PESQUISA OPERACIONAL Definições e Teoremas Básicos. Professor Volmir Wilhelm Professora Mariana Kleina

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1 PESQUISA OPERACIONAL Definições e Teoremas ásicos Professor Volmir Wilhelm Professora Mariana Kleina

2 Conceitos Solução Viável Solução Não Viável Região Viável Solução ásica Solução ásica Viável Solução ásica Viável Não Degenerada

3 Solução ásica de um sistema de equações -y + u + v + w = - + y -u -v + 7w = 9 + y + u + v + 7w = y u v w y u v w y u v w 7 9 y u v w y u v w y + u = 7 -y + v = y+w= u 9 y v 7 7 y w y Há infinitas soluções para este sistema; elas são geradas através da atribuição de valores arbitrários a e y. Por eemplo fazendo = e y = - temos u = v = - w = 9. Uma solução em especial é interessante. Esta é a obtida quando e y são ambos nulos. Neste caso temos = y = u = v = -7 w =. Esta solução é denominado de solução básica e u v w são chamadas de variáveis básicas enquanto e y são as variáveis não-básicas.

4 . ma s.a c a... a m c a n n... a mn n n n n b b m Definições a A... am... a n b b a mn b m... n c c... c n Definição : Solução Viável Um vetor que satisfaz as restrições de um problema de programação linear é denominado de solução viável ou factível. Definição : Um vetor que não satisfaz alguma restrição é chamado de solução inviável. Definição : Região Viável O conjunto de todas as soluções viáveis é denominado de região viável ou região factível. Definição : Matriz ase Se uma submatriz mm da matriz A é não singular isto é o seu determinante é não nulo então a submatriz mm designa-se por matriz base. Definição : Variável ásica e Variável Não ásica As m variáveis correspondentes às m colunas de mm designam-se por variáveis básicas. As demais variáveis são denominadas de variáveis não básicas Definição 7: Solução ásica Uma solução básica é qualquer solução que satisfaz A = b obtido fiando as variáveis não-básicas igual a zero. Definição 7: Solução ásica Viável Uma solução que satisfaz todas as restrições e tem no máimo m valores não-nulos.

5 ... ma sa Solução ásica Viável e solução ásica Não Viável de um sistema de equações continua...

6 Solução ásica Não Viável Variáveis ásicas: e Variáveis Não ásicas: A Obtenção via resolução algébrica do sistema Solução ásica Não Viável de um sistema de equações continua continuação

7 A 7 Solução ásica Não Viável de um sistema de equações - Obtenção via operações matriciais e via inversa Solução ásica Não Viável b Variáveis ásicas: e Variáveis Não ásicas:... continuação

8 Solução ásica Viável Variáveis ásicas: e Variáveis Não ásicas: Solução ásica Viável de um sistema de equações

9 A N com somente quadrada e tal que Solução ásica A b N N b b N N b N N I b N N b N N solução geral Seja um sistema com m equações e n variáveis. Considere uma partição básica N obtida ao se fiar as n m variáveis de N em zero é: A e a seguinte solução N b A solução assim obtida é chamada SOLUÇÃO ÁSICA. Se b dizemos que é uma SOLUÇÃO ÁSICA VIÁVEL. Além disso se b dizemos que é uma SOLUÇÃO ÁSICA VIÁVEL NÃO DEGENERADA. 9

10 ... ma sa c b A T T ma b A sa c N T T N b Solução ásica Viável de um sistema de equações Obtenção da Solução ásica via matriz inversa

11 Teoremas Conveidade da região viável Solução básica viável é um ponto etremo Conjunto de soluções básicas viáveis é finito A solução básica viável ótima é um ponto etremo

12 Teorema : Região Viável é Convea Num problema de programação linear a região viável é um conjunto conveo. a a... am a a a m... a... a... a n mn n m n n b b b m S a S b S p a bs onte: Demonstração: Seja S o conjunto formado pelos pontos tais que A b. Vamos demonstrar que o conjunto S é conveo. Sejam S ; precisamos mostrar que S. Sejam tal que A b A b e. A A A A b b b. Uma vez que e então.

13 Definição de Vértice Ponto Etremo: Um vértice da região convea P é um ponto que não pode ser epresso como uma combinação linear convea de pontos distintos da região P. onte: onte:

14 Teorema : Solução ásica Viável é Ponto Etremo As soluções básicas viáveis de um problema de programação linear localizam-se em pontos etremos da região viável. Dem: Seja uma solução básica associada a submatriz base R mm. Então sem perda de generalidade suponha que = N com i = para i=m+...n. Logo A= =b e portanto é matriz não singular. Por contradição suponhamos que não seja ponto etremo ou vértice de S então yzs tal que = y + -z [ ] e yz pois. Como i = i=m+...n então y i = e -z i = para i=m+...n e portanto y i = z i = i=m+...n. Logo y=y y N e z=z z N. Como yz S Ay=b e Az=b e portanto y =b e z =b. Portanto = b b = y z = y z. Mas y z e então y z contradição pois por hipótese é uma submatriz base e portanto não singular Toda solução básica do sistema A= b é um ponto etremo do conjunto de soluções factíveis S.

15 Teorema : O Número Soluções ásicas é inito A coleção de todas as soluções básicas formam um conjunto finito. C n m m nm n Teorema : Se a função objetivo possui um máimo mínimo finito então pelo menos uma solução ótima é um ponto etremo do conjunto S conveo do Teorema. Dem: Seja a função objetivo que toma o valor máimo M no ponto o então pode-se afirmar que: M o para todo S. Sejam... p os pontos etremos do conjunto S. Precisamos provar que o é um desses pontos etremos. Suponha que o não seja um ponto etremo de S. Então ele pode ser obtido pela combinação convea de seus pontos etremos: p o o i sendo i p p i i i i... e i p i... i i p -> a. Assim p M... p p -> b. Consideremos o ponto etremo M definido pela relação M ma i i... p -> c Devido as relações a e c a relação b pode sofrer as seguintes modificações: p M M p M ou seja o M i... o tínhamos M o S isto é. Então é necessário ter M i. Mas o M o M e fica provado que a solução ótima o é um ponto etremo do conjunto conveo C.

16 aseado nos teoremas anteriores uma maneira prática de resolver pequenos Problemas de Programação Linear seria verificar o valor da função objetivo nos pontos etremos do polígono de soluções viáveis. onte:

17 Vértices = Etremos = Solução ásicas Viáveis ma sa 7 = = = 9 =. = 9 7

18 Vértices = Etremos = Solução ásicas Viáveis Método das soluções básicas viáveis a Encontre as coordenadas dos vértices da região viável; b Para cada vértice calcule o respectivo valor da função objetivo; c O ponto com o maior valor da função objetivo é a solução ótima.

19 9 Método das Soluções ásicas 7 sa ma A 7 b.. C sa ma continua...

20 ??? C continua continuação Método das Soluções ásicas

21 ... continuação Método das Soluções ásicas Soluções ásicas Viáveis 9 9 Soluções ásicas Não Viáveis 9 7??? continua...

22 ... continuação Método das Soluções ásicas Soluções ásicas Viáveis 9 9 9

23 Método das Soluções ásicas ma sa continua...

24 sa ma sa ma A b.. C 9 7 continua continuação Método das Soluções ásicas

25 C continua continuação Método das Soluções ásicas

26 ... continuação Método das Soluções ásicas Soluções ásicas Viáveis Soluções ásicas Não Viáveis / 7 9 C m n n mn m m= n= 9 9 soluções básicas milhões operações por segundo 9 bilhões de anos continua...

27 7 / Soluções ásicas Viáveis... continuação Método das Soluções ásicas

28 Prévia de um algoritmo de otimização SIMPLEX. Obter uma solução básica inicial a mais trivial e mais fácil. Verificar se a solução atual é ótima. Se a solução atual não for ótima procurar outra solução básica. Voltar ao passo Questões a Como achar a solução inicial? b Que critério usar para gerar uma nova solução básica? c Como posso saber se a solução atual é ótima?

29 ... ma sa Variáveis ásicas: e Variáveis Não ásicas: Iteração início Passo 9 continua...

30 Variáveis ásicas: e Variáveis Não ásicas: Iteração A solução é ótima? Não pois eiste variável não básica com coeficiente positivo na unção Objetivo Qual variável então entra na base? pois possui o maior coeficiente positivo Qual variável então sai da base? sai da base continua continuação

31 Variáveis ásicas: e Variáveis Não ásicas: Iteração A solução é ótima? Não pois eiste variável não básica com coeficiente positivo na unção Objetivo Qual variável então entra na base? pois possui o maior coeficiente positivo Qual variável então sai da base? sai da base continua continuação

32 Variáveis ásicas: e Variáveis Não ásicas: Iteração A solução é ótima? Não pois eiste variável não básica com coeficiente positivo na unção Objetivo Qual variável então entra na base? pois possui o maior coeficiente positivo Qual variável então sai da base? sai da base 7 continua continuação

33 Variáveis ásicas: e Variáveis Não ásicas: Iteração término A solução é ótima? Sim pois não eiste variável não básica com coeficiente positivo na unção Objetivo... continuação