Universidade Federal de Itajubá. Instituto de Engenharia de Produção e Gestão. Pesquisa Operacional. Redes. Prof. Dr. José Arnaldo Barra Montevechi

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1 Universidade Federal de Itajubá Instituto de Engenharia de Produção e Gestão Pesquisa Operacional Redes Prof. Dr. José Arnaldo Barra Montevechi Problemas de rede Casos especiais de problemas de programação linear que são mais bem analisados através de uma representação gráfica. Importantes problemas de otimização, tais como problemas de logística e de energia, produção e outros, são eficientemente resolvidos e modelados como problemas de rede.

2 Problemas de rede Modelos de rede facilitam a visualização das relações entre os componentes do sistema, aumentando o entendimento do problema e de seus possíveis resultados. É uma modelagem muita usada. Terminologia Redes, nós e arcos: Nós Arcos

3 Problemas de rede (Classificação usual) Problemas de transporte e rede de distribuição; Problemas de menor caminho; Problemas de fluxo máximo. Problemas de Distribuição Problemas que consideram múltiplas fontes, centros consumidores e locais intermediários por onde os produtos simplesmente passam são denominados problemas de distribuição. O problema de transporte já estudado é uma simplificação do problema de rede de distribuição.

4 Problemas de Distribuição exemplo Uma montadora de carros esta iniciando as suas operações no Brasil, construindo fábricas: uma na Bahia e outra em São Paulo. A montadora esta estudando a forma de distribuição de seus carros para as diversas revendas, localizadas nos estados: Goiás, Rio de Janeiro, Minas Gerais, Paraná, Santa Catarina e Rio Grande do Sul, que minimize o custo total de distribuição. Problemas de Distribuição exemplo As capacidades instaladas de cada uma das fábricas, as demandas das revendas, bem como os custos unitários de transporte entre fábricas e revendas estão evidenciados no diagrama a seguir.

5 Problemas de Distribuição exemplo -00 BA 0 0 MG GO 0 Demandas -00 SP RJ 0 (00) PR 00 0 Oferta (capacidade das fábricas) (00) SC RS 0 9 Problemas de Distribuição Existem maneiras básicas de resolver este problema. A primeira consiste em inserir uma unidade dummy que iguale a oferta a demanda. A segunda forma de resolver é seguir a Regra do Fluxo Balanceado para cada nó da rede. Este método dispensa o uso de unidades dummys. O desequilíbrio entre oferta e demanda total é tratado através de restrições maior ou igual ou de menor ou igual. 0

6 Problemas de Distribuição Regra do fluxo balanceado: Hipótese: Tipo de Restrição: Situação do exemplo Oferta > Demanda Oferta < Demanda Entradas Saídas Oferta ou Demanda do Nó Entradas Saídas Oferta ou Demanda do Nó Oferta = Demanda Entradas Saídas = Oferta ou Demanda do Nó Primeiro passo: Variáveis de decisão Quantidades de veículos enviados de cada fábrica para cada distribuidor BA SP MG RJ 0 0 GO PR SC 00 RS 0

7 Primeiro passo: Variáveis de decisão X número de carros enviados de BA para MG. X número de carros enviados de BA para RJ. X número de carros enviados de BA para GO. X número de carros enviados de SP para MG. X número de carros enviados de SP para RJ. X número de carros enviados de SP para PR. X número de carros enviados de SP para SC. X número de carros enviados de SP para RS. X número de carros enviados de MG para RJ. X número de carros enviados de MG para GO. X número de carros enviados de SC para RS BA SP 0 MG 0 0 RJ 0 0 GO PR SC RS 00 0 Segundo passo: função objetivo Objetivo: Minimizar os custos de distribuição X BA para MG. X BA para RJ. X BA para GO. X SP para MG. X SP para RJ. X SP para PR. X SP para SC. X SP para RS. X MG para RJ. X MG para GO. X SC para RS BA SP MG RJ 0 0 GO PR SC 00 min Z = X + 0X + 0X + X + X + X + X + 0X + X + X + X RS 0

8 Terceiro passo: restrições Restrição 0 nó 0 -X -X -X BA 0 0 MG 0 GO -00 SP RJ 0 PR 00 Situação do exemplo Hipótese: Oferta > Demanda Oferta < Demanda Tipo de Restrição: Entradas Saídas Oferta ou Demanda do Nó Entradas Saídas Oferta ou Demanda do Nó 0 SC RS 0 Oferta = Demanda Entradas Saídas = Oferta ou Demanda do Nó Terceiro passo: restrições -00 BA 0 0 MG 0 GO -00 SP RJ 0 PR 00 Restrição 0 nó 0 X X X X X SC RS 0

9 Terceiro passo: restrições -00 BA 0 0 MG 0 GO -00 SP RJ 0 PR 00 Restrição 0 nó 0 X + X X X 0 0 SC RS 0 Terceiro passo: restrições -00 BA 0 0 MG 0 GO -00 SP RJ 0 PR 00 Restrição 0 nó 0 X + X + X 0 0 SC RS 0 9

10 Terceiro passo: restrições -00 BA 0 0 MG 0 GO -00 SP RJ 0 PR 00 Restrição 0 nó 0 X + X 0 SC RS 0 9 Terceiro passo: restrições -00 BA 0 0 MG 0 GO -00 SP RJ 0 PR 00 Restrição 0 nó 0 X 00 0 SC RS 0 0

11 Terceiro passo: restrições -00 BA 0 0 MG 0 GO -00 SP RJ 0 PR 00 Restrição 0 nó 0 X X 0 SC RS 0 Terceiro passo: restrições -00 BA 0 0 MG 0 GO -00 SP RJ 0 PR 00 Restrição 0 nó 0 X + X 0 0 SC RS 0

12 Quarto passo: Restrições adicionais Para completar a formulação do problema: Xij >= 0 i = ; ;... Solução pelo Solver Problemas de rede de distribuição Distribuição de carros Variáveis de decisão De Para Custo Unidades Nó Fluxo liquido Oferta/Demanda BA SP Custo Total = MG RJ 0 0 GO PR SC RS 00 0 Informações conhecidas

13 Solução pelo Solver -00 BA 0 0 MG 0 GO Problemas de rede de distribuição Distribuição de carros De Para Custo Unidades Nó Fluxo liquido Oferta/Demanda SP 0 RJ 0 PR SC RS 00 0 * Custo Total = 0 Fórmula Solução pelo Solver (Função Objetivo)

14 Solução pelo Solver (Restrições) Restrição 0 nó 0 -X -X -X BA 0 0 MG 0 GO -00 SP RJ 0 PR 00 0 SC RS 0 Solução pelo Solver (Restrições) Restrição 0 nó 0 -X -X -X BA 0 0 MG 0 GO -00 SP RJ 0 Entradas Saídas 0 PR SC 00 RS 0

15 Solução pelo Solver (Todas as Restrições) 9 Solução pelo Solver (Solução) BA SP 0 0 MG RJ 0 0 GO PR 00 0 SC RS 0 0

16 Problema do Menor Caminho Problema que representa um outro caso especial de problemas de redes, em que os arcos significam a distância entre pontos (nós). Quando deseja-se achar a rota que une estes pontos com a distância mínima possível, tem-se um problema de menor caminho. Problema do Menor Caminho Nestes problema existem sempre nós especiais chamados de origem e destino. Entre um nó de origem e um nó de destino geralmente existem nós intermediários, que podem representar cidades que conectam rodovias, subestações em problemas de distribuição de energia, etc...

17 Problema do Menor Caminho - Exemplo Um fabrica de artigos de decoração, localizada em Lambari, deve entregar uma grande quantidade de peças na cidade de Baependi. A empresa quer saber qual o caminho que seu caminhão deve fazer para minimizar a distância percorrida. Problemas de Menor Caminho exemplo Três Corações S. Thomé das Letras Lambari Baependi 0 Caxambu São Lourenço

18 Problemas de Menor Caminho A modelagem do problema terá variáveis binárias do tipo Xij, indicando o sentido da cidade i para a cidade j. Se o valor da variável for igual a significa que aquele trecho deve ser percorrido. De forma inversa, se o valor da variável for igual a zero, significa que aquele trecho não deve ser percorrido. Primeiro passo: Variáveis de decisão Três Corações S. Thomé das Letras Lambari Baependi 0 Caxambu São Lourenço X trecho Lambari Três Corações. X trecho Lambari São Lourenço. X trecho Lambari Caxambu. X trecho Três Corações São Thomé das Letras. X trecho São Lourenço Caxambu. X trecho São Thomé das Letras Baependi. X trecho Caxambu Baependi.

19 Segundo passo: função objetivo Objetivo: Minimizar a distância percorrida pelo caminhão Lambari Três Corações S. Thomé das Letras 0 Baependi Min Z = X + X + 0X + X + X + X + X São Lourenço Caxambu X Lambari Três Corações. X Lambari São Lourenço. X Lambari Caxambu. X Três Corações São Thomé das Letras. X São Lourenço Caxambu. X São Thomé das Letras Baependi. X Caxambu Baependi. Terceiro passo: restrições Três Corações S. Thomé das Letras Lambari Baependi 0 Caxambu Oferta = - Demanda = São Lourenço Hipótese: Tipo de Restrição: Oferta > Demanda Entradas Saídas Oferta ou Demanda do Nó Situação do exemplo Oferta < Demanda Oferta = Demanda Entradas Saídas Oferta ou Demanda do Nó Entradas Saídas = Oferta ou Demanda do Nó 9

20 Terceiro passo: restrições Três Corações S. Thomé das Letras Lambari Baependi 0 Caxambu São Lourenço Restrição 0: -X -X -X = - Hipótese: Tipo de Restrição: Oferta > Demanda Entradas Saídas Oferta ou Demanda do Nó Situação do exemplo Oferta < Demanda Oferta = Demanda Entradas Saídas Oferta ou Demanda do Nó Entradas Saídas = Oferta ou Demanda do Nó 9 Terceiro passo: restrições Três Corações S. Thomé das Letras Lambari Baependi 0 Caxambu São Lourenço Restrição 0: X X = 0 Hipótese: Tipo de Restrição: Oferta > Demanda Entradas Saídas Oferta ou Demanda do Nó Situação do exemplo Oferta < Demanda Oferta = Demanda Entradas Saídas Oferta ou Demanda do Nó Entradas Saídas = Oferta ou Demanda do Nó 0

21 Terceiro passo: restrições Três Corações S. Thomé das Letras Lambari Baependi 0 Caxambu São Lourenço Restrição 0: X X = 0 Terceiro passo: restrições Três Corações S. Thomé das Letras Lambari Baependi 0 Caxambu São Lourenço Restrição 0: X X = 0

22 Terceiro passo: restrições Três Corações S. Thomé das Letras Lambari Baependi 0 Caxambu São Lourenço Restrição 0: X + X X = 0 Terceiro passo: restrições Três Corações S. Thomé das Letras Lambari Baependi 0 Caxambu São Lourenço Restrição 0: X + X =

23 Quarto passo: Restrições adicionais Para completar a formulação do problema: Xij = 0 ou i = ; ;... Solução pelo Solver Lambari Três Corações S. Thomé das Letras Baependi 0 Variáveis de decisão Caxambu São Lourenço Informações conhecidas

24 Lambari Solução pelo Solver Três Corações S. Thomé das Letras Baependi 0 Caxambu São Lourenço Fórmula Lambari Solução pelo Solver (Função Objetivo) Três Corações S. Thomé das Letras Baependi 0 Caxambu São Lourenço * Fórmula

25 Solução pelo Solver (Restrições) Restrição 0: -X -X -X = - 9 Solução pelo Solver (Restrições) Hipótese: Tipo de Restrição: Situação do exemplo Oferta > Demanda Oferta < Demanda Oferta = Demanda Entradas Saídas Oferta ou Demanda do Nó Entradas Saídas Oferta ou Demanda do Nó Entradas Saídas = Oferta ou Demanda do Nó Entradas Saídas 0

26 Solução pelo Solver (Restrições) Hipótese: Tipo de Restrição: Situação do exemplo Oferta > Demanda Oferta < Demanda Oferta = Demanda Entradas Saídas Oferta ou Demanda do Nó Entradas Saídas Oferta ou Demanda do Nó Entradas Saídas = Oferta ou Demanda do Nó Lambari Solução pelo Solver Três Corações (Solução) S. Thomé das Letras Baependi 0 Caxambu São Lourenço

27 Problema do Fluxo Máximo Quando se quer maximizar a quantidade de um fluxo de um ponto de origem para um ponto de destino e estamos sujeitos a restrições de capacidade de fluxo nos arcos. Estes problemas geralmente envolvem fluxo de materiais como água, óleo, gás, energia através de uma rede de tubos ou canos. Podem representar fluxo de carros em malhas viárias, produtos em linha de produção, etc... Problema do Fluxo Máximo - Exemplo Uma empresa distribuidora de gás deseja determinar a quantidade máxima de metros cúbicos por segundo de gás que pode bombear da estação de Campos para o centro consumidor do Rio de Janeiro, através da rede de gasodutos existentes. A figura a seguir ilustra o caso.

28 Problema do Fluxo Máximo - Exemplo 0 m/s 0 m/s m/s Campos Rio de, Janeiro A m/s B 0 m/s 0 m/s 0 m/s Problema do Fluxo Máximo Para resolvermos este problema, utilizaremos um pequeno artifício: adicionaremos um arco virtual ligando o nó B ao nó A. A FO será portanto a maximização do fluxo de gás que passa de B para A. Como o fluxo do Rio de Janeiro para Campus não existe, o valor do fluxo no arco artificial representará o total de gás que pode chegar ao Rio de Janeiro vindo de Campus por mais de um caminho simultaneamente.

29 Problema do Fluxo Máximo - Exemplo 0 m/s 0 m/s m/s Campos Rio de Janeiro A m/s B 0 m/s 0 m/s 0 m/s Primeiro passo: Variáveis de decisão 0 m/s 0 m/s m/s Campos Rio de Janeiro A m/s B 0 m/s 0 m/s 0 m/s XA m/s que saem de Campus e chegam a estação 0. XA m/s que saem de Campus e chegam a estação 0. X m/s que saem da estação 0 e chegam a estação 0. X m/s que saem da estação 0 e chegam a estação 0. X m/s que saem da estação 0 e chegam a estação 0. XB m/s que saem da estação 0 e chegam no Rio de Janeiro. XB m/s que saem da estação 0 e chegam no Rio de Janeiro. XBA m/s que saem do Rio de Janeiro e chegam em Campus. (artificial) 9

30 Segundo passo: função objetivo Objetivo: Maximizar o fluxo de gás 0 m/s 0 m/s m/s Campos Rio de Janeiro A m/s B 0 m/s 0 m/s 0 m/s Max Z = XBA 9 Terceiro passo: restrições 0 m/s 0 m/s m/s Campos Rio de Janeiro A m/s B 0 m/s 0 m/s 0 m/s Restrições: O fluxo de cada arco deverá ser maior ou igual a zero; O fluxo de cada arco deverá ser menor ou igual a capacidade do arco; O fluxo que chega em cada nó deverá ser igual ao fluxo do que sai do mesmo; O fluxo do arco artificial (desconhecido) deve ser grande o bastante para assumir qualquer valor possível, já que este será maximizado. 0 0

31 Terceiro passo: restrições 0 m/s 0 m/s m/s Campos Rio de Janeiro A m/s B 0 m/s 0 m/s 0 m/s Restrições de capacidade: XA 0; XA 0; X 0; X ; X 0; XB ; XB 0; XBA 9999; Terceiro passo: restrições 0 m/s 0 m/s m/s Campos Rio de Janeiro A m/s B 0 m/s 0 m/s 0 m/s Restrições de fluxo: XBA (XA + XA) = 0 XA (X + X) = 0 XA X = 0 X XB = 0 X + X XB = 0 XB + XB XBA = 0 Hipótese: Oferta > Demanda Oferta < Demanda Oferta = Demanda Tipo de Restrição: Entradas Saídas Oferta ou Demanda do Nó Entradas Saídas Oferta ou Demanda do Nó Entradas Saídas = Oferta ou Demanda do Nó Situação do exemplo

32 Quarto passo: Restrições adicionais Para completar a formulação do problema: Xij >= 0 i = A; B; ; ;... Solução pelo Solver Campos 0 m/s 0 m/s m/s Rio de Janeiro A 0 m/s m/s 0 m/s B 0 m/s Variáveis de decisão Informações conhecidas

33 Solução pelo Solver (Função Objetivo) Fórmula Solução pelo Solver (Restrições) Entradas Saídas

34 Solução pelo Solver (Restrições) Solução pelo Solver (Solução) 0 m/s 0 m/s m/s Campos Rio de Janeiro A m/s B 0 m/s 0 m/s 0 m/s