Pesquisa Operacional

Transcrição

1 Pesquisa Operacional Em busca da solução ótima: método gráfico Diretoria dos Cursos de Informática Ciência da Computação Profa. Dra. Gisele Castro Fontanella Pileggi

2 Programação Linear Solução Gráfica Não é simples obter a solução ótima de um problema de Programação Linear; Eistem diversas maneiras de obter esta solução ótima; Quando o problema envolver apenas duas variáveis de decisão, a solução ótima pode ser encontrada graficamente.

3 O Problema do Desenhista Um desenhista faz quadros artesanais para vender numa feira que acontece todo dia, à noite; Ele faz desenhos grandes e desenhos pequenos, e vende-os por R$5,00 e R$,00, respectivamente; Só é possível vender desenhos grandes e 3 desenhos pequenos por noite; O desenho grande é feito em uma hora (grosseiro) e o pequeno é feito em duas horas (detalhado). Além disso, o desenhista desenha 8 horas por dia antes de ir para a feira.

4 A Decisão do Desenhista O que o desenhista precisa decidir? O que ele pode fazer para aumentar ou diminuir a sua receita? A decisão dele é como usar as 8 horas diárias: quantos desenhos pequenos e grandes ele deve fazer! Chamemos de e as quantidades de desenhos grandes e pequenos que ele faz, por dia, respectivamente.

5 Determine o Modelo! Ma Z 5 faturamento s. a. (a) Máimo de desenhos grandes 3 (b) Máimo de desenhos pequenos 8 (c) Restrição de tempo 0, 0 (d) Não negatividade

6 Programação Linear Solução Gráfica 3 ocupa o eio das abcissas e o eio das ordenadas Todos os valores para e são considerados inicialmente 3

7 Programação Linear Solução Gráfica é não negativa Logo: 0

8 Programação Linear Solução Gráfica A região viável é reduzida! O mesmo raciocínio para resulta: 0

9 Programação Linear Solução Gráfica A região viável é reduzida mais ainda! 0 0

10 Programação Linear Solução Gráfica 3 Agora pensemos na restrição (a): 3

11 Programação Linear Solução Gráfica 3 3

12 Programação Linear Solução Gráfica 3 E a restrição (b): 3 3

13 Programação Linear Solução Gráfica 3 3 3

14 Solução Gráfica Região Viável Parcial Agora precisamos colocar a restrição (c): 8 0 3

15 Região Viável Parcial é Compreendida entre as retas É importante ver aonde a nova reta vai passar. Vamos ver sua interseção com os eios principais 0 3

16 Intersecção com os Eios Principais Toda Interseção é determinada resolvendo um sistema de equações 8 0 (0,) (8,0)

17 Um Esboço da Nova Reta 3 (0,) Para uma maior precisão é importante definir os pontos vermelhos (8,0) 3

18 Definindo os Pontos de Intersecção 8 (,) 8 3 (,3)

19 3 A Nova Reta (,3) Como toda restrição, uma parte da antiga região viável será desprezada. Qual? (,) 3 Esta pergunta é a mesma: Para onde a restrição aponta? Para baio ou para cima?

20 Decidindo sobre a Restrição 3 (,3) Como a restrição é <, as pessoas costumam dizer que aponta para baio. Está errado raciocinar assim! (,) 3 Devemos investigar algum ponto que esteja na região acima ou abaio da reta

21 Decidindo sobre a rrestrição Vamos escolher, por facilidade o ponto (0,0): 8 Aplicando: Logo, (0,0) está dentro da restrição. Portanto, a reta aponta para baio.

22 Decidindo sobre a Restrição 3 (,3) (,) E, portanto, 3

23 3 Região Viável (,3) A região viável é o conjunto de todas as soluções viáveis do problema Região Viável (,) 3

24 Programação Linear e Conveidade Conjunto Conveo em R Conjunto Conveo Conjunto não Conveo

25 Teorema Fundamental da Conveidade Teorema O conjunto de todas as soluções viáveis de um problema de Programação Linear é um conjunto conveo. Graficamente, podemos verificar o teorema observando que a região viável é obtida como a interseção de vários semi-espaços, e é portanto convea.

26 Verificação Geométrica do Teorema 0 0

27 Verificação Geométrica do Teorema

28 Verificação Geométrica do Teorema 3

29 Verificação Geométrica do Teorema 8 c.q.d.

30 Pontos Etremos 3 E=(0,3) D=(,3) São pontos especiais, nos vértices da região viável C=(,) B=(,0) A=(0,0) 3

31 A Solução Ótima A solução ótima é um dos pontos da região viável; Basta procurar dentro da região viável o ponto que dará o maior valor para Z. Investiguemos o valor de Z em alguns pontos da região viável:

32 Vamos investigar, por acaso, o valor de Z em (,0): Z Entretanto, outros pontos também fornecem Z = 0: Investigando valores para Z ;,5 Z 5,5 0,6 ; Z 5,6 0

33 O Conjunto de Pontos para Z=0 3 E (0,8;3) D Em todos estes pontos, temos Z = 0 C (;0) B Como obter estes pontos? A 3

34 O Valor Fio de Z Quando Z assume um valor fio, temos uma reta! Entretanto, é possível que vários pontos da região viável possuam um mesmo valor para Z, como foi o caso anterior; Também é possível que nenhum ponto assuma um determinado valor de Z. Por eemplo, que pontos viáveis dariam Z = 30?

35 O Conjunto de Soluções para Z=30 0,5 6,0 ; 5 O Conjunto de Soluções Viáveis para Z = 30 é vazio 5,5 ;,5

36 Variando o Valor de Z O que aconteceu, do ponto de vista da reta, quando mudamos o valor de Z? Z = 0 Z = 30 A reta se deslocou para a direita Neste caso, sempre que aumentarmos o valor de Z a reta irá para a direita!

37 A Solução Ótima Como é um problema de maimizar, a solução ótima será o ponto da região viável que esteja mais à direita. C=(,) Também é importante saber o valor da função objetivo no ponto ótimo

38 O Valor da Função Objetivo na Solução Ótima Calcula-se então: Z 5 Podemos então concluir que, desenhando quadros grandes e quadros pequenos por dia, o Desenhista terá seu faturamento máimo, de R$,00 na feira.

39 Solução Gráfica - Resumo Para obter a solução de forma gráfica, siga os passos: Desenhe a região viável, que depende eclusivamente das restrições; Descubra a inclinação da função objetivo (desenhe em algum ponto interno à região viável, aleatoriamente) Descubra para que lado a função objetivo melhora; Projete a função nesta direção; em caso de dúvidas, você sempre pode aplicar a função objetivo em mais de um ponto, escolhendo o ponto mais adequado.

40 Solução Gráfica de um PL - Eercício Considere o seguinte o problema de LP Ma 3 3 s. a. 6, 0 a) Encontre a solução ótima. b) Se a função objetivo fosse alterada para +6, qual seria a solução ótima? c) Quantos pontos etremos eistem?

41 Solução Gráfica de um PL - Eercício (0,6) (0,3) 3 0 (0,0) 0 3 (,0) (6,0)

42 Solução Gráfica de um PL - Eercício 7 (0,6) (0,3) Z Z Z Z Z Z Z 3,5 3 3 (3,3/) (0,0) (6,0) X 0 3 (,0) 5 6

43 Encontre a solução ótima do seguinte o problema de PL 0, Min 7 a s Solução Gráfica de um PL - Eercício

44 Solução Gráfica de um PL - Eercício

45 Solução Gráfica de um PL - Eercício

46 Programação Linear Restrições Redundantes Uma restrição é dita redundante quando a sua eclusão do conjunto de restrições, de um problema, não altera o conjunto de soluções viáveis deste; É uma restrição que não participa da determinação do conjunto de soluções viáveis; Eiste um outro problema sem esta restrição com a mesma solução ótima.

47 Considere o problema: 0, Min 6 a s Programação Linear Restrições Redundantes

48 Programação Linear Restrições Redundantes Restrição Redundante

49 Programação Linear Solução Múltipla Um problema de Programação Linear com solução múltipla é aquele que possui mais de uma solução ótima, ou seja, eiste na região viável mais de um ponto que dá o Z ótimo. Isto acontece somente quando a função objetivo tem coeficientes proporcionais ao de alguma restrição.

50 Considere o seguinte o problema de PL Encontre a solução ótima. 0, Min 6 a s Programação Linear Solução Múltipla

51 Programação Linear Solução Múltipla Soluções Ótimas Múltiplas 8 0

52 0, Ma 6 a s Programação Linear Solução Ilimitada Considere o seguinte o problema de PL Encontre a solução ótima.

53 Programação Linear Solução Ilimitada

54 Um problema de programação linear é dito inviável quando o conjunto de soluções viáveis é vazio. Considere o problema 0, 0.. Ma a s Programação Linear Solução Inviável

55 Programação Linear Solução Inviável