Lista de exercícios 14 Ortogonalidade

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1 Universidade Federal do Paraná Algebra Linear Olivier Brahic Lista de exercícios 1 Ortogonalidade Exercícios da Seção 5.1 Exercício 1: Encontre o ângulo emtre os vetores v e w em cada um dos seguintes: a) v (2, 1, 3), e w (6, 3, 9), b) v (2, 3), e w (3, 2), c) v ( 2, 2), e w (0, 3), d) v ( 1, 1, 0), e w (0, 5, 5), Exercício 2: Para cada um dos vetores no Problema 1, encontre a projeção escalar de v em w. Encontre também a projeção vetorial de v em w. Exercício 3: Para cada um dos seguintes pares de vetores x e y, encontre o vetor projeção p de x em y e verifique que p e x p são ortogonais. a) x (3, ), e y (1, 0), b) x (3, 5), e y (1, 1), c) x (2,, 3), e y (1, 1, 1), d) x (2, 5, ), e y (1, 2, 1), Exercício 5: Encontre o ponto da reta x 2y que esta mais próximo do ponto (5, 2). Exercício 6: Encontre o ponto da reta x 2y + 1 que esta mais próximo do ponto (5, 2). Exercício 7: Encontre a distância do ponto (1, 2) à reta x 3y 2. Exercício 8: Em cada um dos seguinte, encontre a equação do plano normal ao vetor n dado, e passando pelo ponto p 0. a) n (2,, 3), e p 0 (1, 0, 0), c) n (0, 0, 1), e p 0 (3, 2, ), b) n ( 3, 6, 2), e p 0 (, 2, 5), Exercício 9: Encontre a equação do plano que passa pelos pontos p 1 (2, 3, 1), p 2 (5,, 3), e p 3 (3,, ). Exercício 10: Encontre a distância do ponto (1, 1, 1) ao plano 2x + 2y + z 0. Exercício 11: Encontre a distância do ponto (2, 1, 2) ao plano x + 2y + 3z 5. 1

2 Exercício 12: Demostre que se x (x 1, x 2 ), y (y 1, y 2 ),e z (z 1, z 2 ) são vetores arbitrários do plano R 2, então: a) x.x 0, c) x.(y + z) x T.y + x.z. b) x.y y.x, Exercício 1: Seja x 1, x 2, e x 3 vetores em R 3. Se x 1 x 2 e x 2 x 3, é necessário que x 1 x 3? Demostre sua reposta. Exercício 17: Sejam x e y a) Determine o angulo entre x e y. b) Determine a distância entre x e y. Exercício 18: Sejam x e y vetores em R n. Defina-se: p x y y.y e: z x p. y a) Mostre que p z. Logo p é a projeção vetorial de x em y; isto é, x p + z onde p e z são componentes orthogonais, e p é um múltiplo escalar de y. b) Se p 6 e z 8, determine o valor de x. Exercício 19: Para cada uma das seguintes matrizes, determine uma base para cada um dos subespaços Im(A ), ker(a), Im(A) e ker(a ). a) A b) A ( ) ( 1 3 ) c) A d) A Exercício 20: Seja S o conjunto de R 3 coberto por x (1, 1, 1). a) Encontre uma base para S. b) Dê uma interpretação geométrica para S e S. Exercício 21: 2

3 a) Seja S o subespaço de R 3 coberto pelos vetores x x 1, x 2, x 3 ) e y (y 1, y 2, y 3 ). Seja: ( ) x1 x A 2 x 3. y 1 y 2 y 3 Mostre que S ker(a). b) Encontre o subespaço de R 3 coberto pelos vetores (1, 2, 1) (1, 1, 2). Exercício 22: Seja o subespaço de R coberto por x 1 (1, 0, 2, 1) e x 2 (0, 1, 3, 2). Encontre uma base para S. Exercício 23: Seja A uma matriz 3 2 com posto 2. Dê descrições geométricas de Im(A) e ker(a ) e descreva geometricamente como os subespaços estão relacionados. Exercício 2: É possível que uma matriz tenha o vetor (1, 2, 1) no seu espaço linha e o vetor (2, 1, 1) no seu espaço nulo? Explique. Exercício 25: Seja a j um vetor coluna não nulo de uma matriz A, m n. É possível que a j esteja em N(A )? Explique. Exercício 26: Seja S o subespaço de R n coberto pelo vetores x 1, x 2,..., x k. y S se e somente se y x i para i 1... k. Mostre que Exercício 28: Seja A uma matriz m n. verdadeiros: Explique por que os seguintes enuciados são a) Todo vetor x em R n pode ser escrito unicamente como uma soma x y+z, onde y ker(a) e z ker(a ). b) Todo vetor b em R m pode ser escrito unicamente como uma soma b u + v, onde u ker(a ) e v Im(A ). Exercícios da Seção 5.3 Exercício 29: a) Encontre o melhor ajustamente de mínimos quadrados por uma função linear aos dados: x y b) Faça um gráfico da sua função linear da parte a) juntamente com os dados em um sistema de coordenadas. Resoluções: Resolução do Exercício 1: Encontre o ângulo emtre os vetores v e w em cada um dos seguintes: a) Os vetores v (2, 1, 3) e w (6, 3, 9) são colineares, logo θ 0, 3

4 b) O angulo entre os vetores v (2, 3) e w (3, 2) é dado pela formula: v w θ arccos( v. w ) arccos( ) 2 arccos(0) π 2. c) Semelhantemente, o angulo entre v ( 2, 2) e w (0, 3) é dado por: v w θ arccos( v. w ) arccos( ) 2 2 arccos( 2 ) π. d) Semelhantemente, o angulo entre v ( 1, 1, 0) e w (0, 5, 5) é dado por: v w θ arccos( v. w ) arccos( ( 1) 2 + ( 1) ) 2 arccos( 1 2 ) 2π 3. Resolução do Exercício 2: Para cada um dos vetores no Problema 1, encontre a projeção escalar de v em w. Encontre também a projeção vetorial de v em w. a) Os vetores v (2, 1, 3) e w (6, 3, 9) são colineares, logo a projeção ortogonal de v em w é v (2, 1, 3). b) Os vetores v (2, 3) e w (3, 2) são ortogonais logo a projeção ortogonal de v em w é (0, 0). c) A projeção vetorial de v ( 2, 2) em w (0, 3) é dada por: ( ) v w p w (v) w 2 w (0, 3) (0, 2).

5 d) Semelhantemente,projeção vetorial de v ( 1, 1, 0) em w (0, 5, 5) é dado por: ( ) v w p w (v) w 2 w (0, 5, 5) ( 0, 1 ) 2, 1. 2 Resolução do Exercício 3: Para cada um dos seguintes pares de vetores x e y, encontre o vetor projeção p de x em y e verifique que p e x p são ortogonais. a) A projeção de x (3, ), em y (1, 0) é dada por: ( ) x y p y 2 y Verifiquemos que: logo p e (x p) são ortogonais (1, 0) + 02 (3, 0). p (x p) (3, 0) ((3, ) (3, 0)) (3, 0) (0, ) b) Semelhantemente, a projeçao vetorial de x (3, 5), em y (1, 1) é dada por: ( ) x y p y 2 y (1, 1) + 12 (, ). Verifiquemos que: logo p e (x p) são ortogonais. 0 p (x p) (, ) ((3, 5) (, )) (, ) ( 1, 1).( 1) c) Semelhantemente, a projeçao vetorial de x (2,, 3) em y (1, 1, 1) é dada por: ( ) x y p y 2 y (1, 1, 1) (3, 3, 3). 5

6 Verifiquemos que: p (x p) (3, 3, 3) ((2,, 3) (3, 3, 3)) (3, 3, 3) ( 1, 1, 0) 3.( 1) logo p e (x p) são ortogonais. d) Semelhantemente, a projeção vetorial de x (2, 5, ) em y (1, 2, 1) é dada por: ( ) x y p y 2 y (1, 2, 1) + ( 1) 2 Verifiquemos que: logo p e (x p) são ortogonais. ( 2,, 2). p (x p) ( 2,, 2) ((2, 5, ) ( 2,, 2)) ( 2,, 2) (, 1, 0) Resolução do Exercício 5: Notemos a reta de equação x 2x. Note que é uma reta vetorial (ela passa por (0, 0)) dirigida por v : (2, 1), logo basta encontrar a projeção ortogonal de u : (5, 2) em v. Obtemos: ( ) u v p v 2 v (2, 1) + 12 ( 2 5, 12 ). 5 O ponto da reta x 2y que esta mais próximo do ponto (5, 2) é dado por ( 2 5, 12 5 ). 6

7 Resolução do Exercício 6: O ponto (5, 2) pertence na reta reta x 2y + 1, logo o ponto mais perto de (5, 2) dessa reta é (5, 2). Resolução do Exercício 7: Notemos: a reta de equação x 3y 2, a reta ortogonal a passando por u : (1, 2). Observe que é dirigida pelo vetor v : (3, ), logo a reta ortogonal tem equação: v ((x, y) u) 0 3(x 1) + (y 2) 0 3x + y 11. O ponto da reta mais perto de u (1, 2) é dado pela interseção, logo basta resolver o sistema: { x 3y 2 3x + y 11. Concluemos que o ponto mais perto é dado por p ( 1 25 ). A distância de u (1, 2) à reta x 3y 2 é dado por: ( u p 1 1 ) 2 ( ) 2 [ ] 16 0, , 38 Resolução do Exercício 8: De maneira geral, a equação do plano normal ao vetor n dado, e passando pelo ponto p 0 é dada por: n ((x, y, z) p 0 ) 0. a) A equação do plano normal ao vetor n (2,, 3) e passando por p 0 (1, 0, 0) é dada por 2(x 1) + y + 3z 0, ou seja: 2x + y + 3z 2. b) A equação do plano normal ao vetor n ( 3, 6, 2), e passando por p 0 (, 2, 5) é dada por 3(x ) + 6(y 2) + 2(z + 5) 0, ou seja: 3x + 6y + 2z 10. c) A equação do plano normal ao vetor n (0, 0, 1), e passando por p 0 (3, 2, ) é dada por 0(x 3) + 0(y 2) + 1(z ) 0, ou seja: z. 7

8 Resolução do Exercício 9: Notemos P o plano que passa pelos pontos p 1 (2, 3, 1), p 2 (5,, 3), e p 3 (3,, ). O plano P é dirigido pelos vetores v 1 e v 2 onde: v 1 p 2 p 1 (5,, 3) (2, 3, 1) (3, 1, 2), v 2 p 3 p 1 (3,, ) (2, 3, 1) (1, 1, 3). Segue que o vetor normal ao plano P é dado por: n v 1 v Finalmente, a equação do plano P por p 1, normal a n é dado por: n (p 1 (x, y, z)) 0 x 2 + 7(y 3) + 2(z 1) 0 x + 7y + 2z 25 Resolução do Exercício 10: Notemos P o plano de equação 2x + 2y + z 0. O vetor normal a P é dado por n (2, 2, 1), logo a reta por u (1, 1, 1), ortogonal a P é dada por: { (x, y, z) R 3 (x, y, z) (1, 1, 1) + t(2, 2, 1) onde t R } A projeção ortogonal de u em P sendo a interseção entre P e, é o único ponto de satisfazendo a equação 2x+2y+z 0. Para encontra-lo, basta resolver a equação 2x+2y+z 0 para (x, y, z) (1 + 2t, 1 + 2t, 1 + t). Obtemos: 2(1 + 2t) + 2(1 + 2t) + (1 + t) 0 9t t 5 9. Logo a projeçãp p de u em P é dada por: ( p , , 1 5 ) 9 ( 1 9, 1 9, ). 9 Finalmente, a distância de u a P dada pela norma: ( u p 1 (1, 1, 1) 9, 1 9, 9) ( 10 9, ), 5 (10 ) 2 ( ) 10 2 ( ) Outro método: A projeção vetorial de u em n é dada por: Ele tem norma: p n (u) p n (u) u n n 2 n. u n n Este valor coincida com a distância de u a P, pois P é um plano vetorial (ele passa por (0, 0, 0)). 8

9 Resolução do Exercício 11: Notemos P o plano de equação x + 2y + 3z 5. O vetor normal a P é dado por n (6, 2, 3), logo a reta por u (2, 1, 2), ortogonal a P é dada por: { (x, y, z) R 3 (x, y, z) (2, 1, 2) + t(1, 2, 3) onde t R } A projeção ortogonal de u em P sendo a interseção entre P e, é o único ponto de satisfazendo a equação x+2y+3z 5. Para encontra-lo, basta resolver a equação x+2y+3z 5 para (x, y, z) (2 + t, 1 + 2t, 2 + 3t). Obtemos: (2 + t) + 2(1 + 2t) + 3( 2 + 3t) 5 1t 7 t 1 2. Logo a projeção p de u em P é dada por p (2, 1, 2) + t(1, 2, 3), com t 1 2, ou seja: p ( , ) ( ) , 2 +, 2, Finalmente, a distância de u a P dada pela norma: ( ) u p 5 (2, 1, 2) 1, 2, 2 2 ( ) 1 3, 1, 2 2 ( 1 ) 2 ( ) + ( 1)

10 Observe que neste caso, não se aplica o outro método do Exercício 10 pois P não passa pela origem (não é um plano vetorial, só um plano dito afim). Resolução do Exercício 12: Se x (x 1, x 2 ), y (y 1, y 2 ),e z (z 1, z 2 ) são vetores arbitrários do plano R 2, calculemos que: a) x.x x 2 1 }{{} 0 + x 2 2 0, }{{} 0 b) x.y x 1.y 1 + x 2.y 2 y 1.x 1 + y 2.x 2 y.x, c) x.(y + z) x 1 (y 1 + z 1 ) + x 2 (y 2 + z 2 ) x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 1 z 1 + x 2 z 2 x T.y + x.z. Resolução do Exercício 1: Seja x 1, x 2, e x 3 vetores em R 3. Se x 1 x 2 e x 2 x 3,não é necessário que x 1 x 3. Por exemplo, para x 1 (1, 0, 0), x 2 (0, 1, 0) e x 3 (1, 0, 1), temos: x 1 x 2 0, logo x 1 x 2 x 2 x 3 0, logo x 2 x 3 x 1 x 3 1 0, logo x 1 e x 3 não são ortogonais. 10

11 Resolução do Exercício 17: Sejam x e y a) Determine o angulo entre os vetores x e y 2 2 é dado pela formula: 1 ( ) x y θ : arccos x y ( ) arccos ( ) [... ] π 3 b) A distância entre x e y é dada pela formula: d(x, y) : x y ( ) 2 + ( 2) 2 + ( 2) 2 + ( 1) Resolução do Exercício 18: Sejam x e y vetores em R n. Defina-se: a) Mostremos que p z. p z p x y y.y e: z x p. y ( x y ) ( ) y y y x x y y y y x y y y y x x y y y y x y y y y 0 Logo p é a projeção vetorial de x em y; isto é, x p + z onde p e z são componentes orthogonais, e p é um múltiplo escalar de y. 11

12 b) Se p 6 e z 8, pelo Teorema de Putágora, temos: x 2 p 2 + z logo x 10. Resolução do Exercício 19: O objetivo deste exercício pe de ilustrar pro contas as seguinte formulas: Im(A ) ker(a), ker(a ) Im(A), que valem para qualquer matriz A M m,n (R). a) Para A : ( ) 3 : 6 8 ( ) 3 6 i) Calculemos Im(A ): Temos A, logo Im(A 8 ) Cob{(3, ), (6, 8) }. Neste caso, é claro que os vetores (3, ) e (6, 8) são colineares, pois 2(3, ) 1(6, 8) (0, 0). Segue que: Im(A ) Cob{(3, ), (6, 8) } Cob{(3, ) } tem dimensão 1, e admite {(3, ) } por base. ii) Calculemos ker(a): Pela definição, temos: (x, y) ker(a) ( ) ( ) 3 x 0, 6 8 y { 3x + y 0 6x + 8y 0 (x, y) α(, 3) (onde α R) (x, y) Cob{(, 3)} Logo ker(a) admite {(, 3) } por base, e tem dimensão 1. Observação: podemos facilmente verificar neste caso que vale a formula De fato: Im(A ) ker(a). pelo item i) temos: Im(A ) Cob{(3, ) } pelo item ii) temos: ker(a) Cob{(, 3) }. Mas é claro que (3, ) (, 3) são ortogonais. 12

13 ( ) 3 iii) Calculemos Im(A): Temos A, logo Im(A) Cob{(3, 6) 6 8, (, 8) }. Segue da conta no item ii) que os vetores (3, 6) e (, 8) são colineares, pois (3, 6) + 3(, 8) (0, 0). Segue que: Im(A) Cob{(3, 6), (, 8) } Cob{(3, 6) } Cob{(1, 2)} tem dimensão 1, e admite {(1, 2) } por base. iv) Calculemos ker(a ): Pela definição, temos: (x, y) ker(a ) ( ) ( ) 3 6 x 0, 8 y { 3x + 6y 0 x + 8y 0 (x, y) α( 2, 1)(α R) (x, y) Cob{( 2, 1)} Logo ker(a ) admite {( 2, 1)} por base, e tem dimensão 1. Observação: de novo, podemos facilmente verificar neste caso que vale a formula De fato: ker(a ) Im(A). pelo item iv) temos: ker(a ) Cob{( 2, 1) } pelo item iii) temos: Im(A) Cob{(1, 2) }. Mas é claro que ( 2, 1) (1, 2) são ortogonais. ( ) b) Para A i) Calculemos Im(A ): Temos A 3, logo Im(A ) Cob{(1, 3, 1), (2,, 0) }. 1 0 Neste caso, é claro que os vetores (3, ) e (6, 8) são linearmente independentes, pois λ 1 (1, 3, 1) λ 2 (2,, 0) (0, 0, 0) λ 1 λ 2 0. Segue que: Im(A ) Cob{(1, 3, 1), (2,, 0) } Cob{(1, 3, 1), (1, 2, 0) } tem dimensão 1, e admite {(1, 3, 1), (1, 2, 0) } por base. ii) Calculemos ker(a): Pela definição, temos: (x, y, z) ker(a) ( ) x y 0, 2 0 z { x + 3y + z 0 2x + y 0. (x, y, z) α(2, 1, 1) (onde α R) (x, y, z) Cob{(2, 1, 1)} 13

14 Logo ker(a) Cob{(2, 1, 1)}, admite {(2, 1, 1) } por base, e tem dimensão 1. Observação: podemos facilmente verificar neste caso que vale a formula De fato: Im(A ) ker(a). pelo item i) temos: Im(A ) Cob{(1, 3, 0), (1, 2, 0)} pelo item ii) temos: ker(a) Cob{(2, 1, 1) }. Mas é claro que: (1, 3, 1) (2, 1, 1) (1, 2, 0) (2, 1, 1) Note que cada relação de ortogonalidade acima coresponde a uma linha no sistema linear do item ii) (a menos de uma constante multiplicative pela segunda linha). ( ) iii) Calculemos Im(A): Temos A, logo Im(A 2 0 ) Cob{(1, 2), (3, ), (1, 0) }. Temos 3 vetores, (1, 2), (3, ) e (1, 0), no espaço R 2 de dimensão 2, logo são linearmente dependentes (uma relaçao explicita segue da conta no item ii)); Claramente (1, 2) e (3, ) são linearmente independentes logo Im(A ) Cob{(1, 2), (3, ) } R 2. iv) Calculemos ker(a ): Pela definição, temos: (x, y) ker(a ) 1 2 ( ) 3 x 0, y 1 0 x + 2y 0 3x + y 0 x 0. (x, y) (0, 0). Logo ker(a ) {0} admite o conjunto vazio por base, e tem dimensão 0. Observação: de novo, podemos facilmente verificar neste caso que vale a formula De fato: ker(a ) Im(A). pelo item iv) temos: ker(a ) {(0, 0) } pelo item iii) temos: Im(A) R 2. Mas é claro que (R 2 ) {(0, 0)}. 2 c) O caso A se resolve de maneira semalhante. 3 1

15 d) O caso A se resolve de maneira semalhante Resolução do Exercício 20: Seja S o conjunto de R 3 coberto por x (1, 1, 1). a) Encontremos uma base para S. O conjunto S Cob{(1, 1, 1)} é gerado por um vetor só, logo: (x, y, z) S (x, y, z) (1, 1, 1) 0, x y + z 0, (x, y, z) α( 1, 0, 1) + β(1, 1, 0) (α, β R). b) O conjunto S é uma reta verotial em R 3 (mais precisament, a reta passando por (0, 0, 0) e dirigida por (1, 1, 1)) e S é o plano vetorial (passando por (0, 0, 0)) ortogonal à reta S. Resolução do Exercício 21: a) Seja S o subespaço de R 3 coberto pelos vetores x (x 1, x 2, x 3 ) e y (y 1, y 2, y 3 ). Seja: ( ) x1 x A 2 x 3. y 1 y 2 y 3 Mostremos que S ker(a): O espaço S é gerado pelos vetores x (x 1, x 2, x 3 ) e y (y 1, y 2, y 3 ), logo: z (z 1, z 2, z 3 ) S z u 0 u S, z (λ 1 x + λ 2 y) 0 λ 1, λ 2 R, z x 0 e z y 0, { z1 x 1 + z 2 x 2 + z 3 x 3 0 z 1 y 1 + z 2 y 2 + z 3 y 3 0. z ker(a). b) Para encontrar o subespaço de R 3 coberto pelos vetores (1, 2, 1) (1, 1, 2). Basta resolver o sistema: { z1 + 2z 2 + z 3 0 (z 1, z 2, z 3 ) α() z 1 z 2 + 2z 3 0. Referências [1] Steven J. Leon, Álgebra Linear com aplicações, 8 a edição, LTC