O método Simplex Aplicado ao Problema de Transporte (PT).

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "O método Simplex Aplicado ao Problema de Transporte (PT)."

Transcrição

1 Prof. Geraldo Nunes Silva (Revisado por Socorro Rangel) Estas notas de aula são Baseadas no livro: Hillier, F. S. e G. J. Lieberman. Introdução à Pesquisa Operacional, Campus, a ed., 9 Agradeço a Professora Gladys Castillo do Departamento de Matemática da Universidade de Aveiro por ter permitido a utilização de alguns slides preparados pelo um grupo de pessoas de seu departamento O método Simplex Aplicado ao Problema de Transporte (PT). Obtenção de uma SBF inicial. Método do canto N-W; Método do mínimo da matriz de custos; Método de Vogel. Obtenção da solução ótima. Simplex especializado.

2 Problema de Transporte. Exemplo Protótipo Uns dos principais produtos da firma Lactosal é o leite. Os pacotes de leites são empacotados em fábricas e depois são distribuídos de caminhão para quatro armazéns Conhecendo os custos de transporte, a procura prevista para cada armazém e as capacidades de produção de cada fábrica, pretende-se: OTIMIZAR O PROGRAMA DE DISTRIBUIÇÃO DIÁRIO DO LEITE. Problema de Transporte. Exemplo Protótipo Os dados dos custos de uma carga de leite para cada combinação fábrica-armazém e das ofertas (produção) e procuras, em cargas de caminhão/dia, são os seguintes: cargas diárias de leite devem ser produzidas e distribuídas Custo por carga de caminhão Armazéns Fábricas Oferta 0 0 Procura

3 Fábricas Quadro do Problema de Transporte Custo por carga de camião Armazéns Oferta 0 0 Procura Destino Origem Oferta x x x x x x x x 0 x x x x 0 Procura = Para o exemplo protótipo a oferta total é igual à procura total Algoritmo para a resolução do PT. Obtenção de uma SBF inicial A SBF verifica o critério de otimalidade? Não Sim FIM!!! a solução é ótima Obter uma SBF "melhor"

4 Algoritmo para a resolução do PT. Como o problema de transporte é apenas um tipo especial de problema de programação linear, ele poderia ser resolvido aplicando o método simplex exatamente como vimos anteriormente Para tanto, teríamos que acrescentar variáveis artificiais e usando o método big M, por exemplo, proceder as iterações do método simplex. Entretanto, é possível explorar esta estrutura especial para obtermos um método muito mais eficiente o qual é chamado Método Simplex para o Problema do Transporte Cabe observar que outros tipos de estruturas especiais podem ser exploradas de forma a obter algoritmos eficientes (Por exemplo o Problema da Designação) Passo : Obtenção de uma SBF Inicial Qualquer SBF do problema de transporte tem no máximo m+n- variáveis básicas Qualquer restrição de oferta é igual à soma das restrições de demanda menos a soma das outras restrições de oferta e, cada restrição de demanda também é igual a soma das restrições de oferta menos a soma das outras restições de demanda. Assim vamos contruir uma SBF inicial selecionando m+n variáveis, uma de cada vez e vamos atribuir valores a essas variáveis. Diversos métodos foram propostos para obteção de uma SBF inicial, vejamos a seguir alguns deles.

5 Passo : Obtenção de uma SBF Inicial Método do Canto Noroeste A variável básica escolhida é, em cada quadro, a variável situada no canto superior esquerdo (daqui o nome do canto do NW (NorthWest). A primeira variável básica escolhida será sempre x, depois que tenha sido traçada a coluna ou a linha, será escolhida como variável básica x ou x respectivamente, e assim sucessivamente até terem sido traçadas todas as linhas e todas as colunas. Este método é de aplicação muito fácil, mas tem como grande inconveniente o fato de não considerar os custos na identificação da SBF inicial. Exemplo Protótipo. Método do Canto Noroeste º. x =min (, )= º. x =min (, )= º. x =min (5, )= 5 º. x =min (, )= 5º. x =min (,0 )= º. x =min (, )= SBF inicial: X 0 = (,, 0, 0, 0, 5,, 0, 0, 0,, ) ; z 0 = 5

6 Passo : Obtenção de uma SBF Inicial Cuidado: Para formar uma base, as (m+n-) células do quadro do transporte (variáveis) escolhidas não podem formar um ciclo, pois as colunas da matriz de restrições associadas a essas variáveis devem ser linearmente independentes. Ver por exemplo BAZARAA, M.J. e JARVIS, J.J. - Linear Programming and Network Flows, J. Wiley & Sons, N.Y., 9 (pg. -). Exemplos de Soluções básicas. Passo : Obtenção de uma SBF Inicial Método do Mínimo da Matriz dos Custos. A variável básica escolhida é a variável que corresponde ao menor custo (em caso de empate a escolha é arbitrária). A primeira variável básica escolhida será sempre a de menor custo, depois será escolhida como variável básica a de menor custo no quadro resultante relativo ao que foi traçado, e assim sucessivamente, até terem sido traçadas todas as linhas e todas as colunas. Este método, em princípio, fornece soluções iniciais mais próximas da solução ótima que o método anterior, já que são considerados os custos na identificação da SBF inicial.

7 Exemplo Protótipo.Método do Mínimo dos Custos º: min (c ij )= c = 0 x =min (,0)= º: min (c ij ) =c = x = min (, )= º: min (c i ) = c =c = x = min (, ) = º: min (c ij ) =c = x = min (, ) = 5º: min (c ij )= c = x = min (, ) = º: min (c ij ) =c = x =min (, ) = 0 0 SBF inicial: X 0 = ( 0,, 0, 0, 0,,,,,0, 0,) ; z = Passo : Obtenção de uma SBA Inicial. Método de Vogel A variável básica escolhida é, em cada quadro, a variável que corresponde ao menor custo da linha ou coluna associada à maior das diferenças entre os dois menores custos de cada linha e cada coluna(em caso de empate a escolha é arbitrária). Este método identifica uma SBF inicial, em geral, melhor do que as obtidas pelos métodos anteriores.

8 Exemplo Protótipo.Método de Vogel. Quadro º: acrescentar uma linha e uma coluna, com as diferenças entre os dois menores custos, em coluna e em linha respectivamente. º: Selecionar a maior das diferenças: max (diferenças) =, coluna. º: Selecionar o menor dos custos para esta coluna: min (c ij : j=)= c = x = min (, 0 ) = mínimo máximo Iteração : x = Exemplo Protótipo. Método de Vogel. Quadro º: calcular as novas diferenças relativas apenas aos elementos não traçados º: Selecionar a maior das diferenças: max (diferenças) = e corresponde à linha. º: Selecionar o menor dos custos para esta linha: min (c ij : i=)= c = 0 x = min (, ) = mínimo máximo Iteração : x =

9 Exemplo Protótipo. Método de Vogel. Quadro º: calcular as novas diferenças relativas apenas aos elementos não traçados º: Selecionar a maior das diferenças : max (diferenças) = e corresponde à coluna. mínimo 0 5 º: Selecionar o menor dos custos para esta coluna: min (c ij : j=) = c = x = min (, ) = máximo Iteração : x = Exemplo Protótipo. Método de Vogel Quadro º: calcular as novas diferenças relativas apenas aos elementos não traçados: todas são iguais a, pelo que pode ser escolhida qualquer delas. º: Selecionar a coluna e o menor dos seus custos : min (c ij : j=) = c = x = min (,5 ) = mínimo 5 Iteração : x = 5 9

10 Exemplo Protótipo. Método de Vogel Quadro 5 As células restantes podem ser preenchidas imediatamente: x = x = 5 0 SBF inicial: X 0 = (, 5, 0, 0, 0,,, 0,,0, 0,) ; z = Passo : Obtenção de uma SBF Inicial. Exemplo Protótipo mais fácil Método SBF inicial f.o. "pior" SBF Canto do NW Mínimo de custos X 0 = (,, 0, 0, 0, 5,, 0, 0, 0,, ) X 0 = ( 0, 5,, 0, 0,,, 0,, 0, 0, ) z 0 = z 0 = menos fácil Voguel X 0 = (, 5, 0, 0, 0,,, 0,, 0, 0, ) z 0 = "melhor" SBF 0

11 Passo : Obtenção da solução ótima Método de Dantzig. Critério de otimalidade Determinar a solução dual complementar u i,v j, ( i=,,m, j=,,n ), por resolução do Sistema de Dantzig: u i +v j = c ij ( i, j ) I B A solução dual é factível: u i +v j -c ij 0, ( i, j ) I B? Não Encontrar uma SBF melhor Sim FIM a solução é ótima!!! Obtenção da solução ótima.método de Dantzig. Passo : Critério de otimalidade. O primeiro passo, que consiste em testar a otimalidade da SBF atual pode ser executado recorrendo à Dualidade. Para isso é necessário determinar a correspondente solução dual. Devido à simplicidade da estrutura da matrix de restrições do Problema do Transporte, é fácil determinar a solução dual.

12 Fábricas Procura u livre u livre u livre v livre v livre v livre v livre Min z Formulação do Problema Dual de Transporte. Custo por carga de camião Armazéns 0 Diagrama de Tucker Problema primal x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 Oferta 0 0 Problema dual Max w = = = 0 = = = = Formulação do Problema Dual de Transporte. Fábricas Custo por carga de camião Armazéns Oferta Maximizar w = u + u + 0 u + v + v + v + v Procura 0 0 sujeito a: u +v u +v u +v u +v u +v u +v u +v u +v u +v 0 u +v u +v u +v u i, v j livres ( i=,,; j=,,, )

13 Exemplo Protótipo. Sistema de Dantzig Para a SBF inicial obtida pelo Método do Canto N-W X 0 = (,, 0, 0, 0, 5,, 0, 0, 0,, ) tem-se: De acordo com a propriedade das folgas complementares, a cada variável básica do problema primal se encontra associada uma restrição ativa no problema dual (variável de folga igual a zero). Sistema de Dantzig para a SBF atual x = u +v = x = u +v = x = 5 u +v = x = u +v = x = u +v = x = u +v = Exemplo Protótipo. Obtenção da solução ótima. Passo : Critério de Otimalidade º. Determinar a solução dual. u =0 Dado que uma das (m+n) restrições do problema primal é redundante, este sistema de equações é indeterminado de grau, pelo que a sua resolução é efetuada atribuindo um valor arbitrário a qualquer das variáveis duais e calculando a partir desta as restantes ( é habitual fazer u =0 ou v n =0) u +v = u +v = u +v = u +v = u +v = v = v = u = v = u = u +v = v =0

14 Obtenção da solução ótima. Passo : Critério de Otimalidade º. Determinar a solução dual. Esta solução para as variáveis duais pode ser obtida diretamente no quadro de transporte correspondente à SBF associada. Em síntese, fixando u =0, desloca-se em linha através das células correspondentes às variáveis básicas, para obter os v j. Uma vez obtidos estes, desloca-se em coluna através das células correspondentes às variáveis básicas para obter os u i. Exemplo Protótipo. Obtenção da solução ótima. Passo : Critério de Otimalidade. º. Determinar a solução dual. ( ) u + v = u + = ( 5 ) u + v = u + = ( ) u + v = 0 + v = ( ) u + v = 0 + v = u =0 u = u = ( ) u + v = + v = v = v = v = v =0 5 0 ( ) u + v = + v = 0

15 Obtenção da solução ótima. Passo : Critério de Otimalidade Como são satisfeitas as restrições duais de igualdade do Sistema de Dantzig que correspondem às variáveis primais básicas, resta apenas verificar se as restantes restrições duais de desigualdade correspondentes às variáveis primais não básicas, são igualmente satisfeitas, o que significa que a solução dual é factível e consequentemente a solução primal associada é ótima. Isto é equivalente a verificar que todos os custos reduzidos para as variáveis não básicas sejam não positivos. A verificação de que u i +v j c ij, ( i, j ) I B, é equivalente a c ij -(u i +v j )>=0. Exemplo Protótipo. Obtenção da solução ótima. Passo : Critério de Otimalidade º. Calcular os custos reduzidos para as variáveis não básicas. u =0 u = u = v = v = v = v =

16 Exemplo Protótipo. Obtenção da solução ótima. Passo : Critério de Otimalidade º. Existe algum c ij -(u i +v j ) < 0, ( i, j ) I B? Esta solução não é ótima, pois existem valores negativos para (c ij -(u i +v j )) nas células (,) e (,), o que significa que as correspondentes restrições duais não estão satisfeitas. u =0 u = u = v = v = v = v = Exemplo Protótipo. Obtenção da solução ótima. Passo : Critério de Entrada A variável a entrar na base pode ser escolhida de acordo com o critério: Em caso de empate a escolha é arbitrária. mínimo u =0 u = u = min {( c ij - u i +v j )< 0 } v = v = v = v = A variável a entrar é x

17 Obtenção da solução ótima. Passo : Critério de Saída º. Selecionar o percurso relativo à variável que entra atribuindo às células nele incluídas sinais de - ou +. Ao incrementar a variável básica que entra desde zero até um valor positivo 0, inicia-se um processo em cadeia" que garante que as restrições de oferta e procura continuem satisfeitas. Este processo segue um percurso no quadro a partir da célula da variável que entra, onde são identificadas quais são as células onde será preciso subtrair o valor 0, (com sinal -) e aquelas onde será preciso adicionalo (com sinal +). Tudo com o objetivo de as somas em cada linha e coluna permanecerem inalteradas. º. Selecionar a variável que sai de acordo com o critério: min {x ij percurso relativo à variável que entra : x ij tem sinal -} = 0 Em caso de empate a escolha é arbitrária. Exemplo Protótipo. Obtenção da solução ótima. Passo : Critério de Saída Determinar a variável que sai. º. Selecionar o percurso relativo à variável x atribuindo às células nele incluídas sinais de - ou +. º. Selecionar a variável que sai: 0 =min (, 5, ) = a variável x sai x 0 mínimo

18 Obtenção da solução ótima. Passo : Obtenção de uma nova SBF A nova SBF obtém-se adicionando e subtraindo às variáveis que formam o ciclo o valor de 0, consoante estejam afetadas com - ou +, respectivamente; as restantes variáveis mantêm os seus valores inalterados. Exemplo Protótipo.Obtenção da solução ótima. Passo : Obtenção de uma nova SBF X = (, 5, 0, 0, z = 0,,, 0,, 0, 0, ) x = + = 5 x = - = x =5 - = x = x = - = x x = + = 5 0 0

19 Exemplo Protótipo. Obtenção da solução ótima. Iteração, Passo : Critério de Otimalidade. º. Determinar a solução dual. ( ) u + v = u + = ( 5 ) u + v =0 u + =0 ( ) u + v = 0 + v = ( ) u + v = 0 + v = u =0 u = u =- ( ) u + v = + v = v = v = v = v = 5 0 ( ) u + v = - + v = 0 Exemplo Protótipo. Obtenção da solução ótima. Iteração, Passo : Critério de Otimalidade º. Calcular os custos reduzidos (( c ij - u i +v j )) para as variáveis não básicas. ( ) -u - v = - 0- = u =0 u = u =- v = v = v = v =

20 Exemplo Protótipo. Obtenção da solução ótima. Iteração, Passo : Critério de Otimalidade º. Existe algum c ij -u i -v j < 0, ( i, j ) I B? Esta solução é ótima, pois para todas as variáveis não básicas c ij -u i v j >=0 u =0 u = u =- v = v = v = v = Solução ótima: X =(, 5, 0, 0, 0,,, 0,, 0, 0, ); z = 0

O Problema de Transportes

O Problema de Transportes Investigação Operacional- 00/0 - Problemas de Transportes 8 O Problema de Transportes O problema geral de transportes consiste em determinar a forma mais económica de enviar um bem que está disponível

Leia mais

ALGORITMOS GENÉTICOS APLICADOS EM PROBLEMAS DE TRANSPORTE

ALGORITMOS GENÉTICOS APLICADOS EM PROBLEMAS DE TRANSPORTE ALGORITMOS GENÉTICOS APLICADOS EM PROBLEMAS DE TRANSPORTE Keila Nogueira,Kenedy Nogueira, Keiji Yamanaka, Edgard Lamounier (keilachagas@hotmail.com, klnogueira@hotmail.com, keiji@ufu.br, lamounierj@ ufu.br)

Leia mais

Faculdade de Engenharia Optimização. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu

Faculdade de Engenharia Optimização. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu 1 Programação Linear (PL) Aula 8 : O método Simplex. Casos particulares. Empate no critério de entrada. Óptimo não finito. Soluções óptimas alternativas. Degenerescência. INÍCIO Forma Padrão Faculdade

Leia mais

Problemas de Transportes e de Afectação

Problemas de Transportes e de Afectação CAPÍTULO 6 Problemas de Transportes e de Afectação 1. Problema de Transporte Este problema, que é um dos particulares de PL, consiste em determinar a forma mais económica de enviar um bem disponível, em

Leia mais

PESQUISA OPERACIONAL 11. SOLUÇÃO ALGEBRICA O MÉTODO SIMPLEX ( ) DEFINIÇÕES REGRAS DE TRANSFORMAÇÃO. Prof. Edson Rovina Página 16

PESQUISA OPERACIONAL 11. SOLUÇÃO ALGEBRICA O MÉTODO SIMPLEX ( ) DEFINIÇÕES REGRAS DE TRANSFORMAÇÃO. Prof. Edson Rovina Página 16 11. SOLUÇÃO ALGEBRICA O MÉTODO SIMPLEX Página 16 Após o problema ter sido modelado, pode-se resolvê-lo de forma algébrica. A solução algébrica é dada pelo método simplex elaborado por Dantzig. Antes da

Leia mais

Faculdade de Engenharia Optimização. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu

Faculdade de Engenharia Optimização. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu 1 Programação Linear (PL) Aula 10: Método Simplex Técnica das variáveis artificias Método das penalidades ( Big M ). Método das duas fases. 2 Modificando o Exemplo Protótipo. Suponha-se que é modificado

Leia mais

Problema de Designação. Fernando Nogueira Problema de Designação 1

Problema de Designação. Fernando Nogueira Problema de Designação 1 Problema de Designação Fernando Nogueira Problema de Designação 1 O Problema de Designação é um caso específico de um Problema de Transporte, que por sua vez é um caso específico de um Problema de Programação

Leia mais

Simplex. Transparências de apoio à leccionação de aulas teóricas. c 2011, 2009, 1998 José Fernando Oliveira, Maria Antónia Carravilla FEUP

Simplex. Transparências de apoio à leccionação de aulas teóricas. c 2011, 2009, 1998 José Fernando Oliveira, Maria Antónia Carravilla FEUP Simplex Transparências de apoio à leccionação de aulas teóricas Versão 3 c 2011, 2009, 1998 José Fernando Oliveira, Maria Antónia Carravilla FEUP Programação Linear abordagem algébrica max sujeito a: n

Leia mais

Simplex. Investigação Operacional José António Oliveira Simplex

Simplex. Investigação Operacional José António Oliveira Simplex 18 Considere um problema de maximização de lucro relacionado com duas actividades e três recursos. Na tabela seguinte são dados os consumos unitários de cada recurso (A, B e C) por actividade (1 e 2),

Leia mais

II. Programação Linear (PL)

II. Programação Linear (PL) II. Programação Linear (PL) Dualidade revisão e interpretação econômica Seja o pl max Z x x x x 4 x, x 5x x 0 8 000-00 Prof.ª Gladys Castillo Formulação do Problema de PL em termos de Atividades. Exemplo

Leia mais

Otimização Linear. Profª : Adriana Departamento de Matemática. wwwp.fc.unesp.br/~adriana

Otimização Linear. Profª : Adriana Departamento de Matemática. wwwp.fc.unesp.br/~adriana Otimização Linear Profª : Adriana Departamento de Matemática adriana@fc.unesp.br wwwp.fc.unesp.br/~adriana Revisão Método Simplex Solução básica factível: xˆ xˆ, xˆ N em que xˆ N 0 1 xˆ b 0 Solução geral

Leia mais

Investigação Operacional

Investigação Operacional Métodos de Programação Linear: Big M, Fases, S Dual (Licenciatura) Tecnologias e Sistemas de Informação http://dps.uminho.pt/pessoais/zan - Escola de Engenharia Departamento de Produção e Sistemas 1 Simplex

Leia mais

Método Simplex dual. Marina Andretta ICMC-USP. 24 de outubro de 2016

Método Simplex dual. Marina Andretta ICMC-USP. 24 de outubro de 2016 Método Simplex dual Marina Andretta ICMC-USP 24 de outubro de 2016 Baseado no livro Introduction to Linear Optimization, de D. Bertsimas e J. N. Tsitsiklis. Marina Andretta (ICMC-USP) sme0211 - Otimização

Leia mais

5 Análise de Sensibilidade

5 Análise de Sensibilidade MAC-35 - Programação Linear Primeiro semestre de 00 Prof. Marcelo Queiroz http://www.ime.usp.br/~mqz Notas de Aula 5 Análise de Sensibilidade Neste capítulo consideramos o problema de programação linear

Leia mais

INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL. Programação Linear. Exercícios. Cap. IV Modelo Dual

INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL. Programação Linear. Exercícios. Cap. IV Modelo Dual INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Programação Linear Exercícios Cap. IV Modelo Dual António Carlos Morais da Silva Professor de I.O. i Cap. IV - Modelo Dual - Exercícios IV. Modelo Problema Dual 1. Apresente o

Leia mais

Exemplo de um problema de transporte, com 3 fontes e 3 destinos. Custos unitários de transporte para o exemplo de problema de transporte

Exemplo de um problema de transporte, com 3 fontes e 3 destinos. Custos unitários de transporte para o exemplo de problema de transporte TRANSPORTE 6 Um problema bastante comum que muitas vezes pode ser modelado como um problema de programação linear é o problema de transporte. Este problema envolve o transporte de alguma carga de diversas

Leia mais

Slide 1. c 1998 José Fernando Oliveira, Maria Antónia Carravilla FEUP

Slide 1. c 1998 José Fernando Oliveira, Maria Antónia Carravilla FEUP Programação Linear e Método Simplex Slide 1 Transparências de apoio à leccionação de aulas teóricas Versão 1 c 1998 Programação Linear e Método Simplex 1 Slide 2 Toda a teoria deve ser feita para poder

Leia mais

Problema de Transporte (Redes) Fernando Nogueira Problema de Transporte 1

Problema de Transporte (Redes) Fernando Nogueira Problema de Transporte 1 Problema de Transporte (Redes) Fernando Nogueira Problema de Transporte 1 O Problema de Transporte consiste em determinar o menor custo (ou o maior lucro) em transportar produtos de várias origens para

Leia mais

Graduação em Engenharia Elétrica MÉTODOS DE OTIMIZAÇÃO ENE081. PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR

Graduação em Engenharia Elétrica MÉTODOS DE OTIMIZAÇÃO ENE081. PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA Graduação em Engenharia Elétrica MÉTODOS DE OTIMIZAÇÃO ENE081 PROF. IVO CHAVES DA SILVA JUNIOR E-mail: ivo.junior@ufjf.edu.br Aula Número: 07 Programação Linear Últimas

Leia mais

Problemas de Transportes V 1.2, V.Lobo, EN / ISEGI, 2008

Problemas de Transportes V 1.2, V.Lobo, EN / ISEGI, 2008 V., V.Lobo, / IGI, 8 Problema de transportes Problemas de transportes aso particular de programação linear Permite uma solução particular mais simples que o caso geral de PL mbora se chame problema de

Leia mais

Programação Linear. Dual Simplex: Viabilidade Dual Método Dual Simplex

Programação Linear. Dual Simplex: Viabilidade Dual Método Dual Simplex Programação Linear Dual Simplex: Viabilidade Dual Viabilidade Dual Considere o par de problemas primal (P) dual (D). Agora já sabemos como encontrar a solução de um desses PPL a partir da solução do outro.

Leia mais

CAPÍTULO 4. Teoria da Dualidade

CAPÍTULO 4. Teoria da Dualidade CAPÍTULO 4 1. Introdução Uma dos conceitos mais importantes em programação linear é o de dualidade. Qualquer problema de PL tem associado um outro problema de PL, chamado o Dual. Neste contexto, o problema

Leia mais

Objetivo: Encontrar uma combinação de produtos que dê o maior lucro possível. Decisão a ser tomada Objetivo: Maximizar o lucro total

Objetivo: Encontrar uma combinação de produtos que dê o maior lucro possível. Decisão a ser tomada Objetivo: Maximizar o lucro total Brincando com a Otimização Linear ou Lego of my simplex ( Pendegraft,199) Socorro Rangel DCCE - IBILCE - UNESP O Problema Matéria Prima Disponível 6 peças grandes 8 peças pequenas Especificação do produto

Leia mais

Investigação Operacional 1. Transparências de apoio à leccionação de aulas teóricas. x j - valor da variável de decisão j;

Investigação Operacional 1. Transparências de apoio à leccionação de aulas teóricas. x j - valor da variável de decisão j; Investigação Operacional 1 Programação Linear Slide 1 Transparências de apoio à leccionação de aulas teóricas Maria Antónia Carravilla José Fernando Oliveira Programação Linear Modelos Slide 2 Forma geral

Leia mais

Otimização Linear. Profª : Adriana Departamento de Matemática. wwwp.fc.unesp.br/~adriana

Otimização Linear. Profª : Adriana Departamento de Matemática. wwwp.fc.unesp.br/~adriana Otimização Linear Profª : Adriana Departamento de Matemática adriana@fc.unesp.br wwwp.fc.unesp.br/~adriana Forma geral de um problema Em vários problemas que formulamos, obtivemos: Um objetivo de otimização

Leia mais

Resolvendo algebricamente um PPL

Resolvendo algebricamente um PPL Capítulo 6 Resolvendo algebricamente um PPL 6.1 O método algébrico para solução de um modelo linear A solução de problemas de programação linear com mais de duas variáveis, não pode ser obtida utilizando-se

Leia mais

Aula 02: Algoritmo Simplex (Parte 1)

Aula 02: Algoritmo Simplex (Parte 1) Aula 02: Algoritmo Simplex (Parte 1) Otimização Linear e Inteira Túlio A. M. Toffolo http://www.toffolo.com.br BCC464/PCC174 2018/2 Slides baseados no material de Haroldo Gambini Previously... Aula anterior:

Leia mais

Programação Linear - Parte 5

Programação Linear - Parte 5 Matemática Industrial - RC/UFG Programação Linear - Parte 5 Prof. Thiago Alves de Queiroz 1/2016 Thiago Queiroz (IMTec) Parte 5 1/2016 1 / 29 Dualidade Os parâmetros de entrada são dados de acordo com

Leia mais

5. Problema de Transporte

5. Problema de Transporte 5. Problema de Transporte O Problema de Transporte é talvez o mais representativo dos Problemas de Programação Linear. É um problema de grande aplicação prática, tendo sido estudado por vários investigadores,

Leia mais

MÓDULO 3 - PROBLEMAS DE TRANSPORTE

MÓDULO 3 - PROBLEMAS DE TRANSPORTE UNESA Sistemas de Transportes Currículo 08 / 009- MÓDULO 3 - PROBLEMAS DE TRANSPORTE. PROBLEMA CLÁSSICO DE TRANSPORTE O Problema de Transporte constitui uma das principais aplicações da PL para auxiliar

Leia mais

Programação Linear M É T O D O S : E S T A T Í S T I C A E M A T E M Á T I C A A P L I C A D A S D e 1 1 d e m a r ç o a 2 9 d e a b r i l d e

Programação Linear M É T O D O S : E S T A T Í S T I C A E M A T E M Á T I C A A P L I C A D A S D e 1 1 d e m a r ç o a 2 9 d e a b r i l d e Programação Linear A otimização é o processo de encontrar a melhor solução (ou solução ótima) para um problema. Existe um conjunto particular de problemas nos quais é decisivo a aplicação de um procedimento

Leia mais

Aula 10: Revisão Otimização Linear e Inteira Túlio A. M. Toffolo

Aula 10: Revisão Otimização Linear e Inteira Túlio A. M. Toffolo Aula 10: Revisão Otimização Linear e Inteira Túlio A. M. Toffolo http://www.toffolo.com.br 2018/2 - PCC174/BCC464 Aula Prática - Laboratório COM30!1 Breve Revisão Modelagem Método gráfico O Algoritmo Simplex

Leia mais

Programação Matemática. Método Simplex

Programação Matemática. Método Simplex Programação Matemática Método Simplex Forma Padrão - Revisão Características da forma padrão: Problema de minimização Todas as restrições são de igualdade Todas as variáveis são não-negativas Considerar

Leia mais

Maristela Santos. Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação Universidade de São Paulo

Maristela Santos. Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação Universidade de São Paulo Programação Matemática Maristela Santos Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação Universidade de São Paulo Forma Padrão - Definição Características da forma padrão: Problema de minimização Todas

Leia mais

Problemas de Fluxos em Redes

Problemas de Fluxos em Redes Investigação Operacional Problemas de Fluxos em Redes Slide Transparências de apoio à leccionação de aulas teóricas Problemas de fluxos em redes Rede: Conjunto de pontos (vértices) ligados por linhas ou

Leia mais

Programação Linear/Inteira

Programação Linear/Inteira Unidade de Matemática e Tecnologia - RC/UFG Programação Linear/Inteira Prof. Thiago Alves de Queiroz Aula 3 Thiago Queiroz (IMTec) Aula 3 Aula 3 1 / 45 O Método Simplex Encontre o vértice ótimo pesquisando

Leia mais

Combinando inequações lineares

Combinando inequações lineares Combinando inequações lineares A multiplicação por um número > 0 não altera uma inequação 2x x 5 4x 2x 10 1 2 1 2 A soma de duas inequações (com o mesmo sentido) produz uma inequação válida x 3x x 3 1

Leia mais

Unidade: Modelo Simplex e Modelo Dual. Unidade I:

Unidade: Modelo Simplex e Modelo Dual. Unidade I: Unidade: Modelo Simplex e Modelo Dual Unidade I: 0 Unidade: Modelo Simplex e Modelo Dual Segundo Wikipédia (2008), em teoria da otimização matemática, o algoritmo simplex de George Dantiz é uma técnica

Leia mais

Programação Linear (PL) Solução algébrica - método simplex

Programação Linear (PL) Solução algébrica - método simplex Universidade Federal de Itajubá Instituto de Engenharia de Produção e Gestão Pesquisa Operacional Simplex Prof. Dr. José Arnaldo Barra Montevechi Programação Linear (PL) Solução algébrica - método simplex

Leia mais

TP052-PESQUISA OPERACIONAL I Algoritmo Dual Simplex. Prof. Volmir Wilhelm Curitiba, Paraná, Brasil

TP052-PESQUISA OPERACIONAL I Algoritmo Dual Simplex. Prof. Volmir Wilhelm Curitiba, Paraná, Brasil TP052-PESQUISA OPERACIONAL I Algoritmo Dual Simplex Prof. Volmir Wilhelm Curitiba, Paraná, Brasil Algoritmo Dual Simplex Motivação max sa Z = cx Ax = b x 0 escolhida uma base viável max sa Z = c B x B

Leia mais

4- Dualidade em Programação Linear

4- Dualidade em Programação Linear 4- Dualidade em Programação Linear 4.1- Introdução Considere o problema clássico da dieta: (problema primal): Quer-se consumir quantidades de determinados alimentos de tal forma a satisfazer as necessidades

Leia mais

Prática 02. Total. Pré-requisitos 2 MTM112. N o

Prática 02. Total. Pré-requisitos 2 MTM112. N o Disciplina Pesquisa Operacional I MINISTÉRIO DA Departamento DEPARTAMENTO DE COMPUTAÇÃO Carga Horária Semanal Pré-requisitos 1 CIC170 Teórica EDUCAÇÃO E CULTURA DIRETORIA DE ENSINO 1 PROGRAMA DE DISCIPLINA

Leia mais

Pesquisa Operacional. Prof. José Luiz

Pesquisa Operacional. Prof. José Luiz Pesquisa Operacional Prof. José Luiz Resolver um problema de Programação Linear significa basicamente resolver sistemas de equações lineares; Esse procedimento, apesar de correto, é bastante trabalhoso,

Leia mais

Pesquisa Operacional

Pesquisa Operacional Pesquisa Operacional Teoria da Dualidade Profa. Sheila Morais de Almeida DAINF-UTFPR-PG outubro - 2015 Problema Dual Cada problema de Programa de Programação Linear está associado a um outro problema de

Leia mais

3- O MÉTODO SIMPLEX Introdução e fundamentos teóricos para o Método Simplex

3- O MÉTODO SIMPLEX Introdução e fundamentos teóricos para o Método Simplex 3- O MÉTODO SIMPLEX 3.1- Introdução O Método Simplex é uma técnica utilizada para se determinar, numericamente, a solução ótima de um modelo de Programação Linear. Será desenvolvido inicialmente para Problemas

Leia mais

Investigação Operacional

Investigação Operacional Investigação Operacional Programação Linear Licenciatura em Engenharia Civil Licenciatura em Engenharia do Território Problema Uma firma fabrica dois produtos P e P em três máquinas M, M e M. P é processado

Leia mais

Método Simplex Dual. Prof. Fernando Augusto Silva Marins Departamento de Produção Faculdade de Engenharia Campus de Guaratinguetá UNESP

Método Simplex Dual. Prof. Fernando Augusto Silva Marins Departamento de Produção Faculdade de Engenharia Campus de Guaratinguetá UNESP Método Simplex Dual Prof. Fernando Augusto Silva Marins Departamento de Produção Faculdade de Engenharia Campus de Guaratinguetá UNESP www.feg.unesp.br/~fmarins fmarins@feg.unesp.br Introdução Algoritmo

Leia mais

Matemática Aplicada Nt Notas de aula

Matemática Aplicada Nt Notas de aula Matemática Aplicada Nt Notas de aula Problema de transporte e designação Problema de transporte: motivação origem 1 destino 1 origem 2 destino 2 destino 3 Caracterização geral Dados: A estrutura de fontes

Leia mais

PESQUISA OPERACIONAL -PROGRAMAÇÃO LINEAR MÉTODO SIMPLEX. Prof. Angelo Augusto Frozza, M.Sc.

PESQUISA OPERACIONAL -PROGRAMAÇÃO LINEAR MÉTODO SIMPLEX. Prof. Angelo Augusto Frozza, M.Sc. PESQUISA OPERACIONAL -PROGRAMAÇÃO LINEAR MÉTODO SIMPLEX Prof. Angelo Augusto Frozza, M.Sc. ROTEIRO Esta aula tem por base o Capítulo 3 do livro de Taha (2008): Motivação Conceitos Matemáticos Iniciais

Leia mais

Prof.: Eduardo Uchoa.

Prof.: Eduardo Uchoa. Análise de sensibilidade Prof.: Eduardo Uchoa http://www.logis.uff.br/~uchoa/poi 1 Análise de Sensibilidade Uma vez que já se tenha resolvido um PL, existem técnicas para avaliar como pequenas alterações

Leia mais

Solução de problemas de PL com restrições do tipo >= e =

Solução de problemas de PL com restrições do tipo >= e = Solução de problemas de PL com restrições do tipo >= e = Seja o Problema de maximização abaixo: O problema na forma padrão: Tem-se um problema, não existe na restrição 3 uma variável de folga para entrar

Leia mais

Otimização Linear. Profª : Adriana Departamento de Matemática. wwwp.fc.unesp.br/~adriana

Otimização Linear. Profª : Adriana Departamento de Matemática. wwwp.fc.unesp.br/~adriana Otimização Linear Profª : Adriana Departamento de Matemática adriana@fc.unesp.br wwwp.fc.unesp.br/~adriana Perguntas?? Dada uma solução básica factível (vértice de S e, portanto, candidata à solução ótima),

Leia mais

Combinando inequações lineares

Combinando inequações lineares Combinando inequações lineares A multiplicação por um número > 0 não altera uma inequação 2x x 5 4x 2x 0 2 2 A soma de duas inequações (com o mesmo sentido) produz uma inequação válida x 3x + x 3 2 + 5x

Leia mais

Aplicação do Método de Barreira Logarítmica na Resolução de um Problema de Programação Linear.

Aplicação do Método de Barreira Logarítmica na Resolução de um Problema de Programação Linear. Aplicação do Método de Barreira Logarítmica na Resolução de um Problema de Programação Linear. Rodrigo Romais (FCSGN) 1 r.romais@gmail.com Resumo: Métodos numéricos de Ponto Interior são extremamente úteis

Leia mais

Marina Andretta. 10 de outubro de Baseado no livro Introduction to Linear Optimization, de D. Bertsimas e J. N. Tsitsiklis.

Marina Andretta. 10 de outubro de Baseado no livro Introduction to Linear Optimization, de D. Bertsimas e J. N. Tsitsiklis. Solução básica viável inicial Marina Andretta ICMC-USP 10 de outubro de 2016 Baseado no livro Introduction to Linear Optimization, de D. Bertsimas e J. N. Tsitsiklis. Marina Andretta (ICMC-USP) sme0211

Leia mais

Programação Linear. MÉTODOS QUANTITATIVOS: ESTATÍSTICA E MATEMÁTICA APLICADAS De 30 de setembro a 13 de novembro de 2011 prof. Lori Viali, Dr.

Programação Linear. MÉTODOS QUANTITATIVOS: ESTATÍSTICA E MATEMÁTICA APLICADAS De 30 de setembro a 13 de novembro de 2011 prof. Lori Viali, Dr. Programação Linear São problemas complexos, muitas vezes de difícil solução e que envolvem significativas reduções de custos, melhorias de tempos de processos, ou uma melhor alocação de recursos em atividades.

Leia mais

Teoremas de dualidade

Teoremas de dualidade Teoremas de dualidade Marina Andretta ICMC-USP 19 de outubro de 2016 Baseado no livro Introduction to Linear Optimization, de D. Bertsimas e J. N. Tsitsiklis. Marina Andretta (ICMC-USP) sme0211 - Otimização

Leia mais

Método Simplex. Marina Andretta ICMC-USP. 19 de outubro de 2016

Método Simplex. Marina Andretta ICMC-USP. 19 de outubro de 2016 Método Simplex Marina Andretta ICMC-USP 19 de outubro de 2016 Baseado no livro Introduction to Linear Optimization, de D. Bertsimas e J. N. Tsitsiklis. Marina Andretta (ICMC-USP) sme0211 - Otimização linear

Leia mais

Programação Linear - Parte 3

Programação Linear - Parte 3 Matemática Industrial - RC/UFG Programação Linear - Parte 3 Prof. Thiago Alves de Queiroz 1/2016 Thiago Queiroz (IMTec) Parte 3 1/2016 1 / 26 O Método Simplex Encontre o vértice ótimo pesquisando um subconjunto

Leia mais

Programa de Unidade Curricular

Programa de Unidade Curricular Programa de Unidade Curricular Faculdade Ciências Empresariais Licenciatura Ciências Económicas e Empresariais Unidade Curricular Investigação Operacional Semestre: 5 Nº ECTS: 6,0 Regente José Manuel Brito

Leia mais

Programação Matemática Lista 3

Programação Matemática Lista 3 Programação Matemática Lista 3. Coloque na forma padrão os seguintes problemas de programação linear: a) Maximizar X 7 X + 8 X 3 +X 4 X + X X 3 + X 4 4 X + X 3 9 X + X 3 + X 4 6 X 0, X 0, X 3 0, X 4 0

Leia mais

Aula 07: Análise de sensibilidade (2)

Aula 07: Análise de sensibilidade (2) Aula 07: Análise de sensibilidade (2) Otimização Linear e Inteira Túlio A. M. Toffolo http://www.toffolo.com.br BCC464/PCC174 2018/2 Departamento de Computação UFOP Previously Aulas anteriores: Dualidade

Leia mais

PESQUISA OPERACIONAL -PROGRAMAÇÃO LINEAR MÉTODO SIMPLEX. Prof. Angelo Augusto Frozza, M.Sc.

PESQUISA OPERACIONAL -PROGRAMAÇÃO LINEAR MÉTODO SIMPLEX. Prof. Angelo Augusto Frozza, M.Sc. PESQUISA OPERACIONAL -PROGRAMAÇÃO LINEAR MÉTODO SIMPLEX Prof. Angelo Augusto Frozza, M.Sc. MÉTODO SIMPLEX A ideia geral é Em vez de enumerar todas as soluções básicas (pontos extremos) do problema de PL,

Leia mais

Capítulo 3. O Método Primal Simplex

Capítulo 3. O Método Primal Simplex Capítulo 3 O Método Primal Simplex 3.. Introdução Neste Capítulo, apresenta-se o método de resolução de problemas de programação linear mais utilizado, isto é, o método primal simplex. Assim, apresenta-se

Leia mais

Algoritmo Simplex para Programação Linear I

Algoritmo Simplex para Programação Linear I EA Planejamento e Análise de Sistemas de Produção Algoritmo Simple para Programação Linear I DCA-FEEC-Unicamp Modelo de Programação Linear ma c ( n ) s. a. A b A ( m n) b ( m ) c ( n) P ( R n A b} Poliedro

Leia mais

PESQUISA OPERACIONAL Introdução. Professor Volmir Wilhelm Professora Mariana Kleina

PESQUISA OPERACIONAL Introdução. Professor Volmir Wilhelm Professora Mariana Kleina PESQUISA OPERACIONAL Introdução Professor Volmir Wilhelm Professora Mariana Kleina PESQUISA OPERACIONAL Ementa Revisão de Álgebra Linear. Modelos de Programação Linear. O Método Simplex. O Problema do

Leia mais

Faculdade de Engenharia Optimização. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu

Faculdade de Engenharia Optimização. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu 1 Programação Linear (PL) Aula 15. Dualidade Interpretação económica. Problema dual: preços sombra e perdas de oportunidade. Propriedade dos desvios complementares 2 Formulação do Problema de PL em termos

Leia mais

Programação Matemática

Programação Matemática Programação Matemática Docentes: Ana Paula, Franklina e Maristela Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação - ICMC Universidade de São Paulo USP (Material Elaborado por Aline Leão modificado por

Leia mais

Teoria de dualidade. Marina Andretta ICMC-USP. 19 de outubro de 2016

Teoria de dualidade. Marina Andretta ICMC-USP. 19 de outubro de 2016 Teoria de dualidade Marina Andretta ICMC-USP 19 de outubro de 2016 Baseado no livro Introduction to Linear Optimization, de D. Bertsimas e J. N. Tsitsiklis. Marina Andretta (ICMC-USP) sme0211 - Otimização

Leia mais

Programação Linear/Inteira - Aula 5

Programação Linear/Inteira - Aula 5 Unidade de Matemática e Tecnologia - RC/UFG Programação Linear/Inteira - Aula 5 Prof. Thiago Alves de Queiroz Aula 5 Thiago Queiroz (IMTec) Aula 5 Aula 5 1 / 43 Análise de Sensibilidade Estudar o efeito

Leia mais

Resolução de PL usando o método Simplex

Resolução de PL usando o método Simplex V., V.Lobo, EN / ISEGI, 28 Resolução de PL usando o método Simplex Método Simplex Algoritmo para resolver problemas de programação linear George Dantzig, 947 Muito utilizado Facilmente implementado como

Leia mais

Vânio Correia Domingos Massala

Vânio Correia Domingos Massala Optimização e Decisão 06/0/008 Método do Simplex Vânio Correia - 5567 Domingos Massala - 58849 INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Generalidades do Método do Simplex Procedimento algébrico iterativo para resolver

Leia mais

Otm1 12/04/2012. Método Simplex Obtenção base inicial Degeneração (alguns comentários) Variáveis Canalizadas

Otm1 12/04/2012. Método Simplex Obtenção base inicial Degeneração (alguns comentários) Variáveis Canalizadas Otm1 12/04/2012 Método Simplex Obtenção base inicial Degeneração (alguns comentários) Variáveis Canalizadas Base inicial FASE I Como determinar uma partição básica factível inicial (A=(B, N)). Algumas

Leia mais

Regras para evitar ciclagem

Regras para evitar ciclagem Regras para evitar ciclagem Marina Andretta ICMC-USP 19 de outubro de 2016 Baseado no livro Introduction to Linear Optimization, de D. Bertsimas e J. N. Tsitsiklis. Marina Andretta (ICMC-USP) sme0211 -

Leia mais

Aula 19: Lifting e matrizes ideais

Aula 19: Lifting e matrizes ideais Aula 19: Lifting e matrizes ideais Otimização Linear e Inteira Túlio A. M. Toffolo http://www.toffolo.com.br BCC464/PCC174 2018/2 Departamento de Computação UFOP Previously... Branch-and-bound Formulações

Leia mais

Pesquisa Operacional

Pesquisa Operacional Pesquisa Operacional Casos Especiais do Método Simplex e Gráfica Profa. Sheila Morais de Almeida DAINF-UTFPR-PG setembro - 2015 1 Casos Especiais do Método Simplex Degeneração Múltiplas soluções ótimas

Leia mais

1. INTRODUÇÃO. FAAP Faculdade de Administração

1. INTRODUÇÃO. FAAP Faculdade de Administração 1. INTRODUÇÃO Histórico: O termo Pesquisa Operacional foi utilizado pela 1ª vez na Grã-Bretanha, em 1938, para designar o estudo sistemático de problemas estratégicos e táticos decorrentes de operações

Leia mais

Transparências de apoio à lecionação de aulas teóricas. c 2012, 2011, 2009, 1998 José Fernando Oliveira, Maria Antónia Carravilla FEUP

Transparências de apoio à lecionação de aulas teóricas. c 2012, 2011, 2009, 1998 José Fernando Oliveira, Maria Antónia Carravilla FEUP Programação Linear Transparências de apoio à lecionação de aulas teóricas Versão 4 c 2012, 2011, 2009, 1998 José Fernando Oliveira, Maria Antónia Carravilla FEUP Programação Linear Problema de planeamento

Leia mais

Denições Preliminares

Denições Preliminares Programação Linear Inteira O lgoritmo Simplex Haroldo Gambini Santos Universidade Federal de Ouro Preto - UFOP 30 de agosto de 2011 1 / 32 enições Preliminares Conjunto Convexo Um conjunto de pontos S

Leia mais

Otimização Linear. Profª : Adriana Departamento de Matemática. wwwp.fc.unesp.br/~adriana

Otimização Linear. Profª : Adriana Departamento de Matemática. wwwp.fc.unesp.br/~adriana Otimização Linear Profª : Adriana Departamento de Matemática adriana@fc.unesp.br wwwp.fc.unesp.br/~adriana Teoria da Otimização Linear Transformação de problemas na forma padrão a a b i1 1 in n i a a b

Leia mais

Método Simplex V 1.1, V.Lobo, EN / ISEGI, 2008

Método Simplex V 1.1, V.Lobo, EN / ISEGI, 2008 .,.Lobo, EN / ISEGI, 8 Método Simplex Resolução de PL usando o método Simplex Algoritmo para resolver problemas de programação linear George Dantzig, 97 Muito utilizado Facilmente implementado como programa

Leia mais

Programação Linear. (2ª parte) Informática de Gestão Maria do Rosário Matos Bernardo 2016

Programação Linear. (2ª parte) Informática de Gestão Maria do Rosário Matos Bernardo 2016 Programação Linear (2ª parte) Informática de Gestão 61020 Maria do Rosário Matos Bernardo 2016 Conteúdos Representação e resolução gráfica dos problemas de programação linear Problema de minimização Problema

Leia mais

Programação Linear. Dualidade

Programação Linear. Dualidade Programação Linear Dualidade Dualidade Já vimos em sala que para cada PPL existe um outro PL chamado dual, que consiste em modelar um problema que utiliza os mesmos dados que o original, mas alterando

Leia mais

Investigação Operacional

Investigação Operacional Ano lectivo: 0/06 Universidade da Beira Interior - Departamento de Matemática Investigação Operacional Ficha de exercícios n o Algoritmo Simplex Cursos: Gestão e Economia. Considere o seguinte conjunto

Leia mais

Unidade II PESQUISA OPERACIONAL. Profa. Ana Carolina Bueno

Unidade II PESQUISA OPERACIONAL. Profa. Ana Carolina Bueno Unidade II PESQUISA OPERACIONAL Profa. Ana Carolina Bueno Programação linear É um subitem da programação matemática. É um dos modelos utilizados em pesquisa operacional. Consiste em otimizar (maximizar

Leia mais

Programação Linear (PL)

Programação Linear (PL) Programação Linear (PL) ETAPA 05 Volume 04: O problema de transporte (PT) Definição e apresentação sobre forma de rede Formulação do caso equilibrado e não equilibrado Exemplos Propriedades fundamentais

Leia mais

PESQUISA OPERACIONAL. Prof. Carlos Norberto Vetorazzi Jr.

PESQUISA OPERACIONAL. Prof. Carlos Norberto Vetorazzi Jr. PESQUISA OPERACIONAL Prof. Carlos Norberto Vetorazzi Jr. 1. INTRODUÇÃO Definições : Método científico de tomada de decisão Conjunto de técnicas e ferramentas de apoio à decisão, através da modelagem matemática

Leia mais

Métodos de Pesquisa Operacional

Métodos de Pesquisa Operacional Métodos de Pesquisa Operacional Programação Linear é a parte da Pesquisa Operacional que trata da modelagem e resolução de problemas formulados com funções lineares. Programação Linear } Métodos de Resolução

Leia mais

Aula 03: Algoritmo Simplex (Parte 2)

Aula 03: Algoritmo Simplex (Parte 2) Aula 03: Algoritmo Simplex (Parte 2) Otimização Linear e Inteira Túlio A. M. Toffolo http://www.toffolo.com.br BCC464/PCC174 2018/2 Slides baseados no material de Haroldo Gambini Previously... Aula anterior:

Leia mais

Otimização Linear. Conceitos básicos Álgebra Linear Introdução ao método simplex

Otimização Linear. Conceitos básicos Álgebra Linear Introdução ao método simplex Otimização Linear Conceitos básicos Álgebra Linear Introdução ao método simplex Revisão de Álgebra Linear Denomina-se posto ou Rank de uma matriz A, um número k tal que: a)existe pelo menos uma sub-matriz

Leia mais

Teoria dos Grafos AULA

Teoria dos Grafos AULA Teoria dos Grafos Valeriano A. de Oliveira Socorro Rangel Departamento de Matemática Aplicada antunes@ibilce.unesp.br, socorro@ibilce.unesp.br AULA Caminho mínimo - Algoritmo de Djskstra Preparado a partir

Leia mais

Otimização Combinatória - Parte 4

Otimização Combinatória - Parte 4 Graduação em Matemática Industrial Otimização Combinatória - Parte 4 Prof. Thiago Alves de Queiroz Departamento de Matemática - CAC/UFG 2/2014 Thiago Queiroz (DM) Parte 4 2/2014 1 / 33 Complexidade Computacional

Leia mais

Universidade da Beira Interior Departamento de Matemática. Ficha de exercícios nº3: Dualidade. Interpretação Económica.

Universidade da Beira Interior Departamento de Matemática. Ficha de exercícios nº3: Dualidade. Interpretação Económica. Ano lectivo: 2008/2009; Universidade da Beira Interior Departamento de Matemática INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Ficha de exercícios nº3: Dualidade. Interpretação Económica. Cursos: Economia 1. Formule o problema

Leia mais

Pesquisa Operacional

Pesquisa Operacional Faculdade de Engenharia - Campus de Guaratinguetá Pesquisa Operacional Livro: Introdução à Pesquisa Operacional Capítulo 5 Modelo da Designação Fernando Marins fmarins@feg.unesp.br Departamento de Produção

Leia mais

Sistemas de Equações Lineares e Equações Vectoriais Aula 2 Álgebra Linear Pedro A. Santos

Sistemas de Equações Lineares e Equações Vectoriais Aula 2 Álgebra Linear Pedro A. Santos Sistemas de Equações Lineares e Equações Vectoriais Aula 2 Álgebra Linear MEG Operações Elementares Trocar a posição de duas equações Multiplicar uma equação por uma constante diferente de zero Não alteram

Leia mais

Pesquisa Operacional

Pesquisa Operacional Pesquisa Operacional Análise de Sensibilidade Algébrica Profa. Sheila Morais de Almeida DAINF-UTFPR-PG abril - 016 1 Análise de Sensibilidade Algébrica Variações do Lado Direito Variações na Função Objetivo

Leia mais

Pesquisa Operacional Nota Explicativa sobre o Algoritmo Simplex. Professor Alejandro Martins

Pesquisa Operacional Nota Explicativa sobre o Algoritmo Simplex. Professor Alejandro Martins Pesquisa Operacional Nota Explicativa sobre o Algoritmo Simplex - 2012 Método Simplex 1. Introdução (I)Max Z= 5x1 6x2 Sujeito às seguintes restrições 3x 18 1x 12 3x 3 x 24 x j 0, j 1,2 Forma de Dantzig:

Leia mais

MÉTODO SIMPLEX SOLUÇÃO INICIAL ARTIFICIAL

MÉTODO SIMPLEX SOLUÇÃO INICIAL ARTIFICIAL MÉTODO SIMPLEX SOLUÇÃO INICIAL ARTIFICIAL Problemas de PL nos quais todas as restrições são ( ) com lados direitos não negativos oferecem uma solução básica inicial viável conveniente, na qual todas as

Leia mais