Otimização Linear. Profª : Adriana Departamento de Matemática. wwwp.fc.unesp.br/~adriana

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1 Otimização Linear Profª : Adriana Departamento de Matemática adriana@fc.unesp.br wwwp.fc.unesp.br/~adriana

2 Teoria da Otimização Linear Transformação de problemas na forma padrão a a b i1 1 in n i a a b i1 1 in n i a i a in n + k = b i k 0 a i a in n - k = b i k 0 variável i irrestrita de sinal no problema, com 0, 0. i i i i i Adriana Cherri 2

3 Teoria da Otimização Linear minimizar f ( 1, 2,..., n ) = c c c n n Sujeito a: a a a 1n n = b 1 a a a 2n n = b 2... a m1 1 + a m a mn n = b m 1 0, 2 0,..., n 0 Adriana Cherri 3

4 Teoria da Otimização Linear Solução factível satisfaz todas as restrições e as condições de não-negatividade do problema de otimização linear; Região factível é conjunto de todas as soluções factíveis define uma região no R n ; Solução ótima é uma solução factível e fornece o menor (maior) valor à função objetivo; Adriana Cherri 4

5 Teoria da Otimização Linear Os vértices são determinados pela intersecção de duas (ou mais) retas que definem a fronteira da região factível; Os vértices são soluções de sistemas de equações lineares; Se um problema de otimização linear tem uma solução ótima, então eiste um vértice ótimo; Adriana Cherri 5

6 Soluções básicas Considere a seguinte região factível no R 2 Variáveis de folga Forma padrão Adriana Cherri 6

7 Soluções básicas Adriana Cherri 7

8 Soluções Básicas Factível?? Não-negatividade?? Adriana Cherri 8

9 Soluções Básicas Factível?? Não-negatividade?? Adriana Cherri 9

10 Soluções Básicas Factível?? Não-negatividade?? Restrição Ativa Folga nula Adriana Cherri 10

11 Soluções Básicas Factível?? Não-negatividade?? Vértice da região factível Adriana Cherri 11

12 Alguns pontos Apenas as coordenadas ( 1, 2 ) pode ser visualizadas; As coordenadas ( 3, 4, 5 ) medem as folgas em cada restrição; Os pontos A e B estão no interior da região factível (todas as variáveis de folga são positivas). Uma solução está na fronteira se e somente se j = 0, j = 3, 4, 5 Adriana Cherri 12

13 Fronteira da região factível Alguma variável se anula! Variáveis nulas indicam restrições ativas! Mais de uma variável se anula: vértice (mais de uma restrição ativa)! Adriana Cherri 13

14 Pontos Infactíveis Respeitam o sistema A = b Condição de não-negatividade! Adriana Cherri 14

15 Pontos Infactíveis Respeitam o sistema A = b Condição de não-negatividade! Adriana Cherri 15

16 Região Convea Um conjunto S é conveo se para qualquer par de elementos, y de S e qualquer [0; 1], então: + (1 - )y S. Adriana Cherri 16

17 Região Convea A região factível de um problema de programação linear é um conjunto conveo. Adriana Cherri 17

18 Vimos que... Os vértices são soluções de sistemas de equações lineares; Sempre que eiste uma solução ótima, eiste um ponto etremo ótimo; Uma maneira de encontrar a soluções ótima seria visitar os pontos etremos sucessivamente; Como determinar pontos etremos sem o auílio do gráfico?? Adriana Cherri 18

19 Pontos Etremos Duas restrições ativas: duas variáveis nulas n-m variáveis nulas Ponto D: equações, 3 incógnitas Adriana Cherri 19

20 Pontos Etremos Ponto F: Adriana Cherri 20

21 Pontos Etremos Factíveis: Ao fiar (n-m) variáveis em zero, a resolução do sistema resulta em valores positivos para as variáveis restantes. (E. ponto D) Infactíveis Ao fiar (n-m) variáveis em zero, a resolução do sistema resulta em ao menos um valor negativo para as variáveis restantes. (E. ponto F) Adriana Cherri 21

22 Escrevendo o sistema Apesar de fiarmos m - n variáveis em zero (no e., 3 e 4 ) continuamos escrevendo-as no sistema, porém de forma isolada: Adriana Cherri 22

23 Escrevendo o sistema Índices das colunas da matriz A que pertencem a B e a N Índices: B = (B 1, B 2, B 3 ): B 1 = 1, B 2 = 2, B 3 = 5 N = (N 1, N 2 ): N 1 = 3, N 2 = 4 Adriana Cherri 23

24 Notação Índices: B = (B 1, B 2, B 3 ): B 1 = 1, B 2 = 2, B 3 = 5 N = (N 1, N 2 ): N 1 = 3, N 2 = 4 Colunas associadas: B=(a,a,a ) B B B N=(a,a ) = [a 1, a 2, a 5 ] = [a 3, a 4 ] N B B 1 1 B 2 2 B 5 3 N 3 1 N 4 2 N1 N2 Adriana Cherri 24

25 Reescrevendo o sistema Minimizar f() = c T A = b 0 A = b B B +N N = b No eemplo, as variáveis de N foram fiadas em 0, portanto, o sistema resultante, B B = b, possui o mesmo número de equações e incógnitas (m). Se as variáveis da solução desse sistema são 0, temos um ponto etremo factível, caso contrário, o ponto é infactível. Adriana Cherri 25

26 Revisando... Se a matriz B do sistema for invertível, a solução é bem determinada. E se a matriz B não for invertível? Sempre é possível selecionar m colunas da matriz A que formem uma matriz B invertível. As demais variáveis são fiadas. Quando consideramos um problema de otimização linear na forma padrão, admitimos que m < n (é comum m << n). Assim o sistema linear A = b tem infinitas soluções e o grau de liberdade é n m. Se m = n o sistema tem solução única e o problema é trivial de ser resolvido. Adriana Cherri 26

27 Partição Básica (Matriz Básica) A = [B, N] B m m : matriz básica formada por m colunas da matriz A e invertível. B pode ser escrita como: B = a B,a,...,a 1 B2 B m em que B 1, B 2,..., B m são os índices das colunas escolhidas da matriz A que pertencem a B (índices básicos) Adriana Cherri 27

28 Partição Básica (Matriz Não-Básica) A = [B, N] N m (n-m) : matriz não-básica formada por n m colunas restantes da matriz A. N pode ser escrita como: B= a N,a N,...,a N n m 1 2 ( ) em que N 1, N 2,..., N n-m são os índices das colunas da matriz A que pertencem a N (índices não-básicos) Adriana Cherri 28

29 Partição Básica Partição das Variáveis A partição de A em [B N] cria uma partição no vetor das variáveis: variáveis básicas variáveis não-básicas Adriana Cherri 29

30 Solução Geral do Sistema A b B B N b N B B N N b B B 1 bb 1 N N A última epressão de B é conhecida como solução geral do sistema. Adriana Cherri 30

31 Solução Básica Considerando a partição básica A = [B N], uma solução é dita básica quando: ˆ ˆ B N B 0 1 b 1 Se B B b 0 ou seja, se todas as variáveis básicas são não-negativas, dizemos que é uma solução básica factível. Adriana Cherri 31

32 Voltando ao Eemplo... 0,,, Adriana Cherri 32

33 Voltando ao Eemplo No ponto D variáveis básicas: 1, 2 e 5 variáveis não-básicas: 3 e 4 Adriana Cherri 33

34 Voltando ao Eemplo No ponto F variáveis básicas: 1, 4 e 5 variáveis não-básicas: 2 e 3 Solução básica não-factível. Adriana Cherri 34

35 Teoria Básica Propriedade 1: Seja S a região factível. S = { R n / A=b, 0}. Um ponto S é um vértice de S se e somente se for uma solução básica factível. Propriedade 2: Se um problema de otimização linear tem uma solução ótima, então eiste um vértice ótimo. Se eiste uma solução ótima, então eiste uma solução básica factível ótima Basta que se procure o ótimo entre todas as soluções básicas factíveis. Adriana Cherri 35

36 Método possível.. Enumerar todas as soluções básicas (vértices da região): 1, 2,..., k Escolher aquela com melhor função objetivo. Problema: k pode ser muito grande Idéia: Partir de uma solução básica factível Visitar apenas as soluções básicas factíveis melhores que ela. Método Simple Adriana Cherri 36