Máximos e mínimos (continuação)

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CÁLCULO II - PROJETO NEWTON AULA 3 Assunto: Máximos e mínimos Palavras-chaves: máximos e mínimos, valores máximos e valores mínimos Máximos e mínimos (continuação) Sejam f uma função de classe C em um aberto A e (x 0, y 0 ) um ponto crítico de f. Nosso objetivo agora é estabelecer condições sucientes sobre as derivadas parciais de ordem de f para que (x 0, y 0 ) seja ou um ponto de mínimo local de f, ou um ponto de máximo local de f ou um ponto de sela de f. Já sabemos que (x 0, y 0 ) é um ponto crítico de f, assim o plano tangente ao gráco de f em (x 0, y 0, f(x 0, y 0 )) é paralelo ao plano xy. Para todo vetor v = (h, k) (0, 0) consideremos a função g v (t) = (x 0 + ht, y 0 kt) Observemos que g v (0) = (x 0, y 0 ) e observemostambém que o gráco de g v intersecção do gráco de f com o plano perpendicular ao plano xy e que contem a reta pode ser visto como sendo a = (x 0, y 0 ) + t(h, k) Como (x 0, y 0 ) A e A é aberto, a função g v está denida em um intervalo aberto I com 0 I. Além disso, g v possui derivadas de até ordem contínuas em I, pois, pela regra da cadeia, temos: g v (t) = f x (x 0 + ht, y 0 + kt)h + f y (x 0 + ht, y 0 + kt)k e

2 [ g ] [ f v (t) = x (x 0 + ht, y 0 + kt)h + f ] (x f 0 + ht, y 0 + kt)k h+ x y (x 0 + ht, y 0 + kt)h + f y (x 0 + ht, y 0 + kt)k k Agora, usando o teorema de Schwarz, obtemos: (t) = f x (x 0 + ht, y 0 + kt)h + f (x 0 + ht, y 0 + kt)hk + f y (x 0 + ht, y 0 + kt)k Como as funções f x, f e f y são contínuas e a curva α(t) = (x 0 + ht, y 0 + kt) é contínua, temos que g v (t) é contínua em I. Uma condição suciente para que (x 0, y 0 ) seja um ponto de mínimo local de f é que t = 0 seja um ponto de mínimo local de, para todo vetor v 0. E uma condição suciente para que isso aconteça é que g v (0) = 0 e (0) > 0 ( v 0 ) Como (x 0, y 0 ) é ponto crítico de f e temos que g v (0) = 0.Portanto, apenas a condição g v (0) = f x (x 0, y 0 )h + f y (x 0, y 0 )k (0) > 0 ( v 0 ) é suciente para que o ponto crítico (x 0, y 0 ) seja um ponto de mínimo local de f. Gracamente isso também pode ser interpretado como segue. Como g v é contínua, pelo teorema da conservação do sinal, existe um intervalo aberto J para o qual g v (t) > 0, para todo t J, logo a concavidade de é para cima, para todo vetor não nulo v e, assim, o gráco de f está acima do plano tangente a esse gráco no ponto (x 0, y 0, f(x 0, y 0 )). Portanto, (x 0, y 0 ) é ponto de mínimo de f. De modo análogo, uma condição suciente para (x 0, y 0 ) ser um ponto de máximo local de f é que (0) < 0 ( v 0 ) Uma condição suciente para (x 0, y 0 ) ser um ponto de sela de f é que existam vetores não nulos v 1 e v tais que g v 1 < 0 e g v > 0,

3 pois assim g v 1 terá concavidade para baixo e g v terá concavidade para cima, de modo que o gráco de f, em toda vizinhança do ponto (x 0, y 0, f(x 0, y 0 )) terá pontos acima e pontos abaixo do plano tangente a esse gráco e, portanto, (x 0, y 0 ) não será nem ponto de máximo local e nem de mínimo local de f. Temos que Para facilitar a escrita, escrevamos (0) = f x (x 0, y 0 )h + f (x 0, y 0 )hk + f y (x 0, y 0 )k a = f x (x 0, y 0 ), b = f (x 0, y 0 ) e c = f y (x 0, y 0 ) Assim, (0) = ah + bhk + ck Supondo que a 0, temos: g v (0) = a [h + h ba k + ca ] k [ ( ) ( ) ( ) b b b = a h + h a k + a k a k + c [ ( = a h + b ) ] a k + c a k b a k [ ( = a h + b ) ( ) ] c a k + a b a k [ ( = a h + b ) ] a k ac b + a k a k ] Observemos que o número ac b pode ser escrito na forma de um determinante de uma matriz ac b = a b b c Vamos usar a notação H = a b b c. Portanto, (0) = a [ ( h + b ) ] a k + H ( a k g v (0) = a h + b ) a k + H a k 3

4 Portanto, se H > 0 e a > 0, então (0) > 0. E se H > 0 e a < 0, então (0) < 0. Temos então que H > 0 e a > 0 (x 0, y 0 ) é ponto de mínimo local de f H > 0 e a < 0 (x 0, y 0 ) é ponto de máximo local de f. Suponhamos agora que H < 0. Consideremos os vetores v 1 = (1, 0) e v = ( b, a). Temos 1 (0) = a e (0) = Ha Logo 1 (0) e (0) tem sinais contrários e, portanto, (x 0, y 0 ) é ponto de sela de f. Assim, H < 0 (x 0, y 0 ) é ponto de sela de f Lembremos que a = f x (x 0, y 0 ) e H = f x f f f y A função H denida em A por H = f x f f f y é chamada de hessiano de f. Temos então o seguinte teorema que fornece condições sucientes para que (x 0, y 0 ) seja extremante local ou ponto de sela de f. Teorema 1 Sejam f uma função de classe C em um aberto A e (x 0, y 0 ) A um ponto crítico de f. (a) Se H(x 0, y 0 ) > 0 e f (b) Se H(x 0, y 0 ) > 0 e f x (x 0, y 0 ) > 0, então (x 0, y 0 ) é um ponto de mínimo local de f x (x 0, y 0 ) < 0, então (x 0, y 0 ) é um ponto de máximo local de f (c) Se H(x 0, y 0 ) < 0 então (x 0, y 0 ) é um ponto de sela de f. Exemplo 1 Encontre os pontos críticos da função f = ( x 3 + 3x)(y 1) e classique-os como máximo local, mínimo local ou ponto de sela.

5 Resolução: Temos que: f x = ( 3x + 3)(y 1) = 3(x 1)(y 1) f y = ( x3 + 3x)y = xy(x 3) De { { 3(x 1)(y 1) = 0 xy(x 3) = 0 (x 1)(y 1) = 0 xy(x 3) = 0, teremos que (x 1)(y 1) = 0 x = 1, y, y = 1, y Assim, quando: x = 1 y( ) = 0 y = 0 y = 0 (1) x y( ) = 0 y = 0 y = 0 () y = 1 x(x 3) = 0 x = 0, x = 3, x = 3 (3) y x(x 3) = 0 x = 0, x = 3, x = 3 () De (1) concluímos que ( 1, 0) é ponto crítico de f. De (), (1, 0) é ponto crítico de f. De (3), (0, 1), ( 3, 1) e ( 3, 1) são pontos críticos de f e de (), (0, 1), ( 3, 1) e ( 3, 1) são pontos críticos de f. Portanto, os pontos críticos de f são: ( 1, 0), (1, 0), (0, 1), ( 3, 1), ( 3, 1), (0, 1), ( 3, 1) e ( 3, 1) O hessiano será da forma: f x = 3.x(y 1) = x(y 1) f = 3(x 1)y = y(x 1) f y = x(x 3) 5

6 H = f x f f f y = x(y 1) y(x 1) y(x 1) x(x 3) x (x 3)(y 1) 3y (x 1) Para o ponto ( 1, 0) teremos: Portanto, ( 1, 0) é ponto de máximo local de f. H( 1, 0).1.( )( 1) = > 0 f ( 1, 0) =.( 1)( 1) = < 0 x Para o ponto (1, 0) teremos: Portanto, (1, 0) é ponto de mínimo local de f. H(1, 0).1.( )( 1) = > 0 f (1, 0) =.1.( 1) = > 0 x Para o ponto (0, 1) teremos: Portanto, (0, 1) é ponto de sela de f. H(0, 1) = = 3 < 0 De modo análogo, temos que ( 3, 1), ( 3, 1), (0, 1), ( 3, 1) e ( 3, 1) são pontos de sela de f. Observando o gráco da função f = ( x 3 + 3x)(y 1) constatamos que realmente f possui um ponto de máximo local, um ponto de mínimo local e seis pontos de sela. Exemplo Determine os extremantes locais e os pontos de sela da função Resolução: f = x 3 + xy + y 5x Temos que:

7 f x = 3x + y 5 f = x + y y Para encontrar os pontos críticos de f devemos resolver o sistema { 3x + y 5 = 0 x + y = 0 Segue da segunda equação que y = x Substituindo essa igualdade na primeira equação, obtemos: 3x x 5 = 0 Portanto, Quando x = ±.3.( 5).3 = ± = ± 8 = ± + 0 = = 5 3 = = 1 Logo, x = 5 3 y = 5 3 x = 1 y ( ) 5 3, 5 e ( 1, 1) são pontos críticos de f. 3 Determinemos o hessiano de f 7

8 H = f = x x f = f = y f x f f f y = x x Analisaremos o ponto Concluímos que ( ) 5 3, 5 3 f x Quanto ao ponto ( 1, 1), temos ( 5 H ) 3, 5 3 ( ) 5 3, = 0 > 0 3 = > 0 ( ) 5 3, 5 é um ponto de mínim o local de f. 3 Portanto, ( 1, 1) é um ponto de sela de f. H( 1, 1).( 1) = 1 = 1 < 0 Observando o gráco da função f = x 3 + xy + y 5x nas duas posições mostradas abaixo, ca claro que f tem um ponto de mínimo local e um ponto de sela. Método dos Multiplicadores de Lagrange Estamos interessados agora em determinar os extremantes locais de uma função diferenciável f em um conjunto A da forma A = { D f ; g = 0}, em que g é uma função de classe C 1 com g 0 em A. Pelo teorema da funções implícitas os pontos de A constituem uma curva. Em termos geométricos temos a situação a seguir na qual estão desenhadas a curva g = 0 e curvas de nível de f correspondentes aos níveis c 1, c, c 3, c com c 1 < c < c 3 < c. Se (x 0, y 0 ) é extremante local de f em A, então a reta tangente à curva de nível de f nesse ponto coincide com a reta tangente à curva g = 0 nesse ponto. Logo os vetores gradientes f(x 0, y 0 ) e g(x 0, y 0 ) são paralelos. Assim, (x 0, y 0 ) satisfazem o sistema 8

9 { De fato, a esse respeito, temos o seguinte teorema g = λ f g = 0 Teorema Seja f diferenciável em um aberto B e seja A = { B; g = 0} em que g é de classe C 1 e g (0, 0) em A. Se (x 0, y 0 ) é um extremante local de f em A, então existe λ R tal que g(x 0, y 0 ) = λ f(x 0, y 0 ) Exemplo 3 Determine os extremante locais de f = x + y sujeita a restrição x + y. Resolução: Neste caso, queremos determinar os pontos de máximo e os de mínimos locais de f no conjunto A = { R ; x + }. y Escrevamos g = x + y. Temos que g = (x, y ) Portanto g (0, 0), para todo em A. Devemos resolver o sistema Portanto g = λ f x + y (x, y ) = λ x + y x = λx y = λy x + y λx x = 0 λy y = 0 x + y x(λ 1) = 0 y(λ 1) = 0 x + y Segue da primeira equação que x = 0 ou λ. Fazendo x = 0 na terceira equação obtemos y ±. Assim, (0, ) e (0, ) são candidatos a extremantes. Fazendo λ na segunda equação, obtemos y = 0 e, segue daí que x ± 1. Portanto, (1, 0) e ( 1, 0) são também candidatos a extremantes de f. Como f(0, ) = f(0, ) = e f(1, 0) = f( 1, 0), temos que (0, ) e (0, ) são pontos de máximo local de f e (1, 0) e ( 1, 0) são pontos de mínimo local de f. As guras a seguir descrevem a situação estudada neste exemplo em termos do gráco da f e de suas curvas de nível. 9