 1.t = t E 2.N = N 1 3.N S = N S S(N S ) = t 5.Se (N > 0) // fila não está vazia 6. Gerar y ~ F S (y) // tempo de serviço 7. Adicionar evento (E S, t+y)

14 Medida de Interesse S(i) C(i) : tempo de espera do i-ésimo elemento a chegar (sair) na fila N S W = 1 N S i=1 S i C i Uma estimativa do tempo médio de espera na fila

15 Outras Medidas de Interesse Utilização (fração de tempo servindo) Número médio no sistema Tamanho médio da fila Fração de tempo que a fila possui mais do que k elementos Atenção (duas quantias diferentes) fila = elementos aguardando serviço sistema = fila + servindo As vezes confuso!

16 Resultado da Simulação Medida de interesse X estimar E[X] via simulação resutaldo da simulação fornece uma amostra de X O que acontece se executarmos o simulador novamente? Outro valor de X não o mesmo se usarmos outra semente independente do primeiro valor X i : resultado da i-ésima execução Como estimar E[X]?

17 Estimando E[X] = Estimando X i : resultado da i-ésima execução X 1,..., X n : sequência de v.a. iid n X n = 1 n i=1 X i Média amostral Quanto vale E [ X ] n? E [ X n ]=

18 X n Qualidade do Estimador : estimador para Sem tendência (unbiased) pois E [ X n ]= Qualidade do estimador considerar o MSE (mean square error) mesma definição de variância E [ X n 2 ]=Var X n Bom estimador para = 2 n variância de X diminui com n

19 Porque X é bom estimador? v.a. assumem valores próximos a sua média prob. do valor assumido pela v.a. estar k desvios padrões da média é baixo desvio padrão diminui com n 2 n n n 2 n Desigualdade de Chebyshev P [ X n k n ] 1 k 2

20 Teorema do Limite Central Distribuição da soma de v.a. iid converge para distribuição Normal Resultado fundamental em probabilidade Seja X 1, X 2,..., X n uma sequencia de v.a. iid com valor esperado Seja S n = i=1 Sabemos: Então n X i e variância a soma da sequência E [ S n ]=n Var S n =n 2 2 Normal com mesma média e variância P [S n z] P [ N n, n 2 z] quando n

21 Normalização Seja X 1, X 2,..., X n uma sequencia de v.a. iid com valor esperado e variância 2 Transformar a soma S n numa v.a. com valor esperado 0 e variância 1 Seja Sabemos: Z n = S n n n a nova sequência E [ Z n ]=0 Var Z n =1 Então Normal padrão N(0, 1) P[ Z n z] z quando n

22 Teorema do Limite Central Seja X 1, X 2,..., X n uma sequencia de v.a. iid com valor esperado Z n = S n n n Resultado lim n = X n / n e variância dividindo numerador e denominador por n onde X n = 1 n S n 2 função de distribuição cumulativa da Normal padrão P[ X n ] / n z = z convergência em probabilidade média amostral

23 Comparação com Grandes Números Qual é a diferença? Lei dos grandes números média converge para seu valor esperado lim n P [ X n ]=1 Teorema do Limite Central distribuição converge para Normal P[ X n / n z ] = z lim n

24 Comparação com Chebyshev Qual é a diferença? Chebyshev Teorema do Limite Central lim n resultado é uma desigualdade (bound) P [ X n k n ] 1 1 k 2 resultado converge para Normal P[ X n k = k n]

25 Teorema do Limite Central na Prática Na prática n é finito TLC vale no limite Com n grande, mas finito resultado é aproximado usaremos esta aproximação P [ X n / n z ] z quando n é suficientemente grande

26 Seja Exemplo Supor n simulações (n grande) Qual é a probabilidade da diferença entre a média amostral e seu valor esperado ser menor que x? x=1.96 / n Chebyshev P [ X n k n ] 1 1 k 2 = =0.74 Teorema do Limite Central P [ X n k n ]~ k = 1.96 =0.95

27 Desvio Padrão Amostral Estimativa de Como você estimaria?

28 Desvio Padrão Amostral Seja X 1, X 2,..., X n uma sequencia de v.a. iid com valor esperado e variância Seja S 2 = 1 n n 1 i=1 X i X n 2 Então E [ S 2 ]= 2 S 2 é um estimador sem bias (unbiased) da variância de X i

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