Noções de matemática. Maurício Yoshida Izumi

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1 Noções de matemática Maurício Yosida Izumi 29 de agosto de 2015

2 Sumário 1 Notação e funções Números reais Intervalos Funções Alguns tipos de funções Operações com funções Logaritmo e exponencial Somatório e produtório Derivadas Limite e continuidade Derivadas Regras de derivação Aplicações da derivada e derivadas parciais Máximos e mínimos Derivadas parciais Derivadas parciais de ordem superior Hessiano e multiplicadores de Lagrange Máximos e mínimos sem restrições Máximos e mínimos com restrições

3 Capítulo 1 Notação e funções 1.1 Números reais Números naturais (N): São todos os números inteiros positivos, incluindo o zero. Isto é: N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,...}. Números inteiros (Z): São todos os números que pertencem ao conjunto dos Naturais mais os seus respectivos opostos (negativos). Isto é: Z = {...,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...}. Números racionais (Q): São todos os números da forma a b, sendo a e b inteiros e b 0. Isto é: Q = { a a, b Z, b 0} b Os números naturais (N) são um subconjunto dos números inteiros (Z) que, por sua vez, são um subconjunto dos números racionais (Q). Assim, todo número natural também é um número inteiro; e todo número inteiro também é um número racional. Números irracionais: São os números que não podem ser escritos por meio de uma fração de dois inteiros. Por exemplo, 2 = 1, é um número decimal infinito não periódico. Outro exemplo é a constante π = Números reais (R): É formado pelo conjunto dos números racionais e irracionais. Em outras palavras, R é o conjunto de todos os números reais entre e (reta real). R n é um espaço com n dimensões. Exemplos: R 2 é um plano de duas dimensões; R 3 é um espaço tridimensional. 2

4 1.2 Intervalos Sejam a e b dois números reais, com a < b. Um intervalo em R é um subconjunto de R que tem uma das seguintes formas: [a, b] = {x R a x b}, x é um número real maior ou igual a a e menor ou igual a b. ]a, b[= {x R a < x < b}, x é um número real maior do que a e menor do que b. ]a, b] = {x R a < x b}, x é um número real maior do que a e menor ou igual a b. [a, b[= {x R a x < b}, x é um número real maior ou igual a a e menor do que b. ], a[= {x R x < a}, x é um número real menor do que a. ], a] = {x R x a}, x é um número real menor ou igual a a. [a, + [= {x R x a}, x é um número real maior ou igual a a. ]a, + [= {x R x > a}, x é um número real maior do que a. ], + [= R, x é um número real. Exemplo 1. Resolva a inequação 5x + 3 < 2x x + 3 < 2x + 7 5x < 2x + 4 3x < 4 x < 4 3 Assim, {x R x < 4 3 } é o conjunto das soluções da inequação. Exemplo 2. Expresse o conjunto {x R 2x 3 < x + 1} em notação de intervalo. 2x 3 < x + 1 x < 4 Assim, {x R 2x 3 < x + 1} =], 4[ 1.3 Funções Definição: Dados A e B R, uma função f de A em B é designada por f : A B e é uma regra que associa a cada elemento de x A um único elemento y B. Costumamos escrever y = f(x) e dizemos que y é o valor de f em x. O conjunto A cama-se domínio da função f; o conjuto B cama-se contra-domínio de f. A imagem da função f é o conjunto definido por Im f = {y R : x A e y = f(x)}. 3

5 Exemplo 1: Dada a função f(x) = x 2 e os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {1, 4, 9, 16, 25, 26, 27}, temos: x f(x) Domínio de f é representado por todos os elementos do conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5}. Contra-domínio de f é representado por todos os elementos do conjunto B = {1, 4, 9, 16, 25, 26, 27}. Imagem de f é representada pelos elementos do contra-domínio (B) que possuem correspondência com o domínio (A). Isto é: Im f = {1, 4, 9, 16, 25}. Quando o domínio da função não é explicitado convenciona-se o maior conjunto em que a regra é aplicável. Por exemplo, o domínio da função g(x) = x é D g = [0, + [. Definição: Seja f : A B uma função. O conjunto G f = {(x, f(x)) x A} ou G f = {(x, y) R 2 : x A e y = f(x)} denomina-se gráfico de f. Assim, o gráfico de f é um subconjunto de todos os pares ordenador(x,y) de números reais. Exemplo 2: Seja f(x) = x 3. Tem-se: a. D f = R. b. O valor que f assume em x é f(x) = x 3. Esta função associa a cada real x o número real f(x) = x 3. c. f( 1) = ( 1) 3 = 1. d. G f = {(x, y) y = x 3, x R}. Exemplo 3: Considere a função g dada por y = 1 x. Tem-se: a. D g = {x R x 0}. b. Esta função associa a cada x 0 o real g(x) = 1 x. x g(x)

6 c. g(x + ) = 1 x+ x. d. Gráfico de g Olando para x > 0: quando x aumenta, y = 1 x se aproxima de 0; quando x se aproxima de 0, y = 1 x se torna cada vez maior. Raciocínio semelante segue para x < 0. 1/x x 1.4 Alguns tipos de funções Função constante: Uma função y = f(x), x A, dada por f(x) = k, k constante, denominase função constante. Exemplo 1: f(x) = 2. f(x) x 5

7 a. D f = R. b. G f = {(x, f(x)) x R} = {(x, 2) x R}. 1, se x 0 Exemplo 2: f(x) = 1, se x < 0 a. D f = R. b. Gráfico de f f(x) x Função linear: Uma função f : R R dada por f(x) = ax, a constante, denomina-se função linear. Seu gráfico é a reta que passa pelos pontos (0, 0) e (1, a). Exemplo 3: f(x) = 2x. 2 * x x 6

8 Exemplo 4: f(x) = 2x. 2x, se x 0 Eliminando o módulo temos: f(x) = 2x, se x < 0 f(x) x Função afim: Uma função f : R R dada por y = ax + b, a e b constantes, denomina-se função afim. Seu gráfico é a reta que passa pelo ponto (0, b) e é paralela à reta y = ax. Exemplo 5: f(x) = x Eliminando o módulo temos: x 1 + 2, se x 1 f(x) = (x 1) + 2, se x < 1 x + 1, se x 1 f(x) = x + 3, se x < 1 f(x) x 7

9 Função polinomial: Uma função f : R R dada por f(x) = a 0 x n +a 1 x n a n 1 x+a n, onde a 0 0, a 1, a 2,..., a n são números reais fixos, denomina-se função polinomial de grau n (n N). Exemplo 6: f(x) = x 2 4 é uma função polinomial de grau 2 e seu gráfico é a parábola. x^ x Função racional:uma função racional f é uma função dada por f(x) = p(x) q(x), onde p e q são duas funções polinomiais. O domínio de f é o conjunto {x R q(x) 0}. Exemplo 7: f(x) = x+1 x. Manipulando temos: x+1 x = x x + 1 x = x. A função f está definida para todo x 0. O gráfico de f é o gráfico de y = 1 x transladando-o uma unidade para cima /x x 8

10 1.5 Operações com funções Sejam f e g duas funções tais que D f D g. Definimos: a. A função f + g dada por (f + g)(x) = f(x) + g(x) denomina-se soma de f e g. O dominínio de f + g é D f D g. Observe que f + g é uma notação para indicar a função dada por y = f(x) + g(x). b. A função f g dada por (f g)(x) = f(x) g(x) denomina-se produto de f e g. O domínio de f g é D f D g. c. A função f g dada por f f(x) g (x) = g(x) denomina-se quociente de f e g. O domínio de f g é {x D f D g g(x) 0}. d. A função kf, k constante, dada por (kf)(x) = kf(x) é o produto de f pela constante k. O domínio de kf é D f. Exemplo 1:Sejam f(x) = 7 x e g(x) = x 2. a. (f + g)(x) = 7 x + x 2. O domínio de f + g é [2, 7] = D f D g. b. (f g)(x) = 7 x x 2. O domínio de f g é [2, 7] = D f D g. c. f g (x) = 7 x x 2. O domínio de f g é x ]2, 7]. d. kf(x) = k 7 x. O domínio de kf(x) é D f =], 7]. Sendo f uma função, definimos a imagem de f por Im f = {f(x) x D f }. Definição (de função composta): Sejam f e g duas funções tais que Im f D g. A função dada por y = g(f(x)), x D f denomina-se função composta de g e f. É usual a notação g f para indicar a composta de g e f. Assim, (g f)(x) = g(f(x)), x D f. Observe que g f tem o mesmo domínio que f. Exemplo 2: Sejam f e g dadas por f(x) = 2x + 1 e g(x) = x 2 + 3x. Determine g f e f g. (g f)(x) = g(f(x)) = [f(x)] 2 + 3[f(x)] = (2x + 1) 2 + 3(2x + 1), x R = D f. 9

11 (f g)(x) = f(g(x)) = f(x 2 + 3x) = 2(x 2 + 3x) + 1, x R = D g. 1.6 Logaritmo e exponencial Exponencial: A função exponencial pode ser pensada como uma generalização do processo de potenciação para expoentes não inteiros. Quando n é um número natural maior do que 1, a potência a n indica a multiplicação da base a por ela mesma n vezes. Isto é: Propriedades: a n = a a }{{} n vezes a. x m x n = x x+n (por exemplo, x 3 x 4 = x 7 ). Demonstração: x m x n = (x x) (x x) = (x x) = x m+n }{{}}{{}}{{} m vezes n vezes m+n vezes b. x m x n = x m n (por exemplo, x4 x 3 m vezes {}}{ Demonstração: xm x n = x x x x }{{} n vezes = x). c. x n = 1 x n (por exemplo, x 3 = 1 x 3 ). d. x 0 = 1, x 0. e. x n m = m x n (por exemplo, x 5 4 = 4 x 5 ). = x x = x }{{} m n m n vezes f. (x m ) n = x mn (por exemplo, (x 2 ) 3 = x 2 3 = x 6 ). g. x m y m = (xy) m (por exemplo, = (2 3) 2 = 6 2 = 36). Logaritmo: O logaritmo de um número positivo real x na base b, em que b é um número positivo real diferente de 1, é o expoente pelo qual b deve ser elevado para se cegar a x. Isto é, y = b x x = log b (y). Por exemplo, log 10 (1000) = 3 porque 10 3 = = O logaritmo natural (ou neperiano) tem a constante irracional e ( 2,718) como base e é muito utilizado no cálculo diferencial. Propriedades: a. log b (xy) = log b (x) + log b (y) porque b c b d = b c+d. 10

12 b. log b (x d ) = d log b (x) porque (b c ) d = b cd. c. log b ( x y ) = log b(x) log b (y) porque b c d = bc b d. d. log b ( y x) = log b (x) y porque y x = x 1 y. e. c log b (x) + d log b (y) = log b (x c y d ) porque log b (x c y d ) = log b (x c ) + log b (y d ), onde b, x e y são números reais positivos e b 1. Tanto c quanto d são números reais. f. log b (1) = log b (e 0 ) = Somatório e produtório Somatório: Um somatório é um operador que nos permite representar somas. Por exemplo, para representarmos a soma dos 3 primeiros números naturais, excluindo o zero, podemos escrever: 3 i = = 6 i=1 Propriedades: Sejam i, n N, tais que i < n e x i, y i constante real. R, para i = 1, 2,, n e c uma a. n i=1 cx i = c n i=1 x i. Demonstração: n cx i = cx 1 + cx cx n i=1 b. n i=1 (x i + y i ) = n i=1 x i + n i=1 y i. Demonstração: = c(x 1 + x x n ) n = c i=1 n (x i + y i ) = (x 1 + y 1 ) + (x 2 + y 2 ) + + (x n + y n ) i=1 x i = x 1 + y 1 + x 2 + y x n + y n = (x 1 + x x n ) + (y 1 + y y n ) n n = x i + i=1 i=1 y i 11

13 c. n i=1 c = nc. Demonstração: n c = c + c + + c = nc }{{} n vezes i=1 Produtório: De forma análoga ao somatório, representaremos o produto de n termos por: n i = 1 2 n i=1 Propriedades: a. n i=1 cx i = c n n i=1 x i. Demonstração: n cx i = (cx 1 ) (cx 2 ) (cx n ) i=1 b. n i=1 x iy i = n i=1 x i n i=1 y i. Demonstração: c. n i=1 c = cn. = c c c (x }{{} 1 x 2 x n ) n vezes n = c n i=1 x i n x i y i = (x 1 y 1 ) (x 2 y 2 ) (x n y n ) i=1 = (x 1 x 2 x n ) (y 1 y 2 y n ) n n = x i y i i=1 i=1 Demonstração: n i=1 c = } c c {{ } c = c n n vezes 12

14 Exercícios 1. Resolva as seguintes inequações: a. 3x + 3 < x + 6 b. x 3 > 3x + 1 c. 2x 1 5x + 3 d. x + 3 6x 2 e. 1 3x > 0 f. 2x + 1 3x 2. Expresse cada um dos conjuntos em notação de intervalo: a. {x R 4x 3 < 6x + 2} b. {x R x < 1} c. {x R 2x 3 1} d. {x R 3x + 1 < x 3 } 3. Mostre que: a. (x a)(x + a) = x 2 a 2 b. (x a)(x 2 + ax + a 2 ) = x 3 a 3 c. (x a)(x 3 + ax 2 + a 2 x + a 3 ) = x 4 a 4 4. Dada a função f(x) = x 2 + 2x, calcule: a. b. f(x) f(1) x 1 f(x+) f(x) 5. Calcule f(x+) f(x), 0 e sendo f(x) igual a: a. 2x + 1 b. 3x 8 c. 2x + 4 d. x 2 e. x 2 2x f. 1 x g. 1 x+2 13

15 6. Determine o domínio: a. f(x) = 1 x 1 b. f(x) = x x 2 1 c. f(x) = 2x x 2 +1 d. f(x) = x x+2 e. f(x) = x + 2 f. f(x) = x+1 g. f(x) = x 2 +x x 1 x+1 7. Determine a composta (x) = g(f(x)): a. g(x) = 3x + 1 e f(x) = x + 2 b. g(x) = x e f(x) = 2 + x 2 c. g(x) = x+1 x 2 e f(x) = x2 + 3 d. g(x) = x 2 + 3x + 1 e f(x) = 2x 3 e. g(x) = 2 x 2 e f(x) = f(x) = x + 1, x 1 f. g(x) = x+1 x 1 e f(x) = x x+1 g. g(x) = x+1 2x+1 x 2 e f(x) = x 1 8. Seja x = n i=1 x i n. Mostre que: a. n i=1 (x i x) 2 = n i=1 x2 i n( x)2 1 n b. n 1 i=1 (x i x) 2 = 1 n 1 [ n i=1 x2 i ( n i=1 xi)2 n ] 14

16 Respostas 1. a. 3x + 3 < x + 6 2x < 3 x < 3 2 {x R x < 3 2 } b. x 3 > 3x + 1 2x > 4 2z < 4 x < 2 {x R x < 2} c. 2x 1 5x + 3 3x 4 3x 4 x 4 3 {x R x 4 3 } d. x + 3 6x 2 5x 5 5x 5 x 1 {x R x 1} e. 1 3x > 0 3x > 1 3x < 1 x < 1 3 {x R x < 1 3 } f. 2x + 1 3x x 1 x 1 {x R x 1} 2. a. 4x 3 < 6x + 2 2x < 5 2x > 5 x > 5 2 {x R 4x 3 < 6x + 2} =] 5 2, + [ b. x < 1 1 < x < 1 {x R x < 1} =] 1, 1[ c. 2x x x x 4 1 x 2 {x R 2x 3 1} = [1, 2] d. 3x + 1 < x 3 9x + 3 < x 8x < 3 x < 3 8 {x R 3x + 1 < x 3 } =], 3 8 [ 3. a. (x a)(x + a) = x 2 + ax ax a 2 = x 2 a 2 b. (x a)(x 2 + ax + a 2 ) = x 3 + ax 2 + a 2 x ax 2 a 2 x a 3 = x 3 a 3 c. (x a)(x 3 + ax 2 + a 2 x + a 3 ) = x 4 + ax 3 + a 2 x 2 + a 3 x ax 3 a 2 x2 a 3 x a 4 = x 4 a 4 d. (x a)(x 4 + ax 3 + a 2 x 2 + a 3 x + a 4 ) = x 5 + ax 4 + a 2 x 3 + a 3 x 2 + a 4 x a x 4 a 2 x 3 a 3 x 2 a 4 x a 5 = x 5 a 5 4. a. ( x 2 +2x) ( 1+2) x 1 = ( x2 +2x) 1 x 1 = (x 1)2 x 1 b. Vamos primeiro calcular f(x + ): f(x + ) = (x + ) 2 + 2(x + ) = x 2 2x 2 + 2x + 2 Então: f(x+) f(x) = x2 2x 2 +2x+2 ( x 2 +2x) = 2x 2 +2 = 2x + 2, 0. 15

17 5. a. f(x + ) = 2(x + ) + 1 = 2x f(x+) f(x) = 2x+2+1 (2x+1) = 2 = 2 b. f(x + ) = 3(x + ) 8 = 3x f(x+) f(x) = 3x+3 8 (3x 8) = 3 = 3 c. f(x + ) = 2(x + ) + 4 = 2x f(x+) f(x) = 2x 2+4 ( 2x+4) = 2 = 2 d. f(x + ) = (x + ) 2 = x 2 + 2x + 2 f(x+) f(x) = x2 +2x+ 2 x 2 = 2x+2 = 2x + e. f(x + ) = (x + ) 2 2(x + ) = x 2 + 2x + 2 2x 2 f(x+) f(x) = x2 +2x+ 2 2x 2 (x 2 2x) = 2x+2 2 = 2x + 2 f. f(x + ) = 1 x+ f(x+) f(x) = 1 x+ 1 x = x (x+) x(x+) = x 2 +x = (x 2 +x) = x x = 1 x 2 +x = 1 x(x+) g. f(x + ) = 1 (x+)+2 f(x+) f(x) = 1 x++2 1 x+2 = 6. a. {x R x 1} b. {x R x 1 e x 1} c. R d. {x R x 2} e. {x R x 2} f. {x R x 0 e x 1} g. {x R x < 1 e x 1} 7. a. (x) = 3(x + 2) + 1 = 3x + 7 b. (x) = 2 + x 2 c. (x) = (x2 +3)+1 (x 2 +3) 2 = x2 +4 x 2 +1 (x+2) (x++2) (x++2)(x+2) = (x++2)(x+2) = (x++2)(x+2) = 1 (x++2)(x+2) d. (x) = (2x 3) 2 + 3(2x 3) + 1 = (4x 2 12x + 9) + (6x 9) + 1 = 4x x 17 e. (x) = 2 (x+1) 2 = 2 x 1 f. (x) = ( x g. (x) = ( 2x+1 x+1 )+1 x+(x+1) ( x x+1 x+1 ) 1 = x (x+1) x+1 = 2x+1 x+1 1 x+1 x 1 )+1 2x+1+(x 1) x 1 = ( 2x+1 2x+1 2(x 1) x 1 ) 2 x 1 = 3x x 1 3 x 1 = (x+1)(2x+1) (x+1)( 1) = x, para x 1 = (2x + 1), para x 1 8. a. n i=1 (x i x) 2 = n i=1 (x2 i 2x i x+ x 2 ) = n i=1 x2 i n i=1 (2x i x)+ n i=1 x2 = n i=1 x2 i 2 x n i=1 x i + n x 2 = n i=1 x2 i (2 xn x) + n x2 = n i=1 x2 i 2n x2 + n x 2 = n i=1 x2 i n x2 16

18 1 n b. n 1 i=1 = 1 n 1 [ n i=1 x2 i 2x i x + x 2 ] = 1 n 1 [ n i=1 x2 i 2 x n i=1 x i + n i=1 x2 ] = 1 n 1 [ n i=1 x2 i 2 xn x + n x2 ] = 1 n 1 [ n i=1 x2 i 2n x2 + n x 2 ] = 1 n 1 [ n i=1 x2 i n x2 ] = 1 n 1 [ n i=1 x2 i n ( n i=1 xi)2 n 2 ] = 1 n 1 [ n i=1 x2 i ( n i=1 xi)2 n ] 17

19 Capítulo 2 Derivadas 2.1 Limite e continuidade Intuitivamente, uma função contínua em um ponto p de seu domínio é uma função cujo gráfico não apresenta um "salto"em p. f(x) g(x) x x O gráfico da esquerda (f(x) = 2x) não apresenta um "salto"em nenum ponto. Em particular, à medida que x se aproxima de 1, seja pela esquerda, seja pela direita, o valore de f(x) se aproxima de f(1) = 2. Mas o mesmo não acontece com a função g(x) no ponto 0 (gráfico da direita). Neste ponto o gráfico de g apresenta um "salto"e, portanto, g não é contínua em 0. Mas é contínua para x 0. Intuitivamente, dizer que o limite de f(x), quando x tende a p, é igual a L que, simbolicamente, se escreve lim x p f(x) = L significa que quando x tende a p, f(x) tende a L. No exemplo da função f(x) = 2x temos que quando x se aproxima de 1, f(x) tende a 2. 18

20 Exemplo 1: Calcule lim x 1 (x + 1). x f(x) = x + 1 x f(x) = x ,5 2,5 0,5 1,5 1,1 2,1 0,9 1,9 1,01 2,01 0,99 1,99 1,001 2,001 0,999 1, Exemplo 2 (limites laterais): Calcule lim x 1 + f(x) e lim x 1 f(x), sendo lim x 1 + f(x) = lim x 1 2x = 2 e lim x 1 f(x) = lim x 1 x 2 = 1 x 2, se x < 1 f(x) = 2x, se x > 1 Vejamos, na medida em que x se aproxima de 1 pela direita, f(x) tende a 2. Mas quando nos aproximamos de 1 pela esquerda, f(x) tende a 1. Isto é: Teorema: lim f(x) = L x p lim x p + f(x), lim x p f(x) lim x p + f(x) = lim x p f(x) = L Se f estiver definida em p e for contínua em p, então lim x p f(x) = f(p) e reciprocamente. e f contínua em p lim x p f(x) = f(p) 2x, se x 1 Exemplo 3: Seja f(x) =. Calcule lim x 1 f(x) e lim x 1 + f(x). f é contínua? 3, se x > 1 lim x 1 f(x) = lim x 1 2x = 2 lim x 1 + f(x) = lim x 1 3 = 3 lim x 1 f(x) lim x 1 + f(x) = lim x 1 f(x) = f não é contínua Exemplo 4 (limites infinitos e limites no infinito): Seja f(x) = 1 x. lim x f(x), lim x 0 + f(x) e lim x 0 f(x). Calcule lim x + f(x), 19

21 1/x x lim x + f(x) = 0 lim x f(x) = 0 lim x 0 + f(x) = + lim x 0 f(x) = Exemplo 5 (o limite mais importante): Seja f(x) = x 2. Calcule lim 0 f(x+) f(x). Temos f(x+) f(x) = (x+)2 x 2 = (x2 +2x+ 2 ) x 2 = 2x+2 = 2x +, para 0. Segue que lim 0 (2x + ) = 2x. *Propriedades: a. lim x p [f(x) + g(x)] = lim x p f(x) + lim x p g(x) = f(p) + g(p). b. lim x p kf(x) = k lim x p f(x) = kf(p). c. lim x p f(x)g(x) = lim x p f(x) lim x p g(x) = f(p)g(p). d. lim x p f(x) g(x) = f(p) g(p), para lim x p g(x) Derivadas Podemos começar a discussão de derivadas considerando a taxa de variação em uma variável y em resposta à variação de uma outra variável x, onde x e y estão relacionadas por uma função y = f(x). Quando a variável x muda de um valor x 0 para x 1, a sua variação é medida pela diferença x 1 x 0 =. 20

22 No entanto, podemos estar interessados em calcular a taxa média de variação. Ela pode ser representada pelo coeficiente da diferença: f(x 1 ) f(x 0 ) x 1 x 0 Por exemplo, seja y = 3x Vamos calcular a variação de x 0 = 3 para x 1 = 7 (ou seja, quando á um aumento de 4 unidades em x). Como y = 3x 2 + 4, então quando x 0 = 3 temos f(3) = 3(3) 2 +4 = 31 e para x 1 = 7 temos f(7) = 3(7) 2 +4 = 151. Assim a variação é f(7) f(3) = = * x^ (3, 31) (7, 151) x A taxa média de variação será f(x 1 ) f(x 0 ) = = 30 x 1 x Mas note que x 1 x 0 = x 1 = x 0 +. Então f(x 1 ) f(x 0 ) = f(x 0 + ) f(x 0 ) x 1 x 0 Assim, podemos cegar ao mesmo resultado fazendo f(x 0 + ) f(x 0 ) = 3(x 0 + ) (3(x 0 ) 2 + 4) = 6x Para x 0 = 3 e = 4, a taxa média de variação em y será 6(3) + 3(4) = 30. Isto é, em média, uma variação em x de 3 para 7 unidades, a mudança em y será de 30 unidades por unidade de x. Se reduzirmos o intervalo de = 4 para = 2, a taxa média de variação será 6(3) + 3(2) =

23 E se reduzirmos para = 1, a taxa média de variação será 6(3) + 3(1) = 21. Frequentemente estamos interessados na taxa de variação em y quando é pequeno (isto é, quando se aproxima de 0). Podemos fazer isso utilizando o conceito de limite. No exemplo acima podemos calcular lim 0 (6x 0 + 3) = 6x 0 Esse limite é conecido como a derivada da função y = f(x). A derivada nada mais é do que o limite de um coeficiente de uma diferença, que mede a taxa de variação instantânea de y em relação a x no ponto x 0. Do ponto de vista geométrico, o conceito de derivada é a inclinação da reta tangente ao gráfico da função no ponto x 0. Na figura abaixo plotamos o gráfico da função y = 3x em preto e a reta tangete da f(x) no ponto x = 1 em azul. A equação dessa reta é dada pela equação y f(1) = f (1)(x 1). A inclinação dela no ponto x = 1 é igual a f (1) = 6(1) = 6. y f(x) = 3*x^2 + 4 y f(1) = f'(1)(x 1) x f(x Dizemos que f é derivável ou diferenciável em x 0 se existe lim 0+) f(x 0) 0. Neste caso, tal limite é designado por f (x 0 ) ou dy dx (x 0) e cama-se derivada de f no ponto x 0. Se f é derivável em todos os pontos de seu domínio, dizemos simplesmente que f é derivável. Teorema: Se f for derivável em p, então f será contínua em p. Por exemplo, f(x) = x não é derivável em p = 0, entretanto ela é contínua neste ponto. Ou seja, ela pode ser contínua em um ponto, mas não ser derivável neste mesmo ponto. Assim, continuidade não implica em derivabilidade. Mas derivabilidade implica em continuidade. 22

24 Com isso temos: lim x 0 + existe. Ou seja, f não é derivável em 0. f(x) f(0) = x x 0 x = 1, se x > 0 1, se x < 0 f(x) f(0) x 0 = 1 e lim f(x) f(0) f(x) f(0) x 0 x 0 = 1. Logo, lim x 0 x 0 não 2.3 Regras de derivação a. Derivada de uma constante: f(x) = k, k constante, f (x) = 0 b. Derivada de x: f(x) = x f (x) = 1 c. Regra do tombo: f(x) = x n f (x) = nx n 1 Exemplo 1: Seja f(x) = x 4. Calcule f (x) e f ( 1 2 ). f(x) = x 4 f (x) = 4x 4 1 = 4x 3 f ( 1 2 ) = 4( ) = 4( 1 8 ) = 1 2 Exemplo 2: Calcule f (x) sendo f(x) = x 3. f(x) = x 3 f (x) = 3x 3 1 = 3x 4 Exemplo 3: Calcule f (x) = 1 x 5. f (x) = 1 x 5 = x 5 f (x) = 5x 6 Exemplo 4: Seja f(x) = x. Calcule f (x) e f (3). f(x) = x = x 1 2 f (x) = 1 2 x = 1 2 x 1 f (x) = 1 2 x f (3) = 1 x 3 2 = x 1 2 = x = 1 2 x d. Derivada de e: f(x) = e x f (x) = e x e. Derivada de ln: f(x) = ln(x) f (x) = 1 x f. Derivada com constante (kf) (x) = kf (x), k constante. Exemplo 5: Calcule f (x), onde f(x) = 5x. f (x) = (5x) = 5(x) = 5(1) = 5 Exemplo 6: Calcule f (x), onde f(x) = 6x 2 f (x) = (6x 2 ) = 6(x 2 ) = 6(2x) = 12x 23

25 g. Derivada de uma soma: (f + g) (x) = f (x) + g (x) Exemplo 7: Seja f(x) = 4x 3 + x 2. Calcule f (x). f (x) = [4x 3 + x 2 ] = (4x 3 ) + (x 2 ) = 12x 2 + 2x Exemplo 8: Calcule g (x), onde g(x) = 5x g (x) = [5x 4 + 4] = (5x 4 ) + (4) = 20x 3 Exemplo 9: Calcule f (x), onde f(x) = 2x 2 + ln(x). f (x) = [2x 2 + ln(x)] = (2x 2 ) + (ln(x)) = 4x + 1 x. Derivada de produto: (f g) (x) = f (x)g(x) + f(x)g (x) Exemplo 10: Calcule (x), onde (x) = (3x 2 + 1)e x. (x) = [(3x 2 +1)e x ] = (3x 2 +1) e x +(3x 2 +1)(e x ) = (6x)e x +(3x 2 +1)e x = (3x 2 +6x+1)e x Exemplo 11: Calcule (x), onde (x) = (x 2 + 1)(x 3 + x). (x) = [(x 2 +1)(x 3 +x)] = (x 2 +1) (x 3 +x)+(x 2 +1)(x 3 +x) = 2x(x 3 +x)+(x 2 +1)(3x 2 +1) = 2x 4 + 2x 2 + 3x 4 + x 2 + 3x = 5x 4 + 6x Outra forma de resolver é: (x) = (x 2 + 1)(x 3 + x) = x 5 + x 3 + x 3 + x = x 5 + 2x 3 + x (x) = 5x 4 + 6x i. Derivada de quociente: ( f g ) (x) = f (x)g(x) f(x)g (x) [g(x)] 2 Exemplo 12: Calcule f (x), onde f(x) = 2x+3 x f (x) = [ 2x+3 x 2 +1 ] = (2x+3) (x 2 +1) (2x+3)(x 2 +1) (x 2 +1) 2 = 2(x2 +1) (2x+3)2x (x 2 +1) 2 = 2x2 +2 4x 2 6x (x 2 +1) 2 = 2x2 6x+2 (x 2 +1) 2. Exemplo 13: Calcule f (x), onde f(x) = x2 +x x. f (x) = [ x2 +x x ] = (x2 +x) x (x 2 +x)(x) x = (2x+1)x (x2 +x)1 2 x = 2x2 +x x 2 x 2 x = x2 2 x = 1 2 Outra forma de resolver é: f(x) = x2 +x x f (x) = (x + 1) = 1 = x2 x + x x = x + 1 j. Regra da cadeia: (g(f(x))) = g (f(x))f (x) Exemplo 14: Calcule (x), onde (x) = (3x 2 + 1) 3. Vejamos, é uma função composta da forma (x) = g(f(x)), onde f(x) = 3x e g(x) = x 3. Neste caso para calcularmos (x), aplicamos a regra da cadeia. (x) = (3x 2 + 1) 3 [(3x 2 + 1) 3 ] = 3(3x 2 + 1) 2 (6x) = 18x(3x 2 + 1) 2 Exemplo 15: Calcule dy dx, sendo y = ln(x2 + 3). 24

26 Novamente, y é da forma g(f(x)), com g(x) = ln(x) e f(x) = x Assim, dy dx = 1 x x = 2x x 2 +3 Exemplo 16: Calcule (x), sendo (x) = 3 x Neste exemplo, g(x) = 3 x, f(x) = x e as funções se relacionam como g(f(x)). Sabemos que (x) = 3 x = (x 2 + 3) 1 3. Assim, (x) = [(x 2 + 3) 1 3 ] = 1 3 (x2 + 3) x = 1 3 (x2 + 3) 2 3 2x = (x 2 +3) 2 2x = 2x 3 3 (x 2 +3) 2 25

27 Exercícios 1. Calcule: a. lim x 9 x b. lim x 1 3x 5 c. lim x 2 x 2 +9 x+2 d. lim x 2 x 2 4 x+2 e. lim x 2 x 2 4 x 2 f. lim x 1 x 1 x 1 2. Calcule lim 0 f(x+) f(x) a. f(x) = x 3 b. f(x) = 2x 3. Calcule (x), sendo (x): a. 5x 3 b. 2x 3 x 2 c. 1 x 2 d. 3 x e. x x+1 f. 3x x4 + x + 2 g. x x 2 + x x 2 para: i. 5x 4 + bx 3 + cx 2 + k, onde b, c e k são constantes j. 3 x + x k. x 2 e 3x l. xe 2x m. 3 x2 + 3 n. ln(2x + 1) 4. Seja f(x) = x 2 + x. Determine o ponto do gráfico de f em que a reta tangente, neste ponto, seja paralela ao eixo x. 26

28 Respostas 1. a. lim x 9 x = 3 b. lim x 1 3x 5 = 8 x c. lim 2 +9 x 2 x+2 = 13 4 d. lim x 2 x 2 4 x+2 = 0 4 = 0 e. lim x 2 x 2 4 x 2 f. lim x 1 x 1 x 1 = lim x 2 (x+2)(x 2) x 2 = lim x 2 (x + 2) = 4 = lim x 1[ ( x 1)( x+1) (x 1)( x+1) ] = lim x 1 x 1[ (x 1)( x+1) ] = lim x 1 1 x+1 = a. f(x + ) = (x + ) 3 = x 3 + 3x 2 + x 2 + x 2 + 2x = x 3 + 3x 2 + 3x lim 0 f(x+ = lim 0 (x 3 +3x 2 +3x ) x 3 = lim 0 (3x 2 +3x = lim 0 3x 2 + 3x + 2 = 3x 2 b. f(x + ) = 2(x + ) = 2x + 2 lim 0 f(x+ 3. a. (5x 3) = 5 b. (2x 3 x 2 ) = 6x 2 2x = lim 0 2x+2 2x = lim 0 2 = 2 c. ( 1 x 2 ) = (x 2 ) = 2x 3 = 2 x 3 d. ( 3 x) = (x 1 3 ) = 1 3 x 2 3 = x 2 e. ( x x+1 ) = (x) (x+1) x(x+1) (x+1) = (x+1) x 2 (x+1) = 1 2 (x+1) 2 f. (3x x4 + x + 2) = 15x x3 + 1 g. (x x 2 + x) = (x 2 +x 2 +x 1 2 ) = 2x 2x x 1 2 = 2x 2 x x = 2x 2 x x. (5 + 3x 2 ) = 6x 3 = 6 x 3 i. (5x 4 + bx 3 + cx 2 + k) = 20x 3 + 3bx 2 + 2cx j. ( 3 x + x) = (x x 1 2 ) = 1 3 x x 1 2 = x x k. (x 2 e 3x ) = (x 2 ) e 3x + x 2 (e 3 x) Vamos calcular (e 3 x). Essa é uma função composta da forma g(f(x))), onde g(x) = e x e f(x) = 3x. Assim, g(x) = e x g (x) = e x f(x) = 3x f (x) = 3 g (f(x)) = e 3x Pela regra da cadeia temos: (g(f(x))) = g (f(x))f (x) = e 3x 3. Assim, (x 2 ) e 3x + x 2 (e 3 x) = 2xe 3x + x 2 e 3x 3 = x 3x (2 + 3x) 27

29 l. (xe 2x ) = (x) e 2x + x(e 2x ) Vamos calcular (e 2x ). Essa é uma função composta da forma f(g(x)), onde f(x) = e x e g(x) = 2x. Assim, f(x) = e x f (x) = e x g(x) = 2x g (x) = 2 f (g(x)) = e 2x Pela regra da cadeia temos: (f(g(x))) = f (g(x))g (x) = e 2x ( 2) = 2e 2x. Assim, (x) e 2x + x(e 2x ) = e 2x + x( 2e 2x ) = e 2x x2e 2x = e 2x (1 2x) m. ( 3 x 2 + 3) Essa é uma função composta da forma f(g(x)), onde f(x) = 3 x e g(x) = x Assim, f(x) = 3 x f (x) = x 2 g(x) = x g (x) = 2x f (g(x)) = (2x+3) 2 Pela regra da cadeia temos: (f(g(x))) = f (g(x))g (x) = (2x) 2 2x = 2x 3 3 (2x+3) 2 n. ln(2x + 1) Essa é uma função composta da forma f(g(x)), onde f(x) = ln(x) e g(x) = 2x + 1. Assim, f(x) = ln(x) f (x) = 1 x g(x) = 2x + 1 g (x) = 2 f (g(x)) = 1 2x+1 Pela regra da cadeia temos: (f(g(x))) = f (g(x))g (x) = 1 2x+1 2 = 2 2x+1 4. A inclinação da reta tangente ao gráfico de f é dada pela derivada de f. f(x) = x 2 + x f (x) = 2x + 1 Para uma reta ser paralela ao eixo x ela deve ter inclinação igual a 0. Assim, O ponto x em que a reta tangente ao gráfico de f é paralela ao eixo x é aquele que satisfaz f (x) = 0. Assim, 2x + 1 = 0 2x = 1 x = 1 2. Portanto, o ponto é x = 1 2 e y = f( 1 2 ) = ( 1 2 )2 + ( 1 2 ) = = 1 4. Isto é ( 1 2, 1 4 ). 28

30 Capítulo 3 Aplicações da derivada e derivadas parciais 3.1 Máximos e mínimos Como vimos, a derivada, do ponto de vista geométrico, nada mais é do que a inclinação da reta tangente ao gráfico da função em um ponto qualquer. Assim, se o seu valor em um ponto p for positivo (isto é, se f (p) > 0), quer dizer que a função neste ponto está crescendo. Se o seu valor for negativo (isto é, se f (p) < 0), então a função neste ponto p está decrescendo. Se o seu valor for igual a zero (f(p) = 0) ela não está crescendo e nem decrescendo. Por exemplo, seja f(x) = x 2 +x. A inclinação da reta tangente ao gráfico de f é dada pela sua derivada. f(x) = x 2 + x f (x) = 2x + 1 No ponto x = 1, f (1) = 2(1) + 1 = 3 > 0, então a função está em crescimento. No ponto x = 1, f ( 1) = 2( 1)+1 = 1 < 0, a função está decrescendo neste ponto. Para f (x) = 2x+1 = 0, isto é quando a derivada de f assume o valor zero, x = 1 2. Portanto, no ponto x = 1 2 a função não está nem crescendo e nem decrescendo. A segunda derivada da função (isto é, f (x)) também nos dá uma informação sobre a forma do gráfico. Quando f (x) > 0, a concavidade do gráfico está voltada para cima. Quando f (x) < 0, a convavidade está voltada para baixo. No exemplo acima, calculando a segunda derivada da função f temos f(x) = x 2 + x f (x) = 2x + 1 f (x) = 2. Portanto, em todos os pontos da função a concavidade está voltada para cima. 29

31 x^2 + x x Definição 1: Sejam f uma função, A D f e p A. Dizemos que p é um ponto de máximo de f em A se f(x) f(p) para todo x em A. Se f(x) f(p) para todo x em A, dizemos então que p é um ponto de mínimo de f em A. Definição 2: Sejam f uma função e p D f. Dizemos que p é um ponto de máximo global de f se, para todo x em D f, f(x) f(p). Se, para todo x em D f, f(x) f(p), diremos então que p é um ponto de mínimo global de f. Definição 3: Sejam f uma função e p D f. Dizemos que p é o ponto de máximo local de f se existir r > 0 tal que f(x) f(p) para todo x em ]p r, p + r] D f. Por outro lado, dizemos que p é ponto de mínimo local de f se existir r > 0 tal que f(x) f(p) para todo x em ]p r, p + r[ D f. Para determinarmos os pontos de máximo e de mínimo de uma função f precisamos estudála com relação a crescimento e decrescimento. Sejam a < c < b; se f for crescente em [a, c] e decrescente em [c, b[, então c será um ponto de máximo local de f; se f for decrescente em ]a, c] e crescente em [c, b[, então c será um ponto de mínimo local de f. Teorema 1: Seja f uma função derivável em p, onde p é um ponto interior a D f. Uma condição necessária para que p seja um ponto de máximo ou de mínimo local é que f (p) = 0. Um ponto p D f se diz ponto crítico de f se f (p) = 0. Uma condição necessária para que p seja ponto de máximo ou de mínimo local de f é que p seja um ponto crítico de f. A condição suficiente é dada pelo Teorema 2. Teorema 2: Sejam f uma função que admite derivada de 2 a ordem contínua no intervalo aberto I e p I. a. f (p) = 0 e f (p) > 0 p é ponto de mínimo local. b. f (p) = 0 e f (p) < 0 p é ponto de máximo local. 30

32 Voltando ao nosso exemplo, x = 1 2 é o único ponto crítico da função f(x) = x Como a segunda derivada é f (x) = 2 > 0, sabemos que a concavidade está voltada para cima e que o ponto x = 1 2 é um ponto de mínimo. Em particular, como é possível observar no gráfico, ele é um ponto de mínimo absoluto. Essa função, no entanto, não possui ponto de máximo. Como ela está definida para todo R, podemos verificar isso calculando os limites no infinito: lim x + (x2 + x) = + e lim x (x2 + x) = Mas se a função estivesse definida no intervalo ], 2] (é importante notar que o intervalo é fecado no 2), ela teria um ponto de máximo e ele seria o 2. Exemplo 1: Seja f(x) = x 3 3x a. Estude f com relação a máximos e mínimos. b. Determine os valores máximo e mínimo de f em [ 2, 3]. Em que pontos estes valores são atingidos. Solução: a. Em primeiro lugar, vamos calcular a derivada de f: f (x) = 3x 2 6x. Agora, vamos igualar f (x) a zero: f (x) = 0 3x 2 6x = 0. Vamos acar os valores de x que satisfazem essa equação. = b 2 4ac ( 6) 2 4(3)(0) = 36 x = b ± 2a 6 ± 36 2(3) = 6 ± 6 6 x = 0 ou x = 2 Assim, os pontos críticos da função são x = 2 e x = 0. Calculando esses valores na função f temos: f(0) = (0) 3 3(0) = 3 f(2) = (2) 2 3(2) = 1 Vamos ver o que acontece nas extremidades. Como lim x + (x 3 3x 2 + 3) = + e lim x (x 3 3x 2 + 3) =, segue que f não assume um valor máximo global, nem 31

33 valor mínimo global. Portanto, 0 é ponto de máximo local e 2 é ponto de mínimo local. b. Como o domínio da função agora é [ 2, 3] e não mais o R, precisamos calcular o valor da função nesses pontos extremos. f( 2) = ( 2) 3 3( 2) = 17 f(3) = (3) 3 3(3) = 3 Pelo item anterior sabemos que f(0) = 3 e f(2) = 1. Portanto, f( 2) = 17 é o valor mínimo de f em [ 2, 3] e f(0) = f(3) = 3 é o valor máximo. Exemplo 2: Estude a função f(x) = 2x 3 9x x + 3 com relação a máximos e mínimos locais e globais. Vamos calcular a derivada de f: f (x) = 6x 2 18x + 12 Igualando a zero temos: f (x) = 0 6x 2 18x + 12 = 0 Os valores de x que satisfazem a equação são: = b 2 4ac ( 18) 2 4(6)(12) = = 36 x = b ± 2a 18 ± 36 2(6) = 18 ± 6 12 Portanto, x = 2 ou x = 1. Esses são os pontos críticos da função. Calculando o valor da função nesses pontos temos que f(1) = 2(1) 3 9(1) 2 +12(1)+3 = 8 e f(2) = 2(2) 3 9(2) 2 +12(2)+3 = 8. Como os limites no mais infinito e no menos infinito explodem, concluímos que 1 é ponto de máximo local e 2 é ponto de mínimo local. 32

34 3.2 Derivadas parciais Até agora trabalamos apenas com funções com uma única variável (f(x)). Mas muitas vezes estamos diante de funções com mais de uma variável (f(x, y)). Para essas funções podemos calcular as derivadas parciais. Seja z = f(x, y) uma função real de duas variáveis reais e seja (x 0, y 0 ) D f. A derivada desta função no ponto x = x 0 (caso exista) denomina-se derivada parcial de f em relação a x no ponto (x 0, y 0 ) e indica-se como δx (x 0, y 0 ). Para se calcular δx (x 0, y 0 ) fixa-se y = y 0 em z = f(x, y) e calcula-se a derivada de g(x) = f(x, y 0 ) em x = x 0. Da mesma forma, δx (x, y) é a derivada em relação a x de f(x, y) mantendo-se y constante. Exemplo 1: Seja f(x, y) = 2xy 4y. Calcule: a. b. c. d. δx (x, y) δy (x, y) δx (1, 1) δy (1, 1) Solução: a. b. c. d. δ δx (x, y) = δx (2xy 4y) = 2y δ δy (x, y) = δy (2xy 4y) = 2x 4 δx (1, 1) = 2(1) = 2 δy (1, 1) = 2(1) 4 = 2 Exemplo 2: Seja f(x, y) = x3 y 2 x 2 +y 2. Determine a. b. δx δy Solução: a. b. δx (x, y) = 3x2 (x 2 +y 2 ) (x 3 y 2 )2x (x 2 +y 2 ) = 3x4 +3x 2 y 2 2x 4 +2xy 2 2 (x 2 +y 2 ) = x4 +3x 2 y 2 +2xy 2 2 (x 2 +y 2 ) 2 δy (x, y) = 2y(x2 +y 2 ) (x 3 y 2 )2y (x 2 +y 2 ) = 2x2 y 2y 3 2x 3 y+2y 3 2 (x 2 +y 2 ) = 2x2 y 2x 3 y 2 (x 2 +y 2 ) = 2x2 y(1+x) 2 (x 2 +y 2 ) 2 33

35 3.3 Derivadas parciais de ordem superior Da mesma forma que calculamos δx e δy podemos calcular: δx 2 = δ δx ( δx ) δy 2 = δ δy ( δy ) δxδy = δ δx ( δy ) δyδx = δ δy ( δx ) Exemplo 1: Seja f(x, y) = 4x 5 y 4 6x 2 y + 3. Calcule todas as derivadas parciais de 2 a ordem. As derivadas são: δx (x, y) = 20x4 y 4 12xy δy (x, y) = 16x5 y 3 6x 2 Assim, as derivadas parciais de 2 a ordem são: δ (x, y) = δx2 δx ( δx (x, y)) = δ δx (20x4 y 4 12xy) = 80x 3 y 4 12y δ (x, y) = δyδx δy ( δx (x, y)) = δ δy (20x4 y 4 12xy) = 80x 4 y 3 12x δ (x, y) = δy2 δy ( δy (x, y)) = δ δy (16x5 y 3 6x 2 ) = 48x 5 y 2 δ (x, y) = δxδy δx ( δy (x, y)) = δ δx (16x5 y 3 6x 2 ) = 80x 4 y 3 12x Exemplo 2: Seja a função z = ln(x 2 + y 2 ). Calcule δ2 f δx + δ2 f 2 δy. 2 δx (x, y) = 2x δy (x, y) = 2y x 2 +y 2 x 2 +y 2 δx (x, y) = 2(x2 +y 2 ) 2x(2x) 2 (x 2 +y 2 ) = 2y2 2x 2 2 (x 2 +y 2 ) 2 δy (x, y) = 2x2 2y 2 2 (x 2 +y 2 ) 2 34

36 δx + δ2 f 2 δy ( 2y2 2x 2 2 (x 2 +y 2 ) ) + ( 2x2 2y 2 2 (x 2 +y 2 ) ) = 0 2 Exemplo 3: Seja f(x, y) = e x2y. Calcule δ2 f δxδy e δ2 f δyδx. δx (x, y) = ex2y 2xy δy (x, y) = ex2y x 2 δx 2 (x, y) = (e x2y 2xy)x 2 + e x2y 2x δy 2 (x, y) = (e x2y x 2 )2xy + e x2y 2x 35

37 Exercícios 1. Estude a função dada com relação a máximos e mínimos locais e globais. a. f(x) = x 1+x 2 b. f(x) = x 4 4x 3 + 4x Determine os pontos críticos da função dada e classifique-os (a classificação refere-se a ponoto de máximo local, pnto de mínimo local ou ponto de inflexão). a. f(x) = x4 4 x3 2x b. f(x) = x 3 3x 2 + 3x 1 c. f(x) = x 4 4x 3 + 6x 2 4x Determine os valores máximos e mínimos (caso existam) da função dada no intervalo dado. a. f(x) = x4 4 x3 2x em [ 2, 3] b. f(x) = x 3 3x 2 + 3x 1 em [ 2, 1] 4. Determine as derivadas parciais. a. f(x, y) = 5x 4 y 2 + xy b. f(x, y) = x3 +y 2 x 2 +y 2 c. f(x, y) = x 2 ln(1 + x 2 + y 2 ) d. f(x, y) = (4xy 3y 3 ) 3 + 5x 2 y e. f(x, y) = (x 2 + y 2 )ln(x 2 + y 2 ) f. f(x, y) = 3 x 3 + y g. f(x, y, z) = xyz x+y+z 5. Calcule as derivadas parciais de 2 a ordem. a. f(x, y) = x 3 y 2 b. f(x, y) = e x2 y 2 c. f(x, y) = ln(1 + x 2 + y 2 ) d. f(x, y) = 4x 3 y 4 + y 3 36

38 Respostas 1. a. f (x) = (x) (1+x 2 ) x(1+x 2 ) (1+x 2 ) 2 Igualando f (x) a zero temos: = (1+x2 ) x(2x) (1+x 2 ) 2 = 1 x2 (1+x 2 ) 2 f (x) = 0 1 x2 (1 + x 2 ) 2 = 0 Essa fração é igual a zero quando o numerador é igual a zero. Isto é 1 x 2 = 0. Portanto, x = 1 ou x = 1. Assim, f(1) = = e f( 1) = 1+( 1) = x x 2 ( 1 x ) Como lim x + 1+x = lim 2 x + ( x 2 ( 1 )+1) = 0 e lim x x 2 1+x = lim 2 x ( 0 temos que 1 é ponto de máximo global e -1 é ponto de mínimo global. x x 2 ( 1 x ) x 2 ( 1 )+1) = x 2 b. f (x) = 4x 3 12x 2 +8x. Igualando a zero temos que f (x) = 0 4x 3 12x 2 +8x = 0 x(4x 2 12x + 8) = 0. Assim, um dos pontos em que a equação se anula é no ponto 0. Os outros pontos podem ser encontrados encontrando a solução para 4x 2 12x+8 = 0. = b 2 4ac = ( 12) 2 4(4)(8) = = 16 x = b ± 2a 12 ± 4 8 Portanto, x = 2 ou x = 1. Além desses pontos, x = 0 também é um ponto crítico. Os valores da função nesses pontos são: f(2) = (2) 4 4(2) 3 + 4(2) = 2 f(1) = (1) 4 4(1) 3 + 4(1) = 3 f(0) = (0) 4 4(0) 3 + 4(0) = 2 Vamos ver o que acontece nos extremos: lim x + (x4 4x 3 + 4x 2 + 2) = lim x + [x4 (1 4 x + 4 x )] = + x4 lim x (x4 4x 3 + 4x 2 + 2) = + Portanto, 0 e 2 são pontos de mínimo globais e 1 é ponto de máximo local. 37

39 2. a. f (x) = x 3 3x 2 4x f (x) = 0 x 3 3x 2 4x = 0 x(x 2 3x 4) = 0 = b 2 4ac = ( 3) 2 4(1)( 4) = 25 Portanto, x = 4 ou x = 1 ou x = 0. x = b ± 2a A segunda derivada de f é f (x) = 3x 2 6x 4. 3 ± 5 2 f (4) = 3(4) 2 6(4) 4 = 24 f ( 1) = 3( 1) 2 6( 1) 4 = 5 f (0) = 3(0) 2 6(0) 4 = 5 Assim, 4 e -1 são pontos de mínimo local e 0 é ponto de máximo local. b. f (x) = 3x 2 6x + 3 f (x) = 0 3x 2 6x + 3 = 0 = b 2 4ac = ( 6) 2 4(3)(3) = 0 Portanto, x = 1. f (x) = 6x 6 f (1) = 6(1) 6 = 0. Assim, 1 é ponto de inflexão. c. f (x) = 4x 3 12x + 12x 4 = 4x 3 4 f (x) = 0 4x 3 4 = 0 x = 1. f (x) = 12x 2 f (1) = 12 x = b ± 2a Portanto, 1 é ponto de máximo global porque ambos os limites (+ e ) vão para

40 3. a. f (x) = x 3 3x 2 4x f (x) = 0 x 3 3x 2 4x = 0 x(x 2 3x 4) = 0 = b 2 4ac = ( 3) 2 4(1)( 4) = 25 x = b ± 2a 3 ± 5 2 Portanto, x = 4 ou x = 1 ou x = 0. Calculando os valores de f(x) nestes pontos temos: f(4) = (4)4 4 (4)3 2(4) = = 11 4 f( 1) = ( 1)4 4 ( 1) 3 2( 1) = = 9 4 f(0) = (0)4 4 (0)3 2(0) = 7 f( 2) = ( 2)4 4 ( 2) 3 2( 2) = 7 f(3) = (3)4 4 (3)3 2(3) = = = 87 4 O valor máximo é f( 2) = 7 e o valor mínimo é f(3) = b. f (x) = 3x 2 6x + 3 f (x) = 0 3x 2 6x + 3 = 0 = b 2 4ac = ( 6) 2 4(3)(3) = 0 x = b ± 2a 6 6 x = 1 f(1) = (1) 3 3(1) 2 + 3(1) 1 = 0 f( 2) = ( 2) 3 3( 2) 2 + 3( 2) 1 = 27 39

41 Portanto, 0 é o valor máximo e -27 é o valor mínimo. 4. a. b. c. d. e. f. g. 5. a. b. c. δx (x, y) = 20x3 y 2 + y 3 δy (x, y) = 10x4 y + 3xy 2 δx (x, y) = 3x2 (x 2 +y 2 ) (x 3 +y 2 )2x (x 2 +y 2 ) = x4 +3x 2 y 2 2xy 2 2 (x 2 +y 2 ) 2 δy (x, y) = 2y(x2 +y 2 ) (x 3 +y 2 )2y (x 2 +y 2 ) = 2x2 y 2x 3 y 2 (x 2 +y 2 ) = 2x2 y(1 x) 2 (x 2 +y 2 ) 2 δx (x, y) = 2xln(1 + x2 + y 2 ) + δy (x, y) = 0ln(1 + x2 + y 2 ) + 2x3 1+x 2 +y 2 2x2 y 1+x 2 +y = 2x2 y 2 1+x 2 +y 2 δx (x, y) = 3(4xy 3y3 ) 2 4y + 10xy = 12y(4xy 3y 3 ) xy δy (x, y) = 3(4xy 3y3 ) 2 (rx 9y 2 ) + 5x 2 δx (x, y) = 2xln(x2 + y 2 ) + (x 2 + y 2 )( x 2 +y ) = 2x(ln(x 2 + y 2 ) + 1) 2 δy (x, y) = 2yln(x2 + y 2 ) + (x 2 + y 2 )( x 2 +y ) = 2y(ln(x 2 + y 2 ) + 1) 2 δx (x, y) = (x3 +y 2 +3) x 2 = 3x (x 3 +y 2 +3) 2 = x 2 3 (x 3 +y 2 +3) 2 δy (x, y) = (x3 +y 2 +3) y = 2x 2y 2y 3 3 (x 3 +y 2 +3) 2 yz(x+y+z) xyz δx (x, y) = (x+y+z) = y2 z+yz 2 2 (x+y+z) 2 xz(x+y+z) xyz δy (x, y) = (x+y+z) = x2 z+xz 2 2 (x+y+z) 2 xy(x+y+z) xyz δz (x, y) = (x+y+z) = x2 y+xy 2 2 (x+y+z) 2 δx (x, y) = 3x2 y 2 δy (x, y) = 2x3 y δx 2 (x, y) = 6xy 2 δy 2 (x, y) = 2x 3 δxδy (x, y) = 6x2 y δyδx (x, y) = 6x2 y δx (x, y) = ex2 y 2 2x δy (x, y) = ex2 y 2 ( 2y) δx 2 (x, y) = (2xe x2 y 2 )2x + e x2 y 2 2 = 4x 2 e x2 y 2 + 2e x2 y 2 = 2e x2 y 2 (2x 2 + 1) δy 2 (x, y) = ( 2ye x2 y 2 )( 2y) + e x2 y 2 ( 2) = 4y 2 e x2 y 2 2e x2 y 2 = 2e x2 y 2 (2y 2 1) δxδy (x, y) = (2xex2 y 2 )( 2y) = 4xye x2 y 2 δyδx (x, y) = ( 2yex2 y 2 )2x = 4xye x2 y 2 2x δx (x, y) = 2y δy (x, y) = 1+x 2 +y 2 1+x 2 +y 2 δx (x, y) = 2(1+x2 +y 2 ) 2x(2x) 2 (1+x 2 +y 2 ) = 2 2x2 +2y 2 2 (1+x 2 +y 2 ) 2 40

42 δy 2 (x, y) = 2(1+x2 +y 2 ) 2y(2y) (1+x 2 +y 2 ) 2 = 2+2x2 2y 2 (1+x 2 +y 2 ) 2 δxδy (x, y) = 2y(2x) δyδx (x, y) = 2x(2y) (1+x 2 +y 2 ) 2 = (1+x 2 +y 2 ) 2 = 4xy (1+x 2 +y 2 ) 2 4xy (1+x 2 +y 2 ) 2 d. δx (x, y) = 12x2 y 4 δy (x, y) = 16x3 y 3 + 3y 2 δx 2 (x, y) = 24xy 4 δy 2 (x, y) = 48x 3 y 2 + 6y δxδy (x, y) = 48x2 y 3 δyδx (x, y) = 48x2 y 3 41

43 Capítulo 4 Hessiano e multiplicadores de Lagrange 4.1 Máximos e mínimos sem restrições Definições: Considere uma função z = f(x, y) no domínio D f e (x 0, y 0 ) D f. a. (x 0, y 0 ) é ponto de máximo (absoluto de f se f(x, y) f(x 0, y 0 ), (x, y) D f. Neste caso dizemos que f(x 0, y 0 ) é o máximo de f. b. (x 0, y 0 ) pe ponto de máxio local de f, se existe uma vizinança V do ponto (x 0, y 0 ) tal que f(x, y) f(x 0, y 0 ), (x, y) V. Neste caso, dizemos que f(x 0, y 0 ) é um máximo local de f. Analogaente, definimos ponto de mínimo (absoluto) de f e ponto de mínimo local de f. Por exemplo, para a função f(x, y) = 1 x 2 y 2, (x, y) R 2, (0, 0) é ponto de máximo de f e f(, 0, 0) = 1 e o máximo de f. Teorema: Seja z = f(x, y), (x, y) D f e (x 0, y 0 ) um ponto no interior de D f. Se (x 0, y 0 ) é ponto de máximo (local ou absoluto) ou de mínimo (local ou absolto) de f, e se f é diferenciável em (x 0, y 0 ), então δx (x 0, y 0 ) = 0 e δy (x 0, y 0 ) = 0. Definição: Um ponto (x 0, y 0 ) D f cama-se ponto crítico de f, se δx (x 0, y 0 ) = δy (x 0, y 0 ) = 0. Por exemplo, seja f(x, y) = xy uma função. Temos que: (x, y) = y (x, y) = 0 y = 0 δx δx (x, y) = x (x, y) = 0 x = 0 δy δy 42

44 Portanto, (0, 0) é um ponto crítico de f. Teorema: Seja z = f(x, y) uma função de classe C 2 (isto é, onde as derivadas de 2 a ordem são contínuas) e (x 0, y 0 ) um ponto no interior de D f tal que δx (x 0, y 0 ) = δy (x 0, y 0 ) = 0 (isto é, (x 0, y 0 ) é ponto crítico de f). Considere H(x 0, y 0 ) = δx (x 2 0, y 0 ) δxδy (x 0, y 0 ) δyδx (x 0, y 0 ) δy (x 2 0, y 0 ) (camado o essiano de f no ponto (x 0, y 0 ). a. Se H(x 0, y 0 ) > 0 e δ2 f δx 2 (x 0, y 0 ) > 0, então (x 0, y 0 ) é ponto de mínimo local de f. b. Se H(x 0, y 0 ) > 0 e δ2 f δx 2 (x 0, y 0 ) < 0, então (x 0, y 0 ) é ponto de máximo local de f. c. Se H(x 0, y 0 ) < 0 então (x 0, y 0 ) é ponto de sela. d. Se H(x 0, y 0 ) = 0, o critério nada decide. Exemplo 1: Estude a função f(x, y) = x 5 + y 5 5x 5y quanto a máximos e mínimos locais. Em primeiro lugar, vamos calcular as derivadas parciais de 1 a e 2 a ordem: δx (x, y) = 5x4 5 δy (x, y) = 5y4 5 (x, y) = 20x3 δx2 (x, y) = 20y3 δy2 δyδx (x, y) = δ2 f (x, y) = 0 δxδy Os pontos críticos da função são aqueles que satisfazem δx (x, y) = 0 e δy (x, y) = 0. Isto é: 5x 4 5 = 0 x 4 = 1 x = 1 ou x = 1 5y 4 5 = 0 y 4 = 1 y = 1 ou y = 1 Portanto, os pontos críticos são (1, 1), (1, 1), ( 1, 1), ( 1, 1). Agora vamos calcular o essiano: 43

45 20x H(x, y) = y 3 O determinante dessa matriz é dado por (20x 3 20y 3 ) (0 0) = 400x 3 y 3. Calculando o essiano nos pontos críticos temos: 20 0 H(1, 1) = 0 20 > 0 e (1, 1) = 20 > 0 δx2 (1,1) é ponto de mínimo local 20 0 H(1, 1) = 0 20 < H( 1, 1) = 0 20 < 0 (1,-1) é ponto de sela (-1,1) é ponto de sela 20 0 H( 1, 1) = 0 20 > 0 e ( 1, 1) = 20 < 0 δx2 (1,1) é ponto de máximo local 4.2 Máximos e mínimos com restrições Para calcularmos os pontos de máximo e de mínimo de uma função (f(x, y)) sujeita à uma restrição (g(x, y)) utilizaremos a método dos multiplicadores de Lagrange. Seja f(x, y) uma função e g(x, y) = 0 uma restrição (é importante notar que a restrição é igual a zero). A função de Lagrange é definida por L(x, y, λ) = f(x, y) λg(x, y) O método consiste em resolver o sistema de equações dados pelas derivadas parciais de L(x, y, λ) igualadas a zero. Isto é: δl δx = 0 δl δy = 0 g(x, y) = 0 Exemplo 1: Ace o ponto de máximo ou mínimo da função f(x, y) = x 2 +y 2 sujeito à restrição x + y = 4. 44

46 O primeiro passo é igualar a restrição à zero. Isto é: x + y = 4 x + y 4 = 0. Essa é a nossa g(x, y). Vamos montar a função de Lagrange L(x, y, λ) = f(x, y) λg(x, y) = x 2 + y 2 λ(x + y 4) Calculando as derivadas parciais de L(x, y, λ) em relação a x e y temos δl (x, y, λ) = 2x λ δx Assim, o sistema que temos que resolver é Resolvendo δl (x, y, λ) = 2y λ δy 2x λ = 0 2y λ = 0 x + y 4 = 0 y = λ 2 x = λ 2 λ 2 + λ 2 4 = 0 λ = 4 x = 4 2 = 2 y = 4 2 = 2 Assim, encontramos o ponto (2, 2). Agora precisamos saber se esse é um ponto de máximo ou de mínimo. Se ele for um ponto de máximo, então qualquer outro ponto f(x 0, y 0 ) será menor do que ele. Se ele for um ponto de mínimo, então qualquer outro ponto f(x 0, y 0 ) será maior do que ele. Vamos pegar o ponto (0, 4) (é importante que esse ponto está dentro da restrição g(x, y) = 45

47 x + y 4 = 0). Calculando o seu valor na função f temos f(0, 4) = = 16. Como f(2, 2) = = 8 < f(0, 4) = 16, concluímos que (2, 2) é ponto de mínimo. 46

48 Exercícios 1. Estude as funções com relação a máximos e mínimos. a. f(x, y) = x 2 + 3xy + 4y 2 6x + 2y b. f(x, y) = x 3 + 2xy + y 2 5x c. f(x, y) = x 2 + y 2 + 2xy + 4x 2y d. f(x, y) = x 3 3x 2 y + 27y 2. Uma empresa produz dois produtos, cujas quantidades são indicadas por x e y. Tais produtos são oferecidos ao mercado consumidor a preços unitários p 1 e p 2, respectivamente, e que dependem de x e de y conforme as equações: p 1 = 120 2x e p 2 = 200 y. O custo total da empresa para produzir e vender quantidades x e y dos produtos é dado por C = x 2 + 2y 2 + 2xy. Admitindo que toda a produção da empresa seja absorvida pelo mercado, determine a produção que maximiza o lucro. 3. Estude com relação a máximos e mínimos a função dada com as restrições dadas. a. f(x, y) = 3x + 2y e x 2 + y 2 = 1 b. f(x, y) = 3x + y e x 2 + 2y 2 = 1 c. f(x, y) = x 2 + 2y 2 e 3x + y = 1 4. Determine o ponto da reta x + 2y = 1 cujo produto das coordenadas seja máximo. 47

49 Respostas 1. a. Calculando as derivadas parciais: (x, y) = 2x + 3y 6 δx (x, y) = 3x + 8y + 2 δy (x, y) = 2 δx2 (x, y) = 8 δy2 Pontos críticos: δyδx (x, y) = δ2 f (x, y) = 3 δxδy 2x + 3y 6 = 0 x = 3y+6 3x + 8y + 2 = 0 2 3( 3y + 6 ) + 8y + 2 = 0 9y + 18 = 16y 4 y = Portanto, ( 56 2x + 3( ) 6 = 0 2x 6 = 7 7 7, 22 7 ) é um ponto crítico. x = x = 56 7 Portanto, ( 56 7, H(x, y) = 3 8 = 16 9 = 7 > 0 e 2 > 0 ) é ponto de mínimo local. Como f(x, y) é uma função polinomial de grau 2, esse ponto também é ponto de mínimo global. b. Calculando as derivadas parciais: δx (x, y) = 3x2 + 2y 5 48

50 (x, y) = 2x + 2y δy (x, y) = 6x δx2 (x, y) = 2 δy2 δyδx (x, y) = δ2 f (x, y) = 2 δxδy Pontos críticos: 3x 2 + 2y 5 = 0 2x + 2y = 0 y = x Substituindo: 3x 2 2x 5 = 0 = b 2 4aC = 64 x = b ± 2a Se x = 5 3, 2( ) + 2y = 0 y = 3. Se x = 1, 2( 1) + 2y = 0 y = 1. x = 5 3 Assim, os pontos críticos são: ( 5 3, 5 3 ) e ( 1, 1). ou x = 1 6x 2 H(x, y) = 2 2 H( 5 3, 5 3 ) = 6( 5 3 ) > 0 e 6(5 3 ) > 0 (5 3, 5 ) é ponto de mínimo local. 3 6( 1) 2 H( 1, 1) = < 0 ( 1, 1) 2 2 é ponto de sela. 49

51 c. Calculando as derivadas parciais: (x, y) = 2x + 2y + 4 δx (x, y) = 2y + 2x 2 δy (x, y) = 2 δx2 (x, y) = 2 δy2 Pontos críticos: δyδx (x, y) = δ2 f (x, y) = 2 δxδy 2x + 2y + 4 = 0 2y + 2x 2 = 0 x + y + 2 = 0 y + x 1 = 0 x = y + 1 Substituindo: ( y + 1) + y + 2 = 0 y = 1 2 x = 0 x = 3 2 Portanto, ( 3 2, 1 2 ) é ponto de sela. d. Calculando as derivadas parciais: 2 2 H(x, y) = = 4 4 = 8 < δx (x, y) = 3x2 6xy 50

52 δy (x, y) = 3x (x, y) = 6x 6y δx2 (x, y) = 0 δy2 δyδx (x, y) = δ2 f (x, y) = 6x δxδy Pontos críticos: 3x 2 6xy = 0 3x = 0 3x 2 = 27 x 2 = 9 x = 3 ou x = 3 Se x = 3, 3(3) 2 6(3)y = 0 y = 3 2. Se x = 3, 3( 3) 2 6( 3)y = 0 y = 3 2. Portanto, os pontos críticos são: (3, ) e ( 3, 2 ) Portanto, (3, 3 2 6x 6y 6x H(x, y) = 6x 0 = 36x2 < 0 3 ) e ( 3, 2 ) são pontos de sela. 2. Seja x a quantidade do produto 1 e y a quantidade do produto 2; p 1 = 120 2x o preço unitário do produto 1 e p 2 = 200 y o preço unitário do produto 2; e C = x 2 + 2y 2 + 2xy o custo total. O preço total é dado por: P = xp 1 + yp 2 = x(120 2x) + y(200 y) = 120x 2x y y 2 O lucro é dado por: L = P C = (120x 2x y y 2 ) (x 2 + 2y 2 + 2xy) = 120x 3x y 3y 2 2xy Essa é a nossa função de interesse. 51

53 Calculando as derivadas parciais δl (x, y) = 120 6x 2y δx δl (x, y) = 200 6y 2x δy δ 2 L (x, y) = 6 δx2 δ 2 L (x, y) = 6 δy2 Os pontos críticos são: δ 2 L δyδx (x, y) = δ2 L (x, y) = 2 δxδy 120 6x 2y = y 2x = x y = y x = 0 y = 60 3x 100 3(60 3x) x = 0 x = (10) y = 0 y = 30 Portanto o ponto crítico é (10, 30). Calculando o essiano 6 H(x, y) = 2 2 = 36 4 = 32 > 0 e 6 < 0 6 Portanto, (10, 30) é ponto de máximo. Assim, para maximizar o lucro a empresa deve produzir 10 unidades de p 1 e 30 unidades de p 2. 52

54 3. a. L(x, y, λ) = 3x + 2y λ(x 2 + y 2 1) δl (x, y, λ) = 3 2λx δx δl (x, y, λ) = 2 2λy δy 3 2λx = 0 2 2λy = 0 x 2 + y 2 1 = 0 x = 3 2λ e y = 1 λ ( 3 2λ )2 + ( 1 λ )2 1 = 0 λ 2 = λ = ± 2 Se λ = 13 2 x = e y = Se λ = 13 2 x = e y = Assim, ( , ) é ponto de máximo e ( , ) é ponto de mínimo. b. L(x, y, λ) = 3x + y λ(x 2 + 2y 2 1) δl (x, y, λ) = 3 2xλ δx δl (x, y, λ) = 1 4yλ δy 3 2xλ = 0 1 4yλ = 0 x 2 + 2y 2 1 = 0 x = 3 2λ e y = 1 4λ 53

55 ( 3 2λ )2 + 2( λ )2 1 = 0 38 = 16λ 2 λ = ± 4 Se λ = 38 4 x = e y = Se λ = 38 4 x = e y = Assim, ( , ) é ponto de máximo e ( , ) é ponto de mínimo. c. L(x, y, λ) = x 2 + 2y 2 λ(3x + y 1) δl (x, y, λ) = 2x 3λ δx δl (x, y, λ) = 4y λ δy 2x 3λ = 0 x = 3λ 2 4y λ = 0 y = λ 4 3x + y 1 = 0 3( 3λ 2 ) + (λ 4 ) = 1 18λ + λ 4 19λ = 4 λ = 4 19 x = 3( 4 19 ) 2 x = 6 19 y = ( 4 19 ) 4 Portanto, ( 6 19, 1 19 ) é ponto de mínimo. y = Nossa f(x, y) é o produto das coordenadas. Isto é, f(x, y) = xy. E a nossa restrição é a equação da reta x + 2y 1 = 0. A função de Lagrange é L(x, y, λ) = xy λ(x + 2y 1) As derivadas parciais são δl (x, y, λ) = y λ δx 54