Espaços Vetoriais. () Espaços Vetoriais 1 / 17

Transcrição

1 Espaços Vetoriais () Espaços Vetoriais 1 / 17

2 Espaços Vetoriais Definição Seja um conjunto V, não vazio. i. Uma adição em V é uma operação que a cada par de elementos (u, v) V V associa um elemento u + v V. ii. Uma multiplicação por um real em V é uma operação que a cada α R e a cada u V, associa um elemento αu V. Esta operação também é denominada multiplicação por escalar. () Espaços Vetoriais 2 / 17

3 Espaços Vetoriais Definição O conjunto V, não vazio, munido com uma adição e uma multiplicação por escalar (real) é denominado espaço vetorial real (ou espaço vetorial sobre R) se forem verificadas as seguintes propriedades: 1. u, v V u + v = v + u; 2. u, v, w, V, u + (v + w) = (u + v) + w; 3. 0 V tal que u V, 0 + u = u; 4. u V, u V t.q. u + ( u) = 0; 5. α R, u V α(βu) = (αβ)u; 6. α R, u, v V α(u + v) = αu + αv; 7. α, β R, u V (α + β)u = αu + βu; 8. u V 1u = u. () Espaços Vetoriais 3 / 17

4 Espaços Vetoriais Dado n N, o conjunto R n = {(x 1,..., x n ) ; x i R, i = 1,..., n} com as operações usuais de adição e multiplicação por real é um espaço vetorial real. () Espaços Vetoriais 4 / 17

5 Espaços Vetoriais Dado n N, o conjunto R n = {(x 1,..., x n ) ; x i R, i = 1,..., n} com as operações usuais de adição e multiplicação por real é um espaço vetorial real. Dados m, n N, o conjunto das matrizes m n com entradas reais, com as operações usuais de adição de matrizes e multiplicação por real é um espaço vetorial real. () Espaços Vetoriais 4 / 17

6 Espaços Vetoriais Dado n N, o conjunto R n = {(x 1,..., x n ) ; x i R, i = 1,..., n} com as operações usuais de adição e multiplicação por real é um espaço vetorial real. Dados m, n N, o conjunto das matrizes m n com entradas reais, com as operações usuais de adição de matrizes e multiplicação por real é um espaço vetorial real. O conjunto V = {f : R R} munido das operações usuais de adição de funções e da multiplicação por real é um espaço vetorial real. () Espaços Vetoriais 4 / 17

7 Espaços Vetoriais O conjunto P = {a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n ; a i R} dos polinômios em x munido das operações usuais é um espaço vetorial real. () Espaços Vetoriais 5 / 17

8 Espaços Vetoriais O conjunto P = {a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n ; a i R} dos polinômios em x munido das operações usuais é um espaço vetorial real. Dado n N, o conjunto P n dos polinômios reais de grau n, mais o polinômio nulo, com as operações usuais é um espaço vetorial. () Espaços Vetoriais 5 / 17

9 Espaços Vetoriais : Exp O conjunto V = {(x, y) R 2 ; x, y > 0} com as operações (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) = (x 1 x 2, y 1 y 2 ) e α (x, y) = (x α, y α ) é um espaço vetorial, ( ) cujo vetor nulo é 0 = (1, 1) e o simétrico de v = (x, y) é v = 1 x, 1 y. () Espaços Vetoriais 6 / 17

10 Espaços Vetoriais : Exp O conjunto V = {(x, y) R 2 ; x, y > 0} com as operações (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) = (x 1 x 2, y 1 y 2 ) e α (x, y) = (x α, y α ) é um espaço vetorial, ( ) cujo vetor nulo é 0 = (1, 1) e o simétrico de v = (x, y) é v = 1 x, 1 y. O conjunto R 2 com as operações definidas por (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 ) = (x 1 + x 2, y 1 + y 2 ) e α(x, y) = (αx, y) não é um espaço vetorial. () Espaços Vetoriais 6 / 17

11 Espaços Vetoriais O conjunto R 2 com as operações definidas por (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 ) = (x 1 + x 2, y 1 + y 2 ) e α(x, y) = (0, 0) não é um espaço vetorial. () Espaços Vetoriais 7 / 17

12 Propriedades dos Espaços Vetoriais Propriedades Seja V um espaço vetorial. São satisfeitas as seguintes propriedades: 1 Qualquer que seja v V tem-se 0v = 0. () Espaços Vetoriais 8 / 17

13 Propriedades dos Espaços Vetoriais Propriedades Seja V um espaço vetorial. São satisfeitas as seguintes propriedades: 1 Qualquer que seja v V tem-se 0v = 0. 2 Qualquer que seja λ R tem-se λ0 = 0 V. () Espaços Vetoriais 8 / 17

14 Propriedades dos Espaços Vetoriais Propriedades Seja V um espaço vetorial. São satisfeitas as seguintes propriedades: 1 Qualquer que seja v V tem-se 0v = 0. 2 Qualquer que seja λ R tem-se λ0 = 0 V. 3 Se λv = 0, então λ = 0 ou v = 0. () Espaços Vetoriais 8 / 17

15 Propriedades dos Espaços Vetoriais Propriedades Seja V um espaço vetorial. São satisfeitas as seguintes propriedades: 1 Qualquer que seja v V tem-se 0v = 0. 2 Qualquer que seja λ R tem-se λ0 = 0 V. 3 Se λv = 0, então λ = 0 ou v = 0. 4 Qualquer que seja v V tem-se ( 1)v = v. () Espaços Vetoriais 8 / 17

16 Subespaços Vetoriais Dado um espaço vetorial V, muitas vezes estamos mais interessados em certos subconjuntos de V dos que no espaço em si. Os subconjuntos não vazios que nos interessam aqui são S V que são eles próprios subespaços vetoriais (com as operações de V). Estes conjuntos são denominados subespaços vetoriais. () Espaços Vetoriais 9 / 17

17 Subespaços Vetoriais Dado um espaço vetorial V, muitas vezes estamos mais interessados em certos subconjuntos de V dos que no espaço em si. Os subconjuntos não vazios que nos interessam aqui são S V que são eles próprios subespaços vetoriais (com as operações de V). Estes conjuntos são denominados subespaços vetoriais. Definição Um subconjunto S, não vazio, de um espaço vetorial V é denominado um subespaço vetorial quando satisfaz: 1 Para todos u, v S tem-se u + v S. 2 Para todo u S e todo α R tem-se αu S. () Espaços Vetoriais 9 / 17

18 Subespaços Vetoriais Propriedade Um subespaço vetorial S do espaço vetorial V, com as operações herdadas de V, é, ele pŕoprio, um espaço vetorial. () Espaços Vetoriais 10 / 17

19 Subespaços Vetoriais Propriedade Um subespaço vetorial S do espaço vetorial V, com as operações herdadas de V, é, ele pŕoprio, um espaço vetorial. Propriedade Seja S um subespaço vetorial de V. Então, o vetor nulo 0 pertence a S. () Espaços Vetoriais 10 / 17

20 Subespaços Vetoriais Propriedade Um subespaço vetorial S do espaço vetorial V, com as operações herdadas de V, é, ele pŕoprio, um espaço vetorial. Propriedade Seja S um subespaço vetorial de V. Então, o vetor nulo 0 pertence a S. O conjunto S = {(x, y, z) R 3 ; x = 0} é um subespaço vetorial de R 3. () Espaços Vetoriais 10 / 17

21 Subespaços Vetoriais O conjunto M das matrizes simétricas 3 3 é um subespaço vetorial do espaço vetorial V das matrizes 3 3. () Espaços Vetoriais 11 / 17

22 Subespaços Vetoriais O conjunto M das matrizes simétricas 3 3 é um subespaço vetorial do espaço vetorial V das matrizes 3 3. O conjunto F = {f : R R ; f(0) = 0} é um subespaço vetorial de V = {f : R R}. () Espaços Vetoriais 11 / 17

23 Subespaços Vetoriais O conjunto M das matrizes simétricas 3 3 é um subespaço vetorial do espaço vetorial V das matrizes 3 3. O conjunto F = {f : R R ; f(0) = 0} é um subespaço vetorial de V = {f : R R}. Sejam a 1,..., a n números reais. O conjunto W = {(x 1,..., x n ) ; a 1 x a n x n = 0} é um subespaço vetorial de R n. () Espaços Vetoriais 11 / 17

24 Subespaços Vetoriais O conjunto A = {(x, x 2 ) R 2 ; x R} não é um subespaço vetorial de R 2. () Espaços Vetoriais 12 / 17

25 Subespaços Vetoriais O conjunto A = {(x, x 2 ) R 2 ; x R} não é um subespaço vetorial de R 2. O conjunto A = {(x, y) R 2 ; y + x = 1} não é um subespaço de R 2. () Espaços Vetoriais 12 / 17

26 Subespaços Vetoriais O conjunto A = {(x, x 2 ) R 2 ; x R} não é um subespaço vetorial de R 2. O conjunto A = {(x, y) R 2 ; y + x = 1} não é um subespaço de R 2. Seja V = {(x, y) R 2 ; x, y > 0} com as operações (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) = (x 1 x 2, y 1 y 2 ) α (x, y) = (x α, y α ). O conjunto W = {(1, y) ; y > 0} é um subespaço vetorial de V. () Espaços Vetoriais 12 / 17

27 Interseção de Subespaços Propriedade Sejam W 1 e W 2 dois subespaços vetoriais de V. A interseção W 1 W 2 é um subespaço vetorial de V. () Espaços Vetoriais 13 / 17

28 Interseção de Subespaços Propriedade Sejam W 1 e W 2 dois subespaços vetoriais de V. A interseção W 1 W 2 é um subespaço vetorial de V. O conjunto solução do sistema linear homogêneo a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = 0... a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = 0 é um subespaço de R n () Espaços Vetoriais 13 / 17

29 Soma de Subespaços Propriedade Sejam W 1 e W 2 subespaços de V. O conjunto W 1 + W 2 = {w 1 + w 2 ; w i W i, i = 1, 2} é um espaço vetorial de V. () Espaços Vetoriais 14 / 17

30 Soma de Subespaços Propriedade Sejam W 1 e W 2 subespaços de V. O conjunto W 1 + W 2 = {w 1 + w 2 ; w i W i, i = 1, 2} é um espaço vetorial de V. Se W 1 = {(x, y, 0) ; x, y R} e W 2 = {(0, 0, z) ; z R} então W 1 + W 2 = R 3. () Espaços Vetoriais 14 / 17

31 Soma de Subespaços Se W 1 = {(x, y, 0) ; x, y R} e W 2 = {(0, y, z) ; y, z R}, então W 1 + W 2 = R 3. () Espaços Vetoriais 15 / 17

32 Soma de Subespaços Se W 1 = {(x, y, 0) ; x, y R} e W 2 = {(0, y, z) ; y, z R}, então W 1 + W 2 = R 3. Seja V o espaço das matrizes reais n n. Sejam U e L os subespaços de V constituidos das matrizes triangulares superiores e inferiores, respectivamente. Então, V = L + U. () Espaços Vetoriais 15 / 17

33 Soma Direta Definição Sejam W 1 e W 2 dois subespaços de V. Dizemos que V é soma direta de W 1 e W 2 se V = W 1 + W 2 e W 1 W 2 = {0}. Tal fato é denotado por V = W 1 W 2. () Espaços Vetoriais 16 / 17

34 Soma Direta Definição Sejam W 1 e W 2 dois subespaços de V. Dizemos que V é soma direta de W 1 e W 2 se V = W 1 + W 2 e W 1 W 2 = {0}. Tal fato é denotado por V = W 1 W 2. Nos três exemplos anteriores, somente o primeiro é soma direta. () Espaços Vetoriais 16 / 17

35 Soma Direta Propriedade Sejam W 1 e W 2 subespaços de V. Então, V = W 1 W 2 se, e somente se, qualquer vetor v V é escrito de forma única como uma soma onde w 1 W 1 e w 2 W 2. v = w 1 + w 2, () Espaços Vetoriais 17 / 17