Investigação Operacional

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1 Análise de Sensibilidade, Formulação Dual (Mestrado) Engenharia Industrial - Escola de Engenharia Departamento de Produção e Sistemas

2 Uma das tarefas mais delicadas no desenvolvimento prático dos modelos de PL respeita à obtenção de estimativas credíveis para os parâmetros envolvidos (elementos da matriz A, a ij os termos independentes das restrições, b i, e coeficientes da função objectivo, c j ), isto porque raramente são conhecidos com exactidão; Trabalha-se com estimativas ou previsões, cujos valores são supostos constantes ao longo do período em análise. Só excepcionalmente esta situação se verifica, é importante conhecer o comportamento da solução óptima do problema face à variação nalgum ou nalguns dos seus parâmetros.

3 Em muitas situações a prática da PL traduz-se pela existência de um modelo que sistematicamente (semanal ou mensalmente, por exemplo) é utilizado na determinação da solução óptima, mas cuja formalização, no essencial, se mantém, apenas havendo que «corrigir» alguns dos seus parâmetros, situação que, convenientemente explorada, evita geralmente a resolução a partir do início. Sucede também, por vezes, que por erro de formalização ou por ocorrência de novas situações se torna necessário introduzir novas restrições ou novas actividades. 3

4 Outras vezes a solução do problema não permite detectar a existência de estrangulamento nos recursos; nestes casos, revela-se de interesse um tipo de análise que evidencie possíveis soluções técnicoeconómicas tendentes ao desbloqueamento destas situações (por exemplo novos investimentos, políticas de marketing, etc). Convém ainda referir o interesse que reveste para o decisor o conhecimento de soluções que não sendo o óptimo do problema formalizado, representam possíveis soluções para o problema real, permitindo, além disso, uma visão mais ampla das consequências da decisão.

5 Finalmente, como a modelização de problemas económicos exige, em geral, muitas hipóteses simplificadoras e como a interdependência destes fenómenos é muito forte, alguns dos parâmetros, como por exemplo restrições de natureza governamental, podem ser alterados (ou manipulados, como sucede com alguns instrumentos de política económica), o que só por si pode criar imensas dificuldades e constantes inadequações dos modelos existentes. Todas estas razões mostram o interesse e a importância dum tipo de análise que incorpore no modelo a «incerteza» com que a realidade se manifesta, permitindo ao mesmo tempo uma visão mais alargada do espectro de soluções quando ocorrem alterações do tipo indicado.

6 . Análise de pós-optimização, em que é abordado o impacto na solução óptima de alterações discretas nos parâmetros do modelo alterações dos coeficientes da FO, dos termos independentes, dos coeficientes da matriz, introdução de novas variáveis e introdução de novas restrições;. Análise de sensibilidade, cuja preocupação se centra na determinação de intervalos de variação para os parâmetros que não envolvam alteração da estrutura da solução óptima já encontrada; na secção respectiva será feita a análise de sensibilidade a todos os parâmetros do modelo tomados isoladamente; 3. Parametrização, cujo objectivo é estudar os efeitos na solução óptima do modelo perante variações contínuas de alguns dos seus parâmetros; neste caso a análise recairá apenas sobre os coeficientes da FO e termos independentes das restrições. 6

7 O (só) conhecimento da Solução Óptima de um Problema de Programação Linear é algo limitado. É importante conhecer o efeito de variações tanto nos coeficientes das restrições (coeficientes tecnológicos) como no valor dos coeficientes da Função Objectivo. Qual o domínio possível de variação dos coeficientes do problema sem que haja alteração das variáveis que constituem a base no Quadro Óptimo. Iremos usar a representação matricial 7

8 Considere-se o seguinte Quadro Inicial A = 3 6 b = c = 6 8 z = 8

9 O respectivo Quadro Óptimo

10 Variações nos Coeficientes da Função Objectivo variáveis básicas 3 + 3p 3 + p c = H p 6 8 L CB = H p 6 L 3 3 c = H 6 8 L p 3 8 p 3 + p

11 Variações nos Coeficientes da Função Objectivo variáveis básicas c = H 6 8 L c = H p 6 8 L 3p - + p 3 3 p 6 + p 3p 3+ p 3 p p 6 p,6 3

12 Variações nos Coeficientes da Função Objectivo variáveis não básicas c = H 6 8 L c = H p 6 8 L 3 p

13 Variações nos Coeficientes da Função Objectivo variáveis não básicas c = H 6 8 L c = H p 6 8 L p p p p + 9 p, p,+ 3

14 Variações nos Coeficientes da Função Objectivo Decréscimo em c j para x j não-básico ou pequeno aumento em c j para x j básico Qualquer destas situações não altera a selecção de Variáveis Básicas no quadro da Solução Óptima. Um decréscimo em c j para x j não-básico torna x j ainda menos atractivo para pertencer à base. Um pequeno aumento em c j para x j básico reforça o interesse da localização dessa variável na base do quadro da Solução Óptima. Um grande aumento c j para x j básico pode, contudo, implicar a libertação de recursos de outras actividades, para uma especialização na actividade tornada mais atractiva do ponto de vista da contribuição para a Função Objectivo.

15 Variações nos Coeficientes da Função Objectivo Aumento em c j para x j não-básico O aumento máximo que o coeficiente na Função Objectivo de uma Variável Não-Básica pode ter é dado pelo valor do coeficiente inscrito na Linha da Função Objectivo do Quadro Óptimo. c = preço sombra: qual o significado?

16 Variações nas Disponibilidades das Restrições 3 p b = 8 b = H + pl 3 H + pl p p 6

17 Variações nas Disponibilidades das Restrições 3 p b = 8 b = ( p) + p p p p p p ],[ 7

18 Variações nas Disponibilidades das Restrições Variação da disponibilidade b j quando a Variável de Folga relativa a uma condição não está na base Neste caso, pode-se afirmar que a Solução permanece Válida enquanto b j no Quadro Final for maior ou igual a zero 8

19 Variações nas Disponibilidades das Restrições 3 3 b = 8 b = p p 9

20 Variações nas Disponibilidades das Restrições 3 3 b = 8 b = p p p p ], + [

21 Variações nas Disponibilidades das Restrições Aumento da disponibilidade b j quando a Variável de Folga relativa a uma condição está na base Uma Variável de Folga Básica significa que o recurso representado pela condição não é escasso. Aumentar a disponibilidade desse recurso implica, apenas, aumentar de igual quantidade o valor da Variável de Folga na Base. Decréscimo da disponibilidade b j quando a Variável de Folga relativa a uma condição está na base Desde que o decréscimo na disponibilidade não exceda o valor da Variável de Folga na base, o Quadro Óptimo mantém-se válido. Verifica-se, apenas, um decréscimo correspondente no valor da Variável de Folga.

22 Alteração de coeficientes da matriz A, a ij coeficiente de uma variável não-básica Se coeficiente pertence a linha de variável de folga, então não altera a solução óptima; Se coeficiente pertence a restrição de variável de decisão, é necessário estabelecer valores de intervalo. A = i y i 3 k 3 6 { + 3p 3 A = i k p 3 6 y { k I 7 p p 3 H + 6pL 9 y { M

23 Alteração de coeficientes da matriz A, a ij coeficiente de uma variável básica A alteração é global no quadro por força da matriz B - que é alterada. A alteração poderá implicar que a solução deixe de ser óptima e ou válida. Pode implicar a utilização do simplex primal (optimização) ou do simplex dual (validação) e simplex primal. 3

24 Introdução de uma variável A introdução de uma nova variável, x n+ no problema é uma situação que pode ser contemplada de forma particularmente simples. Com efeito, tal significa a passagem ao novo problema de que a solução óptima do problema anterior constitui,, uma solução admissível com x n+ como variável não básica, logo nula (x n+ =). Podemos processar a nova coluna e verificar se se trata de uma coluna atractiva. Nesse caso, aplica-se o algoritmo primal do simplex introduzindo o vector P n+ na base.

25 Introdução de uma restrição Após se ter obtido a solução óptima do problema, pretende neste caso responder-se à questão de como incorporar uma nova restrição no modelo. É importante notar que a introdução de uma nova restrição não altera o gradiente da FO, mas pode restringir o conjunto das soluções admissíveis, K, do problema original. Nestas condições, pode concluir-se que o valor assumido pela FO na solução óptima do novo problema nunca será superior ao valor correspondente do problema original.

26 Introdução de uma restrição Assim, o primeiro passo consiste em verificar se a solução óptima já obtida satisfaz a nova restrição. Em caso afirmativo, aquela solução permanece óptima para o novo problema e o processo termina; caso contrário, há que determinar a nova solução óptima. Incluir a nova restrição, uma nova variável de folga, validar o quadro simplex; Se estiver em causa a introdução de mais do que uma restrição, ou de uma restrição que altere significativamente o conjunto das soluções admissíveis do problema original, pode ser mais eficiente aplicar directamente o método do simplex ao novo problema. 6

27 Problema DUAL Definindo o Problema Primal como sendo o problema da determinação de X=(x,x,...,x n ) que minimiza (problema de mínimo) f = CX sa. : AX b X Definindo o Problema DUAL como sendo o problema da determinação de W=(w,w,...,w m ) que maximiza (problema de máximo) g = Wb sa. : WA C W 7

28 Problema Primal Problema DUAL Max x + 9x sa : x + x x + 6x 3 x + x 7 x, x Construção dual O Dual do Dual é o Primal ( w ) ( w ) ( w ) 3 Problema DUAL Min w + 3w + 7w 3 sa. : w + w + w 3 w + 6w + w 9 3 w, w, w 3 Construção dual ( x ) ( x ) 8

29 9

30 Problema DUAL Teorema I - Qualquer solução para o Problema Primal (Dual) constitui um limite para o Valor Óptimo do Problema Dual (Primal) 3

31 Problema DUAL 3

32 Problema DUAL 3

33 Problema DUAL Teorema II - O valor da Solução Óptima para o Problema Primal, se existir, é igual ao valor da Solução Óptima para o Problema Dual. 33

34 Problema DUAL Teorema III (da Folga Complementar ) Sejam x j *, para j=,,...,n e y i *para i=,,...,m Soluções Válidas, respectivamente para o Problema Primal e para o Problema Dual. Estas Soluções só serão Óptimas se: 3

35 Problema DUAL Teorema da Folga Complementar Nestas equações, os termos entre parêntesis representam Folgas, respectivamente nas condições do Primal e do Dual. O Teorema afirma, portanto, que sempre que exista Folga numa restrição de um dos problemas, a variável correspondente no outro problema tem valor nulo. 3

36 Problema DUAL Teorema IV - Se para algum dos problemas existir solução não limitada, então o outro não possui soluções admissíveis 36

37 Problema DUAL 37

38 Problema DUAL Solução óptima 38

39 Problema DUAL VARIÁVEIS PRINCIPAIS produção mensal de 6 secretárias, x *=6; produção mensal de 6 estantes, x * =6. VARIÁVEIS FOLGA 6 horas-máquina não utilizadas mensalmente no Departamento de Estampagem, x 3 *=6; capacidade esgotada no Departamento de Montagem e Acabamento, x *=; esgotado o mercado potencial de secretárias, x *=. FUNÇÃO OBJECTIVO margem bruta de x O 3 esc. por mês 39

40 Problema DUAL Dual O que significa este problema? Análise Económica

41 Problema DUAL Qual o significado das variáveis principais u, u e u 3? E as variáveis desvio terão algum significado económico? Considere-se, em primeiro lugar, a primeira restrição O valor do segundo membro 6, representa a margem bruta unitária das secretárias; os coeficientes das variáveis duais,, e, são as horas-máquina, horas-homem e unidade, relativas aos dois departamentos e ao mercado, respectivamente. Então, como os dois membros da restrição são expressos necessariamente na mesma unidade, as variáveis principais do dual, u, u e u 3, devem ser entendidas como valorizações unitárias a imputar a cada recurso; o primeiro membro da restrição pode interpretar-se como sendo a valor (dos recursos) a imputar à produção de uma secretária, e a restrição indica que esta valorização não deve ser inferior à respectiva margem bruta unitária.