1 Derivadas Parciais de Ordem Superior Em duas variáveis Em três variáveis. 1.3 Derivadas de Ordem
|
|
- Artur Cabral Arantes
- 5 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 Contents 1 Derivadas Parciais de Ordem Superior Em duas variáveis Em três variáveis Derivadas de Ordem Matriz Hessiana.1 Pontos Críticos Máximos e mínimos locais e pontos de sela Aplicação 5 1 Derivadas Parciais de Ordem Superior 1.1 Em duas variáveis Definição 1. Seja f : A R, A R, com f(x, y) a imagem da função. Fixada a variável, y, a derivada de f em relação a x, quando existe, é definida como a derivada parcial de f em relação a x, denotada por f x. Analogamente, fixada a variável, x, a derivada de f em relação a y, quando existe, é definida como a derivada parcial de f em relação a y, denotada por f f y. O vetor ( x, f y ) é denominado vetor gradiente de f Exemplo 1. Se x + 4xy y 3, então para calcularmos f x, fixamos y = k e derivamos a função x +4xk k 3 em relação a x. Assim f(x,k) x y = k, assim f(x,y) x = 4x + 4y. De forma análoga, fixamos k = x para calcularmos f(k,y) y dx (x +4xk k 3 ) = 4x+4k. Reescrevemos dy (k + 4ky y 3 ) = 4k 3y. Reescrevemos y = k, assim f(x,y) y = 4x 3y. Assim, o vetor gradiente de f é (4x + 4y, 4x 3y ). No ponto (1,-1) o vetor gradiente é (0, 1) Exemplo. Se x +y f x +y,então x é obtida fixando y = k, f(x,k) x pela regra do produto: f(x,k) x = x(x +k) (x +k )x (x +k) = xk(1 k)) (x +k). Portanto f(x,y) x Analogamente, fixamos x = k e calculamos f(k,y) y dy ( k +y y(k +y) (k +y ) (k +y) = yk +y k (k +y). Portanto f(k,y) y = x (y 1)+y (x +y) O vetor gradiente no ponto (1, ) é ( 4, 1 3 ) 1. Em três variáveis dx ( x +k x +k ) é calculada k +y ) e obtemos = xy(1 y)) (x +y). d dy ( k +y k +y ) = Definição. Seja f : A R, A R 3, com f(x, y, z) a imagem da função. Fixada a variável, y, a derivada de f em relação a x, quando existe, é definida como a derivada parcial de f em relação a x, denotada por f x. Analogamente, fixada a variável, x, a derivada de f em relação a y, quando existe, é definida como a derivada parcial de f em relação a y, denotada por f y. O mesmo ocorre para f f z. O vetor ( x, f y, f z ) é denominado vetor gradiente de f 1
2 Exemplo 3. Se f(x, y, z) = xz + 4x 3 yz x y z 3, então para calcularmos f x, fixamos y = k e z = c e derivamos a função xc +4x 3 kc x k c 3 em relação a x. Assim f(x,k,c) x dx (xc +4x 3 kc x k c 3 ) = c +1x kc xk c 3. Reescrevemos y = k e z = c, assim f(x,y,z) De forma análoga, fixamos k = x e c = z para calcularmos f(k,y,c) y 4k 3 c k yc 3. Reescrevemos x = k e z = c, assim f(x,y,z) y = 4x 3 z x yz 3. Podemos proceder como nos itens anteriores, ou calcular f(x,y,z) z x = z +1x yz xy z 3. dy (kc +4k 3 yc k y c 3 ) = diretamente, ou seja f(x,y,z) z = xz + 4x 3 y 3x y z O vetor gradiente é (z + 1x yz xy z 3, 4x 3 z x yz 3, xz + 4x 3 y 3x y z ), no ponto (-1,1,-1) o vetor gradiente é ( 13, 6, 5), ou seja a imagem de (z + 1x yz xy z 3, 4x 3 z x yz 3, xz + 4x 3 y 3x y z ), quando x = 1, y = 1 e z = 1 Exercício 1. Calcule as derivadas parciais da função y x +y +z Vamos estudas derivadas parciais de ordem superior, para funções do tipo f : A R, sendo A R ou A R 3. Exemplo 4. x xy + y 3 + xe y f(x, y, z) = exyz e x +e y +e f(x, y, z) = ex+y+z z e x +e y +e z 1.3 Derivadas de Ordem Seja f : R R, x xy 3 + 3x y y + 1. As derivadas parciais de f, são também funções de domínio R e contradomínio R. Assim, x x y3 + 6xy é uma função de duas variáveis sobre os reais. A função g(x, y) = x y 3 + 6xy, pode ser derivada parcialmente por x ou y. Desse xg(x, y) = + 6y e y g(x, y) = 6y + 6x. As derivadas parciais da função g, assim descritas, quando g = x, são derivadas parciais de ordem da função f. Ocorre, que o mesmo pode ser feito g = y. Definição 3. Seja f : R R uma função cujas derivadas parciais u = x f e v = y f admitem derivadas parciais x u, y u, e x v, y v. Estas são as derivadas parciais de ordem da função f, que denotamos: x u = y u = x f yx u xy v x v = y v = y v Exemplo 5. Se x 3 5y 4 xy 3x+4y 1, as derivadas parciais são x 6x y 3 e y 0y3 x+4 e as derivadas parciais de segunda ordem são x 1x, yx, xy e y 0y Exemplo 6. Se são x e x y e y (x 1) (xe x +ye y ) (y 1) (xe x +ye y ) ex+y 1 ye x +xe, podemos escrever y ye y +xe, as derivadas parciais x e as derivadas parciais de segunda ordem são
3 x e x ( x(xe x +ye y )+e x (x 1) (xe x +ye y ) 3 yx e (x+y) (x 1)(y 1) (xe x +ye y ) 3 xy e (x+y) (x 1)(y 1) (xe x +ye y ) 3 y e y ( y(xe x +ye y )+e y (y 1) (xe x +ye y ) 3 Matriz Hessiana Assim como definimos para as derivadas parciais um vetor chamado vetor gradiente, para as derivadas de ordem definimos a Matriz Hessiana. Definição 4. Seja f : R R uma função cujas derivadas de ordem estão definidas. A matriz [ x f H = xy f ] yx f, y f é denominada matriz Hessiana da função f e H(x 0, y 0 ) a imagem de cada derivada no ponto (x 0, y 0 ). Exemplo [ 7. Se f(x, ] y) = x 3 5y 4 xy 3x + [ 4y 1 a matriz ] Hessiana de f é a matriz 1x 1 H = 60y. No ponto ( 1, 1), H( 1, 1) = 60 Assim como para as funções de uma variável estudamos os pontos de máximo e mínimo local a partir das derivadas de primeira e segunda ordens, as funções de várias variáveis têm conceitos análogos para os pontos de máximo e mínimo local e os resultados são obtidos a partir das derivadas parciais de ordens 1 e, estas últimas relacionadas à matriz Hessiana. Definição 5. Seja A R, A R n. Dizemos que P 0 A é um ponto de máximo (respectivamente mínimo) local se f(p 0 ) f(p ) (respectivamente f(p 0 ) f(p )) para todo ponto P próximo de P 0, ou seja existe δ > 0 tal que, se P P 0 < δ, então f(p 0 ) f(p ) (respectivamente f(p 0 ) f(p )). Se esta condição é verificada para todo ponto P A \ {P 0 }, então P 0 é denominado ponto de máximo (resp. mínimo) global. Outras denominações são máximos ou mínimos relativos, como sinônimo de local e máximos ou mínimos absolutos, como sinônimos de globais. Exemplo 8. Se x + y 4, então (0, 0) é ponto de mínimo global. Se 3 x, então (0, 0) é um ponto de máximo, em geral (0, y) são os pontos de máximo, para todo y R, ou seja, o conjunto dos pontos de máximo é o eixo y..1 Pontos Críticos A definição a seguir, em condições particulares, permite estudar os pontos de máximo ou mínimo de uma função. Definição 6. Seja f : A R, A R n. Um ponto P = (x 1, x,, x n ) A, para o qual existam as derivadas parciais x i f(p ) é um ponto crítico se ocorrer x i f(p ) = 0, para todo 1 i n. 3
4 Exemplo. Os pontos { críticos da função 3x 3 y xy 3x + 4y 1 são determinados resolvendo o sistema: x x y 3 = 0, cuja solução é obtida a partir de y = y y x + 4 = 0 x 4 e x + x 4 3 = 0 = x + x 7 = 0, logo x = 1 e y = 3 ou x = 7 e y = 11. O conjunto dos pontos críticos de f é {{( 1, 3), ( 7, 11 )}. O próximo exemplo mostra que o conjunto de pontos críticos pode ser infinito. Exemplo 10. Os pontos críticos da função x y xy+3: temos o sistema x xy y = 0 y x y x = 0. { y(xy 1) = 0 Assim x(xy 1) = 0. Ou xy = 1 então x R e y = 1 x, ou x = y = 0. Assim o conjunto dos pontos críticos é {(0, 0)} {(x, 1 x ), x R }, que é um conjunto infinito. Exemplo 11. Para a função f(x, y, z) = e (x+y+z), temos o seguinte sistema x f(x, y, z) = (x + y + z)e (x+y+z) = 0 y f(x, y, z) = (x + y + z)e (x+y+z) = 0. z f(x, y, z) = (x + y + = 0 z)e (x+y+z) Portanto x + y + z = 0, logo o conjunto dos pontos críticos é o plano {(x, y, x y), x, y R}.. Máximos e mínimos locais e pontos de sela O resultado a seguir é para funções de várias variáveis sobre um conjunto compacto. Vamos nos restringir a funções de duas variáveis sobre intervalos fechados, de modo que podemos relacionar pontos críticos com pontos de máximo ou mínimos locais. Seja f : [a, b] [c, d] R. Se P 0 é um ponto de máximo ou mínimo local, então P 0 é um ponto crítico. Podemos verificar essa propriedade de um modo bastante natural. Vamos considerar um contorno y = y 0, então f(x, y 0 ) é uma função de uma variável. Sendo P 0 (x 0, y 0 ) um ponto de máximo local (ou de mínino), então f(x, y 0 ) é máximo local em x = x 0, logo a derivada d dx f(x, y 0) é nula em x = x 0, pois x 0 é ponto crítico de f(x, y 0 ). Mas d dx f(x, y 0) = xf(x, y), assim x f(x 0, y 0 ) = 0. Da mesma forma y f(x 0, y 0 ) = 0 e portanto (x 0, y 0 ) é um ponto crítico. Mas, não é verdade que se P 0 é um ponto crítico, então P 0 é um ponto de máximo ou mínimo local. Por exemplo a função x y. É de verificação imediata que (0, 0) é um ponto crítico. Porém, para o contorno y = 0, a função f(x, 0) = x admite ponto de mínimo em x = 0, ou seja f(0, 0) < f(x, 0), para valores de x próximo de zero. Enquanto que, no contorno x = 0, a função f(0, y) = y admite máximo local em y = 0, portanto f(0, 0) > f(0, y), para valores y próximos de zero. Então, próximo de (0, 0) ocorre que f(0, 0) < f(x, 0) e f(0, 0) > f(0, y), logo (0, 0) não é ponto de máximo nem de mínimo local. O ponto crítico (0, 0), para esta função f, é denominado ponto de sela. O próximo resultado, indica quando um ponto crítico pode ser considerado máximo ou mínimo local. O resultado pode ser obtido, estudando os contornos próximo do ponto considerado, bem como observando que as funções contínuas têm a propriedade que xy yxf(x, y), portanto, quando ocorrer que um ponto crítico (x 0, y 0 ) não é nem máximo ou mínimo local, no contorno, a curvatura das funções devem ser opostas, assim x f(x 0, y 0 ) y f(x 0, y 0 ) < 0, de modo que o determinante da matriz Hessiana H(x 0, y 0 ) será negativo, pois teremos a diferença entre um número negativo e um número quadrado, portanto sempre negativo. { 4
5 Teorema 1. Seja f : [a, b] [c, d] R e det(h(x, y)) = ( f(x, y) f(x, y) ( f(x, y) f(x, y)) x y xy yx o determinante da matriz Hessiana. Se (x 0, y 0 ) é um ponto crítico, então 1. Se det(h(x 0, y 0 )) > 0 e x f(x 0, y 0 )) < 0, então (x 0, y 0 ) é um ponto de máximo local de f;. Se det(h(x 0, y 0 )) > 0 e x f(x 0, y 0 )) > 0, então (x 0, y 0 ) é um ponto de mínimo local de f; 3. Se det(h(x 0, y 0 )) < 0, então (x 0, y 0 ) é um ponto de sela de f. As hipóteses não aplicadas ao teorema anterior NÃO permitem afirmar nenhuma propriedade local ao ponto crítico considerado. Assim, quando det(h(x 0, y 0 )) > 0 e x f(x 0, y 0 )) = 0, nada sabemos do ponto (x 0, y 0 ). Da mesma forma se det(h(x 0, y 0 )) = 0. Não iremos verificar que os pontos críticos que são mínimos ou máximos locais têm o determinante da matriz Hessiana positivo. Sabemos que no contorno, as curvaturas têm mesmo sinal, assim o produto x f(x 0, y 0 ) y f(x 0, y 0 ) > 0, porém não é evidente que este número positivo seja maior que o número quadrado f(x, y) f(x, y). xy yx Exemplo { 1. Seja x y + 10x + 6y xy. Os pontos críticos são soluções do sistema x 4x + 10 y = 0,, portanto x = e y = é solução, logo (, ) é ponto y + 6 x = 0 y crítico. A matriz Hessiana é calculada a partir das derivadas de ordem. Assim, [ ] x 4, y, 4 1 xy yx 1 e H(x, y) = cujo determinante é = 7 > 0, sendo x 4 < 0, o ponto crítico (, ) é ponto de máximo local. Exemplo 13. Se 3x 3 y xy 3x + 4y 1, vimos que o conjunto dos pontos críticos é {{( 1, 3), ( 7, 11 )}. As derivadas de ordem são x 18x, y, xy [ ] 18x yx. A matriz Hessiana de f é a matriz H =. O determinante é det(h(x, y)) = 36x 4, nos pontos críticos temos: det(h( 1, 3)) = 36x 4 = 36 4 = 3 > 0 e x f( 1, 4) = 18( 1) = 18 < 0 é ponto de máximo local; det(h( 7, 11 )) = 8 4 = 3 < 0 logo ( 7, 11 ) é um ponto de sela. Exemplo 14. Se x y xy + 3, vimos que o conjunto dos pontos críticos é {(0, 0)} {(x, 1 x ), x R }. As derivadas de ordem são: x y, y x, xy [ ] y yx 4xy. A matriz Hessiana de f é a matriz H = 4xy 4xy x. O determinante é det(h(x, y)) = 4x y (4xy ) = 1x y + 16xy 4. Para o ponto crítico (0, 0), det(h(x, y)) = 4 < 0, logo (0, 0) é um ponto de sela. Para os pontos críticos (x, y) os quais xy = 1, det(h(x, y)) = 1x y + 16xy 4 = = 0, nada podemos concluir. Com efeito, x y xy + 3 = (xy 1) +, assim os pontos críticos (x, y) cujo xy = 1 são pontos de mínimo global de f, que em particular também são minimos locais. Exemplo 15. Se [ 4xy] x y 4, os pontos fixos são (0, 0), (1, 1), ( 1, 1). A matriz 4 4 Hessiana é H = 4 1y e det(h(x, y)) = 48y 16. Para (0, 0), det(h(0, 0)) = 16 < 0, 5
6 portanto ponto de sela. Para (1, 1) e ( 1, 1), det(h(0, 0)) = 3 > 0, sendo x 4, então ambos são pontos de máximo local. 3 Aplicação Uma empresa produz as quantidades x 0 e y 0 de dois produtos X e Y, cujo preço de venda unitário de X é 4y e o preço unitário de Y é 6xy. Um estudo revelou que o o custo da produção das quantidades x e y é C(x, y) = x 4 + y 4. Queremos saber se existe alguma produção (x, y) que maximize o lucro? Inicialmente, determinamos os preços de venda P x = (4y )x de X e P y = (6xy)y, resultando em P (x, y) = P x + P y = 10xy. Assim o lucro é L(x, y) = 10xy x 4 y 4. Os { pontos críticos: x L(x, y) = 10y 4x 3 = 0 y L(x, y) = 0xy 4y3 = 0,, reduz-se a: 5x = y e 5y = x 3 = 5(5x), então [ ] x = 5 e y = x. A matriz Hessiana é H(x, y) = 0y 0y 0x 1y e det(h( 5, )) = 800( ) > 0 e x 1 5 < 0, logo ( 5, ) é um ponto de máximo local. 6
DERIVADAS PARCIAIS. y = lim
DERIVADAS PARCIAIS Definição: Seja f uma função de duas variáveis, x e y (f: D R onde D R 2 ) e (x 0, y 0 ) é um ponto no domínio de f ((x 0, y 0 ) D). A derivada parcial de f em relação a x no ponto (x
Leia maisNoções de matemática. Maurício Yoshida Izumi
Noções de matemática Maurício Yosida Izumi 29 de agosto de 2015 Sumário 1 Notação e funções 2 1.1 Números reais........................................ 2 1.2 Intervalos...........................................
Leia maisDerivadas Parciais. Sumário. 1 Funções de Várias Variáveis. Raimundo A. R. Rodrigues Jr. 1 de agosto de Funções de Duas Variáveis.
Derivadas Parciais Raimundo A. R. Rodrigues Jr 1 de agosto de 2016 Sumário 1 Funções de Várias Variáveis 1 1.1 Funções de Duas Variáveis.............................. 1 1.2 Grácos........................................
Leia maisMAT 2454 Cálculo II Resolução da Lista 3
MAT 2454 Cálculo II Resolução da Lista 3 por César Morad I. Superfícies de Nível, Planos Tangentes e Derivadas Direcionais 1.1. Em cada caso, esboce a superfície de nível c da função F: R 2 R: a. F(x,
Leia mais(x,y) x Exemplo: (x, y) ou f x. x = f x = 2xy. y = f y
1 DEFINIÇÃO DE Chamamos de derivada parcial quando temos uma função que envolve mais de uma variável e queremos derivar em relação a uma delas. De forma geral, basta derivarmos em relação à variável de
Leia maisEscola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz Universidade de São Paulo. Módulo I: Cálculo Diferencial e Integral Funções de Duas ou Mais Variáveis
Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz Universidade de São Paulo Módulo I: Cálculo Diferencial e Integral Funções de Duas ou Mais Variáveis Professora Renata Alcarde Sermarini Notas de aula do
Leia maisCálculo Infinitesimal II / Cálculo II - Apontamentos de Apoio Capítulo 3 - Funções de n Variáveis
Cálculo Infinitesimal II / Cálculo II - Apontamentos de Apoio Capítulo 3 - Funções de n Variáveis Neste capítulo vamos estender as noções do cálculo diferencial a funções que dependem de mais de uma variável
Leia maisDerivadas Parciais Capítulo 14
Derivadas Parciais Capítulo 14 DERIVADAS PARCIAIS Como vimos no Capítulo 4, no Volume I, um dos principais usos da derivada ordinária é na determinação dos valores máximo e mínimo. DERIVADAS PARCIAIS 14.7
Leia maisMAT-2454 Cálculo Diferencial e Integral II EP-USP
MAT-454 Cálculo Diferencial e Integral II EP-USP Solução da Questão da Terceira Prova 8//06 Questão (Tipo A Valor: 3, 0 pontos). a. Determine todos os pontos da superfície de nível da função g(x, y, z)
Leia maisJustifique todas as passagens. f v (0,0) = f(0,0) v.
2 ā Prova de Cálculo II para Oceanográfico - MAT145 27/10/2010 Nome : GABARITO N ō USP : Professor : Oswaldo Rio Branco de Oliveira Justifique todas as passagens Q 1 2 3 4 5 6 7 Total N 1. Dê exemplos
Leia maisAula 15. Derivadas Direcionais e Vetor Gradiente. Quando u = (1, 0) ou u = (0, 1), obtemos as derivadas parciais em relação a x ou y, respectivamente.
Aula 15 Derivadas Direcionais e Vetor Gradiente Seja f(x, y) uma função de variáveis. Iremos usar a notação D u f(x 0, y 0 ) para: Derivada direcional de f no ponto (x 0, y 0 ), na direção do vetor unitário
Leia maisTotal Escolha 5 (cinco) questões. Justifique todas as passagens. Não é permitido o uso de calculadoras. Boa Sorte!
ā Prova de MAT 147 - Cálculo II - FEA-USP 8/11/01 Nome : GABARITO N ō USP : Professor : Oswaldo Rio Branco de Oliveira Q 1 4 5 6 7 Total N Escolha 5 (cinco) questões. Justifique todas as passagens. Não
Leia maisMATEMÁTICA II. Profa. Dra. Amanda Liz Pacífico Manfrim Perticarrari
MATEMÁTICA II Profa. Dra. Amanda Liz Pacífico Manfrim Perticarrari amanda.perticarrari@unesp.br DERIVADAS PARCIAIS DERIVADAS PARCIAIS Sejam z = f x, y uma função real de duas variáveis reais; x 0, y 0
Leia maisMAT 3210 Cálculo Diferencial e Integral II. Prova 2 C
MAT 310 Cálculo Diferencial e Integral II Prof. Paolo Piccione 3 de Novembro de 011 Prova C Nome: Número USP: Assinatura: Instruções A duração da prova é de uma hora e quarenta minutos. Assinale as alternativas
Leia maisMAT 3210 Cálculo Diferencial e Integral II. Prova 2 A
MAT 310 Cálculo Diferencial e Integral II Prof. Paolo Piccione 3 de Novembro de 011 Prova A Nome: Número USP: Assinatura: Instruções A duração da prova é de uma hora e quarenta minutos. Assinale as alternativas
Leia maisMAT 3210 Cálculo Diferencial e Integral II. Prova 2 B
MAT 3210 Cálculo Diferencial e Integral II Prof. Paolo Piccione 23 de Novembro de 2011 Prova 2 B Nome: Número USP: Assinatura: Instruções A duração da prova é de uma hora e quarenta minutos. Assinale as
Leia maisMáximos e mínimos (continuação)
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CÁLCULO II - PROJETO NEWTON AULA 3 Assunto: Máximos e mínimos Palavras-chaves: máximos e mínimos, valores máximos e valores mínimos Máximos e mínimos (continuação) Sejam f
Leia maisOs únicos candidatos a extremantes locais são os pontos críticos de f pois o D f 2 é aberto. f
CAPÍTULO 16 Exercícios 16 1 Seja (x y) x y xy x y Os únicos candidatos a extremantes locais são os pontos críticos de pois o D é aberto De ( x x y ) x y ( y x y ) y x 1 resulta que os candidatos a extremantes
Leia maisExame de Matemática II - Curso de Arquitectura
Exame de Matemática II - Curso de ruitectura o semestre de 8 7 de Junho de 8 esponsável Henriue Oliveira a Parte. Considere a seguinte função f! de nida por f(x ; x ; x ) (x cos (x ) ; x sin (x ) ; x ).
Leia mais15 AULA. Máximos e Mínimos LIVRO. META Encontrar os pontos de máximo e mínimo de uma função de duas variáveis a valores reais.
1 LIVRO Máximos e Mínimos 1 AULA META Encontrar os pontos de máximo e mínimo de uma função de duas variáveis a valores reais. OBJETIVOS Maximizar e/ou minimizar função de duas variáveis a valores reais.
Leia maisMAT 3210 Cálculo Diferencial e Integral II. Prova SUB B
MAT 3210 Cálculo Diferencial e Integral II Prof. Paolo Piccione 25 de Novembro de 2011 Prova SUB B Nome: Número USP: Assinatura: Instruções A duração da prova é de uma hora e quarenta minutos. Assinale
Leia maisMAT 3210 Cálculo Diferencial e Integral II. Prova SUB C
MAT 3210 Cálculo Diferencial e Integral II Prof. Paolo Piccione 25 de Novembro de 2011 Prova SUB C Nome: Número USP: Assinatura: Instruções A duração da prova é de uma hora e quarenta minutos. Assinale
Leia maisMAT 3210 Cálculo Diferencial e Integral II. Prova SUB D
MAT 3210 Cálculo Diferencial e Integral II Prof. Paolo Piccione 25 de Novembro de 2011 Prova SUB D Nome: Número USP: Assinatura: Instruções A duração da prova é de uma hora e quarenta minutos. Assinale
Leia maisRespostas sem justificativas não serão aceitas Não é permitido o uso de aparelhos eletrônicos
UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DE PERNAMBUCO UNIDADE ACADÊMICA DO CABO DE SANTO AGOSTINHO CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL - 018. - TURMA MA 1A VERIFICAÇÃO DE APRENDIZAGEM - PARTE Nome Legível RG CPF Respostas
Leia mais14 AULA. Vetor Gradiente e as Derivadas Direcionais LIVRO
1 LIVRO Vetor Gradiente e as Derivadas Direcionais 14 AULA META Definir o vetor gradiente de uma função de duas variáveis reais e interpretá-lo geometricamente. Além disso, estudaremos a derivada direcional
Leia maisCálculo Vetorial. Funções de duas variáveis Prof. Vasco Ricardo Aquino da Silva
Cálculo Vetorial Funções de duas variáveis Prof. Vasco Ricardo Aquino da Silva Retomando... Dada a função, determine: a. O domínio e sua representação gráfica; b. As curvas de nível para z=1, z=2, z=3;
Leia maisJustifique todas as passagens. Boa Sorte! e L 2 : = z 1 3
3 ā Prova de Cálculo II para Oceanográfico - MAT145 01/12/2010 Nome : GABARITO N ō USP : Professor : Oswaldo Rio Branco de Oliveira Justifique todas as passagens Boa Sorte! Q 1 2 3 4 5 Extra 6 Extra 7
Leia maisFunções de duas (ou mais)
Lista 5 - CDI II Funções de duas (ou mais) variáveis. Seja f(x, y) = x+y x y, calcular: f( 3, 4) f( 2, 3 ) f(x +, y ) f( x, y) f(x, y) 2. Seja g(x, y) = x 2 y, obter: g(3, 5) g( 4, 9) g(x + 2, 4x + 4)
Leia maisUniversidade Federal de Uberlândia
Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Matemática 2 a Prova de Matemática 2 - Data: 03/06/2016 Curso: Agronomia - Turma: M Professor: Germano Abud de Rezende GABARITO Escreva a resposta à caneta.
Leia maisMAT Cálculo 2 para Economia 3 a Prova - 28 de novembro de 2016
MAT 0147 - Cálculo para Economia 3 a Prova - 8 de novembro de 016 Questão 1) Determine o máximo e o mínimo de f(x, y) = x 4 + y em D = {(x, y); x + y 1}. Soluç~ao: As derivadas parciais f x (x, y) = 4x
Leia maisCÁLCULO II Prof. Jerônimo Monteiro
CÁLCULO II Pro. Jerônimo Monteiro Gabarito - Lista Semanal 08 Questão 1. Calcule 2 para (x, y, onde x = r cos θ e y = r sen θ. 2 Solução: Primeiro, calculamos pela regra da cadeia, como segue: = + = (
Leia maisMARTA CRISTINA DE MORAES PARIZI
SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL UNIVERSIDADE FEDERAL DO SUL E SUDESTE DO PARÁ INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS - ICE FACULDADE DE MATEMÁTICA - FAMAT MARTA CRISTINA DE MORAES PARIZI APLICAÇÕES DO MÉTODO DOS MULTIPLICADORES
Leia maisCálculo Diferencial e Integral II
Cálculo Diferencial e Integral II Prof. Rodrigo dos Santos Veloso Martins Departamento Acadêmico de Matemática Universidade Tecnológica Federal do Paraná (Esta página é deixada em branco propositadamente.)
Leia maisDerivadas direcionais Definição (Derivadas segundo um vector): f : Dom(f) R n R e P 0 int(dom(f)) então
Derivadas direcionais Definição (Derivadas segundo um vector): f : Dom(f) R n R e P 0 int(dom(f)) então Seja D v f(p 0 ) = lim λ 0 f(p 0 + λ v) f(p 0 ) λ v representa a derivada direcional de f segundo
Leia maisCálculo a Várias Variáveis I - MAT Cronograma para P2: aulas teóricas (segundas e quartas)
Cálculo a Várias Variáveis I - MAT 116 0141 Cronograma para P: aulas teóricas (segundas e quartas) Aula 10 4 de março (segunda) Aula 11 6 de março (quarta) Referências: Cálculo Vol James Stewart Seções
Leia maisCálculo II. Resumo e Exercícios P3
Cálculo II Resumo e Exercícios P3 Resuminho Teórico e Fórmulas Parte 1 Funções de Três Variáveis w = f(x, y, z) Definida em R +, apenas um valor de w para cada (x, y, z). Domínio de Função de Três Variáveis:
Leia maisUniversidade Estadual de Montes Claros Departamento de Ciências Exatas Curso de Licenciatura em Matemática. Notas de Aulas de
Universidade Estadual de Montes Claros Departamento de Ciências Exatas Curso de Licenciatura em Matemática Notas de Aulas de Cálculo Rosivaldo Antonio Gonçalves Notas de aulas que foram elaboradas para
Leia maisSEGUNDA CHAMADA CALCULO 2 2/2017
9/11/017 SEGUNDA CHAMADA CALCULO /017 PROF: RENATO FERREIRA DE VELLOSO VIANNA Questão 1,5 pontos). Resolva os problemas de valor inicial: y + 4y + 4y = e x {, y = xyy + 4), a) = y0) = 0, b) = y0) = 5.
Leia mais*** Escolha e resolva 4 das 6 questões! *** *** Justifique TODAS as suas respostas! *** + µ(x, y)sen(89x + π) 0 φ 6 (x, y) + µ 6 (x, y) 1.
USP/ICMC/SMA - Gabarito da 1 a Prova de Cálculo II - SMA- 11/10/006 Professora: Márcia Federson *** Escolha e resolva das 6 questões! *** *** Justifique TODAS as suas respostas! *** Questão 1 Sejam φ :
Leia mais= P = 9 6 = 3 2 = 1 1 2,
Exame 1 Resolução A distribuição da cotação total (0 valores pelos oito grupos de questões é a seguinte: Grupo 1 4 5 6 7 8 Cotação Exame 15 5 5 5 Cotação P-fólio 5 5 Q d = Q s 1 Dado o modelo de mercado
Leia maisMatemática 2. Teste Final. Atenção: Esta prova deve ser entregue ao fim de 1 Hora. Deve justificar detalhadamente todas as suas respostas.
Matemática 2 Lic. em Economia, Gestão e Finanças Data: 4 de Julho de 2017 Duração: 1H Teste Final Atenção: Esta prova deve ser entregue ao fim de 1 Hora. Deve justificar detalhadamente todas as suas respostas.
Leia maisMAT 121 : Cálculo II. Aula 27 e 28, Segunda 03/11/2014. Sylvain Bonnot (IME-USP)
MAT 121 : Cálculo II Aula 27 e 28, Segunda 03/11/2014 Sylvain Bonnot (IME-USP) 2014 1 Resumo 1 Derivadas parciais: seja f : R 2 R, a derivada parcial f x (a, b) é o limite (quando existe) lim h 0 f (a
Leia maisderivadas parciais até a ordem k existem e são contínuas em todo A. derivadas parciais de todas as ordens existem e são contínuas em todo A.
1 Funções de várias variáveis - 3 1.1 Classes de derivabilidade e derivadas mistas Definição. Seja f : D R e A D: dizemos que f é de classe C k em A (f C k (A)) se f e todas suas derivadas parciais até
Leia maisMAT CÁLCULO III - IFUSP Primeiro semestre de 2014 Professor Oswaldo Rio Branco de Oliveira
MAT 216 - CÁLCULO III - IFUSP Primeiro semestre de 2014 Professor Oswaldo Rio Branco de Oliveira http://www.ime.usp.br/~oliveira oliveira@ime.usp.br TRÊS TEOREMAS DAS FUNÇÕES IMPLÍCITAS - INTRODUÇÃO E
Leia maisAnálise Matemática II - 1 o Semestre 2001/ o Exame - 25 de Janeiro de h
Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise Análise Matemática II - 1 o Semestre 2001/2002 2 o Exame - 25 de Janeiro de 2001-9 h Todos os cursos excepto Eng. Civil,
Leia maisCurso: Engenharia Ambiental. Disciplina: Equações Diferenciais Ordinárias. Professora: Dr a. Camila N. Boeri Di Domenico NOTAS DE AULA 2
Curso: Engenharia Ambiental Disciplina: Equações Diferenciais Ordinárias Professora: Dr a. Camila N. Boeri Di Domenico NOTAS DE AULA 2 11. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS DE 2º ORDEM y (x) = f (x,y,y
Leia maisCálculo II. Derivadas Parciais
Cálculo II Derivadas Parciais (I) (II) Definição Se f é uma função de duas variáveis, suas derivadas parciais são as funções f x e f y definidas por f x ( x, y) lim h 0 f ( x h, y) f( x,
Leia maisMáximos e mínimos UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CÁLCULO II - PROJETO NEWTON AULA 22. Assunto: Máximos e mínimos
Assunto: Máximos e mínimos UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CÁLCULO II - PROJETO NEWTON AULA Palavras-chaves: máximos e mínimos, valores máximos e valores mínimos Máximos e mínimos Sejam f uma função a valores
Leia maisAula 15 Derivadas parciais de ordens superiores
MÓDULO 1 AULA 15 Aula 15 Derivadas parciais de ordens superiores Objetivos Usar a Regra da Cadeia para calcular derivadas parciais de ordens superiores. Conhecer uma condição suficiente para a comutatividade
Leia maisCálculo II Lista 5. com respostas
Cálculo II Lista 5. com respostas Exercício 1. Determine os pontos críticos das funções dadas e classifique-os, decidindo se são pontos de máximo local, de mínimo local ou de sela: (a) f(x, y) = x 2 +
Leia maisEQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES SEGUNDA ORDEM
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES SEGUNDA ORDEM 02/04/2014 Prof. Geraldine Revisão de Álgebra Linear Definição de conjunto Linearmente Independente Dizemos que as funções f ( x), f ( x) são LI, em um 1 2
Leia maisPrimitivas e a integral de Riemann Aula 26
Primitivas e a integral de Riemann Aula 26 Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil 13 de Maio de 2014 Primeiro Semestre de 2014 Turma 2014106 - Engenharia Mecânica
Leia maisCÁLCUL O INTEGRAIS TRIPLAS ENGENHARIA
CÁLCUL O INTEGRAIS TRIPLAS ENGENHARIA 1 INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DE Nas integrais triplas, temos funções f(x,y,z) integradas em um volume dv= dx dy dz, sendo a região de integração um paralelepípedo P=
Leia maisMultiplicadores de Lagrange
Multiplicadores de Lagrange Para motivar o método, suponha que queremos maximizar uma função f (x, y) sujeito a uma restrição g(x, y) = 0. Geometricamente: queremos um ponto sobre o gráfico da curva de
Leia maisCálculo Diferencial e Integral II
Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise Cálculo Diferencial e Integral II Ficha de trabalho 1 (versão de 6/0/009 (Esboço de Conjuntos. Topologia. Limites. Continuidade
Leia maisAnálise Matemática II TESTE/EXAME
Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática o Semestre 4-5 a Data Análise Matemática II TESTE/EXAME CURSOS: LEAMB, LEEC, LCI, LQ, LEQ, LEBL Obtenha uma primitiva de cada uma das funções definidas
Leia mais1. as equações paramétricas da reta que contém o ponto A e é perpendicular ao plano de equação x 2y + 3z = 17;
PROVA 1 09 de setembro de 2015 08h30 1 2 3 4 5 081 x = 1 + 3t 0811 Considere a reta L de equações paramétricas y = t z = 5 A = (5, 0, 2). Obtenha e o ponto 1. as equações paramétricas da reta que contém
Leia maisP4 de Cálculo a Várias Variáveis I MAT Data: 02 de julho
P de Cálculo a Várias Variáveis I MAT 6 03. Data: 0 de julho Nome: Assinatura: Matrícula: Turma: Questão Valor Nota Revisão 5.0 5.0 Total 0.0 Instruções Mantenha seu celular desligado durante toda a prova.
Leia maisAPLICAÇÕES DA DERIVADA PARCIAL Economia Prof. Dr. Jair S. Santos
APLICAÇÕES DA DERIVADA PARCIAL Economia Prof. Dr. Jair S. Santos Função de Produção Superfície de Demanda Produtividade Marginal Bens competitivos e complementares Elasticidade Marginal de Demanda ercícios
Leia maisIntegrais triplas UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ CÁLCULO II - PROJETO NEWTON AULA 28. Assunto: Integrais Triplas
Assunto: Integrais Triplas UNIVRSIDAD FDRAL DO PARÁ CÁLCULO II - PROJTO NWTON AULA 8 Palavras-chaves: integração, integrais triplas, volume, teorema de Fubini, soma de Riemann Integrais triplas Assim como
Leia maisANÁLISE MATEMÁTICA III A TESTE 1 10 DE OUTUBRO DE :10-16H. Duração: 50 minutos
Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise Última actualização: 10/Out/2005 ANÁLISE MATEMÁTICA III A TESTE 1 10 DE OUTUBRO DE 2005 15:10-16H RESOLUÇÃO (As soluções aqui propostas não são únicas!)
Leia maisDerivadas Parciais Capítulo 14
Derivadas Parciais Capítulo 14 DERIVADAS PARCIAIS 14.3 Derivadas Parciais Nesta seção, nós aprenderemos sobre: Os vários aspectos de derivadas parciais. INTRODUÇÃO Em um dia quente, a umidade muito alta
Leia maisd [xy] = x cos x. dx y = sin x + cos x + C, x
Instituto de Matemática e Estatística da USP MAT2455 - Cálculo Diferencial e Integral IV para Engenharia 3a. Prova - 2o. Semestre 2011-21/11/2011 Turma A Questão 1. a) (1,0 ponto) Determine a solução geral
Leia maisDerivadas Parciais Capítulo 14
Derivadas Parciais Capítulo 14 DERIVADAS PARCIAIS 14.2 Limites e Continuidade Nesta seção, aprenderemos sobre: Limites e continuidade de vários tipos de funções. LIMITES E CONTINUIDADE Vamos comparar o
Leia maisLista de Exercícios de Cálculo 3 Sexta Semana
Lista de Exercícios de Cálculo 3 Sexta Semana Parte A 1. (i) Encontre o gradiente das funções abaixo; (ii) Determine o gradiente no ponto P dado; (iii) Determine a taxa de variação da função no ponto P
Leia maisGabarito da Prova Final Unificada de Cálculo IV Dezembro de 2010
Gabarito da Prova Final Unificada de Cálculo IV Dezembro de a Questão: (5 pts) Dentre as três séries alternadas abaixo, diga se convergem absolutamente, se convergem condicionalmente ou se divergem Justifique
Leia maisMAT 133 Cálculo II. Prova SUB C
MAT Cálculo II Prof Paolo Piccione 4 de dezembro de 2014 Prova SUB C 2014210 Nome: Número USP: Assinatura: Instruções A duração da prova é de uma hora e quarenta minutos Assinale as alternativas corretas
Leia maisA Derivada. Derivadas Aula 16. Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil
Derivadas Aula 16 Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil 04 de Abril de 2014 Primeiro Semestre de 2014 Turma 2014104 - Engenharia Mecânica A Derivada Seja x = f(t)
Leia maisMatemática para a Economia II - 7 a lista de exercícios Prof. Juliana Coelho
Matemática para a Economia II - 7 a lista de exercícios Prof. Juliana Coelho - Cacule a integral dupla I fx, y) dxdy onde f e R são dados abaixo. R a) fx, y) x + y e R [, ] [, ]; b) fx, y) x + xy + e R
Leia maisVariedades e Extremos Condicionados (Resolução Sumária)
Variedades e Extremos Condicionados (Resolução Sumária) 3 de Maio de 013 1. Mostre que os seguintes conjuntos são variedades e indique a respectiva dimensão: (a) {(x,y,z) R 3 : x +y z = 1}; Resolução:
Leia mais12 AULA. ciáveis LIVRO. META Estudar derivadas de funções de duas variáveis a valores reais.
1 LIVRO Diferen- Funções ciáveis META Estudar derivadas de funções de duas variáveis a valores reais. OBJETIVOS Estender os conceitos de diferenciabilidade de funções de uma variável a valores reais. PRÉ-REQUISITOS
Leia maisMAT 133 Cálculo II. Prova SUB A
MAT Cálculo II Prof Paolo Piccione 4 de dezembro de 2014 Prova SUB A 2014210 Nome: Número USP: Assinatura: Instruções A duração da prova é de uma hora e quarenta minutos Assinale as alternativas corretas
Leia maisATENÇÃO: O 2 ō Teste corresponde às perguntas 5 a 10. Resolução abreviada. 1. Seja f(x,y) = a) Determine o domínio de f e a respectiva fronteira.
Instituto uperior Técnico Departamento de Matemática ecção de Álgebra e Análise Cálculo Diferencial e Integral II 2 ō Teste/ ō Exame - de Janeiro de 2 Duração: Teste - h3m ; Exame - 3h Apresente e justifique
Leia maisCálculo Diferencial e Integral II Resolução do Exame/Teste de Recuperação 02 de Julho de 2018, 15:00h - versão 2 Duração: Exame (3h), Teste (1h30)
Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise Cálculo Diferencial e Integral II do Exame/Teste de Recuperação 2 de Julho de 218, 15:h - versão 2 Duração: Exame (3h),
Leia maisCálculo II. Resumo Teórico Completo
Cálculo II Resumo Teórico Completo Cálculo 2 A disciplina visa estudar funções e gráficos, de forma semelhante a Cálculo 1, mas expande o estudo para funções de mais de uma variável, bem como gráficos
Leia maisMESTRADO EM MACROECONOMIA e FINANÇAS Disciplina de Computação. Aula 06. Prof. Dr. Marco Antonio Leonel Caetano
MESTRADO EM MACROECONOMIA e FINANÇAS Disciplina de Computação Aula 06 Prof. Dr. Marco Antonio Leonel Caetano 1 Guia de Estudo para Aula 06 Aplicação de AutoValores - Usando autovalor para encontrar pontos
Leia maisUNIFEI - UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ
UNIFEI - UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ PROVA DE CÁLCULO 1 e 2 PROVA DE TRANSFERÊNCIA INTERNA, EXTERNA E PARA PORTADOR DE DIPLOMA DE CURSO SUPERIOR - 30/11/2014 CANDIDATO: CURSO PRETENDIDO: OBSERVAÇÕES:
Leia maisCapítulo Derivadas parciais de ordens superiores
Cálculo 2 - Capítulo 2.5 - Derivadas parciais de ordens superiores 1 Capítulo 2.5 - Derivadas parciais de ordens superiores 2.5.1 - Derivadas parciais de segunda ordem 2.5.3 - Derivadas parciais de ordens
Leia maisLista 5: Rotacional, Divergente, Campos Conservativos, Teorema de Green
MAT 003 2 ō Sem. 207 Prof. Rodrigo Lista 5: Rotacional, Divergente, Campos Conservativos, Teorema de Green. Considere o campo de forças F (x, y) = f( r ) r, onde f : R R é uma função derivável e r = x
Leia mais3 A Reta Tangente Definição: Seja y = f(x) uma curva definida no intervalo. curva y = f(x). A reta secante s é a reta que passa pelos pontos
3 A Reta Tangente Definição: Seja y = f(x) uma curva definida no intervalo (a, b) Sejam P(p, f(p)) e Q(x, f(x)) dois pontos distintos da curva y = f(x). A reta secante s é a reta que passa pelos pontos
Leia maisEstudo de funções reais de várias variáveis
Estudo de funções reais de várias variáveis Sofia Castro Gothen Faculdade de Economia do Porto Setembro de 2002 Introdução Nestes apontamentos é feito o estudo de funções de várias variáveis. Sendo estas
Leia maisResumo com exercícios resolvidos dos assuntos:
www.engenhariafacil.weebly.com (0)- Considerações iniciais: Resumo com exercícios resolvidos dos assuntos: Máximos e mínimos absolutos e Multiplicador de Lagrange -Grande parte das funções não possui máximos
Leia maisCURSO de MATEMÁTICA (Niterói) - Gabarito
UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE TRANSFERÊNCIA o semestre letivo de 006 e 1 o semestre letivo de 007 CURSO de MATEMÁTICA (Niterói) - Gabarito Verifique se este caderno contém: INSTRUÇÕES AO CANDIDATO PROVA
Leia maisAula 13. Plano Tangente e Aproximação Linear
Aula 13 Plano Tangente e Aproximação Linear Se fx) é uma função de uma variável, diferenciável no ponto x 0, então a equação da reta tangente à curva y = fx) no ponto x 0, fx 0 )) é dada por: y fx 0 )
Leia maisDERIVADAS PARCIAIS. A derivada parcial de f em relação a y, no ponto (x, y), é o limite
Teoria DERIVADAS PARCIAIS Definições Básicas: A derivada parcial de f em relação a x, no ponto (x, y), é o limite f x (x, y) = lim f(x + x, y) f(x, y) x 0 x em que y é mantido constante. A derivada parcial
Leia maisCÁLCULO III - MAT Encontre todos os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela nas seguintes funções:
UNIVERSIDADE FEDERAL DA INTEGRAÇÃO LATINO-AMERICANA Instituto Latino-Americano de Ciências da Vida e da Natureza Centro Interdisciplinar de Ciências da Natureza CÁLCULO III - MAT0036 9 a Lista de exercícios
Leia maisCÁLCULO II - MAT 2127 Bacharelado em Química - 2 o Semestre de 2009 Professor Oswaldo Rio Branco
CÁLCULO II - MAT 7 Bacharelado em Química - o Semestre de 009 Professor Oswaldo Rio Branco MÁXIMOS E MÍNIMOS CONDICIONADOS E MULTIPLICADORES DE LAGRANGE Definições: Seja f : Dom(f) R, Dom(f) R n, n =,
Leia maisCÁLCULO I. 1 Concavidade. Objetivos da Aula. Aula n o 19: Concavidade. Teste da Segunda Derivada. Denir concavidade de uma função;
CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o 19: Concavidade. Teste da Segunda Derivada. Objetivos da Aula Denir concavidade de uma função; Denir ponto de inexão;
Leia maisAno INTRODUÇÃO E EXEMPLOS Professor Oswaldo Rio Branco de Oliveira
Ano 2015-2018-2019 TRS TEOREMAS DAS FUNÇÕES IMPLÍCITAS - INTRODUÇÃO E EXEMPLOS Professor Oswaldo Rio Branco de Oliveira http://www.ime.usp.br/~oliveira oliveira@ime.usp.br 1. OTeoremaFundamentaldasFunçõesImpĺıcitas...2
Leia maisSeja (X,Y) uma v.a. bidimensional contínua ou discreta. Define-se valor esperado condicionado de X para um dado Y igual a y da seguinte forma:
46 VALOR ESPERADO CONDICIONADO Seja (X,Y) uma v.a. bidimensional contínua ou discreta. Define-se valor esperado condicionado de X para um dado Y igual a y da seguinte forma: Variável contínua E + ( X Y
Leia maisSoluções abreviadas de alguns exercícios
Tópicos de cálculo para funções de várias variáveis Soluções abreviadas de alguns exercícios Instituto Superior de Agronomia - 2 - Capítulo Tópicos de cálculo diferencial. Domínio, curva de nível e gráfico.
Leia maisMétodos de Pesquisa Operacional
Métodos de Pesquisa Operacional Programação Linear é a parte da Pesquisa Operacional que trata da modelagem e resolução de problemas formulados com funções lineares. Programação Linear } Métodos de Resolução
Leia maisPROFESSOR: RICARDO SÁ EARP
LISTA DE EXERCÍCIOS SOBRE TRABALHO, CAMPOS CONSERVATIVOS, TEOREMA DE GREEN, FLUXO DE UM CAMPO AO LONGO DE UMA CURVA, DIVERGÊNCIA E ROTACIONAL DE UM CAMPO NO PLANO, FUNÇÕES HARMÔNICAS PROFESSOR: RICARDO
Leia maisUniversidade Federal do Paraná
Universidade Federal do Paraná Setor de Ciências Exatas Departamento de Matematica Prof. Juan Carlos Vila Bravo 1 ra Lista de exercicios de Cálculo Diferencial e Integral II FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
Leia maisAula 22 Derivadas Parciais - Diferencial - Matriz Jacobiana
Derivadas Parciais - Diferencial - Matriz Jacobiana MÓDULO 3 - AULA 22 Aula 22 Derivadas Parciais - Diferencial - Matriz Jacobiana Introdução Uma das técnicas do cálculo tem como base a idéia de aproximação
Leia maisDerivadas Parciais. Copyright Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
14 Derivadas Parciais Copyright Cengage Learning. Todos os direitos reservados. 14.6 Derivadas Direcionais e o Vetor Gradiente Copyright Cengage Learning. Todos os direitos reservados. Derivadas Direcionais
Leia maisMAT1153 / LISTA DE EXERCÍCIOS : CAMPOS CONSERVATIVOS, INTEGRAIS DE LINHA, TRABALHO E TEOREMA DE GREEN
MAT1153 / 2008.1 LISTA DE EXERCÍCIOS : CAMPOS CONSERVATIVOS, INTEGRAIS DE LINHA, TRABALHO E TEOREMA DE GREEN OBS: Faça os exercícios sobre campos conservativos em primeiro lugar. (1 Fazer exercícios 1:(c,
Leia maisAula 18. Método Multiplicadores Lagrange (continuação)
Aula 18 Método Multiplicadores Lagrange (continuação) Na aula anterior introduzimos o Método dos Multiplicadores de Lagrange, que serve para maximizar/minimizar uma função restrita a um domínio do tipo
Leia maisTotal. UFRGS - INSTITUTO DE MATEMÁTICA Departamento de Matemática Pura e Aplicada MAT Turma A /1 Prova da área I
UFRG - INTITUTO DE MATEMÁTICA Departamento de Matemática Pura e Aplicada MAT01168 - Turma A - 2018/1 Prova da área I 1-6 7 8 Total Nome: Cartão: Regras Gerais: Não é permitido o uso de calculadoras, telefones
Leia maisGabarito da Primeira Prova MAT Tipo A
Gabarito da Primeira Prova MAT-2454 - Tipo A 10 de Outubro de 2011 -A- Questão 1. Apenas uma das funções f ou g abaixo admite plano tangente a seu gráfico no ponto P = 0,0,0): x 2 y fx,y) = x 2 +y2, se
Leia mais