Gabriel Coutinho DCC035 - Pesquisa Operacional Lista 6

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1 Lista 6 Exercício. O objetivo deste exercício é modelar o problema de emparelhamento em um grafo bipartido como um problema de fluxo, e verificar que o Teorema de Konig é essencialmente o Teorema de Fluxo Máximo Corte Mínimo. Considere um grafo bipartido, chame de A os vértices de um lado, e B os vértices de outro. Adicione dois vértices s e t, e conecte s a todos os vértices em A, e t a todos os vértices em B. Coloque direções nas arestas, para todas as arestas apontem de s para t. Por exemplo: s A A B B t Você deseja que todo fluxo de s para t identifique um emparelhamento entre A e B, e que todo corte identifique uma cobertura por vértices das arestas entre A e B. (a) Se você colocar capacidades inteiras, é possível que um fluxo máximo tenha valores não inteiros? Não. A matriz de incidência de um grafo dirigido é totalmente unimodular. Pelo teorema visto em sala, as soluções ótimas do problema de fluxo máximo serão inteiras. (b) Quais capacidades você vai atribuir aos arcos para que os arcos com fluxo positivo sejam exatamente um emparelhamento? Ou seja, como você garantirá que seu fluxo não terá dois arcos de fluxo positivo incidentes a um mesmo vértice (que não s ou t)? Explique. Capacidade em todos os arcos. Como o fluxo máximo será inteiro, cada vértice de A terá no máximo um arco com fluxo saindo (já que o fluxo entrando em cada um deles será no máximo ), e cada vértice em B terá no máximo um vértice com fluxo entrando (já que o fluxo máximo saindo de cada vértice de B é no máximo também). (c) Qual é o valor objetivo de um fluxo máximo? E de um corte mínimo? No grafo acima, o fluxo máximo tem valor objetivo 3. O mesmo, naturalmente, vale para o corte mínimo.

2 (d) Mostre que sempre é possível achar um corte mínimo em que nenhuma aresta do corte está entre A e B. Dado um corte qualquer do tipo δ(u) que contenha um arco (a, b) entre a A e b B, adicionamos b ao conjunto U. Ao fazer isso, o tamanho do corte aumenta por - será o arco (b, t), mas diminuirá por pelo menos, porque pelo menos (a, b) sairá do corte. Logo poderemos substituir todas os arcos entre A e B sem aumentar o tamanho final do corte. (e) Dado um corte mínimo do tipo descrito acima, explique como usá-lo para obter uma cobertura por vértices das arestas entre A e B. Esta cobertura será precisamente os vértices de A não contidos em U e os vértices de B contidos em U. Como δ(u) é um corte que não contém arcos entre A e B, não há arcos entre A U e B U. Logo todas as arestas entre A e B ou incidem a A U, ou a B U, ou a ambos, portanto A U unido com B U é uma cobertura por vértices das arestas. Note que δ(u) é precisamente a quantidade de arcos que saem de U, ou seja, aqueles de s para A U e aqueles de B U para t, ou seja, a cobertura tem tamanho igual ao corte. (f) Conclua que o tamanho de um emparelhamento máximo é igual ao tamanho de uma cobertura por vértices mínima. Todo fluxo máximo é um emparelhamento, e todo emparelhamento corresponde a um fluxo. Portanto o fluxo máximo é igual a um emparelhamento máximo. Portanto igual a um corte mínimo. Nas letras acima, vimos que a todo corte mínimo corresponde uma cobertura de mesmo tamanho. Falta apenas argumentar que toda cobertura por vértices dos arcos entre A e B produz um corte de mesmo tamanho. Seja A B uma cobertura, onde A A e B B. Como não há aresta entre A A e B B, segue que δ(u) é um corte, onde U = s (A A ) B, e o tamanho de δ(u) é a quantidade de arestas saindo de U, ou seja, aquelas de s para A, e as de B para t, ou seja, δ(u) = A + B.

3 Exercício. O objetivo deste exercício é modelar o problema de achar um caminho mais curto entre s e t como um problema de fluxos (não exatamente de fluxo máximo). Suponha que as arestas possuem direção. (a) Identifique no grafo a seguir três exemplos distintos de st-fluxos de valor que sejam necessariamente fluxos inteiros em todos os arcos. s t Em geral, um st-fluxo inteiro de valor determina que tipo de subgrafo? Qualquer st-caminho corresponde a fluxo de valor. (b) Suponha que as arestas possuem um custo associado. O que queremos minimizar? 3 s 3 3 t A soma dos custos das arestas que terão fluxo igual a. (c) Seja M a matriz de incidência do grafo dirigido acima, e c o vetor dos custos dos arcos, e b = ( ) T. Escreva em formato conciso matricial a formulação como PI do problema de achar um caminho entre s e t de custo mínimo. Considere a sua relaxação linear. min sujeita a c T x Mx = b x 0. x inteiro. (d) Uma solução ótima da PL será necessariamente inteira? Por que? 3

4 Sim. A matriz de incidência é totalmente unimodular - fluxo máximo com capacidades inteiras é inteiro. (e) Escreva a dual. Para cada vértice, haverá uma variável dual correspondente. Chame de y o vetor das variáveis duais. max sujeita a b T y M T y c ylivre (f) Ache, para o exemplo da letra (b), uma solução ótima para a dual (atenção: não é para fazer simplex algum. É para olhar para o grafo, e atribuir valores pros vértices satisfazendo as restrições da dual. No olho mesmo.). Obviamente aqui não é pra você resolver a PL! É pra entender a dual e resolver no olho, olhando para o exemplo. Você por exemplo sabe que o ótimo é igual a 4, que é o caminho mínimo de s para t. A dual atribui valores para todos os vértices, de modo que a cabeça da aresta menos o pé seja menor ou igual que a capacidade. O objetivo é ter a maior diferença possível entre o valor de s e o de t. Coloca 0 em y s, 4 em y t. Tenta agora colocar valores em cada vértice de modo que a diferença entre a cabeça de cada arco e seu pé seja menor que a capacidade. Funciona bem fácil. (g) Considere o algoritmo que faz y s = 0, e vai caminhando, a partir de s, aumentando ao máximo os valores de y de modo que as restrições permaneçam viáveis. Que algoritmo é este? (Dica: você já viu ele antes, mas você ainda não sabia na época que ele era um algoritmo dual ). Djisktra. Você tá gulosamente calculando a distância mínima entre s e todos os vértices do grafo. E ao calcular valores para vértices, que são as distâncias, você acaba achando um caminho mínimo - que é uma decisão nos arcos. Ou seja, Djisktra pode ser interpretado como um algoritmo dual! 4

5 Exercício 3. Considere um grafo dirigido, onde s e t são vértices neste grafo.. Formule, como um problema de fluxo máximo, o problema de achar o número máximo de st-caminhos que dirigidos que não utilizam uma mesma aresta mais de uma vez. max T x sujeita a Mx x 0. Como as capacidade são unitárias, a quantidade de arcos com fluxo positivo entrando em cada vértice é igual a quantidade de arcos com fluxo positivo saindo. Ou seja, podemos decompor os arcos com fluxo positivo em um conjunto de caminhos de s para t disjuntos.. Considere o dual do problema acima. Mostre que ele encontra o número mínimo de arestas necessário cuja remoção desconecta s de t. É o corte mínimo. Como o peso das arestas é, o valor estará exatamente contando a quantidade mínima de arestas. Exercício 4. Suponha que em um grafo dirigido, onde os arcos tem pesos não-negativos, tenhamos um conjunto de vértices S e um conjunto de vértices T. Explique como utilizar fluxo-máximo / corte-mínimo para achar um corte de custo mínimo que separa todos os vértices de S de todos os vértices de T, ou seja, que deixa S de um lado e T do outro. (Dica: adicione dois novos vértices ao grafos e conecte eles de modo criativo a S e/ou a T ). Adicione s e conecte com arcos de s para cada vértice de S, e adicione t e conecte com arcos de cada vértice de T para t. Coloque capacidade infinitas para estes arcos - de modo que nenhum corte mínimo entre s e t conterá arestas entre s e S ou entre T e t. Este corte será portanto um ST -corte. Exercício 5 (Use o Teorema de Konig). Em um grafo bipartido, seja A e B os conjuntos de vértices de cada lado. Suponha que A = B.. Mostre que existe um emparelhamento perfeito se, e somente se, para cada subconjunto S de vértices em A, o número total de vizinhos desses vértices em B é maior ou igual que S. Claramente se existe qualquer conjunto S tal que S > N(S), então não será possível achar um conjunto de arestas que emparelhe S, e portanto o grafo não terá um emparelhamento perfeito. Agora suponha que, para todo subconjunto S A, temos S N(S). Vamos mostrar que esta hipótese é suficiente para mostrar que existe um emparelhamento perfeito. Seja T uma cobertura por vértices mínima, e, pelo teorema de Konig, sabemos que T é a cardinalidade de um emparelhamento máximo. Vamos mostrar que T = A, e portanto o emparelhamento máximo é perfeito. Seja T = T T, onde T A e T B. Seja S = A\T. Note que se algum elemento de T 5

6 não fosse vizinho de ao menos alguém de S, então esse vértice poderia ser removido da cobertura mínima, já que todas arestas a ele incidentes já seriam incidentes a vértices de T que já estão na cobertura. Note também que não há arestas entre S e B\T, caso contrário T não seria cobertura. Portanto N(S) = T, e por hipótese, S T. Logo A = T + S T + T = T. Como A é em si uma cobertura, e T é mínima, temos que T = A, e portanto há um emparelhamento perfeito.. Mostre que se o grau de todos os vértices for o mesmo, o grafo necessariamente possui um emparelhamento perfeito. Seja k o grau comum de todos os vértices. Basta notar que qualquer conjunto S A possui k S arestas indo para B, e que seus vizinhos em N(S) possuem k N(S) arestas para A. Como todas as arestas que saem de S para B também são arestas de N(S) para A, temos que k S k N(S), e portanto S N(S) para qualquer subconjunto S A. Pelo item, temos um emparelhamento perfeito. Note, como curiosidade, que há na verdade k emparelhamentos perfeitos disjunto, que podem ser obtidos removendo um, notando que todos os vértices agora tem grau k, e aplicando indução. 6