Lista de Exercícios de Cálculo 3 Sexta Semana

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1 Lista de Exercícios de Cálculo 3 Sexta Semana Parte A 1. (i) Encontre o gradiente das funções abaixo; (ii) Determine o gradiente no ponto P dado; (iii) Determine a taxa de variação da função no ponto P na direção do vetor u. (a) f(x, y) = 1 x 2 + y 2, P (1, 1) e u = 1 2 ( 3i j) (b) f(x, y) = ln x 2 + y 2, P ( 1, 2) e u = 1 3 (2i + 5j) (c) f(x, y) = x x 2 + y 2, P ( 2, 0) e u = 1 2 ( 2i 2j) (d) g(x, y, z) = xe 2yz, P (3, 0, 2) e u = 2 3 i 2 3 j k (e) g(x, y, z) = x + yz, P (1, 3, 1) e u = 2 7 i j k 2. Calcule a equação do plano tangente e as equações da reta normal à superfície nos pontos indicados (a) x 2 + y 2 + z 2 = 17; (2, 2, 3) (b) x 2 = 12y; (6, 3, 3) (c) xy = 1; (1, 1, 1) (d) x z = 4 arctan(yz); (1 + π, 1, 1) (e) yz = ln(x + z); (0, 0, 1) 3. Determine se os vetores abaixo correspondem ao gradiente de uma função. Caso afirmativo, determine esta função. (a) 4xi 3yj (b) (ye x + x) i + (xe y y) j (c) (2xy y sin x) i + ( x 2 + cos x ) j (d) ( 2xy + y ) i + (x 2 + 2xy + x)j 4. Encontre os pontos críticos e classifique-os usando o teste da segunda derivada para as funções dadas. (a) f(x, y) = x 3 y + 12x 2 8y (2, 4) sela (b) f(x, y) = (1 + xy)(x + y) ( 1, 1) (1, 1) selas (c) f(x, y) = xy + 1 x + 1 y (1, 1) mínimo (d) f(x, y) = (x 2 + y 2 )e y2 x 2 (±1, 0) selas (0, 0) mínimo 1 (e) f(x, y) = x 2 + y 2 (0,0) máximo 1 1

2 Parte B 1. Mostre as propriedades do gradiente considerando u e v como funções diferenciáveis. (a) (αu + βv) = α u + β v, onde α e β são constantes arbitrárias; (b) (uv) = u v + v u; ( u ) v u v u (c) = v v 2 ; (d) u n = nu n 1 u; 2. Suponha que f seja uma função diferenciável de uma variável e que r = x 2 + y 2 + z 2. Mostre que f(r) = f xi + yj + zk (r) r 3. Duas superfícies são chamadas de ortogonais em um ponto de interseção se as suas retas normais são perpendiculares neste ponto. Mostre que superfícies com equações F (x, y, z) = 0 e G(x, y, z) = 0 são ortogonais no ponto P, em que F 0 e G 0 se, e somente se, no ponto P. F x G x + F y G y + F z G z = 0 4. Mostre que as esferas abaixo são tangentes no ponto (a, 0, 0). x 2 + y 2 + z 2 = a 2 ; (x b) 2 + y 2 + z 2 = (b a) 2. Faça um esboço das duas esferas definidas anteriormente. 5. Prove que toda reta normal a uma esfera passa pelo centro da esfera. 6. Mostre que a superfície x 2 2yz + y 3 = 4 é perpendicular à qualquer superfície na família x = (2 4a)y 2 + az 2 no ponto de interseção (1, 1, 2). 7. Os três alelos A, B e O determinam os quatro tipos sanguíneos conhecidos A (AA ou AO), B (BB ou BO), O (OO) e AB. A lei de Hardy-Weinberg afirma que a proporção de indivíduos em uma população que carrega dois tipos diferentes de alelos é dada por P (p, q, r) = 2pq + 2pr + 2rq, em que p, q e r são as proporções de A, B ou O na população. Considerando que mostre que o máximo da função P é 2/3. p + q + r = 1 8. Seja a temperatura de um disco circular de raio 1 dada por T = y 2x 2 y 2. (a) Encontre o maior valor de T dentro do disco. (b) Encontre o maior valor de T na borda do disco. Parte C 1. O potencial de Yukawa descreve aproximadamente a interação da força forte dentre dois prótons no núcleo atômico e é dado pela fórmula V (r) = A r e αr, onde r = x 2 + y 2 + z 2. (a) Calcule a força induzida por este potencial utilizando a fórmula F = V. (b) Qual é o módulo desta força? 2

3 2. Considere a função F dada por F (m, b) = n (y i mx i b) 2 = y Mc 2, i=1 em que y = (y 1, y 2,, y n ) T é um vetor constante, M = x 1 1 x x n 1 é uma matriz constante e c = (m, b) T um vetor com as variáveis do problema. Encontre os valores das constantes m e b que correspondem a um ponto crítico desta função. Verifique que este ponto crítico corresponde a um ponto de mínimo utilizando a desigualdade de Hölder ( n 2 1 x i ) x 2. n i=1 Além disso, determine sob quais condições o lado esquerdo pode ser igual ao lado direito na desigualdade. Este problema é conhecido como regressão linear ou mínimos quadrados. 3. Considere a função J(x) = 1 2 Ax f 2 + λ2 2 Γx g 2. A solução ótima desta função surge em diversos problemas da engenharia. Neste tipo de problema, os vetores f e g são constantes e conhecidos, assim como o número real λ 2. A matriz A representa um filtro e a matriz Γ é uma matriz de regularização, normalmente atuando como um filtro de derivadas. Considerando [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] a b α β x1 f1 g1 A =, Γ =, x =, f = e g = c d θ ω x 2 f 2 g 2 mostre que a solução ótima, que corresponde ao mínimo de J, é x = (A T A + λ 2 Γ T Γ) 1 (A T f + λ 2 Γ T g). Esse problema é conhecido como regularização de Tikhonov generalizada. 3

4 Resumo do Conteúdo Vetor Gradiente: o vetor gradiente de uma função z = f(x, y) em um ponto (a, b) é o vetor definido e denotado por f(a, b) = f x (a, b)i + f y (a, b)j. Características: o vetor gradiente é perpendicular as curvas de nível da função f; partindo do ponto (a, b) no domínio da função, tem-se que a função cresce mais rapidamente na direção do vetor f(a, b); de forma equivalente, partindo do ponto (a, b), tem-se que a função decresce mais rapidamente na direção do vetor f(a, b); em uma direção u que é perpendicular a f(a, b) 0, a função z = f(x, y) tem crescimento nulo, ou seja, é uma direção tangente a curva de nível de f; Consulte o caderno/livro para demais casos!!! Derivada Direcional: diferentemente das derivadas parciais f x e f y que fornecem a variação da função z = f(x, y) nas direções canônicas i e j, a derivada direcional fornece a variação da função em qualquer direção u = u 1 i + u 2 j, com u = 1, a partir do ponto p = (a, b). A derivada direcional é definida como f (a, b) = lim u s 0 f(p + su) f(p) s = f(a, b) u = f x (a, b) u 1 + f y (a, b) u 2 ; Plano Tangente: o plano tangente à uma superfície z = ƒ(x, y) no ponto p = (a, b, f(a, b)) é o plano que é normal a G, com G(x, y, z) = f(x, y) z, em p. Sendo r = (x, y, z), o plano tangente é dado por G (r p) = ( ) f f (a, b), (a, b), 1 (x a, y b, z f(a, b)) x y = f x (a, b)(x a) + f y (a, b)(y b) + ( 1)(z f(a, b)) = 0; Consulte o caderno/livro para demais casos!!! Pontos Críticos: um ponto (a, b) pertencente ao domínio de uma função z = f(x, y) é dito um ponto crítico se f x (a, b) = f y (a, b) = 0, ou seja, se f(a, b) = 0. Teste da Segunda Derivada: é necessário para testar se um ponto crítico (a, b) é um ponto de máximo, ponto de mínimo ou ponto de sela para a função z = f(x, y). O teste da segunda derivada é baseado no número H = f xx f yy f 2 xy, conhecido como Hessiano da função f. Ponto de máximo em (a, b): se f xx (a, b) < 0 e H > 0 em (a, b); Ponto de mínimo em (a, b): se f xx (a, b) > 0 e H > 0 em (a, b); Ponto de sela em (a, b): se H < 0 em (a, b); Inconclusivo: se H = 0 em (a, b); 4

5 Gabarito Parte A 1. Respostas (a) (i) f = 2xi + 2yj; (ii) f(1, 1) = 2i + 2j; (iii) f u = ( 3 + 1); xi + yj (b) (i) f = x 2 + y 2 ; (ii) f( 1, 2) = 1 f ( i + 2j); (iii) 5 u = 1 15 ( ); 2 8 ; (c) (i) f = ( x2 + y 2 )i 2xyj (x 2 + y 2 ) 2 ; (ii) f( 2, 0) = 1 f i; (iii) 4 u = (d) (i) g = e 2yz i + 2xze 2yz j + 2xye 2yz k; (ii) g(3, 0, 2) = i + 12j; (iii) g (e) (i) g = 2. Respostas i + zj + yk 2 ; (ii) g(1, 3, 1) = x + yz i + 12 j + g k; (iii) 4 (a) 4(x 2) 4(y + 2) + 6(z 3) = 0 e r(t) = (1 + 2t)(2, 2, 3); (b) 12(x 6) 12(y 3) = 0 e r(t) = (6, 3, 3) + t(12, 12, 0); (c) (x 1) + (y 1) = 0 e r(t) = (1, 1, 1) + t(1, 1, 0); u = 22 3 ; u = ; (d) (x 1 π) 2(y 1) 3(z 1) = 0 e r(t) = (1 + π, 1, 1) + t(1, 2, 3); (e) x + y (z 1) = 0 e r(t) = (0, 0, 1) + t( 1, 1, 1); 3. Respostas (a) f(x, y) = 2x y2 + c; (b) Não (c) f(x, y) = x 2 y + y cos x + c; (d) Não 4. Respostas (a) (2, 4) sela (b) ( 1, 1) e (1, 1) selas (c) (1, 1) mínimo (d) (±1, 0) selas e (0, 0) mínimo (e) (0, 0) máximo Parte B 1. Basta utilizar as propriedades da derivada 2. Basta utilizar a regra da cadeia 3. As retas normais serem perpendiculares é equivalente a F G = 0 4. As esferas são tangentes se seus planos tangentes são idênticos no ponto dado. 5. Dada uma esfera (x a) 2 + (y b) 2 + (z c) 2 = r 2, seu vetor normal no ponto (x 0, y 0, z 0 ) é dado por n = 2(x 0, y 0, z 0 ) 2(a, b, c). A reta normal é dada por r(t) = (1 + 2t)(x 0, y 0, z 0 ) 2t(a, b, c) e em t = 1/2 tem-se que r( 1/2) = (a, b, c), o centro da esfera. 5

6 6. Determine os vetores normais as superfícies nos pontos dados e verifique que a condição da questão 3 é satisfeita. 7. Faça r = 1 p q, substitua na função P (p, q, r), encontre os pontos críticos e classifique-os. 8. (a) 1/4; (b) 0 Parte C 2. (Forma não tradicional de solução) Considere x = (x 1,, x m ) um vetor m 1 e f(x) uma função escalar, isto é, f : D R m R, definimos a derivada de f com relação ao vetor x como [ ] f f x = f,, (gradiente da f). x 1 x m Agora perceba que F (c) = y Mc 2 = (y Mc) T (y Mc) = y T y y T Mc c T M T y + c T M T Mc. Cada uma das parcelas y T y, y T Mc, c T M T y, c T M T Mc R, desta forma podemos calcular a derivada de cada uma das parcelas com relação ao vetor c, e neste caso teremos (verifiquem!!!) F c = (y T M) T M T y + 2c T M T M = 2M T y + 2M T Mc. Portanto, o ponto crítico é c = (M T M) 1 M T y. A segunda derivada (Hessiano) com relação a variável c é dada por 2 F c 2 = 2MT M. Para saber se o ponto é de mínimo precisamos verificar o determinante do Hessiano, que neste caso será H = ( ) 2 xi n x 2 i < 0, pela desigualdade de Hölder. Logo c encontrado é um ponto de mínimo. 6