Aula 20: Revisão Otimização Linear e Inteira Túlio A. M. Toffolo

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1 Aula 20: Revisão Otimização Linear e Inteira Túlio A. M. Toffolo BCC464 / PCC174 Departamento de Computação - UFOP

2 Breve Revisão Programação Linear vs Programação Inteira Modelagem Técnicas de modelagem Problemas clássicos Branch-and-bound Planos de corte Desigualdades válidas Problemas de separação Lifting Formulações ideais!2 // Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 20: Revisão

3 Programação Linear vs Programação Inteira

4 Programação Linear vs Inteira Maximize: Maximize: 6x 1 + 5x 2 6x 1 5x 2 Sujeito a: Sujeito a: 15x 1 + 7x 2 apple 49 15x 1 7x 2 apple 49 2x 1 + 4x 2 apple 17 2x 1 4x 2 apple 17 x 1, x 2 2 Z z = 27, 11 em 27, 11 em x 1 = 1, 7ex 2 = 3, 4 1 1, 7ex 2 3, Ótimo inteiro: Não é ponto z = 22 em inteiro! x 1 = 2ex 2 = !4 // Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 20: Revisão

5 Relaxação de um problema Relaxação Uma formulação R = {min f R (x) :x 2 X R } é considerada uma relaxação de uma formulação M = {min f (x) :x 2 X} se: 1 todas as soluções de M são também soluções de R, ou seja, X X R, 2 e toda solução x 2 X tem custo em R menor ou igual ao custo em M, ou seja, f R (x) apple f (x) para todo x 2 X Exemplo: relaxação linear Utilizada por resolvedores de Programação Inteira!!5 // Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 20: Revisão

6 Modelagem

7 Como modelar PLs? O segredo é: praticar Dicas: Não se limite aos exemplos apresentados em aula. Os livros indicados na ementa da disciplina possuem exemplos e exercícios resolvidos. Estude outros problemas clássicos!!7 // Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 20: Revisão

8 Negação O Complemento Binário Sejam y e x variáveis binárias (lógicas), se y é a negação de x denominamos y como complemento binário de x. Linearizando: y = x y = 1 x!8 // Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 20: Revisão

9 Restrições 'Big M' Esta técnica pode ser utilizada para adicionar um if na sua formulação de Programação Inteira. X xi apple My j Perguntas: Qual o impacto do valor de M? Estas restrições são muito utilizadas?!9 // Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 20: Revisão

10 Exemplo: corte e empacotamento Deseja-se cortar peças unidimensionais a partir de barras que temos em estoque. Objetivo: atender a demanda reduzindo o número de barras utilizadas Dados de Entrada Estoque Pedidos (n = 4) u = 10 w = [ 187, 119, 74, 90 ] c = 250 Onde u é o número de barras disponíveis, c é o tamanho das barras e w indica os tamanhos das peças solicitadas.!10 // Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 20: Revisão

11 Exemplo: corte e empacotamento Como modelar este problema? min y i = s.t. x ij = u y i { i=1 1 if bin i is used in the solution; n w j x ij cy i 0 otherwise j=1 u (i =1,...,u), { 1 x if ij item =1 j is (j packed =1,...,n), into bin i; i=1 0 otherwise, y i {0, 1} note que c atua como um Big M (i =1,...,u), x ij {0, 1} (i =1,...,u; j =1,...,n).!11 // Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 20: Revisão

12 Outros exemplos: problemas clássicos Problemas de Fluxo Fluxo máximo, caminho mais curto, fluxo a custo mínimo, fluxos com ganhos, multi-fluxos. Problemas em Grafos Árvores geradoras mínimas, caminho mais curto, emparelhamento máximo não-ponderado e ponderado, cortes mínimo e máximo, coloração de vértices e arestas, problema de Steiner, caixeiro viajante e roteamento de veículos. Problemas Numéricos Mochila, empacotamento uni- e multi-dimensional, lot sizing.!12 // Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 20: Revisão

13 Branch-and-bound

14 Branch-and-bound Branch (ramificar) Consiste em dividir um problema em problemas menores. Divide-se um problema P em m subproblemas, tais que: P 1, P 2,...,P m tal que P 1 [ P 2,...,[P m = P Geralmente divide-se o problema em 2 subproblemas em cada passo.!14 // Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 20: Revisão

15 Branch-and-bound x 2 max. z = 5x 1 + 4x 2 s.a. x 1 + x 2 apple 5 10x 1 + 6x 2 apple 45 x 1, x x 1 Exemplo de ramificação: x 1 apple 3 OU x 1 4!15 // Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 20: Revisão

16 Branch-and-bound Bound (limites) O branch resulta em um algoritmo exato que encontra a solução ótima em um número finito de passos, mas... É extremamente ineficiente! Para n variáveis binárias teremos 2 n nós a serem explorados. A chave para melhorar a eficiência do algoritmo é a poda de sub-árvores através do uso de limites.!16 // Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 20: Revisão

17 Bounds (Limites) Para um problema de maximização: z = max f (x) Podemos encontrar limites que permitem avalizar a qualidade de uma solução com custo f (x). Limite Superior Solução Ótima Limite Inferior z z z!17 // Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 20: Revisão

18 Exemplo: problema da mochila 5 : 10,75/9 5 :X, -1/4,113=1 5 : z=1 X. = 1 Xy =O, -1,113=45 5 3=1, 114=1/2 '=' six 1 4=1 10,6/10 10,5 / 9 si 3= ' item v i w i d i , , , ,50 3=1 3=0 4=1 y=o inviavel X 5 :X } -45,114=1 : xa.it/3,xz=1 yosinfueeiarjo si a=1 10,2/7 10,33/9 si 3= ' :X, 5--X4=1 inviavel 13= =0 sinfueeirjo poda 2=O por limit 2=1* 9,4/4 g sdueao inteira 5 :X4=1 5 :Xa=1,. s= 5 : z=1 S :Xa=1!18 // Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 20: Revisão

19 Branch-and-bound em programação inteira Inicialização: L P 0, z 1 Seleção de sub-problema: se L = ; então fim Notação senão selecione utilizada: um problema P 2 L e faça L Relaxação linear: P z 0 : custo problema ótimo de original P se problema P é inviável ou z z então L\{P} L : vá lista paradeseleção subproblemas: de sub-problema problemas criados a partir de P 0 com limites inteiros para variáveis P : relaxação linear de um problema P, ou seja o problema P sem z < as z restrições então z de z integralidade Teste de integralidade: se solução ótima de P não tem variáveis com valores fracionários então vá para seleção de sub-problema z : custo da melhor solução inteira encontrada até o momento Ramificação: z : limite uma variável dual inteira (limitecom inferior valor fracionário no caso de minimização): obtido, por exemplo, pela resolução de P na solução ótima de P problema P com uma restrição adicional: x j appleb x j c x j P 0 P 00 problema P com uma restrição adicional: x j d x j e L L [{P 0, P 00 } vá para seleção de sub-problema x : vetor de solução da última resolução de P!19 // Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 20: Revisão

20 Branch-and-bound Algumas considerações: Quais sub-árvores devem ser pesquisadas primeiro? Qual variável selecionar para ramificação (branch) Depende do problema e das metodologias disponíveis! Vide últimas aulas práticas!20 // Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 20: Revisão

21 Planos de Corte

22 Idéia principal de algoritmos de plano de corte Em um problema de minimização. (soluções do problema original) f(x) f R (x) a idéia é modificar (cortar) o problema relaxado até que seu ótimo seja também ótimo do problema inteiro se não for possível encontrar uma solução inteira, então ao menos buscamos um limite melhor (limites obtidos com a relaxação do problema original)!22 // Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 20: Revisão

23 Planos de corte Cortes de arredondamento Cortes de Gomory Cortes de Chvàtal-Gomory Cortes de cobertura (cover) Cortes de clique Cortes de ciclo ímpar Cortes de roda!23 // Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 20: Revisão

24 Exemplo: corte de arredondamento Suponha que as variáveis x deveriam ser inteiras: Considere a restrição: 2x 1 + 4x 2 apple 17 (satisfeita por x 1 = 1, 7ex 2 = 3, 4). Vamos gerar outra restrição dividindo a primeira por 2: x 1 + 2x 2 apple 8, 5 Note que do lado esquerdo temos apenas coeficientes inteiros e o valor das variáveis também deve ser inteiro. Portanto: x 1 + 2x 2 apple 8!24 // Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 20: Revisão

25 Exemplo: corte de Gomory Considere o tableau ao lado: Temos que: x 1 1, 25s 1 + 0, 25s 2 = 3, 75 x 1 x 2 x 3 x 4 rhs z : 0 0 1, 25 0, 75 5, 25 r 1 : 0 1 2, 25 0, 25 2, 25 r 2 : 1 0 1, 25 0, 25 3, 75 Como as variáveis são inteiras (lembre-se do arredondamento): x 1 b1, 25cs 1 + b0, 25cs 2 appleb3, 75c ) x 1 2s 1 3 apple 0 Se separamos a parte inteira da fracionária, teríamos: x 1 +( 2 + 0, 75)s 1 +(0 + 0, 25)s 2 =(3 + 0, 75) x1 2s 1 3 = 0, 75 0, 75s 1 0, 25s 2 0, 75 0, 75s 1 0, 25s 2 apple 0!25 // Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 20: Revisão

26 Exemplo: corte de Chvàtal-Gomory Considere as seguintes desigualdades: i 1 : 2x 1 + 5x 2 + 3x 3 apple 3 i 2 : x 1 + x 4 apple 1 i 3 : 3x 1 2x 2 apple 2 Seja u = {0.25; 0.15; 0.5} Desta forma, temos: 2.15x x x x 4 apple 1.9 x1 = 2 x2 = 0 x3 = 0 x4 = 0 0 = 1 Corte de Chvàtal-Gomory produzido: 2x 1 apple 1!26 // Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 20: Revisão

27 Exemplo: corte de cobertura (cover) Considere que variáveis binárias x j aparecem numa restrição do tipo: X a j x j apple b (a j 0 para todo j 2 N) j2n Um Conjunto C N é uma Cobertura (Cover) se: X a j x j > b j2c O que define o seguinte Corte de Cover: X x j apple C 1 j2c!27 // Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 20: Revisão

28 Exemplo: corte de cobertura (cover) Exemplo Considere a seguinte restrição sobre as variáveis binárias x j : 11x 1 + 6x 2 + 6x 3 + 5x 4 + 5x 5 + 4x 6 + x 7 apple 19 Alguns cortes de cover: x 1 + x 2 + x 3 apple 2 x 1 + x 2 + x 6 apple 2 x 1 + x 5 + x 6 apple 2 x 3 + x 4 + x 5 + x 6 apple 3 Os cortes acima são cortes de cover minimais, no sentido que qualquer variável retirada da restrição descaracteriza a cobertura.!28 // Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 20: Revisão

29 Exemplo: corte de clique Considere as seguintes restrições: x 1 + x 2 apple 1 x 1 + x 3 apple 1 x 1 + x 4 apple 1 x 1 + x 5 apple 1 x 2 + x 3 apple 1 x 2 + x 4 apple 1 x 2 + x 5 apple 1 x 3 + x 4 apple 1 x 3 + x 5 apple 1 x 4 + x 5 apple 1 x2 x4 x1 x5 x3 Corte de clique: x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 apple 1!29 // Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 20: Revisão

30 Exemplo: corte de ciclo ímpar Considere o seguinte modelo: x 1 + x 2 apple 1 x 1 + x 5 apple 1 x 2 + x 3 apple 1 x 3 + x 4 apple 1 x 4 + x 5 apple 1 x5 x1 x2 Corte gerado: x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 apple 2 x4 x3!30 // Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 20: Revisão

31 Problemas de separação Como gerar cortes? Depende do corte! :) Geralmente resolvemos um problema de separação utilizando a solução corrente (fracionária) como entrada Exemplo: cortes de cobertura!31 // Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 20: Revisão

32 Problemas de separação Considere a solução fracionária x. Desigualdades violadas de Cover podem ser geradas resolvendo-se o problema DP: 8 (x )=min X (1 xj )z j >< X j2n DP = s.a. a j z j > b >: j2n z j 2{0, 1} 8j 2 N Pergunta: Uma desigualdade precisamos válida mesmo violada resolver de cover um Programa é descoberta Inteiro para quando encontrar encontra-se cortes z de com cobertura (x ) < (cover)? 1.!32 // Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 20: Revisão

33 Problemas de separação Como encontrar cortes de clique? Resolvendo um problema de separação: Representar o modelo por meio de um grafo de conflito Encontrar cliques maximais neste grafo que estejam sendo violados (se possível, o clique máximo mas isso não é fácil pois o problema é NP-Difícil) Problemas de otimização para encontrar cortes são chamados problemas de separação!33 // Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 20: Revisão

34 Exemplo de lifting Considere: 5x 1 + 5x 2 + 5x 3 + 5x 4 + 3x 5 + 8x 6 apple 17 Temos, por exemplo, a seguinte desigualdade de cobertura: x 1 + x 2 + x 3 + x 4 apple 3 Se fizermos lifting em x 5 e depois em x 6, obtemos: x 1 + x 2 + x 3 + x x 5 apple 3 5 = 3 max{x 1 + x 2 + x 3 + x 4 : x 5 = 1} = 1 De forma análoga, obtemos 6 = 1,resultando no corte: x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 apple 3 Se fizéssemos lifting em x 6 e depois x 5, obteríamos: x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + 2x 6 apple 3!34 // Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 20: Revisão

35 Formulações Ideais

36 Formulação Ideal Maximize: 6x 1 + 5x 2 Sujeito a: 2x 1 + 2x 2 apple 8 6x 1 + 3x 2 apple 18 x 1, x 2 2 R + Formulação ideal envoltória convexa dos pontos inteiros válidos !36 // Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 20: Revisão

37 Formulação Ideal Teorema Quando o poliedro definido pelas restrições define a envoltória convexa das soluções inteiras válidas, o Programa Inteiro pode ser resolvido como um Programa Linear, ou seja, as Pode ser utilizado para resolver problemas com até três restrições de integralidade podem ser ignoradas e a solução ótima variáveis. fornecida para esse problema relaxado ainda assim será uma Muito solução útil para inteira. entender os principais conceitos envolvidos em Programação Linear (Inteira). No entanto... Obter tal poliedro não é trivial. :( Mas há casos em que tal poliedro é facilmente obtido!!!!37 // Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 20: Revisão

38 É o caso de modelos cuja matriz de coeficientes A é Totalmente Unimodular! Definição: Seja uma matriz A contendo apenas valores 1, 0 e +1 tal que haja no máximo dois valores não-nulos em cada coluna. A matriz A é totalmente unimodular se existir uma partição R 1 e R 2 de suas linhas tais que: 1 cada coluna com dois termos não nulos de mesmo sinal tem uma entrada em R 1 e outra em R 2 ; 2 cada coluna com dois termos não nulos de sinal diferente tem ambas entradas em R 1 ou em R 2.!38 // Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 20: Revisão

39 Exemplos: Matrizes de incidência (arco-vértice) de um dígrafo e de um grafo bipartido (aresta-vértice). Problemas com matrizes TUM: Problema do caminho mínimo Problema de fluxo máximo Problema de fluxo com custo mínimo Problema de emparelhamento em grafos bi-partidos!39 // Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 20: Revisão

40 Exemplos: Exemplo de matriz de incidência (que é TUM): R 1 = {1,2,3,4} R 2 =!40 // Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 20: Revisão

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