Aula 03: Algoritmo Simplex (Parte 2)

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1 Aula 03: Algoritmo Simplex (Parte 2) Otimização Linear e Inteira Túlio A. M. Toffolo BCC464/PCC /2 Slides baseados no material de Haroldo Gambini

2 Previously... Aula anterior: Definições e conceitos Forma padrão, pontos extremos, solução básica factível Algoritmo Simplex (Parte 1) Hoje: Algoritmo Simplex (Parte 2) Exemplos de Modelagem 2 / 31 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 03: Algoritmo Simplex (Parte 2)

3 Aula de Hoje 1 Exercício 1: Forma Padrão 2 Exercício 2: Método Simplex 3 Exemplo de modelagem 1 4 Exemplo de modelagem 2 3 / 31 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 03: Algoritmo Simplex (Parte 2)

5 Forma Padrão Exercício Coloque na forma padrão: min. 3x 1 +x 2 s.a. x 1 3 x 1 +x 2 4 2x 1 x 2 = 3 x 1, x / 31 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 03: Algoritmo Simplex (Parte 2)

6 Forma Padrão Exercício Coloque na forma padrão: min. 3x 1 +x 2 s.a. x 1 3 x 1 +x 2 4 2x 1 x 2 = 3 x 1, x 2 0 min. 3x 1 +x 2 s.a. x 1 x f 3 = 3 x 1 +x 2 +x f 4 = 4 2x 1 x 2 = 3 x 1, x 2, x f 3, xf / 31 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 03: Algoritmo Simplex (Parte 2)

8 Método Simplex Exercício 1 Resolva, usando o método Simplex (passo-a-passo): min. 300x x 2 s.a. 70x x x x 2 40 x 1 2 x 1, x / 31 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 03: Algoritmo Simplex (Parte 2)

9 Método Simplex Exercício 1 Resolva, usando o método Simplex (passo-a-passo): min. 300x x 2 s.a. 7x 1 + 5x x 1 + 8x 2 4 x 1 2 x 1, x / 31 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 03: Algoritmo Simplex (Parte 2)

10 Método de Duas Fases Alternativa para situações em que obter uma Solução Básica Factível (SBF) não é trivial. Consiste em resolver dois PLs distintos: Resolver PL contendo variáveis artificiais para encontrar uma SBF Se uma variável artificial tem valor diferente de zero na solução ótima então o problema original é inviável Resolver o PL original utilizando a SBF obtida como solução inicial 8 / 31 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 03: Algoritmo Simplex (Parte 2)

11 Método de Duas Fases Introduzir variáveis artificiais Criar função objetivo artificial: z a = i I x a i Variáveis básicas iniciais: variáveis de folga associadas às restrições de menor e igual e variáveis artificiais Objetivo da primeira fase: minimizar a função objetivo artificial Caminhar de SBF em SBF até alcançar uma SBF do problema original (situação que ocorre quando todas as variáveis artificiais são nulas). 9 / 31 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 03: Algoritmo Simplex (Parte 2)

12 Método de Duas Fases A partir de uma SBF do problema original P, gerar SBFs cada vez melhores até se atingir a solução ótima. Ou seja: aplicar o Simplex padrão no problema original P utilizando a SBF obtida na FASE / 31 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 03: Algoritmo Simplex (Parte 2)

13 Método Simplex Exercício 1 Resolva, usando o método Simplex (passo-a-passo): min. 300x x 2 s.a. 7x 1 + 5x x 1 + 8x 2 4 x 1 2 x 1, x / 31 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 03: Algoritmo Simplex (Parte 2)

14 Método de Duas Fases min. 300x x 2 +a 1 +a 2 +a 3 s.a. 7x 1 + 5x 2 x 3 +a 1 =35 5x 1 + 8x 2 x 4 +a 2 = 4 x 1 x 5 +a 3 = 2 Mas a 1, a 2 e a 3 devem ter coeficientes nulos na função objetivo... O que fazer? 12 / 31 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 03: Algoritmo Simplex (Parte 2)

15 Método Simplex L 0 : a 1 a 2 a 3 = 0 L 1 : 7x 1 + 5x 2 x 3 + a 1 = 35 a 1 = 35 L 2 : 5x 1 + 8x 2 x 4 + a 2 = 4 a 2 = 4 L 3 : x 1 x 5 + a 3 = 2 a 3 = 2 a 1, a 2 e a 3 devem ter coeficiente 0 na função objetivo: Logo: L 0 L 0 + L 1 + L 2 + L 3 13 / 31 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 03: Algoritmo Simplex (Parte 2)

16 Método Simplex L 0 : 13x x 2 x 3 x 4 x 5 = 41 z = 41 L 1 : 7x 1 + 5x 2 x 3 + a 1 = 35 a 1 = 35 L 2 : 5x 1 + 8x 2 x 4 + a 2 = 4 a 2 = 4 L 3 : x 1 x 5 + a 3 = 2 a 3 = 2 Solução não é ótima... Quem entra na base? x 1 ou x 2 Colocaremos x 1 na base (linha pivô: L 2 ) 14 / 31 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 03: Algoritmo Simplex (Parte 2)

17 Método Simplex L 0 : 39 5 x2 x3 + 8 x4 x a = 5 z = L 1 : 31 5 x2 x x4 + a1 7 a = 5 a 1 = L 2 : x x2 1 5 x a2 = 4 5 x 1 = 4 5 L 3 : 8 5 x x4 x5 1 5 a2 + a3 = 6 5 a 3 = 6 5 Solução não é ótima... Quem entra na base? x 4 Colocaremos x 4 na base (linha pivô: L 3 ) 15 / 31 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 03: Algoritmo Simplex (Parte 2)

18 Método Simplex L 0 : 5x 2 x 3 + 7x 5 a 2 8a 3 = 21 z = 21 L 1 : 5x 2 x 3 + 7x 5 + a 1 7a 3 = 21 a 1 = 21 L 2 : x 1 x 5 + a 3 = 2 x 1 = 2 L 3 : 8x 2 + x 4 5x 5 a 2 + 5a 3 = 6 x 4 = 6 Solução não é ótima... Quem entra na base? x 5 Colocaremos x 5 na base (linha pivô: L 1 ) 16 / 31 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 03: Algoritmo Simplex (Parte 2)

19 Método Simplex L 0 : a 1 a 2 a 3 = 0 z = 0 5 L 1 : 7 x2 1 7 x3 + x5 + 1 a1 a3 = 3 x5 = 3 7 L 2 : x x2 1 7 x3 + 1 a1 = 5 x1 = 5 7 L 3 : 31 7 x2 5 7 x3 + x4 + 5 a1 a2 = 21 x4 = 21 7 Nenhuma variável artificial está na base... Solução Básica Factível encontrada! Podemos remover as variáveis artificiais! 17 / 31 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 03: Algoritmo Simplex (Parte 2)

20 Método Simplex L 0 : 300x 1 280x 2 = 0 z = 0 5 L 1 : 7 x2 1 x3 7 + x5 = 3 x5 = 3 L 2 : x x2 1 x3 7 = 5 x1 = 5 L 3 : 31 7 x2 5 x3 + x4 7 = 21 x4 = 21 Removendo x 1 de L 0 : L 0 L 0 300L 2 L 0 : x2 x3 = 1500 z = Solução é ótima! 18 / 31 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 03: Algoritmo Simplex (Parte 2)

22 Modelagem - Planejamento da Produção Nossa companhia fabrica tapetes artesanais, um produto com demanda sazonal. Obtivemos as demandas demanda 1, demanda 2,..., demanda 12 para o ano que se inicia. As mesmas variam desde 440 até 920. Atualmente temos 30 empregados, e cada um faz 20 tapetes por mês e recebe $ 2.000,00. Estamos sem estoque de carpetes no momento. As flutuações de demanda podem ser gerenciadas do seguinte modo: 1 trabalho extra: nesse caso paga-se 80% a mais do que o salário regular; cada funcionário pode ter um máximo de 30% de trabalho a mais no mês; 2 contratar ou despedir: custo de $ 320 e $ 400, respectivamente; 3 manter estoques: custa $ 8 por tapete por mês; atualmente não temos tapetes estocados e precisamos terminar o ano sem estoque também. Como atender toda a demanda minimizando os custos de produção? 20 / 31 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 03: Algoritmo Simplex (Parte 2)

23 Planejamento da Produção - Variáveis t i trabalhadores no i-ésimo mês; (t 0 = 30); x i número de tapetes feitos i-ésimo mês; e i número de tapetes feitos utilizando-se trabalho extra no mês i; c i, d i respectivamente: contratados e demitidos no início do mês i; a i número de tapetes armazenados ao final do mês i (a 0 = 0). 21 / 31 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 03: Algoritmo Simplex (Parte 2)

24 Planejamento da Produção - Restrições Produção mês i (i = 1,..., 12) x i = 20t i + e i Variáveis t i trabalhadores x i produção c i contratados d i demitidos e i trab. extra a i armazenados Máximo prod. com trab. extra (20 0, 3) e i 6t i Tapetes armezanados no final do mês i a i = a (i 1) + x i demanda i Trabalhadores no início do mês i t i = t (i 1) + c i d i Não negatividade t i, x i, c i, e i, a i 0 i 22 / 31 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 03: Algoritmo Simplex (Parte 2)

25 Planejamento da Produção - Função Objetivo Variáveis t i trabalhadores x i produção c i contratados d i demitidos e i trab. extra a i armazenados Minimizando os Custos 12 i=1 2000t i + 8a i + 180e i + 320c i + 400d i 23 / 31 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 03: Algoritmo Simplex (Parte 2)

27 Modelagem - Análise de Investimentos Um investidor tem 3 alternativas de investimento: A, B e C para o ano que se inicia. Os investimentos não são mutuamente exclusivos e o dinheiro proveniente de lucros em uma aplicação pode ser reinvestido em qualquer uma das aplicações. As aplicações têm as seguintes características: A: disponível no início de cada um dos quatro trimestres; cada R$ investido em A no princípio do trimestre devolve R$ 1,10 no final do trimestre; B: disponível no início de cada um dos dois semestres; cada R$ investido em B retorna R$ 1,20 ao final do semestre. C: disponível somente no início do ano; Cada R$ investido em C devolve R$ 1,40 no final do ano. O capital do investidor é de R$ 5.000,00. Como maximizar o capital do investidor até o final do ano? 25 / 31 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 03: Algoritmo Simplex (Parte 2)

28 Carteira de Aplicações Variáveis de Decisão x ij : quantidade investida na aplicação i no trimestre j i {A, B, C}, j {1, 2, 3, 4} x A1, x A2, x A3, x A4, x B1, x B3, x C1 26 / 31 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 03: Algoritmo Simplex (Parte 2)

29 O Fluxo do Capital x C1 x B1 x A1 x A2 x A3 x A4 x B ,1 x A1 1,1 x A2 1,2 x B1 1,1 x A3 1,1 x A4 1,2 x B3 1,4 x C1 27 / 31 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 03: Algoritmo Simplex (Parte 2)

30 O Fluxo do Capital : Função Objetivo x C1 x B1 x A1 x A2 x B3 x A3 x A ,1 x A1 1,1 x A2 1,2 x B1 1,1 x A3 1,1 x A4 1,2 x B3 1,4 x C1 Maximize 1, 1x A4 + 1, 2x B3 + 1, 4x C1 (lembre-se que o dinheiro ganho em períodos anteriores pode ser reinvestido.) 28 / 31 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 03: Algoritmo Simplex (Parte 2)

31 O Fluxo do Capital : Restrições Período 1 Os R$ 5.000,00 disponíveis podem ser guardados ou investidos em A,B ou C. Criaremos uma variável artificial g 1 que indica a quantidade guardada no período 1. x A1 + x B1 + x C1 + g 1 = 5000 Período 2 x A2 + g 2 = 1, 1x A1 + g 1 Período n investimentos em n + guardados em n = lucros em n + guardados em n 1 29 / 31 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 03: Algoritmo Simplex (Parte 2)

32 Fluxo de Capital - Modelo Maximize: Sujeito a: 1, 1x A4 + 1, 2x B3 + 1, 4x C1 + g 4 x A1 + x B1 + x C1 + g 1 = 5000 x A2 + g 2 = g 1 + 1, 1x A1 x A3 + x B3 + g 3 = g 2 + 1, 1x A2 + 1, 2x B1 x A4 + g 4 = g 3 + 1, 1x A3 x ij 0 i, j g j 0 j 30 / 31 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 03: Algoritmo Simplex (Parte 2)

33 Modelagem Exercício A cia. farmacêutica Margarida fabrica 2 drogas: d 1 e d 2. As drogas são produzidas pela mistura de dois compostos químicos: q 1 e q 2. Considerando seu peso total, a droga d 1 deve apresentar ao menos 65% de q 1 e a droga d 2 deve apresentar ao menos 55% de q 1. A droga d 1 vende por R$ 60,00 a grama e a droga d 2 vende a R$ 40,00 a grama. Os compostos q 1 e q 2 podem ser produzidos por dois processos de fabricação, p 1 e p 2. Executar o processo p 1 por uma hora requer 30 gramas de matéria-prima crua, 2 horas de trabalho e produz 15 gramas de cada composto químico. O processo p 2 executado por uma hora requer 20 gramas de matéria-prima crua, 3 horas de trabalho 2 produz 20 gramas de q 1 e 10 gramas de q 2. Considerando a disponibilidade de 120 horas de trabalho e 100 gramas de matéria-prima crua, formule o Problema de Programação Linear que maximiza o faturamento da cia. Margarida. Formule um PL que maximiza o faturamento da cia. Margarida. 31 / 31 Túlio Toffolo Otimização Linear e Inteira Aula 03: Algoritmo Simplex (Parte 2)

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