Métodos Quantitativos

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO PAULO Escola Paulista de Política, Economia e Negócios Bacharelado em Ciências Contábeis Métodos Quantitativos Prof. João Vinícius de França Carvalho jvfcarvalho@gmail.com

2 Modelo de Ponto de Equilíbrio Diagrama de Blocos Resultado Lucro Modelo Equação de Receita Total Equação de Custo Total Variáveis / Parâmetros Preço Quantidade Custo

3 Problemas de Otimização Otimizar = maimizar ou minimizar; Veja que o esforço de atingir eatamente um determinado valor pode ser modelado como minimizar o quadrado da diferença para este valor; Em problemas de otimização busca-se maimizar ou minimizar uma função, chamada de objetivo, que depende de um número finito de variáveis de entrada; As variáveis de entrada podem ser: Independentes uma das outras. Relacionadas uma com as outras por meio de uma ou mais restrições.

4 Um problema de programação matemática é um problema de otimização no qual o objetivo e as restrições são epressos como funções matemáticas e relações funcionais Programação Matemática n n n n n n b b b g g g f z : ),...,, ( : ),...,, ( ),...,, ( a : Sujeito ),...,, ( : Otimizar

5 Variáveis de Decisão 1, 2,..., n, são chamadas de Variáveis de Decisão As variáveis de decisão representam valores e quantidades relativas a itens que estão no centro do problema, e que podemos escolher (decidir) livremente As variáveis de decisão representam as opções que um administrador têm para atingir um objetivo: Quanto produzir para maimizar o lucro? Quanto comprar de uma ação para minimizar o risco da carteira? Quanto reduzir a taa SELIC para maimizar o crescimento econômico?

6 Programação Linear Um problema de programação matemática é linear se a funçãoobjetivo e cada uma das funções que representam as restrições forem lineares, isto é, na forma abaio: f (,,..., ) c c... c n 1 2 n n g (,,..., ) a a... a i n i1 1 i2 2 in n

7 Quebrando a Linearidade Qualquer epressão que não seja na forma citada anteriormente é não linear, como por eemplo: log a 1 a 1 n 1 para n1 para qualquer valor de a!

8 Classificação das Soluções Solução Viável É uma solução em que todas as restrições são satisfeitas; Ma Z s.r , 0 Solução Inviável É uma solução em que alguma das restrições ou as condições de nãonegatividade não são atendidas; 1 = 2 ; 2 = 2 S (2,2) Solução Viável 1 = 3 ; 2 = 4 S (3,4) Solução Inviável

9 Valor da Função-Objetiva É especialmente importante verificar como fica o valor da função-objetivo (Z) nas soluções viáveis que podemos determinar: Ma Z s.r , 0 S (1,1) Z 2 S (2,1) Z 3 S (3,2) Z 5

10 A Solução Ótima A Solução Ótima é uma solução viável especial. Dentre todas as soluções viáveis, aquela(s) que produzir(em) o valor da função-objetivo otimizado é chamada de ótima; Eistem diversas maneiras de determinar a solução ótima. Em geral, para problemas lineares de pequeno porte como todos que serão vistos neste curso, é usado o método Simple, em sua forma gráfica ou tabular. O método simple está implementado em diversos softwares, inclusive no Ecel!

11 Variando o sinal da restrição A mudança em apenas um sinal de apenas uma das restrições provocou: Alteração da região viável Alteração da solução ótima Para um determinado tipo de restrição (redundantes definições no fim desta seção) que estas consequências nem sempre ocorrem Modelo 1 Modelo 2 Ma s. r , 0 Solução ótima: 1 = 8, 2 = 0, Z = 24 Ma s. r , 0 Solução ótima: 1 = 8, 2 = 4, Z = 28

12 Problemas de Minimização O processo de resolução gráfica de um problema de minimização é análogo ao de maimização, isto é: 1. Utiliza as restrições para determinar a região viável (o conjunto de soluções viáveis). 2. Utiliza a função-objetivo para determinar qual dos vértices da região viável é solução ótima. A diferença é que a solução ótima levará a função-objetivo ao menor valor possível.

13 Produção Radioativa A Reage Brasil é uma indústria de reatores para usinas de energia nuclear produz reatores de dois tipos, um aspirado a água e outro aspirado a ar. Há demanda para um total de 7 reatores neste ano, mas a Reage Brasil sabe que, individualmente, há demanda para até 5 reatores aspirados a água e para 4 reatores aspirados a ar. O processo de fabricação envolve um núcleo radioativo que esta disponível para a Reage Brasil em apenas 20 unidades. Cara reator aspirado a água precisa de 2 núcleos, e o aspirado a ar precisa de 3 núcleos. Se a Reage Brasil tem uma epectativa de lucro de R$ 4 milhões por reator aspirado a água e de R$2 milhões por reator aspirado a ar, como ela deve planejar sua produção para este ano?

14 Programação Linear Restrições Redundantes Uma restrição é dita redundante quando a sua eclusão do problema não altera o conjunto de soluções viáveis deste. É uma restrição que não participa formando nenhuma aresta do conjunto de soluções viáveis. Eiste um outro problema sem essa restrição que tem o mesmo conjunto de soluções viáveis e, principalmente, a mesma solução ótima.

15 Sobre a solução ótima Os problemas analisados até agora apresentaram sempre uma solução ótima, e única. Isto é, sempre houve uma única solução viável levava a funçãoobjetivo ao seu valor ótimo. Entretanto, eistem problemas nos quais observamos: Múltiplas Soluções Ótimas; Solução Ótima ilimitada (infinita); Não haver solução viável, portanto sem solução ótima. Vamos eaminar estes casos.

16 O Problema das quentinhas Um cozinheiro faz dois tipos de quentinha para os funcionários de uma empresa. O custo total de produção é de R$4,00, para os dois tipos de quentinha. Ele tem um contrato de entregar diariamente pelo menos 15 quentinhas, de qualquer tipo, por dia. A quentinha de lasanha é feita em dois minutos e a quentinha de frango em 4 minutos. O cozinheiro dispõe de apenas 48 minutos para embalar as quentinhas. Hoje o cozinheiro está sem caia para comprar a matéria prima, e deseja saber quantas quentinhas do tipo 1 e do tipo 2 ele deve produzir para cumprir o contrato com o menor custo possível?

17 Soluções Múltiplas Um problema é dito como de Soluções Múltiplas quando mais de uma solução viável levam a função objetivo ao mesmo valor ótimo, isto é, eistem soluções múltiplas; Esta situação ficará melhor formalizada, mas é possível garantir que se mais de uma solução viável é ótima, então eistem infinitas soluções ótimas Correspondem ao segmento de reta destacado no gráfico anterior. Soluções Múltiplas ocorrem com alguma frequência. É comum que softwares apresentem uma das soluções ótimas e não eplicite o fato.

18 Programação Linear Solução Ilimitada Encontrar a solução ótima: Ma Z s. r , 0

19 Solução Ilimitada Um problema de programação linear apresenta solução ilimitada quando: a região viável é ilimitada O valor ótimo da função-objetivo se projeta da direção em que a região é ilimitada. A região viável é ilimitada quando pelo menos uma das variáveis não tem nenhuma restrição de crescimento ou decrescimento. Graficamente, vemos que o polígono da região não está fechado. Uma solução ilimitada está geralmente relacionada a um problema que foi mal modelado.

20 Programação Linear Solução Inviável Encontrar a solução ótima: Ma s. r , 0

21 Programação Linear Solução Inviável Um problema de programação linear é dito inviável quando o conjunto de soluções viáveis é vazio Na ausência de soluções viáveis, não há também soluções ótimas. A solução inviável significa que as restrições são rigorosas demais. Em problemas práticos pode ser: Erro de modelagem Impossibilidade de atuação.

22 Conteúdo da Seção Programação Linear e Ecel Modelagem em Ecel: Variáveis de Decisão Função Objetivo Restrições Informações auiliares Solver Parâmetros para otimização Relatórios Opções Especiais Técnicas de Modelagem

23 Eemplo Uma indústria produz dois tipos de aparelho smartfones: luo e básico, para as classes A e C, respectivamente. O gerente de marketing tem três opções de comerciais: durante programas de comédia, custa R$85 mil por minuto e é visto por 4 milhão de pessoas da classe A e 2 milhões da C durante jogos de futebol, que custa R$100 mil por minuto e é visto por 4 milhões de pessoas da classe A e 5 milhões da C durante novelas, que custa R$120 mil por minuto e é visto por 5 milhões de pessoas da classe A e 5 milhões da C O gerente deseja que pelo menos 25 milhões de consumidores do produto luo e 20 milhões do produto básico sejam impactados pelos seus comerciais Como ele pode minimizar as despesas de publicidade e atingir o público na quantidade especificada?

24 Caso LCL Previdência Privada S.A. A LCL Investimentos S.A.. gerencia recursos de terceiros através da escolha de carteiras de investimento para diversos clientes, baseados em bonds de diversas empresas. Um de seus clientes eige que: Não mais de 25% do total seja aplicado em um único investimento. Mais de 50% do total deve ser aplicado em títulos de Bancos. O total aplicado em títulos de telefonia deve ser no máimo de 30% do total investido. A tabela ao lado mostra os dados dos títulos selecionados Retorno Anual Banco 1 9,7% Banco 2 9,5% Banco 3 10,0% Telecom 1 8,0% Telecom 2 9,0% Telecom 3 10,0%

25 Caso LCL Shopping Ltda A LCL Shopping Ltda está se preparando para iniciar suas atividades. Foi feita uma estimativa com o mínimo seguranças por dia da semana: Dia da Semana Quantidade Mínima Segunda Terça Quarta Quinta Seta Sábado O sindicato dos seguranças mantém um acordo trabalhista que determina que cada empregado deve trabalhar três dias consecutivos por semana e que os shopping devem ter apenas empregados em regime de horário integral (24hs). O shopping só abrirá de 2ª à sábado. Qual a quantidade mínima de empregados que a LCL Shopping deve contratar de maneira a atender o acordo sindical e as quantidades mínimas nos dias que irá funcionar?

26 Conteúdos da Seção Análise de Sensibilidade Interpretação Econômica do Problema Dual Preço de Sombra Shadow Price Custo Reduzido Reduced Cost Intervalos de Validação Solução Degenerada Caso Motorela Celulares Analisando todos os Relatórios do Ecel Relatório de Respostas Análise Econômica Relatório de Sensibilidade Relatório de Limites

27 Preço-Sombra O preço-sombra para o recurso i mede o valor marginal deste recurso em relação ao lucro total; O preço-sombra é a quantidade que o valor ótimo da funçãoobjetivo (Z) seria melhorado, caso a quantidade do recurso i (bi) fosse aumentada de uma unidade.

28 Custo Reduzido O custo reduzido de uma variável é: o total que o coeficiente da variável na funçãoobjetivo deve melhorar para que ela deie de ser zero na solução ótima; quanto o valor ótimo da função-objetivo irá piorar para cada unidade que a variável aumente a partir de zero, mantidos os coeficientes das variáveis da função-objetivo;

29 Custo Reduzido no Ecel Para modificar o valor de uma variável na solução ótima para diferente de zero temos que: Para um custo reduzido positivo, subtrair o mesmo do coeficiente da função-objetivo. Para um custo reduzido negativo, adicionar o mesmo do coeficiente da função-objetivo.

30 Caso Motorela Celulares Para produzir 3 tipos de telefones celulares, a fábrica da Motorela utiliza três processos diferentes, o de montagem, a configuração e a verificação. Para fabricar o celular Multi-Tics, são necessárias 0,1 h de montagem, 0,2 h de configuração e 0,1 h de verificação. O mais popular Star Tic Tac requer 0,3 h de montagem, 0,1 h de configuração e 0,1 h de verificação. Já o moderno Vulcano necessita de 0,4 h de montagem, 0,3 h para configuração, porém, em virtude de seu circuito de última geração, não necessita de verificação. A fábrica dispõe de capacidade de 290 hs/mês na linha de montagem, 250 hs/mês na linha de configuração e 110 hs/mês na linha de verificação. Os lucros unitários dos produtos Multi-Tics, Star Tic-Tac e Vulcano são R$ 100, R$ 210 e R$ 250, respectivamente e a Motorela consegue vender tudo o que produz. Sabe-se ainda que o presidente da Motorela eige que cada um dos três modelos tenha produção mínima de 100 unidades e quer lucrar pelo menos R$ /mês com o modelo Star Tic-Tac. O presidente também eige que a produção do modelo Vulcano seja pelo menos o dobro do modelo Star Tic-Tac. Resolva utilizando o Solver do Ecel.

31 Intervalos de Validação do Preço-Sombra e do Custo Reduzido A análise de sensibilidade determina os intervalos em que o Custo Reduzido e o Preço-Sombra são válidos Uma razão para se estabelecer esses intervalos está ligada a hipótese de certeza assumida em modelos de programação linear.

32 Análise de Sensibilidade Solução Degenerada A solução de um problema de Programação Linear algumas vezes apresenta uma anomalia conhecida como degeneração. Uma solução de uma PL é dita degenerada quando o valor de incremento ou decremento de uma restrição é igual a zero. A presença de degeneração altera a interpretação da análise de sensibilidade em um certo número de maneiras.

33 Análise de Sensibilidade Solução Degenerada Quando a solução ótima é degenerada O valor do Custo Reduzido pode não ser único. O valor de incremento e decremento dos coeficientes da função-objetivo permanecem válidos. De fato, os valores podem se alterar substancialmente acima desse valores, sem que a solução ótima se altere. O valor do Preço-Sombra e seus intervalos podem continuar sendo interpretados da mesma maneira, contudo podem não ser únicos.