Modelos de Apoio à Decisão. Programação Linear. Rui Cunha Marques

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1 Modelos de Apoio à Decisão Programação Linear Rui Cunha Marques /

2 Metodologia: Análise Sistémica Modelo: representação adequada (face aos objectivos do estudo) do sistema em análise que sendo passível de manipulação permita apoiar decisões sobre os sistema através da avaliação (tipicamente quantificada) de alternativas. Y i - variáveis não controláveis X i - variáveis controláveis (Solução) Modelo I Informação Modelos matemáticos/analíticos/de resolução directa U=f (X i,y i ) (função objectivo) < R k (X i,y i ) = (restrições) U i medidas de desempenho (performance) da solução /

3 Metodologia: Formulação Modelação Decisão Definição de objectivos Identificação das fronteiras do sistema Identificação de variáveis controláveis e não controláveis Enumeração de acções alternativas Recolha de dados Relações entre variáveis Desenvolvimento e implementação Testes e validação Estimação dos efeitos das acções alternativas Comparação de alternativas e escolha da solução óptima Análise de sensibilidade e robustez Implementação /

4 Eemplo Apresentação do Problema Uma empresa tem duas fábricas (A e ) que produzem um produto com o qual satisfaz as encomendas de três clientes (P, Q e R). Pretende-se estudar qual política de transportes que a empresa deve adoptar. P R A Q / 4

5 Eemplo Formulação / Modelação Objectivo: plano de transportes que minimiza os custos globais semanais de transporte. Fronteira do problema admitir que não eistem limitações quanto aos meios de transporte (frota de camiões disponíveis e respectiva capacidade) Variáveis decisionais: Quantidade a transportar de cada fábrica para cada cliente [ton/semana] Variáveis incontroláveis: Custo unitário de transporte [ /(ton km)] Distância entre cada fábrica e cliente / 5

6 Eemplo Formulação / Modelação Recolha de Dados: Capacidade de produção semanal: 5 ton na fábrica A e ton na fábrica Encomendas semanais dos clientes: 75, 75 e ton respectivamente para os clientes P, Q e R Custo unitário de transporte : / (ton km) Distâncias: P km R [ /ton] A P Q 5 R 4 km A km 5 km 9 km 9 8 Q 95 km / 6

7 Eemplo Formulação / Modelação Definição das variáveis: Xij quantidade do produto em toneladas a transportar semanalmente da fábrica i (A,) para o cliente j (P,Q,R) [ton/sem] F custo global do transporte semanal do produto[ /sem] Função objectivo: Restrições: Min F = AP P AP AQ AR AP AQ Q P Q R = = AR R = AQ = 5 = / 7 ij AR P Q R

8 Alternativa Eemplo Comparação de Alternativas Min F = AP AQ X ij [ton/sem] P Q R Produção A Encomendas F=575 AR P Q R Alternativa X ij [ton/sem] A Encomendas P Q R Produção 5 F=575 Alternativa X ij [ton/sem] P Q R Produção A Encomendas F=55 / 8

9 Problema Uma firma fabrica dois produtos P e P em três máquinas M, M e M. P é processado nas máquinas M e M, enquanto na produção de P intervêm todas as máquinas. Os tempos de processamento e os lucros obtidos indicam-se no quadro abaio: Tempo de Processamento (horas por produto) Produto M M M Lucro por unidade P.5.4 P.5..8 Cada máquina tem um tempo de laboração de 4 horas por semana. Quais as quantidade semanais de P e P a produzir que maimizem o lucro obtido? / 9

10 Formulação do Problema em PL Definição de variáveis X i - quantidade do produto P i (i=,) a fabricar por semana (unidades/semana) L - lucro semanal com a produção de P e P (unid.monetária/semana) Função Objectivo: Ma L = X Restrições: R :.5.5 X 4 R :.4. X 4 R :.8 X 4 X /

11 R R 5 Resolução pelo Método Gráfico X R :.5.5 X 4 R :.4 X. X 4 R :.8 X 4 Domínio de soluções possíveis L = X Equivalente a: X = -/ L/ Família de rectas com declive / e ordenada na origem igual a L/ 5 R L=6 L= L=5 L=8 L=4 Solução Óptima =8; X =4; L=8 / 5 5

12 Forma canónica do problema de PL Ma/Min F=c c...c n n a a...a n n =b a a...a n n =b a m a m...a mn n =b m ; ;...; n Ma L = X X Inequações transformadas em equações através da soma/subtracção de uma quantidade positiva ou nula (variáveis de folga) Termos independentes positivos ou nulos ( ). Se negativo, multiplica-se a restrição por -.5 X.5 X F = 4.4 X. X F = 4.8 X F = 4 X ; X F ; F ; F Todas as variáveis do problema (decisionais, folga e artificiais) são positivas ou nulas ( ). Se alguma variável não obedecer a essa condição, deverá ser efectuada a transformação de variáveis. Y Y=-W e W Y - Y=W- e W Y R Y=W -W - e W e W - /

13 Conceitos Fundamentais Dimensão do problema Sistema indeterminado = X F = X F = 4 -.8X Solução ásica se = e X = (variáveis não básicas) então =4, F =4 e F =4 (variáveis básicas) ase = {, F, F } M equações () e N variáveis (5) podem ser definidas M () variáveis em função de N-M () variáveis. Por eemplo, escolhendo as variáveis de folga como variáveis dependentes. Se N-M () variáveis forem nulas então a solução é uma solução básica. N-M () variáveis não básicas (=) M () variáveis básicas Conjunto das variáveis básicas Solução ásica Possível Uma solução básica é possível se todas as variáveis forem não negativas ( ). Variáveis não básicas nulas (=) e as básicas positivas ou nulas ( ) /

14 Conceitos Fundamentais R 5 Solução básica possível Teorema Fundamental da Programação Linear Corresponde a um vértice do domínio de soluções possíveis Se eistir uma solução possível então eiste uma solução básica possível Se eistir uma solução óptima, então eiste uma solução básica óptima R Domínio de Soluções Possíveis de um problema de programação linear é um domínio conveo 5 R L=8 / 4 5 5

15 Resolução por Eaustão R Nº de soluções básicas (possíveis e impossíveis) N M = N! = M!( N M )! 5!!(5 = )! = R 5 6 X X X -.5 F X 6 F L L=8 R N = variáveis M = 5 equações N N!! 688 = = = = 5 M M!( N M )! 5!( 5)! 44 / 5 5 5

16 Resolução - Algoritmo SIMPLEX Estrutura dos algoritmos Estrutura do algoritmo SIMPLEX Inicio Inicio Definir Condições Iniciais Definir Solução ásica Inicial Regra de paragem sim Solução Óptima? sim não Fim não Fim Iteração Nova solução básica / 6

17 SIMPLEX Solução Inicial Forma canónica do problema: Ma L = X.5.5 X = 4.4. X F = 4.8 X F = 4 ; X ; ; F ; F Solução Inicial Solução ásica possível: Variáveis não básicas: = ; X = Variáveis básicas: = 4; F = 4; F = 4 ase = {, F, F } X F F TI L / 7

18 ase = {, F, F } F -L SIMPLEX Solução Óptima? F.4. 4 X.8 Problema definido em função das variáveis não básicas: L=f (, X ) = X = g (, X ) = X F = g (, X ) = X F = g (, X ) = 4 -.8X L L = X X F 4 Coeficientes nulos (=) na função objectivo para as variáveis básicas Ao maimizar/minimizar a função objectivo a solução é óptima se as suas derivadas em ordem às variáveis não básicas forem todas negativas/positivas ou nulas. Porquê? Porque o domínio de soluções possíveis é conveo. / 8 F TI = solução não é óptima Matriz de Identidade nas restrições para as variáveis básicas Termos independentes positivos ou nulos ( )

19 SIMPLEX Iteração ase = {, F, F } X F F TI F.4. 4 F.8 4 -L Iteração do SIMPLEX corresponde a: ) passar de uma solução básica para outra solução básica, ) trocando uma variável da base com uma variável que não pertence à base, ) nova solução é melhor ou igual que a anterior. Qual a variável que deve entrar na base? Qual a variável básica que deve sair da base? Como obter a nova solução? / 9

20 SIMPLEX Qual a variável a entrar na base? ase = {, F, F } X F F TI F.4. 4 F.8 4 -L L=f (, X ) = X L = X L X = X entra para a base Quando o objectivo é maimizar/minimizar a FO, entra para a base a variável não básica cuja derivada da FO é mais positiva/negativa. se entrar para a base, L aumenta unidades por cada unidade de se X entrar para a base, L aumenta unidades por cada unidade de / X

21 R 5 SIMPLEX Qual a variável a sair da base? ase = {, F, F } X F F /.5=8 F /.= F.8 4 4/.8= 5 -L ma = 5 TI i F sai da base R X entra para a base.5.5x = 4 se = X = 4/.5.4.X F = 4 se F = X = 4/..8X F = 4 se F = X = 4/.8 5 / 5 5 R O limite ao incremento da variável que entra na base será igual ao menor dos incrementos positivos ou nulos permitidos por cada restrição: ma = Mínimo{ i }

22 SIMPLEX Calcular nova solução ase = {, F, F } Elemento Pivot X F F TI i A /.5=8 F /.= C F.8 4 4/.8= 5 D -L ma = 5 F sai da base ase = {, F, X } X entra para a base X F F TI Linha Pivot A =A -.5C 5 = -.C F C =C /.8 X.5 5 D / -L

23 SIMPLEX Solução Óptima? ase = {, F, X } X F F TI F X.5 5 -L Problema definido em função das variáveis não básicas: L X = L F =.75 solução não é óptima L=f (, F ) =5.75 F = g (, F ) = F F = g (, F ) =.4.5 F X = g (, F ) = 5.5 F /

24 ase = {, F, X } SIMPLEX Calcular nova solução A /.5=6 F /.4=75 C.5 5 5/= X X F F Elemento Pivot TI i sai da base D -L ma = 6 entra para a base ase = {, F, X } X F F TI Linha Pivot 4 A =A /.5 6 = -.4A F C =C X.5 5 D / -L 4 -.5

25 SIMPLEX Solução Óptima? ase = {, F, X } X F F TI F X.5 5 -L Problema definido em função das variáveis não básicas: L F = 8 L F =.5 solução não é óptima L=f (, F ) =7 8.5 F = g (, F ) = F F = g (, F ) = F X = g (, F ) = 5.5 F / 5

26 SIMPLEX Calcular nova solução ase = {, F, X } Elemento Pivot X F F TI i A /-.5 F /.75=8 C X.5 5 5/.5=4 D -L ma = 8 F sai da base ase = {, F, X } X F entra para a base F F TI Linha Pivot -.. A 4 =A = /.75 F C =C X D / -L 6

27 SIMPLEX Solução Óptima? ase = {, F, X } X F F TI Solução Óptima F X L =8 = X =4 F = F =8 L=8 Problema definido em função das variáveis não básicas: L F = 5. L F =.67 solução óptima L=f (, F ) = F = g (, F ) = 8.. F F = g (, F ) = 8.. F X = g (, F ) = F Solução Óptima Produzir 8 unidades por semana de P e 4 unidades por semana de P As máquinas e têm uma utilização de % e a máquina uma ocupação de 8% (8 horas disponíveis por semana) O lucro semanal obtido é de 8 u.m / 7

28 Simple/Método Gráfico R Algoritmo Simple salta de um solução básica possível para outra na sua vizinhança, em que a nova solução é sempre tão boa ou melhor que a anterior. R 5 5 O processo iterativo pára quando na vizinhança da solução básica possível em estudo, não eiste outra tão boa ou melhor. Como o domínio de soluções possíveis é conveo, essa solução é uma solução básica possível óptima. R L=8 / 8 5 5

29 Tipos de Soluções Solução óptima múltipla Quando as derivadas da FO em ordem às variáveis não básicas são todas positivas/negativas ou nulas nos problemas de minimização/maimização e eiste pelo menos uma dessas derivadas nula Solução básica degenerada Quando uma das variáveis básicas é nula Solução não limitada Quando não eiste incremento finito para a variável que deve entrar na base ( ma = ) Sem solução possível Quando na solução óptima uma das variáveis artificiais é não nula ( α i >) (ver problema da solução inicial) / 9

30 Problema da Solução Inicial (ásica Possível) Min G = - X X 4 - X X Min G = - X X - = 4 - X - F = X F = R X R, X, F, F X i variáveis decisionais F i variáveis de folga G= X F F TI 5 R?? F - 5 -G /

31 Método das Duas Fases ª Fase Min G = - X X 4 - X X Min H = α i = α α X - α = 4 - X - F α = X F = Objectivo: Encontrar uma solução possível (α i =) X Solução possível do problema c/ variáveis artificiais é uma solução possível do problema original se as variáveis artificiais forem nulas (α i =), X, F, F α, α Adicionar variáveis artificiais nas restrições sem variável básica A C D X F F α α α - 4 α - - F -H D =D -A - -H - -6 TI X i variáveis decisionais F i variáveis de folga α i variáveis artificiais /

32 Método das Duas Fases ª Fase A C D X F F α α α - 4 α - - F -H TI i 4/=4 /= /= α sai da base D =D -A - -H - -6 ma = X entra para a base A = A - = C = C - X F F α α α - - X - - F - 8 TI i /= /- 8/=4 α sai da base D =D -H ma = entra para a base /

33 Método das Duas Fases ª Fase / ª Fase X F F α α A = A - - = A X - 4 C =C -A F D =D A -H TI R 5 G= R R Solução óptima da ª fase é uma solução possível do problema se α i = Min G = - X 5 X F F TI i A 4 =A 4 = C 4 =C E 4 E 4 =E 4 A X - 4 F - 4 -G - -G - /- 4/- 4/= ma = F sai da base entra para a base /

34 Método das Duas Fases ª Fase X F F TI i A 5 =A 4 C 5 5 = C 5 C 5 =C 4 / X /- 4/- 4/= E 5 =E 4 C 5 -G.5.5 ma = R R G= 5 R 5 / 4

35 Método do ig M Min G = - X X 4 - X X X Min G = - X Mα Mα X - α = 4 - X - F α = X F =, X, F, F α, α Objectivo: Encontrar uma solução possível (α i =) Adicionar variáveis artificiais nas restrições sem variável básica A C D D =D -M A -M X F F α α α - 4 α - - F -G - M M -G -M -M M M -6M TI X i variáveis decisionais F i variáveis de folga α i variáveis artificiais / 5

36 Método do ig M A C D X F F α α α - 4 α - - F -G - M M TI i 4/=4 /= /= α sai da base D =D -M A -M -G -M -M M X entra para a base M -6M ma = A = A - = C = C - X F F α α α - - X - - F - 8 TI i /= /- 8/=4 α sai da base D =D -G --M M -M M- --M ma = -(-M) entra para a base / 6

37 Método do ig M A = A = A C =C -A X F F α α - - X - 4 F TI D =D A -H - M M- α i = podem ser eliminadas as colunas das variáveis artificiais X F F TI i A 4 =A 4 = C 4 =C D 4 =D - X - 4 F - 4 -G - /- 4/- 4/= ma = F sai da base entra para a base / 7

38 Método do ig M X F F TI i A 5 =A 4 C 5 5 = C 5 C 5 =C 4 / X /- 4/- 4/= E 5 =E 4 C 5 -G.5.5 ma = R R G= 5 R 5 / 8

39 Análise de Sensibilidade A análise de sensibilidade permite: Estudar a robustez da solução óptima obtida Estimar a validade da solução quando os dados foram obtidos por estimativa ou eiste incerteza quanto ao seu valor eacto Actualizar solução após correcção dos dados Estudar a viabilidade económica de aumento dos recursos disponíveis... / 9

40 Análise de Sensibilidade Permite estudar a alteração sofrida pela solução óptima: ao alterar os coeficientes c j da função objectivo (lucro obtido por cada unidade produzida) ao alterar os termos independentes das restrições b i (limitação aos recursos disponíveis - número de horas semanais de processamento de cada máquina) ao introduzir novas restrições (e: incluir restrições não previstas no modelo inicial) ao introduzir novas variáveis (e: lançamento de um novo produto) ao alterar os coeficientes técnicos a ij (tempo de processamento que cada produto necessita em cada máquina - rendimento) / 4

41 Análise de Sensibilidade aos coeficientes da FO R R 5 Solução óptima definida pelas restrições activas (R e R). Função objectivo: Ma L= X apresenta um declive m F =-/ A solução é óptima se o declive da FO estiver limitado pelos declives das restrições activas: m =-.5/.5=-/ ; m =-.4/.=-. Análise de sensibilidade ao lucro unitário do produto P L= C X m F =-/C m m F m - m F -/ => - -/C -/ => C 4 5 L=8 R Ao alterar os coeficientes da função objectivo, o domínio de soluções possíveis não é alterado mas a solução obtida pode deiar de ser óptima / 4 5 5

42 Análise de Sensibilidade aos coeficientes da FO Uma alteração c i no coeficiente da variável X i propaga-se pelas diferentes iterações do simple. Análise de sensibilidade ao lucro unitário do produto P Ma L = c X = ( c ) X c = c.5.5 X = 4.4. X F = 4.8 X F = 4 ; X ; ; F ; F X F F TI A F.4. 4 C F.8 4 D -L c / 4

43 Análise de Sensibilidade aos coeficientes da FO X F F TI i A /.5=8 F /.= C F.8 4 4/.8= 5 D -L c ma = 5 X F F TI i A 5/.5=6 =A -.5C = -.C /.4=75 F C =C /.8 X.5 5 5/= -L c -.75 ma = 6 D =D -C / 4-5

44 Análise de Sensibilidade aos coeficientes da FO X F F TI i A =A / /-.5 = -.4A F /.75=8 C =C X.5 5 5/.5=4 D =D -A -L c ma = 8 X -. F. A 4 =A = /.75 F -.. (sem alteração do C =C X coeficiente c ; c = e c =) D =D L c / 44 F TI Quadro com a solução óptima

45 Análise de Sensibilidade aos coeficientes da FO A solução continuará a ser óptima se ao maimizar/minimizar a função objectivo as suas derivadas em função das variáveis não básicas se mantiverem negativas/positivas ou nulas X F F TI A F 8 C 4 X D 4 -L c D 4 =D 4 - c C 4 -L c c -8-4 c c c - => => - c c c c 4 / 45

46 Análise de Sensibilidade aos coeficientes da FO R R 5 Solução óptima definida pelas restrições activas (R e R). Função objectivo: Ma L= X apresenta um declive m F =-/ A solução é óptima se o declive da FO estiver limitado pelos declives das restrições activas: m =-.5/.5=-/ ; m =-.4/.=-. Análise de sensibilidade conjunta ao lucro unitário de ambos os produtos (P e P) L=C C X m F =-C /C m m F m e C> - m F -/ => - -C /C -/ => /C C C 5 L=8 R Ao alterar os coeficientes da função objectivo, o domínio de soluções possíveis não é alterado mas a solução obtida pode deiar de ser óptima /

47 Análise de Sensibilidade aos coeficientes da FO Análise de sensibilidade conjunta ao lucro unitário de ambos os produtos (P e P) L=c c X => c = c c = c X F F TI A F 8 C 4 X D 4 -L c c D 4 =D 4 - c A 4 - c C 4 -L c -.67 c -. c.67 c -8 c -4 c c.67 c c c -5.. c -.67 c c 4 c => => c c 4 c.5c c c / 47

48 Análise de Sensibilidade Novas Restrições Ao introduzir uma nova restrição, a optimabilidade da solução não é alterada, mas a solução pode deiar de ser possível. Procedimentos: Verificar se a solução óptima verifica a nova restrição Sim: a solução óptima mantém-se Não: a solução passou a ser uma solução impossível Voltar a resolver o problema com a nova restrição Utilizar o SIMPLEX Dual / 48

49 Análise de Sensibilidade Novas Restrições R R 5 5 Após os produtos passarem pelas máquinas M, M e M, estes devem ser inspeccionados por um operário que tem uma capacidade de inspeccionar produtos por semana. Ma L = X.5.5 X = 4.4. X F = 4.8 X F = 4 ; X ; ; F ; F L=8 R Solução Óptima (L=8) =8 X =4 = F = F =8 Nova Restrição X X =84= A solução é impossível. É necessário resolver o problema desde o princípio /

50 Análise de Sensibilidade Nova Variável Ao introduzir uma nova variável e definindo-a como não básica (=), a solução continua a ser possível mas pode deiar de ser óptima. Procedimentos: Definir a função objectivo em função das variáveis não básicas e verificar a condição de óptimo: Sim: a solução mantém-se com a nova variável nula Não: a nova variável deve entrar para a base voltar a resolver o problema com a nova restrição construir o último quadro do simple e aplicar o algoritmo / 5

51 Análise de Sensibilidade Nova Variável Vai ser lançado um novo produto P com um lucro unitário de 5 unidades monetárias. Para o seu processamento é necessário.5 horas na máquina e.9 horas na máquina. Ma L = X 5 X.5.5 X = 4.4. X.5 X F = 4.8 X.9 X F = 4 ; X ; X ; ; F ; F X X F F TI X F L Solução Óptima? (L=8) =8 X =4 X = = F = F =8 = X. -.F X =4.8X F F = X. -.F L = X F A solução não é óptima porque L/ X > e o objectivo é maimizar L / 5

52 Análise de Sensibilidade Termos Independentes Ao alterar o termo independente de uma restrição, a optimabilidade da solução não é alterada, mas a solução pode deiar de ser possível. ) Se a alteração ocorrer numa restrição não activa (c/ variável de folga > ), a solução óptima mantém-se inalterada: Sempre que a alteração seja no sentido de aumentar a folga da restrição. A alteração não esgote a folga dessa restrição. Caso contrário a solução deia de ser possível. ) Se a alteração ocorrer numa restrição activa, o valor da solução (e das variáveis básicas) é sempre alterado. No entanto, a base mantém-se desde que a alteração não torne activa outra restrição anteriormente não activa. / 5

53 Análise de Sensibilidade Termos Independentes Procedimentos: ) em restrições não activas Verificar se com a alteração do termo independente (b i ) a restrição é satisfeita ) em restrições activas Recalcular a solução (com a mesma base e restrições activas) e verificar se os novos valores satisfazem as outras restrições Verifica as restrições? Sim: a solução óptima mantém-se Não: a solução passou a ser uma solução impossível Voltar a resolver o problema com a nova restrição Utilizar o SIMPLEX Dual / 5

54 Análise de Sensibilidade Termos Independentes R Alteração ao termo independente b da restrição activa R R 5 Limite à alteração de b mantendo a mesma solução básica óptima (conjunto de variávei básicas) Novos valores das variáveis básicas em função da variação do termo independente b 5 R L=8 /

55 Análise de Sensibilidade Termos Independentes O número de horas de trabalho da máquina M pode variar devido a avarias ou ao recurso a horas etraordinárias. Qual o efeito dessa variação na solução do problema? Ma L = X.5.5 X = b.4. X F = 4.8 X F = 4 ; X ; ; F ; F Solução Óptima Possível? ase = {, X, F } = F = b b 5 b b 4.75 =. -.b X = b F = 9. -.b L = b A solução é possível se as variáveis básicas forem.5.5 X = b.4. X = 4.8 X F = 4 / 55

56 Análise de Sensibilidade Termos Independentes O número de horas de trabalho da máquina M pode variar devido a avarias ou ao recurso a horas etraordinárias. Qual o efeito dessa variação na solução do problema? Ma L = X b =4 b.5.5 X = 4 b.4. X F = 4.8 X F = 4 ; X ; ; F ; F X F -L X F F TI 8-. b 4.67 b 8-. b b A solução é óptima se as variáveis básicas forem Em qualquer quadro do simple o coeficiente de b é idêntico ao coeficiente da variável no mesmo quadro (ou ao seu simétrico). b 6 b -5 b.75-5 b.75 5 b 4.75 L = 5. b / 56

57 Análise de Sensibilidade Preços Sombra O preço sombra do recurso i (representado pela restrição i) é uma medida do valor marginal deste recurso, ou seja, a taa a que a função objectivo cresce se esse recurso sofrer um aumento unitário (desde que a base da solução óptima não se altere) O preço sombra do recurso i é medido pelo simétrico do coeficiente da variável de folga do recurso (F i ) na função objectivo quando definida em função das variáveis não básicas. Preço sombra nulo significa que o recurso correspondente não está saturado, ou seja, que a restrição tem folga (restrição não activa) / 57

58 Análise de Sensibilidade Preços Sombra É possível realizar horas etraordinárias com uma das máquinas. Em qual das máquinas as horas etraordinárias são mais rentáveis? Ma L = X.5.5 X = 4.4. X F = 4.8 X F = 4 ; X ; ; F ; F X F F TI X F L Uma hora etraordinária na máquina {M,M,M } provocará um aumento na função objectivo de {5.,.67, } se a base da solução óptima se mantiver. Resposta: as horas etraordinárias deverão ser efectuadas na máquina M porque é a que apresenta um valor marginal mais elevado Simétrico dos preços sombra / 58

59 Análise de Sensibilidade Preços Sombra Em qual das máquinas a utilização de horas etraordinárias conduz a um maior incremento do lucro (mantendo a mesma base)? (cada hora etraordinária tem um custo de.5) Resposta: apesar do preço sombra ser inferior em M é Ma L = X possível um aumento maior da FO (para a mesma base) se utilizarmos as horas etraordinárias em M.5.5 X = 4.4. X F = 4.8 X F = 4 ; X ; ; F ; F b 6 b -5 b.75=> b ma =.75 L ma ( b ) =5. b -.5 b =-.875=8.5 b -4 b 4 b -6=> b ma =4 L ma ( b ) =.67 b -.5 b =4-=8 b -8 => b ma L ma ( b ) =-.5 b TI ( b ) X F F TI TI( b ) TI ( b ) b 8. b 8 X b b 4 F b 8. b 8 b -L b b -8 / 59

60 Casos Particulares de PL O Sr. José, industrial agrícola produtor de tomates, realizou contratos de venda num total 45 toneladas das 5 toneladas de tomate produzidas nas suas duas quintas (t na Quinta da Alfarroba e t na Quinta da eterraba). De acordo com os contratos, tem que entregar t no armazém da cadeia de supermercados Pronto, t na fábrica de enlatados Quelata e 5t na fábrica de sumos Ressumo. Sabendo que os custos de transporte entre cada quinta e os locais de entrega são os apresentados no quadro, qual o plano de transportes que sugere. [ /ton] P Q R A / 6

61 Definição das variáveis: ij Formulação quantidade de tomate, em toneladas, a transportar da quinta i (A,) para o cliente j (P,Q,R) [ton] F custo global de transporte da colheita [ ] Função objectivo: Min F = Restrições: = AP P AP AQ AR AQ Q P Q R = = AR R = 5 AP AQ AR P Q R ij ij / 6 AP P AP AQ AR AQ Q P Q R = = AR R = 5 AF F =

62 Problema de Transportes Formulação Definição das variáveis: c ij ij F Função objectivo: Min F Restrições: custo unitário de transporte de i para j quantidade a transportar de i para j custo global do transporte j i ij = i j ij ij = O = P c ij ij i j Problema com: m origens n destinos (m n) variáveis (m n ) restrições linearmente independentes (m n ) variáveis básicas / 6

63 Problema de Transportes Resolução pelo simple Factor multiplicativo n n m m mn TI O u O u O m u m P v P v P n v n -F c c c in c C c n c m c m c mn -F c c c n c c c n c m c m c mn -u -v -u -v -u -v n -u -v -u -v -u -v n -u m -v -u m -v -u m -v n Se ij é variável básica então c ij -u i -v j = Se ij é variável não básica então c ij =c ij -u i -v j => c ij ij então a solução é óptima / 6

64 Algoritmo dos Transportes º - Equilibrar o Problema [ /ton] P Q R Fict Oferta A 5 t 9 8 t Procura t t 5t 5t 5t / 64

65 Algoritmo dos Transportes º a) - Encontrar uma solução inicial possível Método do Canto Noroeste. Seleccionar a variável livre do canto superior esquerdo. Atribuir o máimo possível a essa variável. Se eistirem variáveis livres voltar ao passo..4 Verificar o número de variáveis básicas e definir variáveis básicas nulas se necessário P Q R Fict Oferta linhas 4 colunas 8 variáveis 4- = 5 variáveis básicas A Procura t t 5t 5t t t 5t ij c ij F = = 9 / 65

66 Algoritmo dos Transportes º b) - Encontrar uma solução inicial possível linhas 4 colunas Método dos Custos mínimos. Seleccionar a variável livre com custo unitário mais baiov. Atribuir o máimo possível a essa variável. Se eistirem variáveis livres voltar ao passo..4 Verificar o número de variáveis básicas e definir variáveis básicas nulas se necessário 8 variáveis 4- = 5 variáveis básicas A Procura P 5 t Q 5 5 / 66 9 t R 5 8 5t Fict 5t Oferta t t 5t F = = 88 5

67 Algoritmo dos Transportes º Calcular u i e v j se ij é variável básica tal que c ij -u i -v j =. Arbitrar um valor qualquer para uma das constantes do conjunto {u i ;v j }. Para uma constante u i definida, procurar uma variável básica ij na linha i cuja constante v j ainda não esteja definida ou para uma constante v i definida, procurar uma variável básica ij na coluna j cuja constante u j ainda não esteja definida. Calcular a constante ainda não definida através da epressão c ij -u i -v j =.4 Voltar ao passo. até definir todas as constantes u i e v j P Q R Fict Oferta A t u A = t u =-6 Procura t t 5t 5t 5t v P = v Q =5 v R =4 v F = / 67

68 Algoritmo dos Transportes 4º Calcular C ij e verificar se a solução é óptima 4. Para as variáveis não básicas calcular c ij através da epressão: c ij =c ij -u i -v j 4. A solução é óptima se ao minimizar/maimizar todos os coeficientes c ij forem positivos/negativos ou nulos c AR = c AR -u A -v R =--4 = - c P = c P -u -v P = -(-6)- = 8 c F = c F -u -v F = -(-6)- = 6 c AR < => solução não é óptima P Q R Fict Oferta A t u A = t u =-6 Procura t t 5t 5t 5t v P = v Q =5 v R =4 v F = / 68

69 Algoritmo dos Transportes 5º Calcular nova solução 5. Seleccionar a variável não básica cujo c ij é o mais negativo/positivo para entrar na base 5. Adicionar à variável que entra na base 5. Subtrair e adicionar às outras variáveis básicas para respeitar as restrições 5.4 Definir como o maior valor possível tal que todas as variáveis sejam positivas ou nulas 5.5 A variável que definiu o valor de será a variável a sair da base 5.6 Substituir o valor de, calcular a nova solução e voltar ao º passo P Q R Fict Oferta A t u A = t u =-6 ma =5 Procura t t 5t 5t 5t v P = v Q =5 v R =4 v F = / 69

70 Algoritmo dos Transportes º Calcular u i e v j tal que c ij -u i -v j = se ij é variável básica 4º Calcular c ij =c ij -u i -v j e verificar se a solução é óptima P Q R Fict Oferta A t u A = 9 8 t u =-4 Procura t t 5t 5t 5t v P = v Q = v R = v F = c AQ = c AQ -u A -v Q =5-- = c P = c P -u -v P = -(-4)- = 6 c F = c F -u -v F = -(-4)- = 4 solução óptima F = 5598 = 87 / 7

71 Algoritmo dos Transportes Análise Sensibilidade Eistem dúvidas quanto ao custo unitário de transporte entre a Quinta da eterraba e a fábrica de enlatados Quelata. Para que valores desse custo a solução encontrada se mantém óptima? A Procura P t v P = Q 5 c Q t v Q = c Q 4 c AQ =c AQ -u A -v Q =5--c Q -4= -c Q c P =c P -u -v P =-(-4)-= 6 c F =c F -u -v F =-(-4)-= 4 R 5 8 5t v R = Fict 5 5t v F = Oferta t t 5t u A = u =-4 solução é óptima se: c Q / 7

72 Algoritmo dos Transportes Análise Sensibilidade Devido à queda de uma ponte não é possível efectuar a ligação entre a Quinta da Alfarroba e a fábrica da Ressumo. A solução mantém-se? Qual a nova solução? Atenção: Ao colocar um custo unitário igual a M, a respectiva variável deve ser nula na solução óptima (método do ig M para anular variáveis) caso contrário não eiste solução possível A Procura P t v P = Q 5 9 t v Q = M c AQ =c AQ -u A -v Q =5---M= 4-M < c P =c P -u -v P = -(8-M)- = M-6 c F =c F -u -v F =-(8-M)- = M-8 R 5 M 8 5t v R =M Fict 5 5t v F = Oferta t t 5t u A = u = 8-M solução não é óptima, AQ deve entrar para a base / 7

73 Algoritmo dos Transportes Análise Sensibilidade A colheita da Quinta da eterraba ainda não foi realizada sendo as t uma estimativa. Para que valores da produção da Quinta da eterraba a solução básica se mantém óptima? Atenção: Os valores de u i, v j e c ij não se alteram pelo que a solução continuará a ser óptima enquanto a solução for possível A P Q 5 9 R 5-8 Fict 5 Oferta t t u A = u =-4 Procura t t 5t 5t 5t v P = v Q = v R = v F = AR 5- AF 5 R solução possível enquanto t O 5t F = (5- )(5 )9( )8 = (87-4 ) / 7

74 A Corrida de Carros Casos Particulares de PL O André, o ernardo, o Carlos, o Daniel e o Eduardo formam uma equipa que vai fazer uma corrida de carros em 5 etapas em que cada um eecuta uma das etapas. Durante os treinos, os tempos obtidos por cada um em cada uma das etapas foram os representados no quadro seguinte. Qual a etapa que cada um deve eecutar de forma a obter o menor tempo de corrida para a equipa? Etapa Etapa Etapa Etapa 4 Etapa 5 André ernardo Carlos / Daniel Eduardo 8 9

75 / 75 Formulação Definição das variáveis: ij variável binária de afectação da etapa i (,,,4,5) ao elemento da equipa j (A,,C,D,E) (= o elemento j eecuta a etapa i; = o elemento j não realiza a etapa i) F tempo da equipa para realizar a corrida Função objectivo: Restrições: E D C A E D C A E D C A E D C A E D C A Min F = { } ; = = = = = ij E E E E E D D D D D C C C C C A A A A A = = = = = E D C A E D C A E D C A E D C A E D C A

76 Problema de Afectação Formulação Definição das variáveis: c ij ij F Função objectivo: Restrições: custo de eecução da tarefa i pelo elemento j variável binária (= tarefa i eecutada por j; = tarefa i não é eecutada por j) custo total da afectação Problema com: Min F = c ij ij i j j i ij ij ij = = { ; } n tarefas n elementos (n n) variáveis Resolução Simple Algoritmo Transportes Algoritmo Húngaro / 76

77 Algoritmo Húngaro º) Subtrair a cada linha o mínimo da linha º) Subtrair a cada coluna o mínimo da coluna Tempo mínimo para a realização de cada etapa A C D E 8 9 / 77 Σ A 4 4 C D E Σ A solução óptima de um problema de afectação após adicionar uma constante a uma linha ou coluna à matriz de custos é uma solução óptima da matriz original É necessário que cada elemento eecute uma etapa tempo adicional se lhe atribuir a etapa em que é mais rápido E Deverá resultar uma matriz com pelo menos um zero em cada linha e em cada coluna. Será possível seleccionar um zero em cada linha e coluna? A C D Σ 4 6

78 Algoritmo Húngaro º) Tentar afectar uma tarefa a cada elemento. Seleccionar a linha com menor número de zeros, enquadrar um e eliminar os restantes zeros da linha e da coluna do zero enquadrado. Repetir. até não eistir mais nenhum zero livre. Se foi enquadrado um zero por cada linha e por cada coluna então a solução é uma solução óptima A C X X D X E X º º º Foram escolhidos zeros dos 5 necessários a solução não é óptima / 78

79 Algoritmo Húngaro 4º) Gerar mais zeros na matriz 4. Cortar com tantas rectas como o número de zeros enquadrados no passo anterior todos os zeros da matriz 4. Escolher o menor valor da matriz do conjunto de elementos não cortados pelas rectas anteriores como elemento pivot 4. Subtrair o elemento pivot a todas as colunas (ou linhas) e adicionar o elemento pivot em cada um dos elementos atravessados pelas duas rectas do passo Voltar ao º passo A C X X D X E Cortar todos os zeros com três rectas X 4 5 A -P -P -P -P -P -P / 79 C P P D -P -P -P E -P -P -P 4 5 Σ A C 4 D E 4 Σ 8 8

80 Algoritmo Húngaro º Tentar afectar uma tarefa a cada elemento A C D E Σ A C D E Σ X X 4 X X X 8 º º º 4º 5º ª Etapa Eduardo Tempo 8 9 Foram escolhidos 5 zeros dos 5 necessários a solução é óptima ª Etapa Daniel Tempo 7 ª Etapa Carlos Tempo 6 4ª Etapa André Tempo 5 5ª Etapa ernardo Tempo 7 Total 8 / 8