Subconjuntos Especiais

Transcrição

1 Subconjuntos Especiais

2 Cobertura de vértices ^ C uma cobertura de vértices de um grafo é um conjunto de vértices tal que cada aresta do grafo é incidente a, pelo menos, um vértice do conjunto. É um conjunto de vértices que contém pelo menos uma das pontas de cada aresta. Em outras palavras: uma cobertura de vértices é um conjunto V de vértices dotado da seguinte propriedade: toda aresta do grafo tem pelo menos uma ponta em V.

3 Cobertura C1={3} Cobertura C1={1,2,4,5}

4 Cobertura C1={3} Cardinalidade 1 Cobertura C1={1,2,4,5} Cardinalidade 4

5 Cobertura de Arestas - ^ A Um conjunto de arestas tal que todo vértice de G seja incidente a pelo menos uma aresta do conjunto.

6 Cobertura de arestas={(1,2),(3,7)(6,7), (4,5)

7 Cobertura com vértices ponderados Dados um grafo G e uma função de ponderação dos vértices de G, o problema da cobertura com vértices ponderados (capacitados) em G consiste em encontrar um subconjunto de vértices de G que constituam uma cobertura de vértices em G e, para todos os vértices da cobertura, a soma de seus pesos seja mínima.

8 Problema de cobertura de vértices Pode ser definido tanto sobre grafos capacitados como em grafos não ponderados. Em qual situação serão equivalentes?

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10 Ponderação: 2,3,5,8,7 =25 Ponderação: 1,1,1,2,3,5,7 =20 Ponderação: 1,1,1,1, 2,3,5,8 =19

11 Cobertura em Caminhos de G É um conjunto de caminhos disjuntos em vértices (sem vértices em comum) que passam por todos os vértices de G.

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14 Cobertura em ciclos de G É um conjunto de ciclos disjuntos em vértices (sem vértices em comum) que passam por todos os vértices de G.

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16 Cobertura de L- Ciclos : É uma cobertura em que o comprimento de cada ciclo está no conjunto L ℵ. Cobertura de k- Ciclos: quando o comprimento de cada ciclo deve ser de pelo menos K ℵ. Se k=ℵ?

17 Teorema de Menger Em um grafo G o número máximo de distintos caminhos disjuntos em arestas ligando dois vértices s-t é igual ao menor número de arestas que devem ser removidas de G para desconectar s de t CARDINALIDADE DE UM CORTE EM ARESTAS (Menger, 1927)

18 Cobertura Mínima em Caminhos de G Também denominado de particionamento no menor número de caminhos disjuntos em vértices. Consiste em determinar a menor coleção possível de caminhos disjuntos que percorra todos os vértices de G.

19 Caminho Hamiltoniano

20 Partição em Caminhos k-longos Dado um grafo G, determinar a cardinalidade mínima da coleção de caminhos disjuntos em vértices com no máximo k vértices que particionam G.

21 Partição em Caminhos 3-longos K<= 3 Partição em Caminhos 4-longos K<= 4

22 Cobertura Parcial Máxima Dados dois números inteiros k>0 e l>0, uma cobertura parcial máxima é aquela que, possuindo no máximo k vértices, cobre pelo menos l arestas de G.

23 Cobertura máxima parcial k=2 e l = 10 Cobertura máxima parcial k=3 e l = 13

24 Cobertura Conexa de Vértices Determinar uma cobertura de vértices que induz um subgrafo conexo em G.

25 Desconexo

26 T- Clique Um subconjunto que induz um subgrafo completo. Uma clique é maximal se não for subgrafo próprio de nenhuma outra. Uma clique é dita máxima se não houver outra clique em G com cardinalidade maior.

27 Clique clique e clique máxima 3-clique maximal Clique Clique 3-4-5

28 Cobertura de cliques É um conjunto de subgrafos completos de G que contém cada aresta de G pelo menos uma vez

29 Partição em cliques Uma partição das arestas de G em um conjunto de k cliques, de forma que cada aresta de G seja incluída exatamente uma vez em alguma clique.

30 Conjunto Independente de Vértices Um conjunto independente (maximal) em um grafo é um conjunto de vértices não adjacentes entre si que não está estritamente contido em outros conjuntos independentes. O tamanho do maior conjunto independente é chamado número de independência, denotado por α(g)

31 Conjunto Independente de Vértices Exemplo: Suponhamos que um grafo G (V, E) represente a incompatibilidade de horários entre professores que devem ministrar prova no final do ano letivo. Os vértices x, y V estarão diretamente ligados por uma aresta se representarem professores que têm alunos em comum para ministrar prova. Qual o maior número de professores que podem ministrar prova ao mesmo tempo?

32 Conjunto Independente de Vértices A resposta para o problema é dada por um subconjunto independente máximo de vértices do grafo G. Um ponto importante é diferenciar conjuntos maximais (ou minimais) de conjuntos máximos (ou mínimos). subconjunto independente conj. independente maximal conj. Independente máximo

33 Conjunto Independente de Vértices O número de independência α(g) é a cardinalidade de um subconjunto independente máximo de vértices do grafo. Como encontrar o número de independência? A B C F E D A B Entra no conjunto conflito C Entra no conjunto D conflito E Entra no conjunto F conjunto Conjunto independente {a, c, e} máximo

34 Conjunto Independente de Vértices E se os vértices estiverem em outra ordem? A C D F E B A Entra no conjunto B C Entra no conjunto conflito D conflito E conflito F Conjunto maximal, mas não é máximo conjunto {a, b}

35 Conjunto Independente de Vértices Aplicações do conceito de conjunto independente surgem quando, por exemplo, desejamos evitar duplicação de esforços.

36 Conjunto Independente de Vértices Suponhamos que em um parque pensássemos em instalar o máximo de barracas para venda de sorvete. Sendo que a operadora das barracas faz as seguintes restrições: Uma barraca deve ser localizada em uma esquina (vértice); e Esquinas próximas (adjacentes) só admitem uma barraca.

37 Estamos procurando conjuntos independentes.

38 Como saber se um conjunto é independente? Expressão de problemas de subconjuntos de grafos por programação linear inteira Multiplicar a matriz de incidência transposta pelo vetor característico do conjunto de vértices. Ex: {a,c,e} x=(1,0,1,0,1) e {c, e} x=(0,01,0,1)

39 Exercícios Calcule os seguintes invariantes para o grafo de Petersen. Número de independência Número de absorção Cardinalidade da menor cobertura de arestas Cardinalidade do menor conjunto dominante

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