Programação Linear (PL) Solução algébrica - método simplex

Transcrição

1 Universidade Federal de Itajubá Instituto de Engenharia de Produção e Gestão Pesquisa Operacional Simplex Prof. Dr. José Arnaldo Barra Montevechi Programação Linear (PL) Solução algébrica - método simplex Agora será apresentado mais um procedimento geral para resolução de problemas de PL, denominado Método Simplex e que foi desenvolvido em 1947 por George B. Dantzig.

2 Método Simplex O método simplex é um método interativo (algoritmo) utilizado para achar, algebricamente, a solução ótima de um problema de PL. Procedimentos do Método Simplex Sabe-se que a solução ótima do modelo é uma solução básica do sistema, ou seja, um ponto extremo do polígono gerado pelas restrições. Para ser iniciado é necessário conhecer uma solução compatível básica (solução inicial) do sistema, isto é um dos pontos do polígono gerado.

3 Procedimentos do Método Simplex O método simplex verifica se a presente solução é ótima. Se for o processo esta encerrado. Se não for ótima, é porque um dos pontos adjacentes fornece um valor maior que o inicial. Neste caso, o método simplex faz então a mudança do ponto por um outro que mais aumente o valor da função objetivo. Procedimentos do Método Simplex Agora tudo que foi feito para o primeiro ponto é feito para o novo ponto. O processo finaliza quando se obtém um ponto extremo onde todos os outros pontos extremos, forneçam valores menores para a função objetivo.

4 Procedimentos do Método Simplex Como fazer, algebricamente, a mudança de um ponto extremo para outro? Achar portanto a próxima solução básica exige a escolha de uma variável básica para deixar a base atual, tornando-se não básica, e a escolha de uma variável não básica para entrar na base em sua substituição. Procedimentos do Método Simplex Supondo o seguinte problema para maximização: Max Z = 5X1 + 2X2 Sujeito a: X1 3 X2 4 X1 + 2X2 9 X1, X2 0

5 Procedimentos do Método Simplex X2 Z ZC=21 E(0, 4) D(1, 4) C(3, 3) ZB=15 ZD=13 ZE=8 A(0, 0) B(3, 0) X1 A B C D E O Método Simplex é aplicado diretamente quando: todas as restrições são ; todos os bi 0; se quer maximizar Z.

6 Passos do simplex 1. Achar uma solução compatível básica inicial; 2. Verificar se a solução é ótima. Se for pare. caso contrário, siga para o passo 3; 3. Determinar a variável não básica que deve entrar na base; 4. Determinar a variável básica que deve sair da base; 5. Achar a nova solução compatível básica e voltar ao passo 2. Seja a formulação Maximizar z = 3x1 + 2x2 + 5x3 Sujeito a x1+ 2x2 + x x1 + 2x3 460 xl + 4x2 420 x1, x2, x3 0

7 Primeiro passo: Transformar o sistema de M desigualdades lineares restritivas em um sistema de M equações lineares. Assim temos: X1 + 2x2 + x3 + x4 = 430 3x1 + 2x3 + x5 = 460 xl + 4x2 + x6 = 420 Segundo passo: Colocar as equações em forma de tabela z - 3x1-2x2-5x3 = 0 x1 + 2x2 + x3 + x4 = 430 3x1 + 2x3 + x5 = 460 xl + 4x2 + x6 = 420

8 Terceiro passo: Determinar uma solução inicial viável. Base z X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 b bi/aie Z X X X ind. X1 = X2 = X3 = 0 X4 = 430; X5 = 460 e X6 = 420 Quarto passo: verificar se a solução é ótima. Não é ótima! Base z X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 b bi/aie Z X X X ind. X1 = X2 = X3 = 0 X4 = 430; X5 = 460 e X6 = 420

9 Quinto passo: Determinar a variável que entra (xe) Sexto passo: Determinar a variável que sai (xs). entra Base z X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 b bi/aie Z X X X ind. sai Pivô Sétimo passo: Calcular a nova matriz de coeficientes, executando as operações convenientes nas linhas da matriz. Base z X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 b bi/aie Z X X ind. X

10 Oitavo passo: Repetir todos os passos, do 4 ao 7, tantas vezes quanto forem necessárias, até que a solução ótima seja encontrada. Base z X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 b Z X X X O máximo Z é 1350, para X 2 = 100, X 3 = 230 e X 6 = 20. Resolvendo o problema de Giapetto pelo simplex Max Z = 3X1 + 2X2 sujeito a: 2X1 + X2 100 X1 + X2 80 X1 40 X1 0 X2 0

11 Converter o problema de PL na forma canônica Max Z = 3X1 + 2X2 sujeito a: 2X1 + X2 + X3 = 100 X1 + X2 + X4 = 80 X1 + X5 = 40 X1, X2, X3, X4 e X5 0 Solução básica inicial Max Z = 3X1 + 2X2 sujeito a: 2X1 + X2 + X3 = 100 X1 + X2 + X4 = 80 X1 + X5 = 40 X1, X2, X3, X4 e X5 0 Variáveis não básicas: X1 = X2 = 0 Variáveis básicas: X3 = 100 X4 = 80 X5 = 40

12 O problema pode ser representado assim: X1 entra na base Z X1 X2 X3 X4 X5 b Razão Base X X /1=80 X /1=40 Pivo 100/2=50 Solução parcial: (0, 0, 100, 80, 40) Próximo quadro - Base: X3, X4 e X1 Indica que X1 entra no lugar de X5 Devem se colocadas na forma canônica Segunda iteração Pivo Ainda não é a solução ótima Z X1 X2 X3 X4 X5 b Razão Base X /1=20 X /1=40 X /0 Solução parcial: (40, 0, 20, 40, 0) Próximo quadro - Base: X2, X4 e X1 Indica que X2 entra no lugar de X3 Devem se colocadas na forma canônica

13 Terceira iteração Ainda não é a solução ótima Pivo Z X1 X2 X3 X4 X5 b Razão Base X X X Solução parcial: (40, 20, 0, 20, 0) Próximo quadro - Base: X2, X5 e X1 Indica que X5 entra no lugar de X4 Devem se colocadas na forma canônica Quarta iteração solução é ótima Valor máximo possível para a função objetivo Z X1 X2 X3 X4 X5 b Razão Base X X X Solução ótima: (20, 60, 0, 0, 20) A restrição 4 tem um folga de 20

14 Solução do problema de Giapetto pelo simplex Max Z = 3X1 + 2X2 sujeito a: 2X1 + X2 + X3 = 100 X1 + X2 + X4 = 80 X1 + X5 = 40 X1, X2, X3, X4 e X5 0 Solução ótima: (20, 60, 0, 0, 20) Z = 3*20 + 2*60 = 180 A restrição 4 tem um folga de 20 Exercício Resolver o problema do final do item da apostila; Dois participantes por grupo; Entregar o resultado para fazer parte da avaliação da disciplina.

15 Resolva o problema abaixo pelo simplex max Z = 5X1 + 2X2 sujeito a: X1 3 X2 4 X1 + 2X2 9 X1 0 X E X2 D Método Gráfico (Exemplo já realizado anteriormente) C Indicando ponto ótimo - C (3, 3) Z = 21 X1 A B