OTIMIZAÇÃO. O processo de otimização normalmente involve a procura de pontos de máximos e mínimos de uma função.

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1 OTIMIZAÇÃO O processo de otimização normalmente involve a procura de pontos de máximos e mínimos de uma função. Pontos de máximos e mínimos de uma função são pontos onde a derivada da função é nula. A segunda derivada determina se o ponto crítico é máximo ou mínimo. Raiz da função f ( x) f (x) Ponto de máximo f ( x) f ( x) Ponto de mínimo f ( x) f ( x)

2 Alguns métodos de otimização determinam os pontos de máximos ou mínimos através do cálculo das raizes de f (x) =. Deve-se observar que normalmente f (x) não é conhecida analiticamente. Exemplos de problemas de otimização em engenharia: 1. Projeto de avião com menor peso e maior resistência mecânica; 2. Projeto de bombas e equipamentos de troca de calor de maior eficiência; 3. Planejamento de atividades que minimizam o tempo de execução de um projeto; 4. Minimização de custos de manufatura, etc

3 Otimização com Restrições Programação Linear Determinar os valores de variáveis de forma a obtenção de um determinado OBJETIVO (máximo ou mínimo de uma função) na presença de RESTRIÇÕES. As funções que descrevem o objetivo e as restrições são funções lineares. Formulação: Ache max E Função Objetivo Restrições

4 Exemplo 1: Uma fábrica recebe uma determinada quantidade de gás por semana. O gás é processado em 2 tipos de produtos: Regular (R) e Premium (P), que trazem lucros diferentes. A produção de cada produto envolve restrições de tempo e estocagem, de acordo com as tabelas abaixo. Os dois produtos não podem ser produzidos simultaneamente e a fábrica funciona 8 horas por semana. Determine a quantidade que deve ser produzida de cada produto (R e P) de forma que o lucro seja o maior possível. Produto Disponibilidade Regular (R) Premium (P) Uso de gás 7 m 3 /ton 11 m 3 /ton 77 m 3 /semana Tempo de produção 1 h/ton 8 h/ton 8 h/semana Estoque 9 ton 6 ton Lucro 15 / ton 175 / ton

5 produção por semana do produto regular: R ton produção por semana do produto premium: P ton Função objetivo: Restrições: total de gás utilizado: tempo de produção: (1) (2) estoque: Variáveis positivas: (3) (4) (5) (6) Solução gráfica: Limitadas a problemas com 2 ou 3 variáveis, portanto tem aplicação limitada. Porém, apresenta conceitos importantes na solução de problemas lineares de otimização com restrição.

6 As restrições podem ser representadas por linhas retas (funções lineares) no gráfico no plano R-P (variáveis do problema). P (2) (4) Espaço de soluções admissíveis: Região no espaço de variáveis onde todas as condições são satisfeitas. (3) (1) R Deve-se buscar qual o ponto do espaço de soluções admissíveis que maximiza ou minimiza a função objetivo.

7 A função objetivo também é linear e desta forma o ponto de máximo ou mínimo está localizado em um dos vértices do polígono que define o espaço de soluções. Cada vértice representa a interseção de duas restrições. P E (2) D (4) R P L A (5)/(6) B 8 12 (2)/(6) C 4,9 3,9 1417,5 (1)/(2) D 1, ,5 (1)/(4) E 6 15 (4)/(5) C (3) A B (1) R

8 Exemplo 2: Deseja-se determinar as quantidades ideais de cada ingrediente usado para preparar uma quantidade de ração com as necessidades nutricionais atendidas de forma que o custo total dos ingredientes seja o menor possível. Custo dos ingredientes: Milho (A1): R$ 65,/kg Farinha (A2): R$ 3,/kg Cada porção da ração conter uma quantidade mínima de nutrientes (Vitamina A, Vitamina B e Proteína): 7 unidades de VA, 9 unidades de VB e 1 unidade de PR A quantidade de nutriente em cada ingrediente (por kg) é mostrada na tabela abaixo. VA [un] VB [un] PR [un] Milho (A1) Farinha (A2) 3 2

9 Utilização de Milho: A1 kg Utilização de Farinho: A2 kg Função objetivo: C = 65 A1 + 3 A2 Restrições: Quantidade de vitamina A: Quantidade de vitamina B: 2 A1 + 3 A2 7 3 A1 + 2 A2 9 (1) (2) Quantidade de Proteína: 1 A1 1 (3) Variáveis positivas: A1 A2

10 A2 (3) Espaço de soluções admissíveis: Região no espaço de variáveis onde todas as condições são satisfeitas. (2) C B A (1) A1

11 A2 A1 A2 C A 3,5 227,5 B,6 2,6 117 C (3) (2) C B A (1) A1

12 Método Simplex Hipótese básica: O ponto ótimo é um ponto extremo do espaço de soluções. As restrições são escritas como igualdades, com o uso de uma variável desvio. Por exemplo, a restrição é escrita como 7R + 11 P + S = 77 Se S >, a restrição é satisfeita; Se S <, a restrição não está sendo satisfeita; Se S =, limite da restrição. A variável desvio pode ser usada para determinar pontos extremos. Voltanto ao exemplo 1, a formulação com variáveis desvios é escrita como:

13 produção por semana do produto regular: R ton produção por semana do produto premium: P ton Função objetivo: Restrições: 7R + 11 P + S1 = 77 1 R + 8 P + S2 = 8 R + S3 = 9 P + S4 = 6 R, P, S1, S2, S3, S4 >= 4 equações e 6 variáveis. A diferença do número de variáveis e equações (2 neste caso) está diretamente relacionada a definição dos pontos extremos. Todo ponto extremo tem pelo menos 2 (das 6) variáveis iguais a zero.

14 P (2) A R = P = B P = S2 = C S1 = S2 = D S1 = S4 = E R = S4 = E D (4) G C (3) (1) A B F R Observe que no ponto G, S3 = S3 =, porém S1, S2 <. Observe que no ponto F, S1 = P =, porém S2, S3 <.

15 Os pontos extremos são determinados fazendo 2 das variáveis iguais a zero (variáveis básicas). Desta forma, obtém-se um sistema 4 X 4. A solução deste sistema determina o valor das demais (4) variáveis (variáveis não-básicas). Se todas foram >, o resultado é chamado é chamado de solução básica admissível. A solução ótima será uma destas soluções básicas admissíveis. 1) Ponto de partida: P = R =. Sistema resultante: todas as variáveis >=. solução admissível. S1 = 77 S2 = 8 S3 = 9 S4 = 6 L = 2) Para obter outros pontos de interseção, uma das variáveis básicas iniciais deve tornar-se não-nula e uma outra variável não-básica torna-se nula: P = S1 =. 7R = 77 1 R + S2 = 8 R + S3 = 9 S4 = 6 R = 11 S2 = -3 S3 = -2 S4 = 6 Solução não admissível.

16 3) P = S2 =. 7R + S1 = 77 1 R = 8 R + S3 = 9 S4 = 6 S1 = 21 R = 8 S3 = 1 S4 = 6 Solução admissível. L = 15 R P = 12 4)... E assim por diante até encontrar a solução admissível com maior L. O método Simplex descreve uma forma otimizada para a determinação das soluções admissíveis.

17 Exemplo Simplex: Função objetivo: Restrições: L = 12 x1 + 9 x2 x1 <= 1 (1) x2 <= 15 (2) x1 + x2 <= 175 (3) 4 x1 + 2 x2 <= 48 (4) Variáveis desvio: x3, x4, x5 e x6 Restrições escritas em função dos desvios: x1 + x3 = 1 x2 + x4 = 15 x1 + x2 + x5 = x1 + 2 x2 + x6 = 48 Sistema de 4 equações e 6 incógnitas.

18 Sistema na forma matricial: A x = b A = b = Chute inicial: x 1 = x 2 =. Resolver sistema resultante: A = x = x3 x4 x5 x6 x = x3 = 1 x4 = 15 x5 = 175 x6 = 48 L = 12 x1 + 9 x2 =

19 Se A x (k) = b e A x (k+1) = b A Dx = Soluções que satisfazem as restrições. Passo para achar uma outra solução admissível. Dx1 = 1 e Dx2 = : variável x2 continua sendo =! Resolver sistema A Dx = com Dx1 = 1 e Dx2 = x3 x4 x5 x6 = 1 x3 = 1 x4 = x5 = 1 x6 = 4 Definir: x (k+1) = x (k) + l Dx l min{l j ; para Dx j < } λ j = x j (k) Δx j

20 x2 x () = x3 = 1 x4 = 15 x5 = 175 x6 = 48 Dx= 1 x3 = 1 x4 = x5 = 1 x6 = 4 λ 3 =1 λ 4 =infinito λ 5 =175 λ 6 =12 (1) x3 (2) x4 x (1) = x1 = 1 x2 = x3 = x4 = 15 x5 = 75 x6 = 8 E assim por diante... Ver planilha x () x (1) (3) x5 (4) x6 x1

21 X1 X2 X3 X4 X5 X6 C 12 9 A 1 1 b X Obj= DX lamb X Obj= 12 DX lamb X Obj= 156 DX lamb X Obj= 177 PONTO OTIMO DX lamb X Obj= 165 DX